【16、22用】等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)應(yīng)用

2.3.3

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的

【性質(zhì)與應(yīng)用】高二【16、22】專用吳川一中陳智敏知識(shí)回顧1.{an}為等差數(shù)列.

，an=，更一般的，an=，d=.

an+1-an=d2an+1=an+2+ana1+(n-1)dan=an+ba、b為常數(shù)am+(n-m)d2.等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn

=

=

.復(fù)習(xí)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式1、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系：例1、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？分析：所以當(dāng)n>1時(shí)，當(dāng)n=1時(shí)，也滿足上式。

因而，數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列。

3.Sn與之間的關(guān)系：

由的定義可知，當(dāng)n=1時(shí)，當(dāng)n≥2時(shí)，

第三課探究：如果一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其中p、q、r為常數(shù)，且，那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是多少？分析：由，得令p+q+r=2p–(p+q)，得r=0。

==所以當(dāng)r=0時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1=p+q，4.等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問(wèn)題一、例題：已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使得最大的序號(hào)n的值。分析：等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問(wèn)題1：數(shù)列{an}是等差數(shù)列，（1）從第幾項(xiàng)開(kāi)始有（2）求此數(shù)列前n項(xiàng)和的最大值練習(xí)：小結(jié)：{an}為等差數(shù)列，求Sn的最值。已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.解法1由S3=S11得∴d=－2∴當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49.7n113Sn能力提升已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=－2∴當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49.∴an=13+(n-1)×(-2)=－2n+15由得已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=－2<0∴當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49.則Sn的圖象如圖所示又S3=S11所以圖象的對(duì)稱軸為7n113Sn練習(xí)1:已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=26-2n,要使此數(shù)列的前n項(xiàng)和最大,則n的值為()A.12B.13C.12或13D.14C練習(xí)2:等差數(shù)列｛

an

｝中，

，則前n項(xiàng)和取最大值時(shí)，n為（）A．6 ； B．7；C．6或7；D．以上都不對(duì)；C1、數(shù)列{an}是等差數(shù)列，作業(yè)第四課性質(zhì)1:若Sm=p,Sp=m(m≠p),則Sm+p=性質(zhì)2:若Sm=Sp(m≠p),則Sp+m=0－(m+p)等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和的性質(zhì)兩等差數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系性質(zhì)3:若數(shù)列{an}與{bn}都是等差數(shù)列,且前n項(xiàng)的和分別為Sn和Tn,則例1.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.27B5.等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用例2.一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和為100,前100項(xiàng)的和為10,則它的前110項(xiàng)的和為

.－110例3.(09寧夏)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,則m=.10例4.兩等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和分別是Sn和Tn,且求和.課堂練習(xí)2.兩等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和分別是Sn和Tn,且練習(xí)解:

練習(xí)作業(yè)第46頁(yè)課本習(xí)題A組第4,5題第五課性質(zhì)4:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也在等差數(shù)列,公差為在等差數(shù)列{an}中,其前n項(xiàng)的和為Sn,則有性質(zhì)5:(1)若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n,則

S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1為中間兩項(xiàng)),此時(shí)有:S偶－S奇=,n2dnd等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和的性質(zhì)性質(zhì)6:若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n－1,則

S2n-1=(2n－1)an(an為中間項(xiàng)),

此時(shí)有:S偶－S奇=

,性質(zhì)7:

為等差數(shù)列.an例2.在等差數(shù)列{an}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=()A.85B.145C.110D.90A例1.一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)的和為354,其中項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的項(xiàng)的和之比為32:27,則公差為

.5例第六課例3.設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-7,則|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|=

.153等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用例8.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.(1)求公差d的取值范圍;(2)指出數(shù)列{Sn}中數(shù)值最大的項(xiàng),并說(shuō)明理由.解:(1)由已知得a1+2d=1212a1+6×11d>013a1+13×6d<0等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和的性質(zhì)(2)∵∴Sn圖象的對(duì)稱軸為由(1)知由上得即由于n為正整數(shù),所以當(dāng)n=6時(shí)Sn有最大值.∴Sn有最大值.作業(yè)求集合的元素個(gè)數(shù)，并求這些元素的和.作業(yè)1、已知等差數(shù)列25,21,19,…的前n項(xiàng)和為Sn,求使得Sn最大的序號(hào)n的值.2：已知在等差數(shù)列{an}中,a10=23,a25=-22,Sn為其前n項(xiàng)和.（1）問(wèn)該數(shù)列從第幾項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)？（2）求S10（3）求使Sn<0的最小的正整數(shù)n.(4)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值課堂小結(jié)1.根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和，求通項(xiàng)公式.2、結(jié)合二次函數(shù)圖象和性質(zhì)求的最值.3.等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和的性質(zhì)性質(zhì)1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也在等差數(shù)列,公差為在等差數(shù)列{an}中,其前n項(xiàng)的和為Sn,則有性質(zhì)2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),則Sm+p=性質(zhì)3:若Sm=Sp(m≠p),則Sp+m=性質(zhì)4:(1)若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n,則

S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1為中間兩項(xiàng)),此時(shí)有:S偶－S奇=,n2d0nd－(m+p)性質(zhì)8:(1)若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n－1,則

S2n-1=(2n－1)an(an為中間項(xiàng)),

此時(shí)有:S偶－S奇=

,兩等差數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系性質(zhì)10:若數(shù)列{an}與{bn}都是等差數(shù)列,且前n項(xiàng)的和分別為Sn和Tn,則性質(zhì)9:為等差數(shù)列.an 一個(gè)水池有若干出水量相同的水龍頭．如果所有水龍頭同時(shí)放水，那么24min可注滿水池．如果開(kāi)始時(shí)全部放開(kāi)，以后每隔相等的時(shí)間關(guān)閉一個(gè)水龍頭，到最后一個(gè)水龍頭關(guān)閉時(shí)，恰好注滿水池，而且最后一個(gè)水龍頭放水的時(shí)間恰好是第一個(gè)水龍頭放水時(shí)間的5倍，問(wèn)最后關(guān)閉的這個(gè)水龍頭放水多長(zhǎng)時(shí)間？本題可用等差數(shù)列前n項(xiàng)和知識(shí)建立方程求解．實(shí)際應(yīng)用【解題過(guò)程】

設(shè)共有n個(gè)水龍頭，每個(gè)水龍頭放水時(shí)間從小到大依次為x1，x2，…，xn.由已知可知x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1，∴數(shù)列{xn}成等差數(shù)列，∴x1＋xn＝48.又∵xn＝5x1，∴6x1＝48，∴x1＝8(min)，∴xn＝40(min)，故最后關(guān)閉的水龍頭放水40min.

【題后感悟】

解決實(shí)際問(wèn)題首先要審清題意，明確條件與問(wèn)題之間的數(shù)量關(guān)系，然后建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)解答數(shù)學(xué)問(wèn)題實(shí)現(xiàn)實(shí)際問(wèn)題的解決．常用的數(shù)學(xué)模型有函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、概念統(tǒng)計(jì)等．本題就是建立了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和這一數(shù)學(xué)模型，以方程為工具解決問(wèn)題的．

從4月1日開(kāi)始，有一新款服裝投入某商場(chǎng)銷售.4月1日該款服裝售出10件，第二天售出25件，第三天售出40件，以后每天售出的件數(shù)分別遞增15件，直到4月12號(hào)日

銷售量達(dá)到最大，然后，每天售出的件數(shù)分別遞減10件．(1)記從4月1日起該款服裝日銷售量為an，銷售天數(shù)為n，1≤n≤30，求an與n的關(guān)系；(2)求4月份該款服裝的總銷售量；(3)按規(guī)律，當(dāng)該商場(chǎng)銷售此服裝超過(guò)1200件時(shí)，社會(huì)上就開(kāi)始流行，當(dāng)此服裝的銷售量連續(xù)下降，且日銷售量低于100件時(shí)，則此服裝在社會(huì)上不再流行．試問(wèn)：該款服裝在社會(huì)上流行是否超過(guò)10天？說(shuō)明理由．解析：

(1)設(shè)從4月1日起該款服裝的日銷售量構(gòu)成數(shù)列{an}．由題意知，數(shù)列a1，a2，…，a12是首項(xiàng)為10，公差為15的等差數(shù)列，∴an＝15n