2023全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模機(jī)器人避障問題優(yōu)秀論文模型

2023高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承諾書我們仔細(xì)閱讀了?全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽章程?和?全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽參賽規(guī)那么?〔以下簡稱為“競賽章程和參賽規(guī)那么〞，可從全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽網(wǎng)站下載〕。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式〔包括、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等〕與隊(duì)外的任何人〔包括指導(dǎo)教師〕研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽章程和參賽規(guī)那么的，如果引用別人的成果或其他公開的資料〔包括網(wǎng)上查到的資料〕，必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽章程和參賽規(guī)那么，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽章程和參賽規(guī)那么的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們授權(quán)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽組委會(huì)，可將我們的論文以任何形式進(jìn)行公開展示〔包括進(jìn)行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進(jìn)行正式或非正式發(fā)表等〕。我們參賽選擇的題號(hào)是〔從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫〕：D我們的參賽報(bào)名號(hào)為〔如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話〕：2418所屬學(xué)?！舱?zhí)顚懲暾娜常簠①愱?duì)員(打印并簽名)：1.黎仕東2.李兆海3.趙甜森指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人(打印并簽名)： 〔論文紙質(zhì)版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無需簽名。以上內(nèi)容請仔細(xì)核對，提交后將不再允許做任何修改。如填寫錯(cuò)誤，論文可能被取消評(píng)獎(jiǎng)資格?！橙掌冢耗?月25日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)〔由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)〕：2023高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編號(hào)專用頁賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)〔由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)〕：賽區(qū)評(píng)閱記錄〔可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用〕：評(píng)閱人評(píng)分備注全國統(tǒng)一編號(hào)〔由賽區(qū)組委會(huì)送交全國前編號(hào)〕：全國評(píng)閱編號(hào)〔由全國組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)〕：機(jī)器人避障問題模型摘要本文主要論述的是在一定區(qū)域里，在12種障礙物的情況下，機(jī)器人通過直線行走和圓弧轉(zhuǎn)彎，繞過障礙物，到達(dá)各目標(biāo)點(diǎn)的最短路徑距離，以及到達(dá)A點(diǎn)最短時(shí)間的問題。本文將路徑劃分為假設(shè)干個(gè)直線與圓弧結(jié)構(gòu)來求解。而對于途中繞過障礙物到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)，我們分成了兩種情況，一種是在所有轉(zhuǎn)彎處均采用最小轉(zhuǎn)彎半徑，另一種是在個(gè)別轉(zhuǎn)彎處適當(dāng)擴(kuò)大轉(zhuǎn)彎半徑，使得機(jī)器人能夠順利的通過拐彎處，到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)。然后再這兩種情況下建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。問題一，將各路徑分成直線與圓弧的結(jié)構(gòu)進(jìn)行求解，利用MATLAB軟件，同時(shí)結(jié)合CAD軟件計(jì)算出兩點(diǎn)之間存在的所有最短路徑，然后進(jìn)行整理，利用平面幾何方法建立最短路程的模型，最后求得最短路徑的最優(yōu)解并表示出來，結(jié)果是：O→A最短路徑為：L=470.7314O→B最短路徑為：L=852.7121O→C最短路徑為：L=1135.0452O→A→B→C→O最短路徑為：L=1886.1493問題二，我們研究的情形是當(dāng)繞過障礙物處的拐點(diǎn)為圓心，圓心固定，半徑變化時(shí)，我們可以利用平面幾何方法建立時(shí)間與半徑之間的函數(shù)關(guān)系，得出最優(yōu)解，當(dāng)R=10.682時(shí)，到A點(diǎn)最短時(shí)間路徑T=97.1698關(guān)鍵詞：最短路徑;平面幾何;MATLAB;AutoCAD;最優(yōu)化模型1問題重述圖1是一個(gè)800×800的平面場景圖，在原點(diǎn)O(0,0)點(diǎn)處有一個(gè)機(jī)器人，它只能在該平面場景范圍內(nèi)活動(dòng)。圖中有12個(gè)不同形狀的區(qū)域是機(jī)器人不能與之發(fā)生碰撞的障礙物，障礙物的數(shù)學(xué)描述如下表：編號(hào)障礙物名稱左下頂點(diǎn)坐標(biāo)其它特性描述1正方形(300,400)邊長2002圓形圓心坐標(biāo)(550,450)，半徑703平行四邊形(360,240)底邊長140，左上頂點(diǎn)坐標(biāo)(400,330)4三角形(280,100)上頂點(diǎn)坐標(biāo)(345,210)，右下頂點(diǎn)坐標(biāo)(410,100)5正方形(80,60)邊長1506三角形(60,300)上頂點(diǎn)坐標(biāo)(150,435)，右下頂點(diǎn)坐標(biāo)(235,300)7長方形(0,470)長220，寬608平行四邊形(150,600)底邊長90，左上頂點(diǎn)坐標(biāo)(180,680)9長方形(370,680)長60，寬12010正方形(540,600)邊長13011正方形(640,520)邊長8012長方形(500,140)長300，寬60在圖1的平面場景中，障礙物外指定一點(diǎn)為機(jī)器人要到達(dá)的目標(biāo)點(diǎn)〔要求目標(biāo)點(diǎn)與障礙物的距離至少超過10個(gè)單位〕。規(guī)定機(jī)器人的行走路徑由直線段和圓弧組成，其中圓弧是機(jī)器人轉(zhuǎn)彎路徑。機(jī)器人不能折線轉(zhuǎn)彎，轉(zhuǎn)彎路徑由與直線路徑相切的一段圓弧組成，也可以由兩個(gè)或多個(gè)相切的圓弧路徑組成，但每個(gè)圓弧的半徑最小為10個(gè)單位。為了不與障礙物發(fā)生碰撞，同時(shí)要求機(jī)器人行走線路與障礙物間的最近距離為10個(gè)單位，否那么將發(fā)生碰撞，假設(shè)碰撞發(fā)生，那么機(jī)器人無法完成行走。機(jī)器人直線行走的最大速度為個(gè)單位/秒。機(jī)器人轉(zhuǎn)彎時(shí)，最大轉(zhuǎn)彎速度為，其中是轉(zhuǎn)彎半徑。如果超過該速度，機(jī)器人將發(fā)生側(cè)翻，無法完成行走。請建立機(jī)器人從區(qū)域中一點(diǎn)到達(dá)另一點(diǎn)的避障最短路徑和最短時(shí)間路徑的數(shù)學(xué)模型。對場景圖中4個(gè)點(diǎn)O(0,0)，A(300,300)，B(100,700)，C(700,640)，具體計(jì)算：(1)機(jī)器人從O(0,0)出發(fā)，O→A、O→B、O→C和O→A→B→C→O的最短路徑。(2)機(jī)器人從O(0,0)出發(fā)，到達(dá)A的最短時(shí)間路徑。注：要給出路徑中每段直線段或圓弧的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)、圓弧的圓心坐標(biāo)以及機(jī)器人行走的總距離和總時(shí)間。圖1800×800平面場景圖2模型假設(shè)假設(shè)機(jī)器人在該平面場景內(nèi)為一點(diǎn)，不考慮機(jī)器人本身的體積大??；假設(shè)機(jī)器人本身的控制系統(tǒng)靈敏、運(yùn)行無故障；忽略機(jī)器人轉(zhuǎn)彎及直線行走的速度轉(zhuǎn)換的緩沖時(shí)間；假設(shè)機(jī)器人行走過程中不受外界因素干擾，為理想狀態(tài)；忽略機(jī)器人在節(jié)點(diǎn)處轉(zhuǎn)彎所需的時(shí)間和轉(zhuǎn)彎的路徑距離；3符號(hào)說明L路程長度T到A點(diǎn)的最短時(shí)間路徑R拐角轉(zhuǎn)彎半徑4問題分析問題一，我們從O(0,0)按照一定的行走方法并且繞過區(qū)域內(nèi)的障礙物到達(dá)各個(gè)節(jié)點(diǎn)，并且標(biāo)注出障礙物邊機(jī)器人行走的危險(xiǎn)區(qū)域，當(dāng)機(jī)器人碰到危險(xiǎn)區(qū)域時(shí)就以半徑為10的圓弧轉(zhuǎn)彎。我們根據(jù)CAD作圖求出各個(gè)切點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用Matlab軟件計(jì)算出最短距離，最后對多個(gè)模型的距離進(jìn)行比擬，得出O點(diǎn)到各個(gè)目標(biāo)點(diǎn)的最短距離。問題二，該問題討論機(jī)器人從出發(fā)點(diǎn)到A點(diǎn)的最短時(shí)間問題，此問我們討論了較為簡單的情況，將轉(zhuǎn)彎圓弧的圓心設(shè)在障礙物5的頂點(diǎn)上面，建立圓弧半徑與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，利用Matlab軟件對函數(shù)進(jìn)行作圖分析求出最優(yōu)解。5模型的建立與求解5.1問題一模型的建立與求解5.1.1建模過程本問題研究的是機(jī)器人從出發(fā)點(diǎn)到各個(gè)節(jié)點(diǎn)的最短路徑，由于機(jī)器人是以直線行走和圓弧拐彎，根據(jù)平時(shí)經(jīng)驗(yàn)可知兩點(diǎn)之間直線最短，故機(jī)器人走的直線越多那么路徑最短，在拐彎處，當(dāng)圓弧是以最短半徑轉(zhuǎn)彎時(shí)其轉(zhuǎn)彎半徑最短，因而以半徑為10的圓弧轉(zhuǎn)彎。1.模型一我們假設(shè)機(jī)器人在行走過程中，從起點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)無論障礙物有多少，都是直線行走只在水平方向和豎直方向，轉(zhuǎn)彎處均以半徑為10的圓弧轉(zhuǎn)彎。O→A有兩種走法：=1\*GB3①從O點(diǎn)出發(fā)豎直向上走到點(diǎn)〔0,280〕處，然后以半徑為10、圓心為〔10,280〕的圓弧轉(zhuǎn)彎到點(diǎn)〔10,290〕，再水平向又走到點(diǎn)〔290,290〕，最后以圓心為〔290,300〕，半徑為10轉(zhuǎn)彎走過四分之一到達(dá)A點(diǎn)，故機(jī)器人走過的路程L=591.4159；=2\*GB3②從O點(diǎn)水平向右走到點(diǎn)(260，0)處，然后半徑為10、圓心為〔260,10〕的圓弧轉(zhuǎn)彎到點(diǎn)〔270,10〕，再豎直向上走到點(diǎn)〔270,290〕，然后以圓心為〔280,290〕半徑為10的圓弧轉(zhuǎn)彎到點(diǎn)〔280,300〕，最后水平向右到達(dá)A點(diǎn)，故機(jī)器人走過的路程L=591.4159。所以知兩種走法的路程相同，均為591.4159。如圖1圖12.模型二從起點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)無論中間都多少障礙物，機(jī)器人向目標(biāo)點(diǎn)前進(jìn)，如果碰見障礙物，那么在障礙物頂點(diǎn)處以頂點(diǎn)為圓心，10為半徑的圓弧轉(zhuǎn)彎。機(jī)器人O→A走法為：從O點(diǎn)直線行走到點(diǎn)〔70.5060,213.1406〕，在以半徑為10圓心為〔80,210〕的圓弧轉(zhuǎn)彎到〔76.6064,219.4060〕，最后在直線行走到目標(biāo)點(diǎn)A出，其路程L=470.7314如圖2圖2綜上，比照模型一和模型二，模型二的行走路程更近，故我們選用模型二的方法來讓機(jī)器人到達(dá)各個(gè)目標(biāo)點(diǎn)。對問題一中，機(jī)器人從O(0,0)出發(fā)，O→A、O→B、O→C和O→A→B→C→O的最短路徑的路線情況如圖3：圖35.1.2建模的求解=1\*GB3①由上面分析可知機(jī)器人從O點(diǎn)到A點(diǎn)的最短路程L=470.7314=2\*GB3②機(jī)器人從O點(diǎn)到B點(diǎn)，可能短的路徑有三條，我們分別算出三條路徑的路程，最后進(jìn)行比擬得知，右邊那一條路徑最短，它是由三條直線和兩個(gè)圓弧組成的路線，路程L=852.7121，即O→B的最短路程L=852.7121=3\*GB3③從原點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)，有三條短路徑，通過計(jì)算、比擬路程大小得知下邊這一條路徑最短，這一條路徑是由三個(gè)圓弧和四條直線組成，其路程L=1135.0452=4\*GB3④O→A→B→C→O可將其分解成四局部O→A、A→B、B→C、C→O，將其算出最短路程，然后將各個(gè)距離之和即為O→A→B→C→O的最短路程，解得L=1886.1493路線起點(diǎn)坐標(biāo)終點(diǎn)坐標(biāo)圓弧圓心坐標(biāo)圓弧半徑圓弧上行走方向O→A線段1〔0,0〕〔70.5060,213.1406〕圓弧1〔70.5060,213.1406〕〔76.6064,219.4060〕〔80,210〕10順時(shí)針線段2〔76.6064,219.4060〕〔300,300〕O→B線段1〔0,0〕〔232.0084,50.1919〕圓弧1〔232.0084,50.1919〕〔240.0025,60.0879〕〔230,60〕10逆時(shí)針線段2〔240.0025,60.0879〕〔280.680,270.690〕圓弧2〔280.6802,70.690〕〔270.3378,688.5759〕(280,680)10逆時(shí)針線段3〔270.3378,688.5759〕(100,700)O→C線段1〔0,0〕〔232.0084,50.1919〕圓弧1〔232.0084,50.1919〕〔240.0025,60.0897〕〔80,230〕10逆時(shí)針線段2〔240.0025,60.0897〕〔410.5578,90.6902〕圓弧2〔410.5578,90.6902〕〔418.7257,94.3553〕〔300,300〕10逆時(shí)針線段3〔418.7257,94.3553〕〔419.6688,205.1425〕圓弧3〔419.6688,205.1425〕〔492.7094,206.9750〕〔220,530〕10逆時(shí)針線段4〔492.7094,206.9750〕〔728.1032，512.5828〕圓弧4〔728.1032，512.5828〕〔730.3963，520.8716〕〔150,600〕10逆時(shí)針線段5〔730.3963，520.8716〕〔730.144，597.4853〕圓弧5〔730.144，597.4853〕〔728.30272,606.6247〕〔720,600〕10順時(shí)針線段6〔728.3027,606.6247〕〔700,640〕5.2問題二模型的建立與求解本問題討論的是機(jī)器人到達(dá)A點(diǎn)的最短時(shí)間，由于從原點(diǎn)O〔0,0〕到A〔300,300〕，在這兩點(diǎn)之間有著障礙物5，因此機(jī)器人在向目標(biāo)點(diǎn)A行走過程中，不能直線到達(dá)，會(huì)有圓弧轉(zhuǎn)彎，由題中可知機(jī)器人在直線行走的最大速度為個(gè)單位/秒。機(jī)器人轉(zhuǎn)彎時(shí)，最大轉(zhuǎn)彎速度為：注：其中是轉(zhuǎn)彎半徑。我們知道在直線路段時(shí)行走速度越大所通過的路程所用時(shí)間越短。；那么有下面兩種走法；直線路段以最大速度行走〔即〕，轉(zhuǎn)彎時(shí)以最小半徑轉(zhuǎn)彎〔即〕，所以將，代入，運(yùn)用Matlab軟件解得v=2.5即當(dāng)轉(zhuǎn)彎半徑為時(shí)，轉(zhuǎn)彎速度為v=2.5直線路段以最大速度行走〔即〕，轉(zhuǎn)彎時(shí)以最大轉(zhuǎn)彎速度即最大行走速度轉(zhuǎn)彎〔超過該速度，機(jī)器人將發(fā)生側(cè)翻，無法完成行走，故取轉(zhuǎn)彎〕。那么有運(yùn)用Matlab軟件解得半徑P≤10.682；所以機(jī)器人轉(zhuǎn)彎速度最大時(shí)，算得轉(zhuǎn)彎半徑P=10.682根據(jù)的函數(shù)圖像可知：該函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)轉(zhuǎn)彎半徑越大時(shí)，機(jī)器人的轉(zhuǎn)彎速度越大。而本問中所求的是機(jī)器人到達(dá)A點(diǎn)的最短時(shí)間路徑，即為機(jī)器人最短時(shí)間到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)的路徑。即當(dāng)機(jī)器人直線行走速度和轉(zhuǎn)彎速度都是最大時(shí)，時(shí)間最短，故走法1不做考慮，取走法2進(jìn)行計(jì)算，由走法2我們知道轉(zhuǎn)彎半徑P=10.682，運(yùn)用CAD軟件算得轉(zhuǎn)彎的圓弧路程為h=10.249,直線路段路程為475.6，如圖由路程公式得；當(dāng)轉(zhuǎn)彎半徑P=10.682時(shí)，從O點(diǎn)到A點(diǎn)的最短時(shí)間路徑為T=97.1698模型的優(yōu)缺點(diǎn)分析模型優(yōu)點(diǎn)：本模型思想通俗易懂，具有較強(qiáng)的操作性、廣泛性的應(yīng)用價(jià)值。本模型中的線圓結(jié)構(gòu)采用CAD作圖，準(zhǔn)確性強(qiáng)，不會(huì)出現(xiàn)人為性誤差，會(huì)更加客觀、清晰。