差分方程模型

在p點(diǎn)附近取函數(shù)f(x),h(x)的一階近似：0y—y—a(x—x),a>0,(3.7)n0n0在p點(diǎn)附近取函數(shù)f(x),h(x)的一階近似：0y—y—a(x—x),a>0,(3.7)n0n0x—x+P(y—y),P>0,(3.8)n+10n0x——aPx+(1+aP)x,n—1,2,(3.9)n+1n0的一階線性差分方程。當(dāng)然它是原來方程的近似模型。作為數(shù)學(xué)模型合并兩式可得：這是關(guān)于xn本來就是客觀實(shí)際問題的近似模擬，現(xiàn)在為了處理方便，適當(dāng)取用其近似形式是合理的。其中，-a為f在p點(diǎn)處的切線斜率；丄為g(x)在p點(diǎn)處切線的斜率。0P00方程(3.9)遞推可得—(—aP)nx+[1—(—aP)n]x1所以，p0點(diǎn)穩(wěn)定的充要條件是：api<1，即：這個(gè)結(jié)論與蛛網(wǎng)模型的分析結(jié)果是一致的。4)模型推廣如果決策時(shí)考慮到x與y,y都有關(guān)系，則可假設(shè)

n+1nn+1xn+1旦(3.10)x二g(n+1y+y、―nn11)2這時(shí)數(shù)學(xué)模型為：y=f(x)(3.11)對此模型仍用線性近似關(guān)系可得：則有：ry+y、x-g(?+)?n+12首先求出平衡點(diǎn)，即解方程y0-f(x0)00(y+yx-g(0c02-g(y)+P(y02o)?二g(y0)xn+1+yn-1-2y0)xn+1—x—(y+y02nn+1-2y0)再結(jié)合(3.7)可得：x—x—n+10x—x—n+102(yo-a(x-x0)+y—a(x—x)—2y)0n—1002x+aPx+aPx—(1+aP)xn+1n—1n—10即：2x+aPx+aPx—(1+aP)n+2特征方程為：n+1xn02九2+apl+ap二0(3.12)_aP+、：(aP)2-8aP特征根為：--一

—a0所以：郵>8時(shí)，耳<一^<—2，此時(shí)解不穩(wěn)定。24<8時(shí)，|九=I1學(xué)，則郵<2時(shí)，九<11,2\121,2從而解是穩(wěn)定的。這個(gè)條件比原來的模型解的穩(wěn)定性條件放寬了。說明決策水平提高了。進(jìn)一步來看，對這個(gè)模型還可以進(jìn)行進(jìn)一步的分析：考慮下一年的產(chǎn)量時(shí)，還y+y+y可以近三年的價(jià)格來決定，例如：設(shè)X二h(匕盲1?-2),；另外還可以考慮引n+13入投資額z，并建立有關(guān)的離散方程關(guān)系。n模型4人口的控制與預(yù)測模型背景分析：人口數(shù)量的發(fā)展變化規(guī)律及特性可以用偏微分方程的理論形式來表現(xiàn)和模擬。但在實(shí)際應(yīng)用中不是很方便，需要建立離散化的模型，以便于分析、應(yīng)用。人口數(shù)量的變化取決于諸多因素，比如：女性生育率、死亡率、性別比、人口基數(shù)等。試建立離散數(shù)學(xué)模型來表現(xiàn)人口數(shù)量的變化規(guī)律。模型假設(shè)：以年為時(shí)間單位記錄人口數(shù)量，年齡取周歲。(1)設(shè)這個(gè)地區(qū)最大年齡為m歲(2)第t年為i歲的人數(shù)為x(t),i=1,2m;t=0,1,2,i這個(gè)數(shù)量指標(biāo)是整個(gè)問題分析、表現(xiàn)的目標(biāo)和載體，我們的目的就是找出這些變量的變化規(guī)律、內(nèi)在的普遍聯(lián)系。3)4)5)6)設(shè)第t年為i歲的人口平均死亡率為3)4)5)6)x(t)—x(t+1)TOC\o"1-5"\h\z比:d(t)=ii+iix(t)i即：x(t+1)二(1—d(t))x(t),i二i,2,...,m—1;t二0,1,2,...i+1ii設(shè)第t年i歲女性的生育率：即每位女性平均生育嬰兒數(shù)為b(t)，[i,i]為生i12育區(qū)間。k(t)為第t年i歲人口的女性比(占全部i歲人口數(shù))i由此可知：第t年出生的人數(shù)為：f(t)吐b(t)k(t)x(t)iii1記第t年嬰兒的死亡率為d(t)，則x(t)=(1—d(t))f(t)00000b(t)b(t)設(shè)h(t)=ii，它表示i歲女性總生育率，i立b(t)卩(t)i則b(t)=0(t)h(t)，如果假設(shè)t年后女性出生率保持不變，則ii0(t)=b(t)+b(t)+...+b(t)i1i1+1i2=b(t)+b(t+1)+...+b(t+i—i)i1i1+1i221可見，0(t)表示每位婦女一生中平均生育的嬰兒數(shù)，稱之為總和生育率。它反映了人口變化的基本因素。

模型建立：根據(jù)上面的假設(shè)x(t+1)=(1一d(t))x(t)100=(1-d(t))(1-d(t))f(t)000=(1-d(t))(1-d(t))Eb(t)k(t)x(t)000iiii=i1iiii=i1=(1-d(t))(1-d(t))iiii=i1000=卩(t憶b/(t)x(t)iii=i1x(t+1)=(1-d(t))x(t)221TOC\o"1-5"\h\zx(t+1)=(1-d(t))x(t)mm-1m-1為了全面系統(tǒng)地反映一個(gè)時(shí)期內(nèi)人口數(shù)量的狀況令x(t)=[x(t),x(t),...,x(t)]/1200...0A(t)=B(t)=1-d(t)101A(t)=B(t)=1-d(t)101-d(t)20...0...00...1-d(t)m-10mxnb(t)...i0...b(t)...i0...000...0...00...0...00...0...00000000000mxn則此向量x(t)滿足方程:x(t+1)=A(t)x(t)+B(t)B(t)x(t)即：x(t+1)=(A(t)+B(t)B(t))x(t)(3.13)這是一階差分方程其中B(t)是可控變量，x(t)是狀態(tài)變量，并且關(guān)于B(t)和x(t)都是線性的，故稱其為雙線性方程。模型分析：在穩(wěn)定的社會(huì)環(huán)境下，死亡率、生育模式、女性比例、嬰兒存活率是可以假設(shè)為不變的故A(t)=A,B(t)=B為常數(shù)矩陣。從而，x(t+1)=(A+B(t).B)x(t)(3.14)只要總生育率0(t)確定下來，則人口的變化規(guī)律就可以確定下來。為了更全面地反映人口的有關(guān)信息，下面再引入一些重要的指標(biāo)：人口總數(shù)：N(t)=瓦x(t)ii=0人口平均年齡：R(t)=J、區(qū)i.x(t)TOC\o"1-5"\h\zN(t)ii=0平均壽命：S(t)=區(qū)exp[-工d(t)]，這里假定從第t年分析，如果以后每年的死ij=0i=0亡率是不變的，即：d(t)=d(t+1)=...ii+1則￡d(t)表示t年出生的人活到第j+1年期間的死亡率，這也表明其壽命為jii=0歲，j=l,2...m.而exp(-丈d(t))表示壽命。ii=0通過求出x(t)的變化規(guī)律，就可以對上面引入的3個(gè)指標(biāo)進(jìn)行更具體的分析，從而對人口的分布狀況、變化趨勢、總體特征等有科學(xué)的認(rèn)識和把握。具體求解分析這里不再進(jìn)行。模型5線性時(shí)間離散彌漫網(wǎng)絡(luò)模型引言：一個(gè)國家在一定時(shí)間段內(nèi)的財(cái)富依賴于許多因素，不同國家的相互交流是重要的方面。建立數(shù)學(xué)模型，表現(xiàn)國家財(cái)富的變化與國家間財(cái)富的流動(dòng)之間的關(guān)系。模型假設(shè)：設(shè)有n個(gè)國家，用u(t)表示在時(shí)期t${0,1,2,...}的財(cái)富。假設(shè)只考慮這些國家i之間僅僅兩兩國家之間有交流關(guān)系。并且假設(shè)財(cái)富流動(dòng)的系數(shù)是丫。模型的建立：國家間的財(cái)富關(guān)系應(yīng)當(dāng)滿足u(t+1)-u(t)=y(u(t)-u(t))+y(u(t)-u(t))121n1u(t+1)-u(t)=y(u(t)-u(t))+y(u(t)-u(t))21232TOC\o"1-5"\h\zu(t+1)—u(t)=y(u(t)一u(t))+y(u(t)一u(t))

n-1n-1n-2n-1nn-1u(t+1)—u(t)=y(u(t)—u(t))+y(u(t)—u(t))

nn1nn-1n用矩陣形式表示：令u(t)=(u⑴,u⑴,……,u(t))/表示時(shí)期t各個(gè)國家的財(cái)富狀態(tài);12n

_2—100.0—「—12—10.000—12—1.002.—10000..12—1—1000.0—12令A(yù)=n則有：u(t+i)二(I—yA)u(t)n(3.10)記A=則有：u(t+i)二(I—yA)u(t)n(3.10)記A=I—yA，則nn~tu(t)二Au(o)n(3.11)模型計(jì)算與分析：計(jì)算可知An的特征值為；k兀九仏)=4sin2,1<k<n,n的特征值為對應(yīng)的特征向量為其中1.2km兀.2km兀、v(k)=(cos+sin)m<'nnn為討論方便起見，引入如下記號：k兀1一丫入(k)=1—4ysm2——nv(k)=(v(k),,v(k))/1<k<n1九(n)=0,V(n)=丄(1,1,…,1)/n則有：n九(0)=九(n),V(0)為偶數(shù)時(shí)：1■v'n(1,1,...1)/,0=X(0)=k(n)<...<k(k)=k(n—k)<...<九(2一》=X(2+1)<...<九(2)=九(”-2)=4,n為奇數(shù)時(shí)：n—1n+10=九(0)=九(n)<..<九(k)=九(n—k)<..<NJ=X(2)<4記：V為由V(k),V(n-k)張成的子空間，k貝y：u(0)=￡]<v(k),u(0)>v(k)k=0

u(t)=Au(0)=藝<v(k),u(0)>Av(k)nnk=0=2(1一九(k)Y)t<v(k),u(0)>v(k)k=on=2工(1一九(k)Y)t<?,u(0)k=0嘆卩￡由此式進(jìn)一步分析可以獲得：當(dāng)tfg時(shí)，u⑴的漸進(jìn)變化狀態(tài)規(guī)律(略)。n模型6金融問題的差分方程模型1、設(shè)現(xiàn)有一筆p萬元的商業(yè)貸款，如果貸款期是n年，年利率是J,今采用月還款的方式逐月償還，建立數(shù)學(xué)模型計(jì)算每月的還款數(shù)是多少？1模型分析：在整個(gè)還款過程中，每月還款數(shù)是固定的，而待還款數(shù)是變化的，找出這個(gè)變量的變化規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵。模型假設(shè)：設(shè)貸款后第k個(gè)月后的欠款數(shù)是A元，月還款為m元，月貸款利息kr為r=12。模型建立：關(guān)于離散變量A，考慮差分關(guān)系有：kA+rA=A+m，kkk+1即：A=(1+r)A—m(3.15)k+1k這里已知有：A=100000,A=0024模型求解：令B=A—A，則B=B(1+r)=B(1+r)k-1kkk一1kk一11A=A+B+B+...+Bk012k=A+B[1+(1+r)+...+(1+r)k—1]01m=A(1+r)k—[(1+r)k—1],k=0,1,2,...0r這就是差分方程(3.15)的解。把已知數(shù)據(jù)A,r代入A=0012n中，可以求出月還款額m。例如：A=10000,r=0.0052125,n=2時(shí)，可0以求出：m=444.356元。模型的進(jìn)一步拓廣分析：拓廣分析包括條件的改變、目標(biāo)的改變、某些特殊結(jié)果等。m如果令A(yù)=A，則A=—，并且krmmm當(dāng)A=時(shí)，總有A=，即表明：每月只還上了利息。只有當(dāng)A<時(shí)，0rkr0r欠款余額逐步減少，并最終還上貸款。2、養(yǎng)老保險(xiǎn)模型問題：養(yǎng)老保險(xiǎn)是保險(xiǎn)中的一種重要險(xiǎn)種，保險(xiǎn)公司將提供不同的保險(xiǎn)方案供以選擇，分析保險(xiǎn)品種的實(shí)際投資價(jià)值。也就是說，分析如果已知所交保費(fèi)和保險(xiǎn)收入，按年或按月計(jì)算實(shí)際的利率是多少？也就是說，保險(xiǎn)公司需要用你的保費(fèi)實(shí)際獲得至少多少利潤才能保證兌現(xiàn)你的保險(xiǎn)收益？模型舉例分析：假設(shè)每月交費(fèi)200元至60歲開始領(lǐng)取養(yǎng)老金，男子若25歲起投保，屆時(shí)養(yǎng)老金每月2282元；如35歲起保，屆時(shí)月養(yǎng)老金1056元；試求出保險(xiǎn)公司為了兌現(xiàn)保險(xiǎn)責(zé)任，每月至少應(yīng)有多少投資收益率？這也就是投保人的實(shí)際收益率。模型假設(shè)：這應(yīng)當(dāng)是一個(gè)過程分析模型問題。過程的結(jié)果在條件一定時(shí)是確定的。整個(gè)過程可以按月進(jìn)行劃分，因?yàn)榻毁M(fèi)是按月進(jìn)行的。假設(shè)投保人到第k月止所交保費(fèi)及收益的累計(jì)總額為F，每月收益率為r，用p、q分別表示60歲之前和k之后每月交費(fèi)數(shù)和領(lǐng)取數(shù)，N表示停交保險(xiǎn)費(fèi)的月份，M表示停領(lǐng)養(yǎng)老金的月份。模型建立：在整個(gè)過程中，離散變量F的變化規(guī)律滿足：kF二F(1+r)+p,k二0,1,...,N-1<k+1kF二F(1+r)-q,k=NM'k+1k在這里F實(shí)際上表示從保險(xiǎn)人開始交納保險(xiǎn)費(fèi)以后，保險(xiǎn)人帳戶上的資金數(shù)k值，我們關(guān)心的是，在第M個(gè)月時(shí)，F(xiàn)能否為非負(fù)數(shù)？如果為正，則表明保險(xiǎn)公M司獲得收益；如為負(fù)數(shù)，則表明保險(xiǎn)公司出現(xiàn)虧損。當(dāng)為零時(shí)，表明保險(xiǎn)公司最后一無所有，表明所有的收益全歸保險(xiǎn)人，把它作為保險(xiǎn)人的實(shí)際收益。從這個(gè)分析來看，引入變量F，很好地刻畫了整個(gè)過程中資金的變化關(guān)系，特別是引入收益率r，雖k然它不是我們所求的保險(xiǎn)人的收益率，但是從問題系統(tǒng)環(huán)境中來看，必然要考慮引入另一對象：保險(xiǎn)公司的經(jīng)營效益，以此作為整個(gè)過程中各種量變化的表現(xiàn)基礎(chǔ)。模型計(jì)算：以25歲起保為例。假設(shè)男性平均壽命為75歲，則有p=20,q=2282;N=420,M=600，初始值為F=0，我們可以得到：0F=F(1+r)k+p[(1+r)k-1],k=0,1,2,..,Nk0rF=F(、1+r)k-n-纟[(1+r)k-n-1],k=N+1,...,MkNr在上面兩式中，分別取k=N,和k=M并利用F=0可以求出：M(1+r)m-(1+—)(1+r)M一N+—=0pp利用數(shù)學(xué)軟件或利用牛頓法通過變成求出方程的跟為：r=0.00485同樣方法可以求出：35歲和45歲起保所獲得的月利率分別為r=0.00461,r=0.00413練習(xí)題：1、金融公司支付基金的流動(dòng)模型：某金融機(jī)構(gòu)設(shè)立一筆總額為S540萬的基金，分開放置位于A城和B城的兩個(gè)公司，基金在平時(shí)可以使用，但每周末結(jié)算時(shí)必須確?？傤~仍為S540萬。經(jīng)過一段時(shí)間運(yùn)行，每過一周，A城公司有10%的基金流動(dòng)到B城公司，而B城公司則有12%的基金流動(dòng)到A城公司。開始時(shí)，A城公司基金額為S260萬，B城公司為S280萬。試建立差分方程模型分析：兩公司的基金數(shù)額變化趨勢如何？進(jìn)一步要求，如果金融專家認(rèn)為每個(gè)公司的支付基金不能少于S220萬，那么是否需要在什么時(shí)間將基金做專門調(diào)動(dòng)來避免這種情況？

2、某保險(xiǎn)公司推出與養(yǎng)老結(jié)合的人壽保險(xiǎn)計(jì)劃，其中介紹的例子為：如果40歲的男性投保人每年交保險(xiǎn)費(fèi)1540元，交費(fèi)期20歲至60歲，則在他生存期間，45歲時(shí)（投保滿5年）可獲返還補(bǔ)貼4000元，50歲時(shí)（投保滿10年）可獲返還補(bǔ)貼5000元，其后每隔5年可獲增幅為1000元的返還補(bǔ)貼。另外，在投保人去世或殘廢時(shí)，其受益人可獲保險(xiǎn)金20000元。試建立差分方程模型分析：若該投保人的壽命為76歲，其交保險(xiǎn)費(fèi)所獲得的實(shí)際年利率是多少？而壽命若為74歲時(shí)，實(shí)際年利率又是多少？3、Leslie種群年齡結(jié)構(gòu)的差分方程模型已知一種昆蟲每兩周產(chǎn)卵一次，六周以后死亡（給除了變化過程的基本規(guī)律）。孵化后的幼蟲2周后成熟，平均產(chǎn)卵100個(gè)，四周齡的成蟲平均產(chǎn)卵150個(gè)。假設(shè)每個(gè)卵發(fā)育成2周齡成蟲的概率為0.09，（稱為成活率），2周齡成蟲發(fā)育成4周齡成蟲的概率為0.2。（1）假設(shè)開始時(shí)，0~2，2~4，4~6周齡的昆蟲數(shù)目相同，計(jì)算2周、4周、6周后各種周齡的昆蟲數(shù)目；（2）討論這種昆蟲各種周齡的昆蟲數(shù)目的演變趨勢：各周齡的昆蟲比例是否有一個(gè)穩(wěn)定值？昆蟲是無限地增長還是趨于滅亡？（3）假設(shè)使用了除蟲劑，已知使用了除蟲劑后各周齡的成活率減半，問這種除蟲劑是否有效？4、按年齡分組的種群增長一般模型及靈敏性分析對在問題3中的模型做進(jìn)一步的拓廣。對于某種群建立數(shù)學(xué)模型分析其數(shù)量變化規(guī)律，。這里分析的對象是特定的種群，變化過程可以按相等間隔的時(shí)段末來記錄。為了精確表現(xiàn)種群的變化，自然需要將種群進(jìn)行分類，不妨按與時(shí)間段長度相同的年齡進(jìn)行分組。為了簡化模型，