應用多元分析主成分分析

優(yōu)選應用多元分析主成分分析第一頁，共四十八頁。主成分分析是考察多個數(shù)值變量間相關性的一種多元統(tǒng)計方法，它是研究如何通過少數(shù)幾個主成分來解釋多變量的方差—協(xié)方差結(jié)構(gòu)。導出幾個主成分，使它們盡可能多地保留原始變量的信息，且彼此間不相關。第二頁，共四十八頁。一、主成分分析的基本思想將原來眾多具有一定相關性的指標重新組合成一組新的相互無關的綜合指標來代替原來指標。以兩個指標為例，信息總量以總方差表示：第三頁，共四十八頁。Principalcomponentin2d第四頁，共四十八頁。One-dimensionalprojection第五頁，共四十八頁。其中y1、y2分別都是x1、x2的線性組合，并且信息盡可能地集中在y1上。在以后的分析中舍去y2，只用主成分y1來分析問題，起到了降維的作用。主成分分析就是通過適當?shù)淖兞刻鎿Q，使新變量成為原變量的線性組合，并尋求主成分來分析事物的一種方法。第六頁，共四十八頁。二、幾何解釋x1x2y1y2第七頁，共四十八頁。旋轉(zhuǎn)變換的目的是為了使得n個樣本點在y1軸方向上的離散程度最大，即y1的方差最大，變量y1代表了原始數(shù)據(jù)的絕大部分信息，在研究某經(jīng)濟問題時，即使不考慮變量y2也損失不多的信息。y1與y2除起了濃縮作用外，還具有不相關性。y1稱為第一主成分，y2稱為第二主成分。第八頁，共四十八頁。推廣開來，對于p維總體，尋求正交變換，使得在所有正交變換中，所選正交矩陣U，使最大；與不相關；并且在所有與不相關的變量中最大；與、不相關，同時在所有與、不相關的變量中最大；依次類推。

為總體的主成分，為第一主成分，為第二主成分…第九頁，共四十八頁。三、主成分分析的數(shù)學原理對原有變量作坐標變換，要求滿足：第十頁，共四十八頁。如果z1=u1’x滿足

則稱z1為第一主成分.如果z2=u2’x滿足

則稱z2為第二主成分.…第十一頁，共四十八頁?！?.2總體的主成分

設為一p維隨機向量，其二階矩存在，記為的特征值，為相應的單位特征向量，且相互正交。則yi為第i個主成分。一、主成分的導出第十二頁，共四十八頁。二、主成分的性質(zhì)1、主成分的均值與協(xié)方差記第十三頁，共四十八頁。

2、主成分的總方差

第十四頁，共四十八頁。3、原始變量與主成分的相關系數(shù)第十五頁，共四十八頁。4、m個主成分對原始變量的貢獻率的復相關系數(shù)的平方稱為m個主成分與第十六頁，共四十八頁。第十七頁，共四十八頁。第十八頁，共四十八頁。第十九頁，共四十八頁。其特征值為相應的特征向量為第二十頁，共四十八頁。0.0000.8550.0000.9961.0001.000-0.9250.8550.9980.9960.0000.000123I第二十一頁，共四十八頁。Proc

iml;X={1-2

0,-2

5

0,0

0

2};Val=eigval(x);Vec=eigvec(x);D=1:2;B=(val)[d,1];c=(vec)[,d];F1=(sqrt(inv(diag(X)))*vec*sqrt(diag(val)))[,d];F2=(f1#f1)[,1];F=diag(c*diag(b)*t(c))*inv(diag(x))*j(3,1);Printvalvecbcf1f2f;第二十二頁，共四十八頁。

VALVECBC5.8284271-0.38268300.92387955.8284271-0.382683020.923879500.382683420.923879500.171572901001

F1F2F-0.9238800.85355340.85355340.997484200.99497470.99497470101第二十三頁，共四十八頁。Dataw(type=cov);Inputx1x2x3;Cards;1-20-250002;Procprincompcov;Run;第二十四頁，共四十八頁。ThePRINCOMPProcedureObservations10000Variables3TotalVariance8EigenvaluesoftheCovarianceMatrixEigenvalueDifferenceProportionCumulative15.828427123.828427120.72860.728622.000000001.828427120.25000.978630.171572880.02141.0000EigenvectorsPrin1Prin2Prin3x1-.3826830.000000.923880x20.9238800.000000.382683x30.0000001.000000.000000第二十五頁，共四十八頁。第二十六頁，共四十八頁。第二十七頁，共四十八頁。第二十八頁，共四十八頁。主成分分析在經(jīng)濟指標綜合評價中的應用核心：通過主成分分析，選擇m個主成分y1,y2,…,ym，以每個主成分yi的方差貢獻率αi作為權(quán)數(shù)，構(gòu)造綜合評價函數(shù)，其中為第i個主成分的得分（求出主成分的表達式后，將標準化后的數(shù)據(jù)再代入yi中）

當把m個主成分得分代入F函數(shù)后，即可得到每個樣本的綜合評價函數(shù)得分，以得分的大小排序，可排列出每個樣本的經(jīng)濟效益的名次。第二十九頁，共四十八頁。5、原始變量對主成分的影響

稱為第i主成分在第j個原始變量上的載荷第三十頁，共四十八頁。

第三十一頁，共四十八頁。第三十二頁，共四十八頁。分析：y1主要由x3控制，y2主要由x1控制，y3主要由x2

控制Y1的貢獻率為：109.793/117=0.938x1,x2,x3之間的線性關系第三十三頁，共四十八頁。Dataw(type=cov);Inputx1x2x3;Cards;16230214304100;Procprincompcov;Run;第三十四頁，共四十八頁。三、從相關矩陣出發(fā)求主成分第三十五頁，共四十八頁。性質(zhì)：第三十六頁，共四十八頁。例7.2.3在例中，x的相關矩陣第三十七頁，共四十八頁。相應的主成分為：第三十八頁，共四十八頁?！?.3樣本的主成分設數(shù)據(jù)矩陣為第三十九頁，共四十八頁。樣本協(xié)方差矩陣為樣本相關矩陣為第四十頁，共四十八頁。

例

在制定服裝標準的過程中，對128名成年男子的身材進行了測量，每人測得的指標中含有：身高(x1)、坐高(x2)、胸圍(x3)、手臂長(x4)、肋圍(x5)和腰圍(x6)。所的樣本相關矩陣如下：X1X2X3X4X5X6

X1X2X3X4X5X61.000.791.000.360.311.000.760.550.351.000.250.170.640.161.000.510.350.580.380.631.00表7.3.1男子身材六項指標的樣本相關矩陣第四十一頁，共四十八頁。SAS程序dataexamp731(type=corr);inputx1-x6;cards;1.00.....0.791.00....0.360.311.00...0.760.550.351.00..0.250.170.640.161.00.0.510.350.580.380.631.00;procprincomp;Run;第四十二頁，共四十八頁。

TheSASSystem08:44Wednesday,November24,20061ThePRINCOMPProcedureObservations10000Variables6EigenvaluesoftheCorrelationMatrixEigenvalueDifferenceProportionCumulative13.287200781.880960730.54790.547921.406240040.947144960.23440.782230.459095080.032753350.07650.858840.426341730.131541600.07110.929850.294800130.168477900.04910.978960.126322230.02111.0000

Eigenvectors

Prin1Prin2Prin3Prin4Prin5Prin6x10.468906-.3647560.092208-.1224270.079696-.785645x20.403726-.3966060.6130110.326444-.0270350.443430x30.3935700.396800-.2788700.655713-.405232-.125342x40.407640-.364842-.704801-.1078290.2345850.370564x50.3374720.5692140.164251-.0192970.7305020.033531x60.4268220.3083690.119265-.660671-.4899410.178828第四十三頁，共四十八頁。

特征向量

0.469-0.3650.0920.404-0.3970.6130.3940.397-0.2970.408-0.365-0.7050.3370.5690.1640.4270.3080.119

特征值3.2871.4060.459

貢獻率0.5480.2340.077累計貢獻率0.5480.7820.859第四十四頁，共四十八頁。第四十五頁，共四十八頁。

例7.3.3測得八項男子徑賽運動紀錄，樣本相關矩陣如下：X1X2X3X4X5X6

X7X8X1X2X3X4X5X6

X7X8

1.0000.9231.0000.8410.8511.0000.7560.8070.8701.0000.7000.7750.8350.9181.0000.6190.6950.7790.8640.9281.0000.6330.6970.7870.8690.9350.9751.0000.5200.5960.7050.8060.8660.9320.9431.000第四十六頁，共四十八頁。dataexamp733(type=corr);inputx1-x8;cards;1.000.......0.9231.000......0.8410.8511.000....