3.3能量量子化、聲子

第三節(jié)能量量子化、聲子3.3.1能量量子化本節(jié)主要內(nèi)容:3.3.2聲子第三節(jié)能量量子化、聲子3.3.1能量量子化本節(jié)主要內(nèi)晶格振動格波簡諧近似獨立的振動模式由B--K邊界條件q分立值聲子晶格振動能量量子化晶格振動格波簡諧近似獨立的振動模式由B--Kq分立值聲子晶格3.3.1能量量子化xn一維單原子鏈的情況由玻恩-卡門周期性邊界條件：q可以取N個值。§3.3能量量子化聲子3.3.1能量量子化xn一維單原子鏈的情況由玻恩-卡門周根據(jù)經(jīng)典力學(xué)，系統(tǒng)的總能量為勢能U和動能T之和。則：令拉格朗日函數(shù)：推導(dǎo)略根據(jù)經(jīng)典力學(xué)，系統(tǒng)的總能量為勢能U和動能T之和。則：令拉格朗Xn(t)是實數(shù)，(1)證明：Xn(t)是實數(shù)，(1)證明：(2)證明：若均為整數(shù)。(2)證明：若均為整數(shù)。333廣義動量：哈密頓函數(shù)：又：諧振子的振動方程廣義動量：哈密頓函數(shù)：又：諧振子的振動方程據(jù)量子力學(xué)，頻率為i的諧振子的振動能：由N個原子組成的一維單原子鏈的振動等價于N個諧振子的振動，諧振子的振動頻率就是晶格振動頻率。晶格振動能量：三維晶格振動的總能量為：其中N為晶體中的原胞個數(shù),n為每個原胞中的原子個數(shù)。據(jù)量子力學(xué)，頻率為i的諧振子的振動能：由N個原子組格波(晶格振動)的能量量子------聲子。晶格振動的能量是量子化的，能量單位為。3.3.2聲子聲子不是真實的粒子，稱為“準(zhǔn)粒子”，它反映的是晶格原子集體運動狀態(tài)的激發(fā)單元。聲子只存在于晶體中，脫離晶體后就沒有意義了。1.聲子是晶格振動的能量量子，其能量為，“準(zhǔn)動量”為。2.一個格波(一種振動模式)，稱為一種聲子(一個，q就是一種聲子)，當(dāng)這種振動模式處于本征態(tài)時，稱為有ni個聲子，ni為這種聲子的聲子數(shù)。格波(晶格振動)的能量量子------聲子。晶格振動的能量是3.由于晶體中可以激發(fā)任意個相同的聲子，所以聲子是玻色型的準(zhǔn)粒子，遵循玻色統(tǒng)計。4.當(dāng)電子(或光子)與晶格振動相互作用時，交換能量以為單位，若電子從晶格獲得能量，稱為吸收一個聲子，若電子給晶格能量，稱為發(fā)射一個聲子。在簡諧近似下，聲子是理想的玻色氣體，聲子間無相互作用。而非簡諧作用可以引入聲子間的相互碰撞，正是這種非簡諧作用保證了聲子氣體能夠達(dá)到熱平衡狀態(tài)。3.由于晶體中可以激發(fā)任意個相同的聲子，所以思考題2：溫度一定，一個光學(xué)波的聲子數(shù)目多，還是聲學(xué)波的聲子數(shù)目多？對同一個振動模式，溫度高時的聲子數(shù)目多，還是溫度低時的聲子數(shù)目多思考題1：什么叫簡正振動模式？簡正振動數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動模式數(shù)目是否是一回事？思考題3：在絕對0度時還有格波存在嗎？若存在，格波間還有能量交換嗎思考題2：溫度一定，一個光學(xué)波的聲子數(shù)目多，還是聲學(xué)波的聲子思考題1：什么叫簡正振動模式？簡正振動數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動模式數(shù)目是否是一回事？解答：為使問題簡化又能抓住主要矛盾，在分析討論晶格振動時，將原子間互相作用力的泰勒級數(shù)中的非線性項忽略掉的近似為簡諧近似。在簡諧近似下，由N個原子構(gòu)成的晶體的晶格振動，可等效成3N個獨立的諧振子的振動。每個諧振子的振動模式成為簡正振動模式，它對應(yīng)著所有的原子都以該模式的頻率做振動，它是晶格振動模式中最簡單最基本的振動形式。原子的振動，或者說格波的振動通常是這3N個簡正振動模式的線性疊加。簡正振動數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動模式數(shù)目是一回事，這個數(shù)目等于晶格中所有原子的自由度之和，級等于3N。思考題1：什么叫簡正振動模式？簡正振動數(shù)目、格波數(shù)目或格波振思考題2：溫度一定，一個光學(xué)波的聲子數(shù)目多，還是聲學(xué)波的聲子數(shù)目多？解答：頻率為ω的格波的平均聲子數(shù)為因為光學(xué)波的頻率ωO比聲學(xué)波頻率ωA高，大于因此在溫度一定的情況下，一個光學(xué)波的聲子數(shù)目少于一個光學(xué)波的聲子數(shù)目。思考題2：溫度一定，一個光學(xué)波的聲子數(shù)目多，還是聲學(xué)波的聲子思考題2：對同一個振動模式，溫度高時的聲子數(shù)目多，還是溫度低時的聲子數(shù)目多解答：設(shè)溫度TH>TL，由于小于所以對同一個振動模式，溫度高時的聲子數(shù)目多于溫度低時的聲子數(shù)目。思考題2：對同一個振動模式，溫度高時的聲子數(shù)目多，還是溫度低思考題3：在絕對0度時還有格波存在嗎？若存在，格波間還有能量交換嗎解答：頻率為ωi的格波的振動能為其中是由個聲子攜帶的熱振動能，是零點振動能，聲子數(shù)絕對零度時，頻率為ωi的格波的振動能只剩下零點振動能。格波間交換能量是靠聲子的碰撞實現(xiàn)的。絕對零度時，聲子消失，格波間不再交換能量。思考題3：在絕對0度時還有格波存在嗎？若存在，格波間還有能量第三節(jié)能量量子化、聲子3.3.1能量量子化本節(jié)主要內(nèi)容:3.3.2聲子第三節(jié)能量量子化、聲子3.3.1能量量子化本節(jié)主要內(nèi)晶格振動格波簡諧近似獨立的振動模式由B--K邊界條件q分立值聲子晶格振動能量量子化晶格振動格波簡諧近似獨立的振動模式由B--Kq分立值聲子晶格3.3.1能量量子化xn一維單原子鏈的情況由玻恩-卡門周期性邊界條件：q可以取N個值?！?.3能量量子化聲子3.3.1能量量子化xn一維單原子鏈的情況由玻恩-卡門周根據(jù)經(jīng)典力學(xué)，系統(tǒng)的總能量為勢能U和動能T之和。則：令拉格朗日函數(shù)：推導(dǎo)略根據(jù)經(jīng)典力學(xué)，系統(tǒng)的總能量為勢能U和動能T之和。則：令拉格朗Xn(t)是實數(shù)，(1)證明：Xn(t)是實數(shù)，(1)證明：(2)證明：若均為整數(shù)。(2)證明：若均為整數(shù)。333廣義動量：哈密頓函數(shù)：又：諧振子的振動方程廣義動量：哈密頓函數(shù)：又：諧振子的振動方程據(jù)量子力學(xué)，頻率為i的諧振子的振動能：由N個原子組成的一維單原子鏈的振動等價于N個諧振子的振動，諧振子的振動頻率就是晶格振動頻率。晶格振動能量：三維晶格振動的總能量為：其中N為晶體中的原胞個數(shù),n為每個原胞中的原子個數(shù)。據(jù)量子力學(xué)，頻率為i的諧振子的振動能：由N個原子組格波(晶格振動)的能量量子------聲子。晶格振動的能量是量子化的，能量單位為。3.3.2聲子聲子不是真實的粒子，稱為“準(zhǔn)粒子”，它反映的是晶格原子集體運動狀態(tài)的激發(fā)單元。聲子只存在于晶體中，脫離晶體后就沒有意義了。1.聲子是晶格振動的能量量子，其能量為，“準(zhǔn)動量”為。2.一個格波(一種振動模式)，稱為一種聲子(一個，q就是一種聲子)，當(dāng)這種振動模式處于本征態(tài)時，稱為有ni個聲子，ni為這種聲子的聲子數(shù)。格波(晶格振動)的能量量子------聲子。晶格振動的能量是3.由于晶體中可以激發(fā)任意個相同的聲子，所以聲子是玻色型的準(zhǔn)粒子，遵循玻色統(tǒng)計。4.當(dāng)電子(或光子)與晶格振動相互作用時，交換能量以為單位，若電子從晶格獲得能量，稱為吸收一個聲子，若電子給晶格能量，稱為發(fā)射一個聲子。在簡諧近似下，聲子是理想的玻色氣體，聲子間無相互作用。而非簡諧作用可以引入聲子間的相互碰撞，正是這種非簡諧作用保證了聲子氣體能夠達(dá)到熱平衡狀態(tài)。3.由于晶體中可以激發(fā)任意個相同的聲子，所以思考題2：溫度一定，一個光學(xué)波的聲子數(shù)目多，還是聲學(xué)波的聲子數(shù)目多？對同一個振動模式，溫度高時的聲子數(shù)目多，還是溫度低時的聲子數(shù)目多思考題1：什么叫簡正振動模式？簡正振動數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動模式數(shù)目是否是一回事？思考題3：在絕對0度時還有格波存在嗎？若存在，格波間還有能量交換嗎思考題2：溫度一定，一個光學(xué)波的聲子數(shù)目多，還是聲學(xué)波的聲子思考題1：什么叫簡正振動模式？簡正振動數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動模式數(shù)目是否是一回事？解答：為使問題簡化又能抓住主要矛盾，在分析討論晶格振動時，將原子間互相作用力的泰勒級數(shù)中的非線性項忽略掉的近似為簡諧近似。在簡諧近似下，由N個原子構(gòu)成的晶體的晶格振動，可等效成3N個獨立的諧振子的振動。每個諧振子的振動模式成為簡正振動模式，它對應(yīng)著所有的原子都以該模式的頻率做振動，它是晶格振動模式中最簡單最基本的振動形式。原子的振動，或者說格波的振動通常是這3N個簡正振動模式的線性疊加。簡正振動數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動模式數(shù)目是一回事，這個數(shù)目等于晶格中所有原子的自由度之和，級等于3N。思考題1：什么叫簡正振動模式？簡正振動數(shù)目、格波數(shù)目或格波振思考題2：溫度一定，一個光學(xué)波的聲子數(shù)目多，還是聲學(xué)波的聲子數(shù)目多？解答：頻率為ω的格波的平均聲子數(shù)為因為光學(xué)波的頻率ωO比聲學(xué)波頻率ωA高，大于因此在溫度一定的情況下，一個光學(xué)波的聲子數(shù)目少于一個光學(xué)波的聲子數(shù)目。思考題2：溫度一定，一個光學(xué)波的聲子數(shù)目多，還是聲學(xué)波的聲子思考題2：對同一個振動模式，溫度高時的聲子數(shù)目多，還是溫度低時的聲子數(shù)目多解答：設(shè)溫度TH>TL，由于小于所以對同一個振動模式，溫度高時的聲子數(shù)目多于溫度低時的聲子數(shù)目。思考題2：對同一個振動模式，溫