2020年湖南省常德市中考數(shù)學試卷（解析版）

第22頁（共22頁）2020年湖南省常德市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題8個小題，每小題3分，滿分24分）1．（3分）4的倒數(shù)為A． B．2 C．1 D．【分析】根據(jù)倒數(shù)的意義，乘積是1的兩個數(shù)叫做互為倒數(shù)，求倒數(shù)的方法，是把一個數(shù)的分子和分母互換位置即可，是帶分數(shù)的化成假分數(shù)，再把分子分母互換位置，據(jù)此解答．【解答】解：4的倒數(shù)為．故選：．【點評】本題主要考查倒數(shù)的意義．解題的關鍵倒數(shù)的意義，注意求倒數(shù)的方法，把分子分母互換位置．2．（3分）下面幾種中式窗戶圖形既是軸對稱又是中心對稱的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【解答】解：、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項正確；、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不合題意；故選：．【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后完全可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分完全重合．3．（3分）如圖，已知，，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和，，可以得到的度數(shù)，本題得以解決．【解答】解：作，，，，，，，，，，，故選：．【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，解答本題的關鍵是明確題意，利用平行線的性質(zhì)解答．4．（3分）下列計算正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)完全平方公式、合并同類項法則、同底數(shù)冪的乘除法計算得到結果，即可作出判斷．【解答】解：、，原計算錯誤，故此選項不符合題意；、與不是同類項不能合并，原計算錯誤，故此選項不符合題意；、，原計算錯誤，故此選項不符合題意；、，原計算正確，故此選項符合題意；故選：．【點評】此題考查了整式的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．5．（3分）下列說法正確的是A．明天的降水概率為，則明天的時間下雨，的時間不下雨 B．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，必有一次正面朝上 C．了解一批花炮的燃放質(zhì)量，應采用抽樣調(diào)查方式 D．一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)一定只有一個【分析】根據(jù)必然事件的概念、眾數(shù)的定義、隨機事件的概率逐項分析即可得出答案．【解答】解：、明天的降水概率為，則明天下雨可能性較大，故本選項錯誤；、拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，正面朝上的概率是，故本選項錯誤；、了解一批花炮的燃放質(zhì)量，應采用抽樣調(diào)查方式，故本選項正確；、一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)不一定只有一個，故本選項錯誤；故選：．【點評】本題考查了必然事件的概念、眾數(shù)的定義、求隨機事件的概率，解題的關鍵是熟練掌握眾數(shù)的定義以及求隨機事件的概率．6．（3分）一個圓錐的底面半徑，高，則這個圓錐的側面積是A． B． C． D．【分析】先利用勾股定理計算出母線長，然后利用扇形的面積公式計算這個圓錐的側面積．【解答】解：這個圓錐的母線長，這個圓錐的側面積．故選：．【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．7．（3分）二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列結論：①；②；③；④．其中正確結論的個數(shù)是A．4 B．3 C．2 D．1【分析】先由拋物線與周董交點個數(shù)判斷出結論①，利用拋物線的對稱軸為，判斷出結論②，先由拋物線的開口方向判斷出，進而判斷出，再用拋物線與軸的交點的位置判斷出，判斷出結論③，最后用時，拋物線在軸下方，判斷出結論④，即可得出結論．【解答】解：由圖象知，拋物線與軸有兩個交點，方程有兩個不相等的實數(shù)根，，故①正確，由圖象知，拋物線的對稱軸直線為，，，故③正確，由圖象知，拋物線開口方向向下，，，，而拋物線與軸的交點在軸的正半軸上，，，故②正確，由圖象知，當時，，，故④錯誤，即正確的結論有3個，故選：．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)圖形與系數(shù)的關系，拋物線與軸的交點，拋物線的對稱軸，掌握拋物線的性質(zhì)是解本題的關鍵．8．（3分）如圖，將一枚跳棋放在七邊形的頂點處，按順時針方向移動這枚跳棋2020次．移動規(guī)則是：第次移動個頂點（如第一次移動1個頂點，跳棋停留在處，第二次移動2個頂點，跳棋停留在處），按這樣的規(guī)則，在這2020次移動中，跳棋不可能停留的頂點是A．、 B．、 C．、、 D．、、【分析】設頂點，，，，，，分別是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移動了次后走過的總格數(shù)是，然后根據(jù)題目中所給的第次依次移動個頂點的規(guī)則，可得到不等式最后求得解．【解答】解：經(jīng)實驗或按下方法可求得頂點，和棋子不可能停到．設頂點，，，，，，分別是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移動了次后走過的總格數(shù)是，應停在第格，這時是整數(shù)，且使，分別取，2，3，4，5，6，7時，，3，6，3，1，0，0，發(fā)現(xiàn)第2，4，5格沒有停棋，若，設，2，代入可得，，由此可知，停棋的情形與時相同，故第2，4，5格沒有停棋，即頂點，和棋子不可能停到．故選：．【點評】本題考查規(guī)律型：圖形的變化類，理解題意能力，關鍵是知道棋子所停的規(guī)則，找到規(guī)律，然后得到不等式求解．二、填空題（本大題8個小題，每小題3分，滿分24分）9．（3分）分解因式：．【分析】原式提取，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式，故答案為：【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．10．（3分）若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得，再解即可．【解答】解：由題意得：，解得：，故答案為：．【點評】此題主要考查了二次根式和分式有意義的條件，關鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)．分式分母不為零．11．（3分）計算：．【分析】直接化簡二次根式進而合并得出答案．【解答】解：原式．故答案為：．【點評】此題主要考查了二次根式的加減運算，正確化簡二次根式是解題關鍵．12．（3分）如圖，若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，軸于，且的面積為6，則．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義即可解決問題．【解答】解：，，，反比例函數(shù)的圖象在二四象限，，，故答案為．【點評】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．13．（3分）4月23日是世界讀書日，這天某校為了解學生課外閱讀情況，隨機收集了30名學生每周課外閱讀的時間，統(tǒng)計如下：閱讀時間小時）人數(shù)12864若該校共有1200名學生，試估計全校每周課外閱讀時間在5小時以上的學生人數(shù)為400人．【分析】用總人數(shù)每周課外閱讀時間在5小時以上的學生人數(shù)所占的百分比即可得到結論．【解答】解：（人，答：估計全校每周課外閱讀時間在5小時以上的學生人數(shù)為400人．【點評】本題考查了頻數(shù)（率分布表，用樣本估計總體，正確的理解題意是解題的關鍵．14．（3分）今年新冠病毒疫情初期，口罩供應短缺，某地規(guī)定：每人每次限購5只．李紅出門買口罩時，無論是否買到，都會消耗家里庫存的口罩一只，如果有口罩買，他將買回5只．已知李紅家原有庫存15只，出門10次購買后，家里現(xiàn)有口罩35只．請問李紅出門沒有買到口罩的次數(shù)是4次．【分析】設李紅出門沒有買到口罩的次數(shù)是，買到口罩的次數(shù)是，根據(jù)買口罩的次數(shù)是10次和家里現(xiàn)有口罩35只，可列出關于和的二元一次方程組，求解即可．【解答】解：設李紅出門沒有買到口罩的次數(shù)是，買到口罩的次數(shù)是，由題意得：，整理得：，解得：．故答案為：4．【點評】本題考查了二元一次方程組在實際問題中的應用，本題數(shù)量關系清晰，難度不大．15．（3分）如圖1，已知四邊形是正方形，將，分別沿，向內(nèi)折疊得到圖2，此時與重合、都落在點），若，，則的長為12．【分析】設正方形的邊長為，由翻折及已知線段的長，可用含的式子分別表示出、及的長；在中，由勾股定理得關于的方程，解得的值，即為的長．【解答】解：設正方形的邊長為，由翻折可得：，，，，，，，，如圖1所示：在中，由勾股定理得：，，，，，（舍，．．故答案為：12．【點評】本題主要考查了翻折變換、正方形的性質(zhì)、勾股定理及解一元二次方程，數(shù)形結合并明確相關性質(zhì)及定理是解題的關鍵．16．（3分）閱讀理解：對于這類特殊的代數(shù)式可以按下面的方法分解因式：．理解運用：如果，那么，即有或，因此，方程和的所有解就是方程的解．解決問題：求方程的解為或或．【分析】將原方程左邊變形為，再進一步因式分解得，據(jù)此得到兩個關于的方程求解可得．【解答】解：，，，，則，即，或，解得或，故答案為：或或．【點評】本題主要考查因式分解的應用，因式分解是研究代數(shù)式的基礎，通過因式分解將多項式合理變形，是求代數(shù)式值的常用解題方法，具體做法是：根據(jù)題目的特點，先通過因式分解將式子變形，然后再進行整體代入．三、（本大題2個小題，每小題5分，滿分10分）17．（5分）計算：．【分析】先計算、、、，再按運算順序求值即可．【解答】解：原式．【點評】本題考查了零指數(shù)、負整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值等知識點，熟練掌握負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、二次根式的運算及特殊角的三角函數(shù)值是解決本題的關鍵．18．（5分）解不等式組．【分析】首先分別解出兩個不等式的解集，再根據(jù)解集的規(guī)律確定不等式組的解集．【解答】解：，由①得：，由②得：，不等式組的解集為：．【點評】此題主要考查了解一元一次不等式組，關鍵是掌握解集的確定方法：同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到．四、（本大題2個小題，每小題6分，滿分12分）19．（6分）先化簡，再選一個合適的數(shù)代入求值：．【分析】根據(jù)分式的減法和除法可以化簡題目中的式子，然后選取一個使得原分式有意義的值代入化簡后的式子即可解答本題．【解答】解：，當時，原式．【點評】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關鍵是明確分式化簡求值的方法．20．（6分）第5代移動通信技術簡稱，某地已開通業(yè)務，經(jīng)測試下載速度是下載速度的15倍，小明和小強分別用與下載一部600兆的公益片，小明比小強所用的時間快140秒，求該地與的下載速度分別是每秒多少兆？【分析】首先設該地的下載速度是每秒兆，則該地的下載速度是每秒兆，根據(jù)題意可得等量關系：下載600兆所用時間下載600兆所用時間秒．然后根據(jù)等量關系，列出分式方程，再解即可．【解答】解：設該地的下載速度是每秒兆，則該地的下載速度是每秒兆，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗：是原分式方程的解，且符合題意，，答：該地的下載速度是每秒4兆，則該地的下載速度是每秒60兆．【點評】此題主要考查了分式方程的應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，設出未知數(shù)列出方程．五、（本大題2個小題，每小題7分，滿分14分）21．（7分）已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過和兩點．（1）求一次函數(shù)的解析式；（2）若一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象只有一個交點，求交點坐標．【分析】（1）直接把，代入一次函數(shù)中可得關于、的方程組，再解方程組可得、的值，進而求出一次函數(shù)的解析式；（2）聯(lián)立一次函數(shù)解析式和反比例函數(shù)解析式，根據(jù)題意得到△，解方程即可得到結論．【解答】解：（1）把，代入一次函數(shù)，得，解得，一次函數(shù)的解析式為；（2）一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象只有一個交點，只有一組解，即有兩個相等的實數(shù)根，△，．把代入求得該方程的解為：，把代入得：，即所求的交點坐標為．【點評】此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，一元二次方程根的判別式，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關鍵．22．（7分）如圖1是自動卸貨汽車卸貨時的狀態(tài)圖，圖2是其示意圖．汽車的車廂采用液壓機構、車廂的支撐頂桿的底部支撐點在水平線的下方，與水平線之間的夾角是，卸貨時，車廂與水平線成，此時與支撐頂桿的夾角為，若米，求的長度．（結果保留一位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，，【分析】直接過點作于點，利用銳角三角函數(shù)關系得出的長，進而得出的長．【解答】方法一：解：如圖1，過點作于點，在中，，，在中，，，，答：所求的長度約為2.6米．方法二：解：如圖2，過點作于點，在中，，，即，，即，又在中，，，，答：所求的長度約為2.6米．【點評】此題主要考查了解直角三角形的應用，正確掌握銳角三角函數(shù)關系是解題關鍵．六、（本大題2個小題，每小題8分，滿分16分）23．（8分）今年月某市出現(xiàn)了200名新冠肺炎患者，市委根據(jù)黨中央的決定，對患者進行了免費治療．圖1是該市輕癥、重癥、危重癥三類患者的人數(shù)分布統(tǒng)計圖（不完整），圖2是這三類患者的人均治療費用統(tǒng)計圖．請回答下列問題．（1）輕癥患者的人數(shù)是多少？（2）該市為治療危重癥患者共花費多少萬元？（3）所有患者的平均治療費用是多少萬元？（4）由于部分輕癥患者康復出院，為減少病房擁擠，擬對某病房中的、、、、五位患者任選兩位轉(zhuǎn)入另一病房，請用樹狀圖法或列表法求出恰好選中、兩位患者的概率．【分析】（1）因為總人數(shù)已知，由輕癥患者所占的百分比即可求出其的人數(shù)；（2）求出該市危重癥患者所占的百分比，即可求出其共花費的錢數(shù)；（3）用加權平均數(shù)公式求出各種患者的平均費用即可；（4）首先根據(jù)題意列出表格，然后由表格求得所有等可能的結果與恰好選中、患者概率的情況，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）輕癥患者的人數(shù)（人；（2）該市為治療危重癥患者共花費錢數(shù)（萬元）；（3）所有患者的平均治療費用（萬元）；（4）列表得：由列表格，可知：共有20種等可能的結果，恰好選中、患者概率的有2種情況，（恰好選中、．【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計圖的應用．注意樹狀圖法與列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．24．（8分）如圖，已知是的直徑，是上的一點，是上的一點，于，交于，且．（1）求證：是的切線；（2）若，，圓的半徑，求切線的長．【分析】（1）連接，由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可得，可證是的切線；（2）由勾股定理可求，由銳角三角函數(shù)可求，可求，通過證明，可得，可求解．【解答】解：（1）連接，，，，，，，，，是的切線；（2）是的直徑，，，，，，，，，，，，，，，，，．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的有關性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識，證明是本題的關鍵．七、（本大題2個小題，每小題10分，滿分20分）25．（10分）如圖，已知拋物線過點．（1）求拋物線的解析式；（2）已知直線過點，，且與拋物線交于另一點，與軸交于點，求證：；（3）若點，分別是拋物線與直線上的動點，以為一邊且頂點為，，，的四邊形是平行四邊形，求所有符合條件的點坐標．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可解決問題．（2）構建方程組確定點的坐標，再利用平行線分線