排列組合問題的求解策略

1、排列組合問題的求解策略 長陽職業(yè)教育中心 張庭松 楊子敬 主題詞 排列 組合 求解 摘 要要 計(jì)計(jì)數(shù)問題題是現(xiàn)實(shí)實(shí)生活中中最普遍遍排列與與組合問問題與現(xiàn)現(xiàn)實(shí)生活活密切相相關(guān)，有有關(guān)這類類問題的的解答的的基礎(chǔ)是是兩個計(jì)計(jì)數(shù)原理理，但是是在實(shí)際際求解過過程中必必須講究究解題策策略和方方法技巧巧。解答排列組組合問題題，首先先必須認(rèn)認(rèn)真審題題，明確確是屬于于排列問問題還是是組合問問題，或或者屬于于排列與與組合的的混合問問題，其其次要抓抓住問題題的本質(zhì)質(zhì)特征，靈靈活運(yùn)用用基本原原理和公公式進(jìn)行行分析解解答。同同時還要要注意講講究一些些策略和和方法技技巧，使使一些看看似復(fù)雜雜的問題題迎刃而而解。下下面介紹

2、紹幾種常常用的解解題方法法和策略略。一、合理分分類與準(zhǔn)準(zhǔn)確分步步法 解含含有約束束條件的的排列組組合問題題，應(yīng)按按元素性性質(zhì)進(jìn)行行分類，按按事情發(fā)發(fā)生的連連續(xù)過程程分步，保保證每步步獨(dú)立，達(dá)達(dá)到分類類標(biāo)準(zhǔn)明明確，分分步層次次清楚，不不重不漏漏。例1 、五五個人排排成一排排，其中中甲不在在排頭，乙乙不在排排尾，不不同的排排法有 （ ）A1200種 B96種種 C78種種 D72種種 分析：由題題意可先先安排甲甲，并按按其分類類討論：1）若若甲在末末尾，剩剩下四人人可自由由排，有有種排法法；2）若若甲在第第二，三三，四位位上，則則有種排排法，由由分類計(jì)計(jì)數(shù)原理理，排法法共有種種，選CC。解排列與組

3、組合并存存的問題題時，一一般采用用先選（組組合）后后排（排排列）的的方法解解答。例 2、 4個不不同小球球放入編編號為11，2，33，4的的四個盒盒中，恰恰有一空空盒的方方法有多多少種？分析： 因恰有有一空盒盒，故必必有一盒盒子放兩兩球。11）選：從四個個球中選選2個有有種，從從4個盒盒中選33個盒有有種；22）排：把選出出的2個個球看作作一個元元素與其其余2球球共3個個元素，對對選出的的3盒作作全排列列有種，故故所求放放法有種種。二、元素分分析與位位置分析析法對于有附加加條件的的排列組組合問題題，一般般采用：先考慮慮滿足特特殊的元元素和位位置，再再考慮其其它元素素和位置置。例3、 用用0，2

4、2，3，44，5，五五個數(shù)字字，組成成沒有重重復(fù)數(shù)字字的三位位數(shù)，其其中偶數(shù)數(shù)共有（ ）。24個 B。330個 C。440個 D。660個分析由由于該三三位數(shù)為為偶數(shù)，故故末尾數(shù)數(shù)字必為為偶數(shù)，又又因?yàn)?0不能排排首位，故故0就是是其中的的“特殊”元素，應(yīng)應(yīng)該優(yōu)先先安排，按按0排在在末尾和和0不排排在末尾尾分兩類類：1）00排末尾尾時，有有個，22）0不不排在末末尾時，則則有個，由由分?jǐn)?shù)計(jì)計(jì)數(shù)原理理，共有有偶數(shù)=30個個，選BB。例4、 馬馬路上有有8只路路燈，為為節(jié)約用用電又不不影響正正常的照照明，可可把其中中的三只只燈關(guān)掉掉，但不不能同時時關(guān)掉相相鄰的兩兩只或三三只，也也不能關(guān)關(guān)掉兩端端的

5、燈，那那么滿足足條件的的關(guān)燈方方法共有有多少種種？分析：表面面上看關(guān)關(guān)掉第11只燈的的方法有有6種，關(guān)關(guān)第二只只，第三三只時需需分類討討論，十十分復(fù)雜雜。若從從反面入入手考慮慮，每一一種關(guān)燈燈的方法法對應(yīng)著著一種滿滿足題設(shè)設(shè)條件的的亮燈與與關(guān)燈的的排列，于于是問題題轉(zhuǎn)化為為“在5只只亮燈的的4個空空中插入入3只暗暗燈”的問題題。故關(guān)關(guān)燈方法法種數(shù)為為。三、插空法法、捆綁綁法對于某幾個個元素不不相鄰的的排列問問題，可可先將其其他元素素排好，再再將不相相鄰元素素在已排排好的元元素之間間及兩端端空隙中中插入即即可。例5、7人人站成一一排照相相， 若若要求甲甲、乙、丙丙不相鄰鄰，則有有多少種種不同的的

6、排法？分析： 先先將其余余四人排排好有種種排法，再再在這人人之間及及兩端的的5個“空”中選三三個位置置讓甲乙乙丙插入入，則有有種方法法，這樣樣共有種種不同排排法。對于局部“小整體體”的排列列問題，可可先將局局部元素素捆綁在在一起看看作一個個元，與與其余元元素一同同排列，然然后在進(jìn)進(jìn)行局部部排列。例6、 77人站成成一排照照相，甲甲、乙、丙丙三人相相鄰，有有多少種種不同排排法？分析： 把把甲、乙乙、丙三三人看作作一個“元”，與其其余4人人共5個個元作全全排列，有有種排法法，而甲甲乙、丙丙、之間間又有種種排法，故故共有種種排法。四、總體淘淘汰法對于含有否否定字眼眼的問題題，可以以從總體體中把不不符

7、合要要求的除除去，此此時需注注意不能能多減，也也不能少少減。例如在例33中，也也可用此此法解答答：五個個數(shù)字組組成三位位數(shù)的全全排列有有個，排排好后發(fā)發(fā)現(xiàn)0不不能排首首位，而而且數(shù)字字3，55也不能能排末位位，這兩兩種排法法要除去去，故有有個偶數(shù)數(shù)。五、順序固固定問題題用“除法”對于某幾個個元素順順序一定定的排列列問題，可可先把這這幾個元元素與其其他元素素一同排排列，然然后用總總排列數(shù)數(shù)除以這這幾個元元素的全全排列數(shù)數(shù)。例7、 6個人人排隊(duì)，甲甲、乙、丙丙三人按按“甲-乙-丙丙”順序排排的排隊(duì)隊(duì)方法有有多少種種？分析： 不考慮慮附加條條件，排排隊(duì)方法法有種，而而其中甲甲、乙、丙丙的種排排法中只

8、只有一種種符合條條件。故故符合條條件的排排法有種種。六、構(gòu)造模模型 “隔板法法”對于較復(fù)雜雜的排列列問題，可可通過設(shè)設(shè)計(jì)另一一情景，構(gòu)構(gòu)造一個個隔板模模型來解解決問題題。例8、 方程aa+b+c+dd=122有多少少組正整整數(shù)解？分析：建立立隔板模模型：將將12個個完全相相同的球球排成一一列，在在它們之之間形成成的111個間隙隙中任意意插入33塊隔板板，把球球分成44堆，每每一種分分法所得得4堆球球的各堆堆球的數(shù)數(shù)目，對對應(yīng)為aa、b、cc、d的的一組正正整解，故故原方程程的正整整數(shù)解的的組數(shù)共共有。又如方程aa+b+c+dd=122非負(fù)整整數(shù)解的的個數(shù)；三項(xiàng)式式,四項(xiàng)式式等展開開式的項(xiàng)項(xiàng)數(shù)，

9、經(jīng)經(jīng)過轉(zhuǎn)化化后都可可用此法法解。七、分排問問題“直排法法”把幾個元素素排成前前后若干干排的排排列問題題，若沒沒有其它它的特殊殊要求，可可采取統(tǒng)統(tǒng)一排成成一排的的方法來來處理。例9、7個個人坐兩兩排座位位，第一一排3個個人，第第二排坐坐4個人人，則不不同的坐坐法有多多少種？分析：7個個人可以以在前兩兩排隨意意就坐，再再無其它它條件，故故兩排可可看作一一排來處處理，不不同的坐坐法共有有種。八、表格法法有些較復(fù)雜雜的問題題可以通通過列圖圖表使其其直觀化化。例10、99 人組組成籃球球隊(duì)，其其中7人人善打前前鋒，33人善打打后衛(wèi)，現(xiàn)現(xiàn)從中選選5人（兩兩衛(wèi)三鋒鋒，且鋒鋒分左、中中、右，衛(wèi)衛(wèi)分左右右）組隊(duì)

10、隊(duì)出場，有有多少種種不同的的組隊(duì)方方法？分析：由題題設(shè)知，其其中有11 人既既可打鋒鋒，又可可打衛(wèi)，則則只會鋒鋒的有66人，只只會衛(wèi)的的有2 人。列列表如下下：人數(shù)6人只會鋒鋒2人只會衛(wèi)衛(wèi)1人即鋒又又衛(wèi)結(jié)果不同選法32311（衛(wèi)）221（鋒）由表知，共共有種方方法。除了上述方方法外，有有時還可可以通過過設(shè)未知知數(shù)，借借助方程程來解答答，簡單單一些的的問題可可采用列列舉法等等。解此此類問題題常用的的數(shù)學(xué)思思想是：分類討討論的思思想，轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化思想想和對稱稱思想等等三種。排排列組合合是高中中數(shù)學(xué)的的重點(diǎn)和和難點(diǎn)之之一，也也是進(jìn)一一步學(xué)習(xí)習(xí)概率的的基礎(chǔ)。事事實(shí)上，許許多概率率問題也也可歸結(jié)結(jié)為排列列組合問問題。這這一類問問題不僅僅內(nèi)容抽抽象，解解法靈活活，而且且解題過過程極易易出現(xiàn)“重復(fù)”和“遺漏”的錯誤誤，這些些錯誤甚甚至不容容易檢查查出來，所所以解題題時要注注意不斷斷積累經(jīng)經(jīng)驗(yàn)，總總結(jié)解題題規(guī)