三角形的四心試題分析

三角形的四心習(xí)題及剖析一、單項(xiàng)選擇題1.（）△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，G為△ABC的重心，則△GAB面積：△GBC面積：△GAC面積＝(Ａ)1：2：3(Ｂ)1：3：2(Ｃ)2：1：3(Ｄ)1：1：1。答案：(Ｄ)剖析：∵G為△ABC的重心∴△GAB面積：△GBC面積：△GAC面積＝1：1：12.（）如圖，△ABC中，AB＝AC，兩腰上的中線訂交與G，若∠BGC＝90°，且BC＝2，則BE的長為多少？(Ａ)2(Ｂ)22(Ｃ)3(Ｄ)4。答案：(Ｃ)剖析：∵AB＝AC，且G為△ABC的重心∴BE＝CD∴BG＝CG又∵∠BGC＝90°，BC＝22∴BG＝BC＝22＝2∴BE＝3BG＝3×2＝33.（2222）如圖，等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BD＝CD＝5，O為△ABC的外心，則OD＝?????(Ａ)117(Ｂ)119(Ｃ)121(Ｄ)123。24242424答案：(Ｂ)??，AD＝22??????剖析：∵△ABC為等腰三角形，∴AD⊥BC13－5＝12，連接OB，令OD＝x,則OB＝OA＝AD－OD＝12－x（12－x）2＝x2＋52x＝119應(yīng)選(Ｂ)24（）如圖，D、E分別為A?B、A?C中點(diǎn)，?BE、CD?交于F，若斜線部分的面積為7，則△ACD的面積為多少？(Ａ)21(Ｂ)24(Ｃ)28(Ｄ)35。答案：(Ａ)剖析：連接BC?，則△BDF＝1△ABC而△ACD＝1△ABC△ACD＝3×7＝21平方公分應(yīng)選(Ａ)625.（）直角三角形ABC中，∠A＝90°，O為外心，G為重心，若AC＝6，AB＝8，則???24573333答案：(Ｃ)剖析：BC?＝62＋82＝10???1533（）如圖，△ABC中，?AB＝8，A?C＝6，B?C＝10，M為?BC中點(diǎn)，則A?M＝？(Ａ)5(Ｂ)5(Ｃ)10(Ｄ)5。233答案：(Ｄ)剖析：△ABC直角三角形∴M為外心，BM?＝M?C＝A?M＝10＝5應(yīng)選(Ｄ)27.（）由尺規(guī)作圖得知正三角形的外心、內(nèi)心、重心均在同一點(diǎn)，請問正三角形外接圓的面積是內(nèi)接圓面積的幾倍？(Ａ)2(Ｂ)3(Ｃ)3(Ｄ)4。2答案：(Ｄ)2＝22剖析：外心、內(nèi)心、重心皆在O點(diǎn)OAπ＝4應(yīng)選(Ｄ)2ODπ1（）如圖，△ABC中，G為重心，在AD上取一點(diǎn)G'，使得GD?＝G'D?＝4，若?CG＝6?(Ａ)24(Ｂ)36(Ｃ)48(Ｄ)72。，BG＝10，則△ABC的面積為何？答案：(Ｄ)剖析：△GG'B＝681＝24△ABC＝24×3＝72應(yīng)選(Ｄ)2??9.（）如圖，G為為△ABC的重心，現(xiàn)分別從A及G作垂線交BC于於A'及G'，則AA'?GG'＝？(Ａ)2：1(Ｂ)3：1(Ｃ)4：1(Ｄ)3：1。2答案：(Ｂ)1??應(yīng)選(Ｂ)3二：填空題如圖，G是直角△ABC的重心，∠ABC＝90°，且AB＝12，BC＝8，則△ABG的面積為【】。答案：16剖析：△ABC面積＝1∵G為△ABC之重心1△ABC面積＝1×8×12＝48∴△ABG面積＝×48＝23316G為正△ABC的重心，AD為BC之中線，BG＝16，則：(１)AC＝【】。(２)△CDG面積＝【】。答案：(１)163；(２)323剖析：(１)∵G為正△ABC的重心，BG＝16∴BE＝3×16＝24＝3AC∴AC＝24×2×3＝×2233163113×（1613×768＝323(２)△CDG面積＝△ABC面積＝×〔3）2〕＝×664643.有一正三角形其內(nèi)切圓的面積為

5π，則其外接

圓的面積＝【

】。答案：

20π剖析：∵正△的三心共點(diǎn)可推得外接圓面積＝內(nèi)切圓面積＝4：1

外接圓面積＝5×4＝20π如圖，G為重心，在AD上取一點(diǎn)G'，使得?GD＝G'D?＝2，且?CG＝3，B?G＝5，則△GG'B是直角三角形嗎？答：【】。答案：是????∴四邊形BGCG'為平行四邊形??剖析：∵GD＝GD'，BD＝DC故BG'＝CG＝3又?BG＝5，GG'?＝2×2＝4△GG'B邊長為3、4、5，故為直角三角形?】。5.正△ABC的邊長為10，在△ABC內(nèi)找一點(diǎn)P至三極點(diǎn)等距離，則AP＝【答案：1033剖析：∵正△的外心和重心同一點(diǎn)∴?AP＝2×高，又A?B＝10∴高＝10×3＝53故A?P＝2×53＝3231033如圖，△PQR中，∠Q＝90°，又∠QPR＝45°，已知G為△PQR的重心，若OG?＝a，則△PQR的周長＝【】。（以a表示）答案：6a＋62a剖析：OG?＝a，則?QO＝?PO＝?OR＝3a，?PR＝6a?PQ＝QR?＝6a＝32a2則△PQR周長＝32a＋32a＋6a＝6a＋62a7.如圖，AB＝BC，CD＝DE，若△ABF的面積為18，則△BCE的面積為【】。答案：54剖析：連接AE∵AB＝BC，CD＝DE∴F為△AEC的重心∴△BCE面積＝3△ABF面積＝3×18＝54如圖，△ABC中，D、E、F為各邊中點(diǎn)，∠A＝30°，AB＝8，AC＝6，則陰影部分面積為【】。答案：4剖析：BH＝1AB＝1×＝4∴△ABC面積＝1××＝∴斜線部分面積＝1△ABC面積＝1×＝2282641233124三、計算題如圖，△ABC為正三角形，G為重心，若AG＝20，請問：(１)AB＝？(２)△ABC面積為多少？答案：(１)∵AD＝3AG∴AD＝3×20＝30∵△ABC為正三角形∴AD＝223∴30＝3×，AB＝2×30＝60×3＝20323332(２)正△ABC面積＝3×2＝3×（203）2＝3×1200＝30034AB44答：(１)203；(２)3003如圖，△ABC中，A?B＝5，BC?＝12，A?C＝13，且G為重心，O為外心，試求GO?。?2?2222?2?∴△ABC為直角三角形，且AC為斜邊又O為外心∴外接圓半徑?OB＝1A?C＝1．13＝13222又G為重心∴GO?＝1?OB＝1．13＝133326如圖，△ABC中，G為重心，若GA?＝5，GB?＝12，GC?＝13，試求△ABC的面積?！????△GDC與△G'DB，答案：延長AD至G'，使得GD＝G'D，故GG'