6章抽樣分布與參數(shù)估計

《統(tǒng)計學教程》第6章抽樣分布與參數(shù)估計

第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.1抽樣分布布6.3單一總體體參數(shù)的的區(qū)間估估計6.1..1總體、個個體和樣樣本6.3..1總體均值值的區(qū)間間估計6.1..2大數(shù)定律律和中心心極限定定理6.3..2總體比例例的區(qū)間間估6.1..3三種分布布6.3..3總體方差差的區(qū)間間估計6.1..4樣本均值值的抽樣樣分布6.4兩個總體體參數(shù)的區(qū)間估估計6.1..5樣本比例例的抽樣樣分布6.4..1兩個總體體均值之之差的6.1..6樣本方差差的抽樣樣分布區(qū)間估計計6.1..7兩個總體體樣本統(tǒng)統(tǒng)計量的的抽樣分分布6.4..2兩個總體體比例之之差的6.2參數(shù)估計計的一般般問題區(qū)間估計計6.2..1估計量和和估計值值6.4..3兩個總體體方差比比值的6.2..2點估計區(qū)間估計計6.2..3點估計量量的評價價準則6.2..4區(qū)間估計計/7:50PM第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.1抽樣分布布《統(tǒng)計學教教程》盧小廣《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.1抽樣分布布6.1..1總體、個個體和樣樣本總體（Population）是指所研研究的事事物及其其現(xiàn)象的的全體，，由該事事物及其其現(xiàn)象的的全部個個體組成成。個體（ItemUnit）是指構成成總體的的元素。?？傮w容量量（PopulationSize）是指構成成總體的的全部個個體的數(shù)數(shù)量。樣本（Sample）是指從總總體抽取取的若干干個體構構成的集集合。抽樣（Sampling）是指按照照具體的的抽樣方方法和抽抽樣設計計，從總總體中抽抽取若干干個體的的過程。。樣本容量量（Samplesize）是指構成成樣本的的全部個個體的數(shù)數(shù)量。

/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.1抽樣分布布6.1..1總體、個個體和樣樣本總體（Population）是指所研研究的事事物及其其現(xiàn)象的的全體，，由該事事物及其其現(xiàn)象的的全部個個體組成成。個體（ItemUnit）是指構成成總體的的元素?？傮w容量量（PopulationSize）是指構成成總體的的全部個個體的數(shù)數(shù)量。樣本（Sample）是指從總總體抽取取的若干干個體構構成的集合。抽樣（Sampling）是指按照照具體的的抽樣方方法和抽抽樣設計計，從總總體中抽抽取若干干個體的的過程。。樣本容量量（Samplesize）是指構成成樣本的的全部個個體的數(shù)數(shù)量?！镉懻撜擃}請用經(jīng)濟濟管理中中的實例例，解釋釋上述的的總體、、個體和和樣本等等概念。。/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.1抽樣分布布6.1..2大數(shù)定律律和中心心極限定定理1．大數(shù)定定律在對客觀觀事物及及其現(xiàn)象象進行觀觀測和實實驗中，，隨著觀觀測或實實驗的次次數(shù)增多多，事件件發(fā)生的的頻率和和均值逐逐漸地趨趨于某個個常數(shù)。。（1）貝努利利定理（（BernoulliTheorem）（6.1）

貝努利定定理表明明事件發(fā)發(fā)生的頻頻率依概概率收斂斂于事件件發(fā)生的的概率。。從而以以嚴格的的數(shù)學形形式表述述了頻率率的穩(wěn)定定性特征征，即n當很大時時，事件件發(fā)生的的頻率與與概率之之間出現(xiàn)現(xiàn)較大的的偏差的的可能性性很小。。由此，，在n充分大的的場合，，可以用用事件發(fā)發(fā)生的頻頻率來替替代事件件的概率率。/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.1抽樣分布布（2）車比雪雪夫定理理（ChebyshevTheorem）設隨機變變量相互互獨立，，且具有有相同的的有限的的數(shù)學期期望和方方差，對對于任意意正整數(shù)數(shù)有（6.2）稱序列依依概率收收斂于總總體均值值。即當當n充分大時時，車比比雪夫不不等式幾幾乎都是是成立的的；當n趨于無窮窮大時，，n個隨機變變量的均均值趨于于總體均均值。/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.1抽樣分布布2．中心極極限定理理在客觀現(xiàn)現(xiàn)實中，，有許多多隨機變變量是由由大量的的相互獨獨立的隨隨機因素素的綜合合影響而而形成的的，任何何一個因因素在總總的影響響中的作作用都是是微小的的，這種種隨機變變量往往往近似地地服從正正態(tài)分布布。中心極限限定理（（CentralLimitTheorem）反映了隨隨機變量量近似地地服從正正態(tài)分布布的特征征。中心心極限定定理是大大樣本推推斷的理理論基礎礎。獨立同分分布的中中心極限限定理是是應用最最多的一一種中心心極限定定理。設設隨機變變量相互互獨立，，服從同同一分布布，且具具有相同同的有限限的數(shù)學學期望和和方差，，則（6.3）/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.1抽樣分布布2．中心極極限定理理在客觀現(xiàn)現(xiàn)實中，，有許多多隨機變變量是由由大量的的相互獨獨立的隨隨機因素素的綜合合影響而而形成的的，任何何一個因因素在總總的影響響中的作作用都是是微小的的，這種種隨機變變量往往往近似地地服從正正態(tài)分布布。中心極限限定理（（CentralLimitTheorem）反映了隨隨機變量量近似地地服從正正態(tài)分布布的特征征。中心心極限定定理是大大樣本推推斷的理理論基礎礎。獨立同分分布的中中心極限限定理是是應用最最多的一一種中心心極限定定理。設設隨機變變量相互互獨立，，服從同同一分布布，且具具有相同同的有限限的數(shù)學學期望和和方差，，則（6.3）★討論論題大數(shù)定律律和中心心極限定定理對于于參數(shù)估估計的意意義。/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.1抽樣分布布6.1..3三種分布布1．總體分分布總體分布布（PopulationDistribution）是指由客客觀存在在的，構構成總體體的個體體所形成成的頻數(shù)數(shù)分布，，及其相相關參數(shù)數(shù)數(shù)值。。例如，，當研究究某一企企業(yè)職工工收入情情況時，，該企業(yè)業(yè)全體職職工的收收入狀況況的頻數(shù)數(shù)分布，，以及反反映該企企業(yè)全體體職工收收入狀況況的均值值、方差差、偏態(tài)態(tài)系數(shù)和和峰度系系數(shù)，從從不同角角度綜合合描述了了這一總總體的分分布特征征。我們往往往是通過過對構成成總體的的部分個個體進行行觀察，，即通過過樣本數(shù)數(shù)據(jù)計算算的統(tǒng)計計量，例例如樣本本均值、、樣本方方差、樣樣本偏態(tài)態(tài)系數(shù)和和樣本峰峰度系數(shù)數(shù)，以及及樣本的的頻數(shù)分分布來推推斷總體體參數(shù)，，用樣本本分布來來估計總總體分布布。/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.1抽樣分布布2．樣本分分布樣本分布布（SampleDistribution）是指由構構成樣本本的個體體所形成成樣本的的頻數(shù)分布布，以及及計算出出來的相相關統(tǒng)計計量。樣本中的的個體都都是來自自于總體體，具有有總體的的相關信信息和基基本特征征，樣本本分布是是總體分分布的一一個映象象，一個個縮影。。當樣本容量量充分大時時，樣本本分布趨趨近于總總體分布布。樣本分布布是指某某一個具具體的樣樣本中的的個體數(shù)數(shù)量特征征。由于樣樣本是隨隨機抽取取的，每每一次抽抽取的樣樣本中的的個體不不盡相同同，每一一個具體體的樣本本分布也也會與對對應的總總體分布布存在或或大或小小的偏誤誤，根據(jù)據(jù)樣本計計算的統(tǒng)統(tǒng)計量是是隨機變變量。（隨機抽抽取的））樣本的的分布與與客觀的的總體分分布之間間的誤差差，需要要借助抽抽樣分布布概念。。/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.1抽樣分布布3．抽樣分分布抽樣分布布（SamplingDistribution）是指從同同分布總總體中，，獨立抽抽取的相相同樣本本容量的的樣本統(tǒng)計計量的概率分布布。所以，，抽樣分布布是樣本本分布的的概率分分布，抽抽樣分布布是抽樣樣理論的的研究對對象。抽樣分布布反映了了依據(jù)樣樣本計算算出來的的統(tǒng)計量量數(shù)值的的概率分分布，這這是科學學地進行行統(tǒng)計推推斷的基基礎。例例如，在在大樣本本場合，，由中心心極限定定理有樣樣本均值值趨于正正態(tài)分布布。/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.1抽樣分布布3．抽樣分分布抽樣分布布（SamplingDistribution）是指從同同分布總總體中，，獨立抽抽取的相相同樣本本容量的的樣本統(tǒng)計計量的概率分分布。所所以，抽樣分布布是樣本本分布的的概率分分布，抽抽樣分布布是抽樣樣理論的的研究對對象。抽樣分布布反映了了依據(jù)樣樣本計算算出來的的統(tǒng)計量量數(shù)值的的概率分分布，這這是科學學地進行行統(tǒng)計推推斷的基基礎。例例如，在在大樣本本場合，，由中心心極限定定理有樣樣本均值值趨于正正態(tài)分布布?！镉懻撜擃}為什么說說抽樣分分布是抽抽樣理論論研究的的對象，，解釋三三種分布布之間的的聯(lián)系。。/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.1抽樣分布布6.1..4樣本均值值的抽樣樣分布1．大樣本本場合下下的樣本本均值抽抽樣分布布在反復抽抽取容量量相同的的獨立同同分布樣樣本條件件下，所所得到的的樣本均均值的概概率分布布稱為樣樣本均值值的抽樣樣分布。。在樣本本容量充充分大的的情況下下，即大大樣本場場合，樣樣本均值值依據(jù)中中心極限限定理趨趨于正態(tài)態(tài)分布。。所謂獨立立同分布布樣本為為從無限限總體中中隨機抽抽取的等等概樣本本，或從從有限總總體中以以放回方方式，隨隨機抽取取的等概概樣本。。所謂大樣樣本是指指能夠滿滿足中心心極限定定理要求求，使樣樣本均值值趨于正正態(tài)分布布的樣本本容量。。在統(tǒng)計計實踐中中一般稱稱樣本容容量大于于30即為大樣樣本這只只是一個個粗略的的經(jīng)驗數(shù)數(shù)值。有離散變變量樣本本均值的的計算公公式（6.4）

/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.1抽樣分布布在樣本容容量充分分大的場場合下，，樣本均均值漸進進地趨于于數(shù)學期期望為總總體均值值，方差差為總體體方差的的n分之一的的正態(tài)分分布，即即樣本均值值的數(shù)學學期望為為總體均均值，表表明從平平均的觀觀點來看看，用樣樣本均值值估計總總體均值值不存在在偏差，，即具有有無偏性性；樣本本均值的的方差為為總體方方差的n分之一，，表明只只要總體體方差是是有限的的，那么么隨著樣樣本容量量的增大大，樣本本均值的的方差相相應減小小，用樣樣本均值值估計總總體均值值的誤差差也相應應減小。。同時可可以由總總體方差差和樣本本容量，，精確地地計算出出這一樣樣本均值值的方差差，并且且用這一一樣本方方差度量量使用樣樣本均值值估計總總體均值值的誤差差。通過對樣樣本均值值的標準準化處理理，在用用樣本均均值估計計總體均均值時，，可以使使用標準準正態(tài)分分布來計計算抽樣樣誤差出出現(xiàn)的概概率。/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.1抽樣分布布例6.1在一次研研究某一一企業(yè)職職工收入入情況的的調查中中，準備備從該企企業(yè)隨機機抽取100個職工個個人的收收入狀況況數(shù)據(jù)構構成樣本本，以此此推斷該該企業(yè)職職工平均均月收入入。要求若該企業(yè)業(yè)職工平平均月收收入的總總體均值值為2000元，總體體標準差差為為250元，試計計算樣本本均值不不小于1950元的概率率。解根據(jù)中心心極限定定理，在在樣本容容量充分分大時，，樣本均均值漸進進地趨于于數(shù)學期期望為總總體均值值，方差差為總體體方差的的n分之一的的正態(tài)分分布，有有本例的的樣本均均值漸進進地趨于于數(shù)學期期望為2000元，標準準差為25的正態(tài)分分布，即即。代入入正態(tài)分分布概率率計算公公式，得得即樣本均均值不小小于1950元的概率率為97.7%。（查表，，教材324頁）/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.1抽樣分布布2．小樣本本場合下下的樣本本均值抽抽樣分布布在小樣本本場合，，不滿足足中心極極限定理理對于樣樣本容量量充分大大的要求求，樣本本均值不不趨于正正態(tài)分布布，而是是趨于t分布。統(tǒng)計學家家戈斯特特（W.S.Gosset1876-1936）在1908年以Student的筆名發(fā)發(fā)表的一一篇論文文中，首首次提出出了t分布，從從而這一一小樣本本分布理理論被稱稱為Student分布，簡簡稱為t分布。設為來自自正態(tài)分分布總體體的樣本本，有（6.5）為T統(tǒng)計量，，T統(tǒng)計量服服從于自自由度為為n-1的t分布。/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.1抽樣分布布式（6.5）中的s2表示樣本本方差，，有（6.6）式（6.6）存在著著一個線線性約束束,T統(tǒng)計量服服從自由由度n-1為的t分布。t分布的形形狀也是是一左右右對稱的的鐘形圖圖形，比比正態(tài)分分布扁平平，并且且受到自自由度數(shù)數(shù)值大小小的約束束，自由由度的數(shù)數(shù)值越小小，t分布越趨趨于扁平平；自由由度的數(shù)數(shù)值越大大，t分布扁平平的程度度越小，，并且隨隨著自由由度的數(shù)數(shù)值增大大，t分布的形形態(tài)逐漸漸趨于正正態(tài)分布布。t分布的應應用條件件是總體體服從正正態(tài)分布布。在總總體方差差未知時時，t分布是一一種精確確的估計計方法，，正態(tài)分分布只是是其近似似的概率率分布。。/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.1抽樣分布布例6.2假定某一一企業(yè)職職工收入入情況服服從正態(tài)態(tài)分布中中，從該該企業(yè)隨隨機抽取取了16個職工個個人的收收入狀況況數(shù)據(jù)構構成樣本本，擬以以此推斷斷該企業(yè)業(yè)職工平平均月收收入。要求若該企業(yè)業(yè)職工平平均月收收入的總總體均值值為2000元，樣本本標準差差為為250元，試計計算樣本本均值不不小于1950元的近似似概率。。解由于樣本本容量小小于30，為小樣樣本，此此時的樣樣本均值值服從于于t分布。并并且，已已知樣本本容量為為16，因此本本例的樣樣本均值值服從于于自由度度為15的t分布。有有即在樣本本容量僅僅為16的小樣本本條件下下，該次次調查的的樣本均均值不小小于1950元的概率率為78.19%。/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.1抽樣分布布6.1..5樣本比例例的抽樣樣分布所謂的總總體比例例是指總總體中具具有某一一屬性的的單位數(shù)數(shù)與總體體全部單單位數(shù)的的比例。。樣本比例例抽樣分分布為在在服從二二項分布布的總體體中，重重復抽取取樣本容容量為的的樣本時時，由樣樣本比例例的所有有可能取取值形成成的相對對頻數(shù)分分布。樣本比例例的抽樣樣分布就就是樣本本比例的的所有可可能取值值的概率率分布。。在大樣樣本場合合，樣本本比例的的抽樣分分布漸進進地趨于于正態(tài)分分布。即即（6.7）樣本比例例的方差差為（6.8）即有，在在大樣本本下樣本本比例漸漸進地服服從于/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.1抽樣分布布6.1..6樣本方差差的抽樣樣分布在反復抽抽取容量量相同的的獨立同同分布樣樣本條件件下，所所得到的的樣本方方差的概概率分布布稱為樣樣本方差差的抽樣樣分布。。在服從正正態(tài)分布布的同分分布總體體中，樣樣本方差差與總體體方差的的比值服服從于自自由度n-1為的卡方方分布。。即（6.9）卡方分布布僅在第第一象限限取值，，所以分分布的取取值永遠遠為正數(shù)數(shù)?？ǚ椒椒植家灰话銥橛矣移珣B(tài)的的偏峰分分布，偏偏倚形態(tài)態(tài)取決于于其自由由度的數(shù)數(shù)值，自自由度的的數(shù)值越越小，偏偏倚的程程度越大大，并且且隨著自自由度的的數(shù)值增增大，分分布的形形態(tài)逐漸漸趨于對對稱，正正態(tài)分布布是卡方方分布的的極限分分布。/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.1抽樣分布布6.1..7兩個總體體樣本統(tǒng)統(tǒng)計量的的抽樣分分布1．兩個樣樣本均值值之差的的抽樣分分布在兩個總總體中，，各自獨獨立地反反復抽取取樣本容容量分別別為和的的獨立同同分布樣樣本條件件下，所所得到的的兩個樣樣本均值值和之差差的概率率分布稱稱為兩個個樣本均均值之差差的抽樣樣分布。。在大樣樣本場合合，兩個個樣本均均值之差差依據(jù)中中心極限限定理趨趨于正態(tài)態(tài)分布。。由于兩個個樣本均均值之差差的數(shù)學學期望為為兩個總總體均值值之差，，即（6.10）

/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.1抽樣分布布兩個樣本本均值之之差的方方差為這這兩個樣樣本均值值方差之之和，有有

（6.11）因此，這這樣的兩兩個樣本本均值之之差的抽抽樣分布布為（6.12）/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.1抽樣分布布2．兩個樣樣本比例例之差的的抽樣分分布兩個樣本本比例之之差的抽抽樣分布布是指在在兩個服服從二項項分布的的總體中中，各自自獨立地地反復抽抽取樣本本容量分分別為和和的獨立立同分布布樣本條條件下，，由所得得到的兩兩個樣本本比例和和之差的的所有可可能取值值形成的的相對頻頻數(shù)分布布。在兩個樣樣本均為為大樣本本的場合合下，兩兩個樣本本比例之之差的抽抽樣分布布漸進地地趨于正正態(tài)分布布。這時時有兩個個樣本比比例之差差的數(shù)學學期望等等于兩個個總體比比例之差差，即（6.15）方差為（6.16）/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.1抽樣分布布3．兩個樣樣本方差差比值的的抽樣分分布在兩個正正態(tài)總體體中，各各自獨立立地反復復抽取樣樣本容量量分別為為和的獨獨立同分分布樣本本條件下下，所得得到的兩兩個樣本本方差和和比值的的概率分分布稱為為兩個樣樣本方差差比值的的抽樣分分布。兩兩個樣本本方差比比值的抽抽樣分布布服從于于F分布。F分布在形形式上為為兩個獨獨立的卡卡方分布布除以各各自自由由度的比比值。由由式（6.9）可以給給出兩個個樣本方方差和的的卡方分分布，再再計算出出這兩者者的比值值，即得得到F統(tǒng)計量。。（6.17）

/7:50PM第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.2參數(shù)估計計的一般般問題《統(tǒng)計學教教程》盧小廣《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.2參數(shù)估計計的一般般問題6.2..1估計量和和估計值值1．估計量量估計量（（Estimator）是指用于估計計相關的的總體參參數(shù)的統(tǒng)統(tǒng)計量。樣本均均值、樣樣本比例例和樣本本方差都都是估計計量。2．估計值值估計值（（Estimate）是指估計量的的具體數(shù)數(shù)值。例如，，通過樣樣本的數(shù)數(shù)據(jù)，按按照相關關估計量量的計算算公式，，所得出出的樣本本均值、、樣本比比例和樣樣本方差差的具體體數(shù)值就就是估計計值。參數(shù)估計計（ParameterEstimation）就是在樣本數(shù)數(shù)據(jù)的基基礎上，，計算估估計量的的具體數(shù)數(shù)值——估計值，，去推斷斷相關的的總體參參數(shù)的方方法和過過程。/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.2參數(shù)估計計的一般般問題6.2..2點估計點估計（（PointEstimate）是指用估估計量的的數(shù)值直直接作為為總體參參數(shù)的估估計值的的方法和和過程。。在總體分分布形式式為已知知，從該該總體中中抽取一一個樣本本，對未未知參數(shù)數(shù)所作的的一個數(shù)數(shù)值點的的估計，，稱為參參數(shù)的點點估計。。點估計的的方法有有矩估計計法、順順序統(tǒng)計計量法、、最大似似然法和和最小二二乘法等等。/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.2參數(shù)估計計的一般般問題矩估計法法矩估計法法（MethodsofMomentEstimation）是指用樣樣本的矩矩，估計計總體的的矩的參參數(shù)估計計方法。。矩是在在數(shù)學期期望基礎礎上定義義的數(shù)字字特征，，可以分分為k階原點矩矩和k階中心矩矩兩類。。（1）k階原點矩矩（MomentofOrderKAbouttheOrigin）是指隨機機變量的的k次方的數(shù)數(shù)學期望望，其中中k為任意正正整數(shù)，，寫為（6.18）一階原點點矩就是是隨機變變量的數(shù)數(shù)學期望望.（2）k階中心矩矩（CentredMomentofOrderk）是指隨機機變量與與其數(shù)學學期望之之差的k次方的數(shù)數(shù)學期望望，其中中k為任意正正整數(shù)，，寫為（6.19）二階中心心矩就是是隨機變變量的方方差./7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.2參數(shù)估計計的一般般問題6.2..3點估計量量的評價價準則在參數(shù)的的點估計計中，可可以從一一致性、、無偏性性和有效效性三個個方面對對點估計計量進行行評價。。1．一致性性一致性（（Consistency）是指當樣樣本容量量趨于無無窮大時時，估計計量依概概率收斂斂于總體體參數(shù)。。即（6.25）則稱為的的滿足一一致性準準則的估估計量，，一般稱稱之為一一致估計計量。一致估計計量隨著著樣本容容量的增增大，其其數(shù)值越越來越接接近被估估計的總總體參數(shù)數(shù)。/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.2參數(shù)估計計的一般般問題2．無偏性性無偏性（（Unbiasedness）是指估計計量的數(shù)數(shù)學期望望等于未未知的總總體參數(shù)數(shù)真值。。即（6.26）則稱為的的滿足無無偏性準準則的估估計量，，一般稱稱之為無無偏估計計量。樣本均值值是總體體均值的的一個無無偏估計計量。（6.27）/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.2參數(shù)估計計的一般般問題2．無偏性性無偏性（（Unbiasedness）是指估計計量的數(shù)數(shù)學期望望等于未未知的總總體參數(shù)數(shù)真值。。即（6.26）則稱為的的滿足無無偏性準準則的估估計量，，一般稱稱之為無無偏估計計量。樣本均值值是總體體均值的的一個無無偏估計計量。（6.27）★討論論題總體方差差的最大大似然估估計量和和矩估計計量是否否均為無無偏估計計量。/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.2參數(shù)估計計的一般般問題3．有效性性有效性（（Effectiveness）是指采用用均方誤誤差對估估計量精精確程度度的測定定，通常常表現(xiàn)為為兩個估估計量的的均方誤誤差之比比。均方誤差差就是一一個測定定估計量量本身的的離散程程度，以以及估計計量數(shù)學學期望與與總體相相關參數(shù)數(shù)的真值值的偏倚倚程度的的測度。。均方誤差差（MeanSquareError）是估計量量與總體體參數(shù)真真值的離離差的平平方的數(shù)數(shù)學期望望，有（6.28）若將估計計量的數(shù)數(shù)學期望望與總體體參數(shù)真真值的離離差記為為，稱為為估計量量的偏差差，作為為反映估估計量與與總體參參數(shù)真值值偏倚程程度的測測度。則則可將式式（6.23）寫為

（6.29）/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.2參數(shù)估計計的一般般問題均方誤差差是由估估計量的的方差和和偏差兩兩部分組組成。其其中估計計量的方方差反映映的是估估計量本本身的離離散程度度；估計計量的偏偏差反映映的是估估計量的的數(shù)學期期望與總總體參數(shù)數(shù)真值的的偏倚程程度。當兩個估估計量均均為無偏偏估計量量時，均均方誤差差的式（（6.29）中的第第二項為為0，只剩下下第一項項估計量量的方差差。這時時只要比比較估計計量的方方差就可可以對其其有效性性進行評評價。從計算均均方誤差差的式（（6.29）可知，，對于一一個估計計量的評評價，需需要綜合合分析它它對于相相關總體體參數(shù)的的估計誤誤差，不不能簡單單地認為為一個無無偏的估估計量就就一定優(yōu)優(yōu)于一個個有偏的的估計量量，還要要具體度度量有偏偏估計量量的偏倚倚程度，，以及兩兩個估計計量的有有效性。。所以，，有效性性是評價價估計量量的一個個綜合性性的重要要的準則則。/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.2參數(shù)估計計的一般般問題6.2..4區(qū)間估計計區(qū)間估計計（IntervalEstimate）是在點估估計的基基礎上，，給出在在一定的的置信程程度下確確定總體體參數(shù)取取值區(qū)間間的方法法和過程程。在點估計計中，總總體參數(shù)數(shù)估計量量的具體體取值為為一數(shù)值值點，而而樣本是是從總體體中隨機機地抽取取出來的的，其估估計值是是依抽樣樣分布的的隨機變變量，單單一的數(shù)數(shù)值點不不能全面面反映抽抽樣分布布的狀態(tài)態(tài)，及其其樣本估估計量的的隨機分分布特征征，不能能度量樣樣本估計計的精確確程度，，所以提提出了區(qū)區(qū)間估計計問題。。建立在點點估計基基礎上的的區(qū)間估估計，在在給出了了相關總總體參數(shù)數(shù)真值的的估計量量的同時時，還給給出了一一個通常常以取值值區(qū)間形形式表述述的數(shù)值值范圍，，以及在在這個數(shù)數(shù)值區(qū)間間內包含含總體參參數(shù)的可可靠程度度。這種種形式的的參數(shù)估估計就稱稱為區(qū)間間估計。。/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.2參數(shù)估計計的一般般問題/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.2參數(shù)估計計的一般般問題在區(qū)間估估計中，，置信區(qū)區(qū)間反映映的是區(qū)區(qū)間估計計的精確確程度，，置信水水平反映映的是區(qū)區(qū)間估計計的可靠靠程度，，對于某某一樣本本容量已已定的具具體樣本本而言，，這兩方方面是互互為消長長的。當通過縮縮小置信信區(qū)間來來提高對對總體參參數(shù)的估估計精確確程度時時，就需需要降低低置信水水平，降降低對總總體參數(shù)數(shù)估計的的可靠程程度；若若是要提提高區(qū)間間估計的的可靠程程度，勢勢必會增增大置信信區(qū)間，，降低對對總體參參數(shù)估計計的精確確程度。。所以，，需要根根據(jù)具體體情況和和實際需需要適當當?shù)剡x擇擇置信水水平的數(shù)數(shù)值，進進而確定定置信區(qū)區(qū)間。若既要提提高區(qū)間間估計的的精確程程度，又又要提高高區(qū)間估估計的可可靠程度度，就需需要采取取增加樣樣本容量量，以及及通過更更有效的的抽樣和和估計方方法來實實現(xiàn)。/7:50PM第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.3單一總體體參數(shù)的的區(qū)間估估計《統(tǒng)計學教教程》盧小廣《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.3單一總體體參數(shù)的的區(qū)間估估計6.3..1總體均值值的區(qū)間間估計1．在方差差已知時時，總體體均值的的區(qū)間估估計在方差為為已知時時，樣本本均值服服從于正正態(tài)分布布，因而構建建Z統(tǒng)計量。。有（6.31）根據(jù)區(qū)間間估計的的定義，，構造總總體均值值的雙側側區(qū)間估估計置信信區(qū)間，，對于給給定的顯顯著性水水平，從從式（6.30）和式（（6.31）出發(fā)，，有（6.32）/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.3單一總體體參數(shù)的的區(qū)間估估計則有總體體均值的的雙側區(qū)區(qū)間估計計置信區(qū)區(qū)間為在對總體體均值進進行單側側區(qū)間估估計時，，有（6.33）則總體均均值的單單側區(qū)間間估計置置信區(qū)間間為或者/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.3單一總體體參數(shù)的的區(qū)間估估計在式（6.32）和式（（6.33）中出現(xiàn)現(xiàn)的總體體標準差差與樣本本容量平平方根的的商，稱稱為樣本本均值標標準差，，反映了了樣本均均值分布布的離散散程度。。有樣本本均值方方差為（6.34）樣本均值值方差含含有總體體方差和和樣本容容量兩個個因素，，它是在在總體服服從正態(tài)態(tài)分布時時，度量量使用樣樣本均值值估計總總體均值值時精確確程度的的測度。。由于樣本本均值標標準差具具有與變變量一致致的量綱綱，一般般采用它它作為度度量估計計量精確確程度的的測度。。/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.3單一總體體參數(shù)的的區(qū)間估估計例6.5在某一企企業(yè)職工工收入情情況的調調查中，，從該企企業(yè)隨機機抽取100個職工個個人的收收入狀況況數(shù)據(jù)構構成樣本本，并且且已知該該企業(yè)職職工平均均月收入入的總體體標準差差為250元，樣本本均值為為1985元。要求試計算給給定置信信水平為為95%的該企業(yè)業(yè)職工平平均月收收入的總總體均值值的置信信區(qū)間。。解由本例給給出的條條件可知知，這是是一個雙雙側的區(qū)區(qū)間估計計問題。。根據(jù)雙雙側區(qū)間間估計的的式（6.32），可計計算得總總體均值值的置信信區(qū)間為為

即根據(jù)這這次抽樣樣調查的的樣本信信息，可可以認為為該企業(yè)業(yè)職工平平均月收收入的真真實數(shù)值值將依95%的概率落落在1936元到2034元之間。。/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.3單一總體體參數(shù)的的區(qū)間估估計例6.6某地對在在該地就就業(yè)的本本科生在在畢業(yè)一一年后的的月工資資情況進進行了一一次調查查，搜集集了36名同學的的月工資資數(shù)據(jù)，，具體如如表6.2所示。并并已知在在該地就就業(yè)的本本科生在在畢業(yè)一一年后的的月工資資的總體體標準差差為400元。表6.236名畢業(yè)一一年本科科生的月月工資情情況元元由式（6.33），可計計算得總總體均值值的置信信區(qū)間為為可以認為為總體均均值，即即在該地地就業(yè)的的本科生生在畢業(yè)業(yè)一年后后的月平平均工資資的真實實數(shù)值依依95%的概率落落在2269.343元到2530.66元之間。。/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.3單一總體體參數(shù)的的區(qū)間估估計例6.7某進出口口公司需需要出口口一批小小型電機機，其中中有一個個技術指指標為電電機工作作時定子子線圈的的最高溫溫度，已已知供貨貨廠家該該廠電機機工作時時定子線線圈最高高溫度的的總體標標準差為為8℃，隨機抽抽出49臺電機進進行實測測，得到到該廠電電機工作作時定子子線圈最最高溫度度的樣本本均值為為110℃℃。要求試計算給給定置信信水平為為99%的該廠電電機工作作時定子子線圈最最高溫度度的總體體均值的的置信區(qū)區(qū)間。解采用式（（6.33）計算在在單側區(qū)區(qū)間估計計下的置置信水平平為99%的總體均均值的置置信區(qū)間間的上限限。根據(jù)樣本本均值為為110℃℃，可計算算出該工工廠單側側區(qū)間估估計下的的置信水水平為99%的總體均均值的置置信區(qū)間間的上限限為可以認為為總體均均值，即即該工廠廠電機工工作時定定子線圈圈的平均均最高溫溫度依99%的概率落落在小于于112..66℃℃的區(qū)間以以內。/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.3單一總體體參數(shù)的的區(qū)間估估計2．在總體體方差未未知時，，總體均均值的區(qū)區(qū)間估計計在總體服服從正態(tài)態(tài)分布，，但是總總體方差差未知時時，新的的統(tǒng)計量量是服從從自由度度為n-1的t分布的T統(tǒng)計量。。有（6.35）由式（6.35）出發(fā)，，則有在在總體方方差未知知場合下下，總體體均值的的雙側區(qū)區(qū)間估計計置信區(qū)區(qū)間為以及在總總體方差差未知場場合下，，總體均均值的單單側區(qū)間間估計置置信區(qū)間間為或/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.3單一總體體參數(shù)的的區(qū)間估估計例6.8在一次對對某品牌牌電視機機的開關關次數(shù)進進行的破破壞性測測試中，，隨機抽抽取了9臺電視機機進行測測試，具具體數(shù)據(jù)據(jù)為19050,18090,23098,18908,16896,20679,21567,17890,20456，試估計計該品牌牌電視機機開關次次數(shù)的總總體均值值，及其其在置信信水平為為95%下最低開開關次數(shù)數(shù)的單側側置信區(qū)區(qū)間?？梢缘玫降娇傮w均均值的單單側區(qū)間間估計置置信區(qū)間間為從而認為為根據(jù)樣樣本數(shù)據(jù)據(jù)推斷總總體均值值，即該該品牌電電視機的的平均開開關次數(shù)數(shù)的真實實數(shù)值將將依95%的概率不不低于18400次。/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.3單一總體體參數(shù)的的區(qū)間估估計例6.9利用例6.6中36名同學的的月工資資數(shù)據(jù)，，要求在總體方方差未知知情況下下，估計計該地就就業(yè)的本本科生畢畢業(yè)一年年后的月月平均工工資在置置信水平平為95%下的置信信區(qū)間。。由式（6.35）可以得得到總體體均值的的雙側區(qū)區(qū)間估計計置信區(qū)區(qū)間為可以認為為總體均均值，即即該地區(qū)區(qū)畢業(yè)一一年后的的本科畢畢業(yè)生的的月平均均工資的的真實數(shù)數(shù)值將依依95%的概率落落在2262.32元到2537.68元之間。。在總體方方差未知知的場合合，當樣樣本容量量充分大大時，可可以采用用式（6.31）建立統(tǒng)統(tǒng)計量，，對總體體均值進進行區(qū)間間估計。。假定樣本本均值已已經(jīng)服從從正態(tài)分分布的基基礎上，，構造Z統(tǒng)計量，，采用式式（6.31）計算的的總體均均值的置置信區(qū)間間，要小小于在樣樣本均值值服從t分布的基基礎上,采用式（（6.35）計算的的總體均均值的置置信區(qū)間間。/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.3單一總體體參數(shù)的的區(qū)間估估計6.3..2總體比例例的區(qū)間間估計在大樣本本場合，，可以認認為樣本本比例的的抽樣分分布漸進進地趨于于正態(tài)分分布。這這時有樣樣本比例例漸進地地服從于于正態(tài)分分布，其其標準化化后的隨隨機變量量漸進地地服從標標準正態(tài)態(tài)分布。。有（6.37）即有總體體比例在在顯著性性水平下下的置信信區(qū)間（6.38）一般采用用樣本比比例替代代總體比比例來計計算其在在顯著性性水平下下的置信信區(qū)間。。即

（6.39）

/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.3單一總體體參數(shù)的的區(qū)間估估計例6.10某公司為為了分析析新產(chǎn)品品的電視視廣告效效果，隨隨機訪問問了100名用戶，，了解到到其中有有36人是通過過電視廣廣告了解解該新產(chǎn)產(chǎn)品的。。要求試以95%的置信水水平，估估計通過過電視廣廣告了解解該新產(chǎn)產(chǎn)品的用用戶占全全部用用戶的比比例的置置信區(qū)間間。由式（6.37）得即通過電電視廣告告了解該該新產(chǎn)品品的用戶戶占全部部用戶的的比例的的置信區(qū)區(qū)間，在在95%的置信水水平下為為26.592%%到45.408%%。/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.3單一總體體參數(shù)的的區(qū)間估估計6.3..3總體方差差的區(qū)間間估計在總體服服從正態(tài)態(tài)分布時時，樣本本方差服服從自由由度為n-1的卡方分分布，從從而可以以利用卡卡方分布布來構造造總體方方差的置置信區(qū)間間，確定定一個卡卡方值，，使之對對于給定定的顯著著性水平平，滿足足（6.40）則有（6.41）/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.3單一總體體參數(shù)的的區(qū)間估估計例6.11仍然利用用例6.6中36名同學的的月工資資數(shù)據(jù)。。要求估計該地地就業(yè)的的本科生生在畢業(yè)業(yè)一年后后的月均均工資標標準差，，在置信信水平為為95%下的置信信區(qū)間。。由式（6.41）可以得得到總體體方差的的置信區(qū)區(qū)間為可以認為為該地就就業(yè)的本本科生在在畢業(yè)一一年后的的月工資資標準差差將依95%的概率落落在330..04元到530..79元之間。。

/7:50PM第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.4兩個總體體參數(shù)的的區(qū)間估估計《統(tǒng)計學教教程》盧小廣《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.4兩個總體體參數(shù)的的區(qū)間估估計6.4..1兩個總體體均值之之差的區(qū)區(qū)間估計計1．兩個總總體方差差已知情情況下的的估計在兩個總總體方差差已知時時，由兩兩個這兩兩個總體體獨立抽抽取的樣樣本均值值之差服服從于正正態(tài)分布布，其標標準差為為（6.42）樣本均值值之差經(jīng)經(jīng)標準化化后，服服從于標標準正態(tài)態(tài)分布。。則有，兩兩個總體體均值之之差在置置信水平平下的置置信區(qū)間間為（6.44）/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.4兩個總體體參數(shù)的的區(qū)間估估計例6.12某進出口口公司需需要出口口一批小小型電機機，在A、B兩個備選選的小型型電機供供貨廠家家進行了了一次調調查，在在每家工工廠隨機機抽出49臺電機進進行實測測，并且且A、B兩廠電機機工作時時定子線線圈最高高溫度的的總體標標準差數(shù)數(shù)據(jù)為已已知，其其中A工廠為8℃，B工廠為6℃。要求試計算給給定置信信水平為為99%的總體均均值之差差的置信信區(qū)間。。根據(jù)樣本本數(shù)據(jù)計計算得樣樣本均值值分別為為A工廠110℃℃，B工廠114℃℃。由式（6.44）可得即總體均均值之差差的置信信區(qū)間為為（-6.8,-1.2）,即A、B兩廠電機機工作時時定子線線圈最高高溫度均均值之差差依95%的概率落落在-6.8℃到-1.2℃以內。/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.4兩個總體體參數(shù)的的區(qū)間估估計2．兩個相相等總體體方差未未知情況況下的估估計在兩個總總體方差差未知，，但服從從正態(tài)分分布，并并且方差差相等，，則利用用兩個隨隨機樣本本的信息息來聯(lián)合合計算這這個相等等而又未未知的總總體方差差的估計計量，為為

（6.45）其總體均均值之差差在置信信水平下下的置信信區(qū)間為為（6.48）/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.4兩個總體體參數(shù)的的區(qū)間估估計例6.13某市采取取隨機抽抽樣方法法，在全全市抽取取100戶城鎮(zhèn)家家庭進行行生活費費支出調調查，今今年每戶戶家庭生生活費支支出的樣樣本均值值為38900元，樣本本標準差差為580元；上年年每戶家家庭生活活費支出出的樣本本均值為為35800元，樣本本標準差差為570元。假定定該市這這兩年城城鎮(zhèn)家庭庭生活費費支出服服從正態(tài)態(tài)分布，，并且方方差相等等。根據(jù)式（（6.48），有即總體均均值之差差在置信信水平下下的置信信區(qū)間為為（2939.64,3260..37）。該市市這兩年年城鎮(zhèn)家家庭生活活費支出出均值之之差，依依95%的概率落落在2939.64元到3260.37元的區(qū)間間內。/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.4兩個總體體參數(shù)的的區(qū)間估估計3．兩個總總體方差差不相等等且未知知情況下下的估計計若有兩個個均服從從正態(tài)分分布的總總體，總總體的方方差未知知，并且且不相等等，按照照式（6.47）構造的的統(tǒng)計量量近似地地服從于于自由度度為f的t分布。有有（6.49）則有，兩兩個服從從正態(tài)分分布的總總體，總總體方差差未知且且不相等等，其總總體均值值之差在在置信水水平下的的置信區(qū)區(qū)間為（6.50）/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.4兩個總體體參數(shù)的的區(qū)間估估計例6.14借用例6.13中的基本本數(shù)據(jù)，，只是假假定該兩兩市城鎮(zhèn)鎮(zhèn)家庭生生活費支支出服從從正態(tài)分分布，方方差不相相等。要求試計算該該市這兩兩年城鎮(zhèn)鎮(zhèn)家庭生生活費支支出均值值之差，，在95%置信水平平下的置置信區(qū)間間。根據(jù)式（（6.49），計算算出樣本本均值之之差近似似地服從從的t分布的自自由度。。即兩個樣本本方差數(shù)數(shù)值水平平非常接接近，所所以計算算出來的的自由度度與兩個個相等總總體方差差未知情情況下的的自由度度基本一一致，同同為198。該市這這兩年城城鎮(zhèn)家庭庭生活費費支出均均值之差差，在95%置信水平平下的置置信區(qū)間間與例6.13在兩個相相等總體體方差未未知情況況下計算算的結果果一致。。/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.4兩個總體體參數(shù)的的區(qū)間估估計例6.15仍借用例例6.13中的基本本數(shù)據(jù)，，但將該該市上年年每戶家家庭生活活費支出出的樣本本標準差差改為410元，并且且該市城城鎮(zhèn)家庭庭生活費費支出服服從正態(tài)態(tài)分布，，方差不不相等。。要求試求該市市城鎮(zhèn)家家庭生活活費支出出均值之之差的95%在置信水水平下的的置信區(qū)區(qū)間。仍根據(jù)式式（6.49），計算算出樣本本均值之之差近似似地服從從的t分布的自自由度。。即運用式（（6.50），可得得該市這兩兩年城鎮(zhèn)鎮(zhèn)家庭生生活費支支出水平平的均值值之差，，依95%的概率落落在2959.83元到3240.17元的區(qū)間間內。/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.4兩個總體體參數(shù)的的區(qū)間估估計在兩個不不相等的的總體方方差未知知情況下下，當樣樣本容量量和均很很大時，，不論總總體是否否服從正正態(tài)分布布，都可可以依據(jù)據(jù)中心極極限定理理，將兩兩個樣本本方差和和作為總總體方差差和的估估計值，，這時總總體均值值之差在在置信水水平下的的置信區(qū)區(qū)間近似似為（6.51）例6.16采用例6.13中有關數(shù)數(shù)據(jù)。要求試運用式式（6.51），計算算甲乙兩兩市城鎮(zhèn)鎮(zhèn)家庭生生活費支支出均值值之差，，在95%置信水平平下的置置信區(qū)間間。

甲乙兩市市城鎮(zhèn)家家庭生活活費支出出均值之之差依95%的概率落落在2940.62元到3259.38元的區(qū)間間內。/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.4兩個總體體參數(shù)的的區(qū)間估估計6.4..2兩個總體體比例之之差的區(qū)區(qū)間估計計在大樣本本的場合合下，從從兩個服服從二項項分布的的總體中中得到的的兩個樣樣本比例例和之差差的抽樣樣分布漸漸進地趨趨于正態(tài)態(tài)分布，，其標準準化后的的隨機變變量漸進進地服從從標準正正態(tài)分布布。一般情況況下，兩兩個總體體比例和和為未知知，采用用樣本比比例替代代總體比比例，這這時兩個個總體比比例之差差在顯著著性水平平下的置置信區(qū)間間為（6.52）/7:50PM《統(tǒng)計學教教程》第6章抽樣樣分布與與參數(shù)估估計6.4兩個總體體參數(shù)的的區(qū)間估估計例6.17某公司為為了分析析新產(chǎn)品品的電視視廣告效效果，在