拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

關(guān)于拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程第1頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四問(wèn)題探究：當(dāng)e=1時(shí)，即|MF|=|MH|

，點(diǎn)M的軌跡是什么？探究？

可以發(fā)現(xiàn),點(diǎn)M隨著H運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,始終有|MF|=|MH|,即點(diǎn)M與點(diǎn)F和定直線l的距離相等.點(diǎn)M生成的軌跡是曲線C的形狀.(如圖)

我們把這樣的一條曲線叫做拋物線.M·Fl·e=1幾何畫(huà)板觀察第2頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四第3頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程第4頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四M·Fl·e=1

在平面內(nèi),與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(不在直線上）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線.點(diǎn)F叫拋物線的焦點(diǎn),直線l叫拋物線的準(zhǔn)線|MF|=dd為M到l的距離準(zhǔn)線焦點(diǎn)d一、拋物線的定義:第5頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四M·Fl·e=1二、標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

思考：拋物線是軸對(duì)稱圖形嗎？怎樣建立坐標(biāo)系,才能使焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程更簡(jiǎn)捷?第6頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四1.建系2.設(shè)點(diǎn)3.列式4.化簡(jiǎn)l解：以過(guò)F且垂直于l的直線為x軸,垂足為K.以F,K的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系xoy.兩邊平方,整理得xKyoM(x,y)F依題意得5.檢驗(yàn)這就是所求的軌跡方程.y如圖，若以準(zhǔn)線所在直線為y軸，則焦點(diǎn)F(P,0),準(zhǔn)線L:x=0

由拋物線的定義，可導(dǎo)出拋物線方程為y2=2p(x-)(p＞0）p2第7頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四三、標(biāo)準(zhǔn)方程

把方程

y2=2px(p＞0)叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.其中

p為正常數(shù),表示焦點(diǎn)在

x軸正半軸上.且

p的幾何意義是:右焦點(diǎn)是：左準(zhǔn)線方程為:

一條拋物線，由于它在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置不同，方程也不同，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式.lxKyoM(x,y)F焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離第8頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四yxo﹒﹒yxoyxo﹒yxo﹒

圖形

焦點(diǎn)

準(zhǔn)線

標(biāo)準(zhǔn)方程第一:一次項(xiàng)的變量為x(或y),則x軸(或y軸)為拋物線的對(duì)稱軸,焦點(diǎn)就在對(duì)稱軸上.第二:一次項(xiàng)的系數(shù)的正負(fù)決定了開(kāi)口方向.

不容易錯(cuò)的最好方法是看看x(或y)的取值范圍即：焦點(diǎn)與一次項(xiàng)變量相同；正負(fù)決定開(kāi)口方向！

第9頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四例11）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=6x，求焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程；2）拋物線的方程是y=－6x2,求焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；3）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（0，-2）,求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。解:因焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上,且p=4,故其標(biāo)準(zhǔn)方程為:x=-8y232解：因?yàn)椋穑剑?，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為（－,０）32準(zhǔn)線方程為x=-－.解:方程可化為:故焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為第10頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程（1）（2）（3）（4）（5，0）x=-5（0，—）18y=-—188x=—5（-—，0）58（0，-2）y=2練習(xí)1求下列拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程（1）y2=20x（2）y=2x2（3）2y2+5x=0（4）x2+8y=0注意：求拋物線的焦點(diǎn)一定要先把拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)形式第11頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四練習(xí)2拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，根據(jù)下列條件，分別寫(xiě)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)是F（3，0）；（2）準(zhǔn)線方程是x=；（3）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2。y2=12xy2=xy2=4x、y2=-4x、x2=4y或x2=-4y反思：已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求其焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程先定位，后定量第12頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四．AOyx解:(1)當(dāng)焦點(diǎn)在y軸正半軸上時(shí)，把A(-3,2)代入x2=2py，得p=

(2)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上時(shí),把A(-3,2)代入y2=-2px，得p=∴拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=y或y2=x

。練習(xí)3拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4,－2)，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

提示：注意到P為第四象限的點(diǎn)，所以可以設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px或x2=-2py例2.求頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),且過(guò)A(-3,2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.第13頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四4a1∴焦點(diǎn)坐標(biāo)是（，0），準(zhǔn)線方程是：x=4a1例3已知拋物線方程為x=ay2（a≠0)，討論拋物線的開(kāi)口方向、焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程？解：拋物線的方程化為：y2=x1a即2p=1

a②當(dāng)a<0時(shí),,拋物線的開(kāi)口向左p2=14a∴焦點(diǎn)坐標(biāo)是（，0），準(zhǔn)線方程是：x=4a114a①當(dāng)a>0時(shí),,拋物線的開(kāi)口向右p2=14a第14頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四

思考:M是拋物線y2=2px（p＞0）上一點(diǎn)，若點(diǎn)M

的橫坐標(biāo)為x0，則x0+—2pOyxFM這就是拋物線的焦半徑公式!yxoFMyxoFMyxoFMx0–(–—)2p第15頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四例4拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，拋物線上的橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離等于6，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.y2=2px(p>0)由拋物線的定義知3-(-)=6,即p=6.數(shù)形結(jié)合,用定義轉(zhuǎn)化條件,解:因?yàn)槭墙裹c(diǎn)在x

軸上且過(guò)M點(diǎn)的拋物線,所以設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=12x變式：拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，拋物線上的點(diǎn)M(3,m)到焦點(diǎn)的距離等于6，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.OyxFMx0–(–—)2p第16頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作x軸的垂線交拋物線與Ａ、Ｂ兩點(diǎn)，且。34頁(yè)作業(yè)9第17頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四變式2平面上到定點(diǎn)和到定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡為()(A)直線(B)拋物線(C)雙曲線(D)橢圓變式3點(diǎn)M與點(diǎn)F(2，0)的距離比它到直線l:x+4=0的距離小2,求點(diǎn)M的軌跡方程?例5平面上到定點(diǎn)和到定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡為()(A)直線(B)拋物線(C)雙曲線(D)橢圓變式1平面上到定點(diǎn)和到定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡為()(A)直線(B)拋物線(C)雙曲線(D)橢圓OyxFM35頁(yè)作業(yè)11第18頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四第2課時(shí)第19頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四準(zhǔn)線方程焦點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置

圖

形不同位置的拋物線

x軸的正方向

x軸的負(fù)方向

y軸的正方向

y軸的負(fù)方向y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pyF(----yxo﹒﹒yxoyxo﹒yxo﹒第20頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四OyxFMyxoFMyxoFMyxoFMx0–(–—)2p拋物線的焦半徑公式第21頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四例1拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，拋物線上的橫坐標(biāo)為-3的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離等于5，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.y2=-8x變式１：拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，拋物線上的點(diǎn)M(-3,m)到焦點(diǎn)的距離等于5，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求m的值.OyxFM—–x0

2p變式２：在拋物線y2=-8x上，到焦點(diǎn)的距離等于5的點(diǎn)的坐標(biāo).35頁(yè)作業(yè)10第22頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四第23頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四36頁(yè)作業(yè)8(改)35頁(yè)作業(yè)5（改）第24頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四37頁(yè)作業(yè)7（改）練習(xí)第25頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四后備練習(xí).已知拋物線x2=4y的焦點(diǎn)F和點(diǎn)A(-1，8)，P為拋物線上一點(diǎn)，則|PA|+|PF|的最小值是()(A)16(B)6(C)12(D)9D第26頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四第3課時(shí)第27頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四直線與拋物線位置關(guān)系種類(lèi)xyO1、相離:2、相切:3、相交:（一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)）（一個(gè)交點(diǎn)）（沒(méi)有交點(diǎn)）第28頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四(0,1)第29頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四判斷直線是否與拋物線的對(duì)稱軸平行不平行直線與拋物線相交(一個(gè)交點(diǎn))平行

計(jì)算判別式>0=0<0相交相切相離(0,1)第30頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四K=1/2K=0K=-1若直線l與拋物線有公共點(diǎn),l在y軸上截距的最小值?第31頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四變式1:已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程y2=4x,求函數(shù)的最值變式3:點(diǎn)(x,y)在拋物線y2=4x上運(yùn)動(dòng),求函數(shù)z=x-y的最值.本題轉(zhuǎn)化為過(guò)定點(diǎn)(-2,1)的直線與拋物線有公共點(diǎn)時(shí)斜率的最值問(wèn)題.本題轉(zhuǎn)化為直線y=x-z與拋物線有公共點(diǎn)時(shí)z的最值問(wèn)題.無(wú)最大值變式2:點(diǎn)(x,y)在橢圓x2/4+y2=1上運(yùn)動(dòng),求點(diǎn)(0,-2)與橢圓上任一點(diǎn)連線的斜率k的范圍.第32頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四第33頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四第34頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四第4課時(shí)第35頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四例１斜率為1的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn),與拋物線相交于A,B,求線段AB的長(zhǎng)。

yxo∴|AB|==8方法(1)

解：如圖:由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知,拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0),所以直線AB的方程為即A,B的坐標(biāo)分別為:

(,)(,)

解得,

得①②由代入方程①問(wèn)題(1)試問(wèn)還有其他方法或更簡(jiǎn)捷一點(diǎn)的解法么?方法(2)

(弦長(zhǎng)公式)|AB|=第36頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四yxo方法(3)由拋物線定義|AB|=|AF|+|BF|問(wèn)題(1)試問(wèn)還有其他方法或更簡(jiǎn)捷一點(diǎn)的解法么?

=|AA′|+|BB′|==8

A′B′方法(４)焦半徑公式例１斜率為1的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn),與拋物線相交于A,B,求線段AB的長(zhǎng)。

第37頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四|PF|=x0+p/2FP拋物線的焦半徑公式：FPFPFP|PF|=-x0+p/2|PF|=y0+p/2|PF|=-y0+p/2第38頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四xyOFABB’A’方法(４)焦半徑公式例１斜率為1的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn),與拋物線相交于A,B,求線段AB的長(zhǎng)。

第39頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四§

拋物線的焦點(diǎn)弦

問(wèn)題（2）從方法（4）中你能得到什么結(jié)論？

過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)則|AB|=問(wèn)題（3）能否把例（2）推廣到一般性的命題呢？

斜率為k的直線經(jīng)過(guò)拋物線(p>0)的焦點(diǎn)，與拋物線相交于A，B，求線段AB的長(zhǎng)。（用k,p表示）解：設(shè)直線AB的方程為

x1+x2+p∴|AB|=即:()y2=2px消y得:由第40頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四斜率為k的直線經(jīng)過(guò)拋物線(p>0)的焦點(diǎn)，與拋物線相交于A，B，求線段AB的長(zhǎng)。（用k,p表示）解：設(shè)直線AB的方程為()

y2=2px

消y得:

即:

|AB|=

由此可得,即通徑.問(wèn)題(4):把上題中的斜率k換成直線的傾斜角呢?(0<<)通徑是拋物線的焦點(diǎn)弦中最短的弦.xOyFP(分類(lèi)討論合并，即分斜率存在或不存在)第41頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四練習(xí).過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，作直線L交拋

物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的橫

坐標(biāo)為3，則|AB|=______.8焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度公式第42頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四焦半徑公式例１斜率為1的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn),與拋物線相交于A,B,求線段AB的長(zhǎng)。

第43頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四斜率為k的直線經(jīng)過(guò)拋物線(p>0)的焦點(diǎn)，與拋物線相交于A，B，求線段AB的長(zhǎng)。（用k,p表示）解：設(shè)直線AB的方程為()

y2=2px

消y得:

即:

命題:如果過(guò)拋物線(p>0)的焦點(diǎn)的一條直線和此拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)，則x1x2=p2/4,y1y2=-p2第44頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四第5課時(shí)第45頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四xy問(wèn)題(6):過(guò)拋物線(p>0)焦點(diǎn)的一條直線與它相交于A,B兩點(diǎn),經(jīng)過(guò)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交準(zhǔn)線于點(diǎn)C

(2001高考題－作業(yè)本３９頁(yè)第８題)設(shè)拋物線(p>0)的焦點(diǎn)F,經(jīng)過(guò)F的直線交拋物線A,B兩點(diǎn),點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上,且BC∥x軸,證明:AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.那么BC與拋物線的對(duì)稱軸有什么關(guān)系呢?(證KOC=KOA)∴BC平行于對(duì)稱軸.(的結(jié)論略證)

當(dāng)時(shí)

(x2,y2)(x1,y1)則直線OA的方程證明:設(shè)A(),B(),C()第46頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四問(wèn)題(6):有什么幾何意義呢?

(x1,y1)(x2,y2)xyF′B′A′結(jié)論:Q(2)以Q為圓心,以A′B′為直徑的圓切AB于F點(diǎn).

△AQA′與△AQF全等第47頁(yè)，共57頁(yè)，2022年，5月20日，22點(diǎn)20分，星期四問(wèn)題(6):有什么幾何意義呢?(x1,y1)(x2,y2)xyF′B′A′結(jié)論:Q(2)以Q為圓心,以為直

徑的圓切AB于F點(diǎn).P(3)以P為圓心以AB為直徑的圓切A’B’于Q點(diǎn)

QP=1/2(AA′+BB′