知識總結：初中數(shù)學思想方法

1、PAGE11知識總結：初中數(shù)學思想方法1、數(shù)形結合思想“數(shù)”和“形”是數(shù)學教學中既有區(qū)別又有聯(lián)系的兩個對象。數(shù)形結合思想是將抽象的數(shù)量關系與直觀的圖形結合起來，通過“形”來直觀地表達“數(shù)”，或是通過“數(shù)”來精確地確定“形”。在數(shù)學教學中，突出數(shù)形結合思想，將抽象的數(shù)量關系形象化，具有直觀性強、易理解、易接受；將直觀圖形數(shù)量化，轉化成數(shù)學運算，常會降低難度，并對知識的理解更加深刻明了，有利于學生從不同的側面加深對問題的認識和理解，提供解決問題的方法，也有利于培養(yǎng)學生將實際問題轉化為數(shù)學問題的能力。0能運用代數(shù)、三角比知識通過數(shù)量關系的討論去處理幾何圖形的問題；能運用幾何、三角比知識通過對圖形性質

2、的研究去解決數(shù)量關系的問題。能將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形符號結合起來，把抽象思維與形象思維結合起來；會用代數(shù)的方法去研究幾何問題，會根據圖形的性質及幾何知識去處理代數(shù)問題。0已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則如果關于的方程有且只有一個大于1的實數(shù)根，求m的取值范圍。二次函數(shù)如圖（1）試確定c的符號及a、b、的符號（2）試確定abc、a-bc的符號2、轉化（化歸）思想“轉化”的思想是一種最基本的數(shù)學思想。數(shù)學解題過程的實質就是轉化過程，具體的說，就是把“新知識”轉化為“舊知識”，把“未知”轉化為“已知”，把“抽象”轉化為“具體”，把“復雜問題”轉化為“簡單問題”，把“高次”轉化為“低次”，在不斷的

3、相互轉化中使問題得到解決。可運用聯(lián)想類比實現(xiàn)轉化、利用“換元”、“添線”、消元法，配方法，進行構造變形實現(xiàn)轉化、數(shù)形結合，實現(xiàn)轉化。一般轉化為特殊，有些代數(shù)問題，通過構造圖形，化抽象為具體，借助直觀啟發(fā)思維，轉化為易解的幾何問題。有些不易解決的幾何題通過輔助線轉化為代數(shù)三角的知識來證明，有些結構比較復雜的問題，可以簡化題中某一條件，甚至暫時撇開不顧，先考慮一個簡化的問題，這種簡化題對于證明原題常常能起到引路的作用。把實際問題轉化為數(shù)學問題。結合解題進行化歸思想方法的訓練的做法：a、化繁為簡；b、化高維為低維；c、化抽象為具體；d、化非規(guī)范性問題為規(guī)范性問題；e、化數(shù)為形；f、化實際問題為數(shù)學問

4、題；g、化綜合為單一；h、化一般為特殊，有加減法的轉化，乘除法的轉化，乘方與開方的轉化，添輔助線，設輔助元等等都是實現(xiàn)轉化的具體手段。因此，首先要認識到常用的很多數(shù)學方法實質就是轉化的方法數(shù)軸上的點與實數(shù)的一一對應的關系。平面上的點與有序實數(shù)對的一一對應的關系。函數(shù)式與圖像之間的關系。線段（角）的和、差、倍、分等問題，充分利用數(shù)來反映形。解三角形，求角度和邊長，引入了三角函數(shù)，這是用代數(shù)方法解決何問題?！皥A”這一章中，賀的定義，點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系等都是化為數(shù)量關系來處理的。統(tǒng)計初步中統(tǒng)計的第二種方法是繪制統(tǒng)計圖表，用這些圖表的反映數(shù)據的分情況，發(fā)展趨勢等。實際上就是通過“形”來

5、反映數(shù)據扮布情況，發(fā)展趨勢等。實際上就是通過“形”來反映數(shù)的特征，這是數(shù)形結合思想在實際中的直接應用。若ab0，則下列結論中正確的是（）（A）abababab（B）abababab（C）abababab（D）abababab已知O是ABC的內心，ODBC于D，且ABAC2BDDC。求證：A90。解方程：已知在平面直角坐標系內，O為坐標原點，A、B是軸正半袖上的兩點，點A在點B的左側，如圖。二次函數(shù)的圖象經過點A、B，與y軸相交于點C。1a、c的符號之間有何關系2如果線段OC的長度是線段OA、OB長度的比例中項，試證a、c互為倒數(shù)；3在2的條件下，如果b=4，AB=求a、c的值。3、分類討論思想

6、分類討論思想是指對一個問題出現(xiàn)的情況進行全面分析思考，將其區(qū)分為不同種類，克服思維的片面性，防止漏解。即根據題目的要求，將條件分為不重復、不遺漏的幾種情況，并逐一列出它們的解答。從整體上看，中學數(shù)學分代數(shù)、幾何兩大類，然后采用不同方法進行研究，就是分類思想的體現(xiàn)，從具體內容上看，初中數(shù)學中實數(shù)的分類、三角形的分類、方程的分類等等，學生要按不同的情況去對同一對象進行分類，掌握好分類的方法原則，形成分類的思想。當面臨的問題不宜用一種方法處理或同一種形式敘述時，就把問題按照一定的原則或標準分為若干類，然后逐類進行討論，再把這幾類的結論匯總，得出問題的答案，這種解決問題的思想方法就是分類討論的思想方法

7、。分類討論的思想方法的實質是把問題“分而治之，各個擊破”。其一般規(guī)則及步驟是：（1）確定同一分類標準；（2）恰當?shù)貙θw對象進行分類，按照標準對分類做到“既不重復又不遺漏”；（3）逐類討論，按一定的層次討論，逐級進行；（4）綜合概括小節(jié)，歸納得出結論。1解關于的方程2已知關于的方程2-22=0。求證：無論取何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根；若等腰ABC的一邊長a=1,另兩邊長b,c恰好是這個方程的兩個根，求ABC的周長。3已知AB為O的直徑，D為直徑AB上一動點（D不與點A,B重合），過D作CDAB交O于C，過C作O的切線，試求的代數(shù)式表示）。4、方程思想分析問題中的數(shù)量關系,尋找已知量與未知量之間的

8、相等關系。通過適當設元,利用已知條件、公式、定理中的已知結論來構造方程（組）,從而解決問題的一種思維方式。方程思想是把問題中的量劃分為已知量和未知量，并把這些量用字母表示（習慣上用表示未知量），將問題中的條件，量與量的關系列為方程或不等式，通過解方程或不等式，或利用方程的性質，不等式的性質使問題得以解決。1、牧場的青草,每天都生長一樣快,牧場的全部青草可以供給10頭牛吃20天,供給15頭牛吃10天,那么供給25頭牛可以吃幾天2、四邊形ABCD對角線相交于O點,且ABC、BCD、CDA、DAB的面積分別為5、9、10、6,求OAB、OBC、OCD及ODA的面積5、整體思想整體思想注重問題的整體結

9、構，將題中的某些元素或組合看成一個整體，從而化繁為簡，化難為易。把問題放到整體結構中去考慮，就可以開拓解題思路，優(yōu)化解題過程。從整體觀點出發(fā)，通過研究問題的整體形式、整體結構、整體特征，從而對問題進行整體處理的解題思想方法?；啠?/（a2）（a3）1/（a3）（a4）/1（a4）（a5）時按常規(guī)方法進行通分，顯然最簡公分母比較復雜，計算量較大。若從整體觀察分式的特征，可逆用分式加減法法則及規(guī)律公式1/n（n1）=1/n-1/（n1），將原分式分離變形。即原式=1/（a2）-1/（a3）1/（a3）-1/（a4）1/（a4）-1/（a5）=1/（a2）-1/（a5）=3/（a2）（a5）6、一

10、般到特殊和特殊到一般思想在由幾個簡單的、個別的、特殊的情況去研究、探索、歸納出一般的規(guī)律、性質或公式，再由一般的規(guī)律、性質或公式去得出簡單的、個別的、特殊的情況。如公式推導、圖形性質等。7、消元思想解方程組的基本思想是消元，將多元逐步變?yōu)槎?、一元方程來解決。8、建模思想實際問題數(shù)學模型數(shù)學模型的解實際問題的解所謂數(shù)學模型，是指用數(shù)學語言把實際問題概括地表述出來的一種數(shù)學結構實際問題數(shù)學模型數(shù)學模型的解實際問題的解數(shù)學中的建模思想是解決數(shù)學實際問題用得最多的思想方法之一，初中數(shù)學中常用的數(shù)學模型有：方程模型，函數(shù)模型，幾何模型，三角模型，不等式模型和統(tǒng)計模型等等。設計一條隧道，要使高4米，寬4

11、米的巨型載重車輛能單向通過，隧道上的縱斷面是如圖拋物線狀的拱，拱寬是高的4倍，求拱寬可以取得的最小整數(shù)值。（單位：米；）yCyCFADEOB9、類比思想所謂類比，就是兩個對象都有某些相同的屬性，并且其中一個對象還有另外的某些屬性作為前提，進而判斷出另一個對象也有這些屬性的思維形式。一些數(shù)學問題的解決思路常常是相通的，類比思想可以教會學生由此及彼，靈活應用所學知識。例如正方體有12條棱，怎么算的呢正方體由6個正方形封閉拼成，每個正方形4條邊，共24條邊，每兩邊重疊成一棱，于是46212（條）。那么小足球上有多少條短縫呢先數(shù)清楚小足球由32塊小皮縫成，其中黑的是五邊形有12塊；白的是六邊形有20塊

12、?？偣灿校?12620）條邊，兩條邊縫成一條短縫，于是有（512620）290（條）短縫。把實際問題歸結為數(shù)學問題去解決，類比思想能發(fā)揮獨特的作用。10、函數(shù)思想辯證唯物主義認為，世界上一切事物都是處在運動、變化和發(fā)展的過程中，這就要求我們教學中重視函數(shù)的思想方法。函數(shù)所揭示的是兩個變量之間的對應關系，通俗的講就是一個量的變化引起了另一個量的變化。在數(shù)學中總是設法將這種對應關系用解析式表示出來，這樣就能充分運用函數(shù)的知識、方法來解決有關的問題。雖然函數(shù)知識安排在初中后階段學習，但函數(shù)思想已經滲透到七、八年級數(shù)學教材的各個內容之中。例如學習進行求代數(shù)式的值的時，通過強調解題的第一步“當時”的依據

13、，滲透函數(shù)的思想方法字母每取一個值，代數(shù)式就有唯一確定的值。函數(shù)是將原來問題中的一些量轉化為變量和常量，并把這些量用字母（習慣用、y）表示，把量與量的關系抽象概括為函數(shù)模型，用運動、變化和對應的觀點，通過對函數(shù)模型的研究利用函數(shù)的性質，使問題獲得解決。函數(shù)是數(shù)學最重要的概念之一。它是量的側面反映著現(xiàn)實世界中運動、變化及相互聯(lián)系、相互制約的關系。在初中階段能利用解析式表示正、反比例函數(shù)、二次函數(shù)。在日常生活中，還存在著函數(shù)關系，它們多數(shù)是用圖像表示的。1把一塊邊長為20cm的正方形鐵皮，四角各截去邊長為cm的小正方形，再將它折成一個無蓋盒子。求這個盒子的容積V關于自變量的函數(shù)解析式，并說明的取值

14、范圍。2在RtABCBAC=90,AB=AC=2,點D在BC上運動（不能到達B、C），過D作ADE=45，DE交AC于E。設BD=，AE=y，求y關于的函數(shù)關系式，并寫出自變量取值范圍。問當ADE為等腰三角形時，求AE的長。11、統(tǒng)計思想（如用樣本估計總體的思想）用樣本估計總體是統(tǒng)計的基本思想，要通過抽樣調查，初步感受抽樣的必要性，并建立用樣本估計總體的思想。12、分解組合思想能把在內容和形式上，和教材上的公式、定理所需要具備的條件不完全一樣的數(shù)學問題，通過對問題的分解、拆割，或者合成、拼補等手段，將問題轉化為符合公式、定理所要求的形式，并運用公式、定理來加以解決。1、因式分解：；2、將兩塊三角板如圖放置，其中求重疊部分的面積。13、圖形運動思想初中圖形運動包含平移、翻折和旋轉，能通過實驗、操作、觀察和想象掌握運動的本質，在圖形的運動中找到不變量，然后解決問題。把一張邊長為2的正方形紙片ABCD折疊，使B落在AD上（不和A、B重合），MN為折痕，設a。求：（1）折起部分面積；（2）折痕MN的長。（用a的代數(shù)式表示）14、用字母表示數(shù)會用字母表示數(shù)，進行式的運算和討論一些數(shù)學問題。如會列方程解應用題，會用換元法，利用整體思想達到化簡解題過程或解決問題的目的等。用字母表示數(shù)的思想是