(新高考數(shù)學(xué))高考一輪復(fù)習(xí)核心考點講與練考點09《 解三角形》解析版

考點09解三角形（核心考點講與練）一、正弦定理和余弦定理1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理公式eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__C常見變形(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2.S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計算R，r.3.在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的個數(shù)一解兩解一解一解無解二、解三角形的實際應(yīng)用1.仰角和俯角在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖1).2.方位角指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖2).3.方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值.1.正弦定理和余弦定理其主要作用是將已知條件中的邊、角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系或邊的關(guān)系.2.在已知關(guān)系式中，既含有邊又含有角，通常的解題思路是：先將角都化成邊或邊都化成角，再結(jié)合正弦定理、余弦定理即可求解.3.在△ABC中，若a2＋b2<c2，由cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<0，可知角C為鈍角，則△ABC為鈍角三角形.4.不要搞錯各種角的含義，不要把這些角和三角形內(nèi)角之間的關(guān)系弄混.5.解決與平面幾何有關(guān)的計算問題關(guān)鍵是找清各量之間的關(guān)系，從而應(yīng)用正、余弦定理求解.正弦定理一、單選題1．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））在△ABC中，SKIPIF1<0，b＝6，下面使得三角形有兩組解的a的值可以為（

）A．4 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由正弦定理即可求解.【詳解】解：由題意，根據(jù)正弦定理有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，要使三角形有兩組解，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以a的值可以為SKIPIF1<0．故選：C．2．（2022·河南·模擬預(yù)測（理））已知在銳角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點M在邊AC上，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】運用正弦定理邊化角對等式變換求出SKIPIF1<0的值，再由角平分線的性質(zhì)利用面積相等求解即可.【詳解】依題意，由正弦定理可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故選：D．二、多選題3．（2022·廣東茂名·二模）如圖，在四面體ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面ABC，SKIPIF1<0，若四面體ABCD的外接球的表面積為SKIPIF1<0，則四面體ABCD的體積不可能是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】CD【分析】根據(jù)已知條件將三棱錐補為直三棱柱，找出球心，求出△ABC的外接圓半徑，從而求出棱長，分析△ABC面積的變化，從而得到三棱錐體積的范圍.【詳解】如圖：根據(jù)已知條件可將三棱錐補為直三棱柱，則三棱錐的外接球即為該三棱柱的外接球.設(shè)直三棱柱的上下底面三角形的外接圓圓心分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，外接球球心為O，則O為SKIPIF1<0中點，根據(jù)已知條件可知SKIPIF1<0＝AD＝AC.設(shè)外接球半徑為R，設(shè)上下底面三角形外接圓半徑為SKIPIF1<0＝r.由SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，OB＝R＝SKIPIF1<0，在△ABC中，由正弦定理知：SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中由勾股定理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AC＝AD＝2SKIPIF1<0.△ABC及其外接圓的如圖：I為AC中點，則CI＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)B為SKIPIF1<0延長線圓的交點時，易知tan∠IBC＝SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，和已知∠ABC的大小符合，∵∠ABC是優(yōu)弧SKIPIF1<0所對的角，∴當(dāng)點B在優(yōu)弧SKIPIF1<0上移動時，∠ABC始終為60°，∴△ABC面積最大為：SKIPIF1<0，∴三棱錐D－ABC的體積最大為：SKIPIF1<0.故答案為：CD.【點睛】本題關(guān)鍵是利用正弦定理求出△ABC的外接圓半徑，從而分析出△ABC面積的變化范圍.4．（2022··一模）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為銳角SKIPIF1<0三個內(nèi)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對邊，且SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0【答案】BD【分析】利用正弦定理角化邊結(jié)合余弦定理求出SKIPIF1<0，再利用正弦定理邊化角結(jié)合兩角和的正弦公式轉(zhuǎn)化為C的函數(shù)，結(jié)合銳角三角形求出C的范圍求范圍即可【詳解】由正弦定理得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，故B對，A錯；又SKIPIF1<0又銳角SKIPIF1<0中SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選：BD三、填空題5．（2022·陜西咸陽·二模（理））SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_______．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【分析】以正弦定理即可求得SKIPIF1<0的值.【詳解】SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0則由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<06．（2022·河南·二模（文））在鈍角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，AC=6，BC=5，則AB=___________.【答案】3【分析】根據(jù)大邊對大角，判定SKIPIF1<0為銳角，利用正弦定理求得SKIPIF1<0，進而求得SKIPIF1<0（兩個可能的值），然后利用兩角和的正弦公式求得SKIPIF1<0，進而利用正弦定理得到SKIPIF1<0，注意檢驗鈍角三角形的條件.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0為銳角，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，角SKIPIF1<0為銳角，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0也為銳角，SKIPIF1<0為銳角三角形，不合題意；當(dāng)SKIPIF1<0時，角SKIPIF1<0為鈍角，符合題意，此時SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案為：3四、解答題7．（2022·福建三明·模擬預(yù)測）SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，試判斷SKIPIF1<0的形狀，并說明理由；(2)若SKIPIF1<0為銳角三角形，其外接圓半徑為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0周長的取值范圍．【答案】(1)直角三角形，理由見解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）利用二倍角公式、正弦定理以及余弦定理可求得SKIPIF1<0的值，結(jié)合角SKIPIF1<0的取值范圍可求得角SKIPIF1<0的值，再利用三角形的內(nèi)角和定理以及已知條件可求得角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值，即可判斷出SKIPIF1<0的形狀；（2）利用正弦定理可得出SKIPIF1<0，利用三角恒等變換可得出SKIPIF1<0，求出角SKIPIF1<0的取值范圍，利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得SKIPIF1<0的取值范圍.(1)解：因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時，SKIPIF1<0為直角三角形.(2)解：由正弦定理可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為銳角三角形，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.三角形面積公式一、填空題1．（2022·重慶·二模）點M在△ABC內(nèi)部，滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0____________．【答案】SKIPIF1<0##3:4【分析】分別延長SKIPIF1<0至SKIPIF1<0至SKIPIF1<0至SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0.根據(jù)已知條件可得點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心，根據(jù)重心性質(zhì)可知SKIPIF1<0，再根據(jù)三角形面積公式SKIPIF1<0、SKIPIF1<0及邊長倍數(shù)關(guān)系可得各需求的三角形面積之間的比例關(guān)系.【詳解】如圖，分別延長SKIPIF1<0至SKIPIF1<0至SKIPIF1<0至SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心，延長EM交DF于G，則MG＝SKIPIF1<0EG，過M作MH⊥DF于H，過E作EI⊥DF與I，則MH＝SKIPIF1<0EI，故SKIPIF1<0，同理可證SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0：SKIPIF1<0.故答案為：3:4.2．（2022·江蘇·新沂市第一中學(xué)模擬預(yù)測）英國數(shù)學(xué)家莫利提出：將三角形各內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相交于一點，則這樣的三個交點構(gòu)成一個正三角形（如下圖所示）.若△SKIPIF1<0為等腰直角三角形，且SKIPIF1<0，則△SKIPIF1<0的面積是___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中點，連接SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，根據(jù)題設(shè)角的關(guān)系、三角形全等及相似可得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，結(jié)合已知可得SKIPIF1<0，即可求x值，應(yīng)用三角形面積公式求△SKIPIF1<0的面積.【詳解】若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中點，連接SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，由題設(shè)知：△SKIPIF1<0△SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則△SKIPIF1<0△SKIPIF1<0△SKIPIF1<0△SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又△SKIPIF1<0△SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故△SKIPIF1<0的面積是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0二、解答題3．（2022·福建·模擬預(yù)測）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0為等腰三角形；(2)設(shè)SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，若___________，求SKIPIF1<0的值.在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0三個選項中，選擇一個填入上面空白處，并求解.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【分析】（1）由余弦定理化簡即可得出；（2）選①，由SKIPIF1<0化簡可求出SKIPIF1<0，即可求解；選②，由已知可得SKIPIF1<0，由余弦定理求得SKIPIF1<0，即可得出面積；選③，由已知求出SKIPIF1<0即可求出面積.(1)因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由余弦定理可知，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為等腰三角形；(2)選①，由（1）可知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；選②，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；選③，因為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.4．（2022·湖南·雅禮中學(xué)二模）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值.【答案】SKIPIF1<0【分析】利用兩角和差公式化簡已知等式得到SKIPIF1<0，利用正余弦定理邊角互化可用SKIPIF1<0表示出SKIPIF1<0；利用三角形面積公式可用SKIPIF1<0表示出SKIPIF1<0，根據(jù)同角三角函數(shù)平方關(guān)系可整理得到關(guān)于SKIPIF1<0的一元二次方程，根據(jù)方程有解可求得SKIPIF1<0的范圍，進而得到最小值.【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由正弦定理可得：SKIPIF1<0，由余弦定理得：SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.5．（2022·重慶八中模擬預(yù)測）已知SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D是邊BC上一點，且SKIPIF1<0的面積是SKIPIF1<0的面積的2倍.(1)證明：AD平分SKIPIF1<0﹔(2)若SKIPIF1<0，求BC.【答案】(1)證明見解析.(2)3【分析】（1）先由面積關(guān)系得到SKIPIF1<0.延長CA到E,使SKIPIF1<0，聯(lián)結(jié)BE.證明出SKIPIF1<0，進而證明出SKIPIF1<0.即為AD平分SKIPIF1<0﹔（2）可設(shè)SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0.利用余弦定理列方程解得m=1.即求出SKIPIF1<0.(1)由題意：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0的面積是SKIPIF1<0的面積的2倍，所以SKIPIF1<0.延長CA到E,使SKIPIF1<0,聯(lián)結(jié)BE.因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.即AD平分SKIPIF1<0﹔(2)由（1）可知，SKIPIF1<0.所以可設(shè)SKIPIF1<0由余弦定理得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，解得:m=1.所以SKIPIF1<0.6．（2022·江蘇·南京市第一中學(xué)三模）在SKIPIF1<0中，D為SKIPIF1<0上靠近點C的三等分點，且SKIPIF1<0．記SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）利用正弦定理可得SKIPIF1<0，再在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0中分別用余弦定理，再根據(jù)SKIPIF1<0，利用誘導(dǎo)公式即可得到SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，最后根據(jù)面積公式計算可得；（2）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0及三角函數(shù)的性質(zhì)計算可得；(1)解：因為SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上靠近點SKIPIF1<0的三等分點，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中由余弦定理SKIPIF1<0即SKIPIF1<0①，在SKIPIF1<0中由余弦定理SKIPIF1<0即SKIPIF1<0②，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0(2)解：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0顯然SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<07．（2022·遼寧錦州·一模）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點M在邊AC上，BM平分SKIPIF1<0，△ABM的面積是△BCM面積的2倍.(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求△ABC的面積.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）首先表示SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的面積，再結(jié)合正弦定理求SKIPIF1<0的值；（2）首先根據(jù)余弦定理求SKIPIF1<0，再求SKIPIF1<0，即可求得SKIPIF1<0的面積.(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0.(2)由（1）知SKIPIF1<0，由余弦定理SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.8．（2022·河北·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，已知D是邊BC上一點．且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0；(2)求△ABC的面積．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）在SKIPIF1<0中，利用余弦定理求出SKIPIF1<0，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中由余弦定理求出SKIPIF1<0，最后由正弦定理計算可得；（2）直接由三角形面積公式計算可得；(1)解：在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0由正弦定理SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0(2)解：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0余弦定理一、單選題1．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知橢圓SKIPIF1<0的上頂點SKIPIF1<0，左右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0連接SKIPIF1<0，并延長交橢圓于另一點P，若SKIPIF1<0，則橢圓C的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)題意及橢圓的定義，可求得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的長，根據(jù)三角函數(shù)定義，求得SKIPIF1<0根據(jù)余弦定理，可求得SKIPIF1<0，根據(jù)兩角的關(guān)系，列出方程，代入離心率公式，即可得答案.【詳解】由題意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由橢圓的定義可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.故選：C2．（2022·湖南益陽·一模）如圖，已知等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0上的動點，則SKIPIF1<0（

）A．為定值10 B．為定值6C．最大值為18 D．與P的位置有關(guān)【答案】A【解析】設(shè)SKIPIF1<0，根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)，結(jié)合平面向量的加法的幾何意義、余弦定理、平面向量的數(shù)量積的定義進行求解即可.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)，考查了平面向量數(shù)量積的定義，考查了平面向量的加法的幾何意義，考查了數(shù)學(xué)運算能力.二、多選題3．（2022·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列命題為真命題的有（

）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為銳角三角形C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為直角三角形D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為直角三角形【答案】ACD【分析】利用正弦定理判斷選項A，利用數(shù)量積的性質(zhì)判斷選項B和C，利用數(shù)量積的性質(zhì)和余弦定理判斷選項D．【詳解】解：A：若SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則A正確；B：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為鈍角，SKIPIF1<0為鈍角三角形，故B錯誤；C：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為直角三角形，故C正確；D：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為直角三角形，故D正確．故選：ACD．4．（2022·湖北·一模）我們把經(jīng)過同一頂點的三條棱兩兩垂直的三棱錐，稱作直角三棱錐.在直角三棱錐S?ABC中，側(cè)棱SA?SB?SC兩兩垂直，設(shè)SA=a，SB=b，SC=c，點S在底面ABC的射影為點D，三條側(cè)棱SA?SB?SC與底面所成的角分別為SKIPIF1<0?SKIPIF1<0?SKIPIF1<0，下列結(jié)論正確的有（

）A．D為△ABC的外心 B．△ABC為銳角三角形C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BCD【分析】對于A，連接SKIPIF1<0并延長交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，可證得SKIPIF1<0，同理可證得SKIPIF1<0，從而可判斷，對于B，由勾股定理結(jié)合余弦定理判斷，對于C，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，然后結(jié)合已知條件判斷，對于D，利用由等面積法求解判斷【詳解】連接SKIPIF1<0并延長交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SA?SB?SC兩兩垂直，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理可證得SKIPIF1<0，故D應(yīng)為SKIPIF1<0的垂心，故選項A不正確；由勾股定理可得，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為銳角，同理可得SKIPIF1<0都為銳角，所以SKIPIF1<0為銳角三角形，故選項B正確；設(shè)SKIPIF1<0，則由題意得SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0?SKIPIF1<0?SKIPIF1<0都為銳角，所以SKIPIF1<0，選項C正確；由選項A可知，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由等面積法可得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選項D正確.故選：BCD三、填空題5．（2022·江蘇無錫·模擬預(yù)測）(1)若數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0，則該數(shù)列中的最小項的值為__________．(2)若SKIPIF1<0的展開式中含有常數(shù)項，則n的最小值等于__________．(3)如圖所示的數(shù)陣中，用SKIPIF1<0表示第m行的第n個數(shù)，則以此規(guī)律SKIPIF1<0為__________．(4)SKIPIF1<0的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，有下列結(jié)論：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0；④當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0為鈍角三角形．其中正確的是__________SKIPIF1<0填寫所有正確結(jié)論的編號SKIPIF1<0【答案】

SKIPIF1<0##SKIPIF1<0

2

SKIPIF1<0

①②④【分析】(1)令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，求導(dǎo)判斷單調(diào)性，根據(jù)f(x)單調(diào)性即可求SKIPIF1<0單調(diào)性和最小項的值；(2)求SKIPIF1<0的通項，令其通項x的次數(shù)為0或－3，求出對應(yīng)的n的最小值，比較即可得出n的最小值；(3)規(guī)律：①設(shè)第n行第1個分?jǐn)?shù)的分母為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②從第三行起，每一行的第二個數(shù)的分母都等于上一行的第一個數(shù)的分母和第二個數(shù)的分母之和﹒根據(jù)這兩個規(guī)律即可求出SKIPIF1<0；(4)①根據(jù)SKIPIF1<0即可求出t的范圍；②結(jié)合余弦定理和SKIPIF1<0即可求出m的范圍；③求出b、c，根據(jù)三角形面積公式即可求面積；④利用余弦定理判斷cosC的正負(fù)即可判斷三角形為鈍角三角形.【詳解】(1)令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，∴數(shù)列SKIPIF1<0在1≤n≤12時遞減，在n≥13時遞增，∵n＝12離SKIPIF1<0更近，故當(dāng)SKIPIF1<0時，數(shù)列SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0的展開式的通項為SKIPIF1<0，由題意，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，則r＝4時，n取最小值5；令SKIPIF1<0得n＝SKIPIF1<0，則r＝2時，n取最小值2.綜上，n的最小值為2.(3)由題可知，設(shè)第n行第1個分?jǐn)?shù)的分母為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，累加可得SKIPIF1<0，故第6、7行第一個分?jǐn)?shù)分母分別為28、36.觀察數(shù)陣，不難發(fā)現(xiàn)，從第三行起，每一行的第二個數(shù)的分母都等于上一行的第一個數(shù)的分母和第二個數(shù)的分母之和，據(jù)此可求出第6行第二個分?jǐn)?shù)分母為21＋37＝58，第7行第2個分?jǐn)?shù)分母為28＋58＝86，第8行第2個分?jǐn)?shù)分母為36＋86＝122，如圖所示.故SKIPIF1<0為：SKIPIF1<0.(4)對于①，根據(jù)題意，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故可設(shè)SKIPIF1<0.則有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，變形可得SKIPIF1<0，故①正確；對于②，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故②正確；對于③，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，則a邊上的高為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故③錯誤；對于④，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故C為鈍角，SKIPIF1<0為鈍角三角形，故④正確.故正確的有：①②④.故答案為：SKIPIF1<0；2；SKIPIF1<0；①②④.6．（2022·廣東茂名·二模）正三棱錐S-ABC的底面邊長為4，側(cè)棱長為SKIPIF1<0，D為棱AC的中點，則異面直線SD與AB所成角的余弦值為__________．【答案】SKIPIF1<0【分析】取BC的中點E，連接SE，DE，則SKIPIF1<0（或其補角）為異面直線SD與AB所成的角，利用余弦定理計算即可得出結(jié)果.【詳解】取BC的中點E，連接SE，DE，則SKIPIF1<0（或其補角）為異面直線SD與AB所成的角，由題意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<07．（2022·江西·模擬預(yù)測（理））在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0若對任意SKIPIF1<0,不等式SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0的最大值為___________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0點睛：在解答三角形中關(guān)于邊長的最值問題時，往往需要對其進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的求值問題．利用正弦定理或者余弦定理進行轉(zhuǎn)化，然后借助輔助角來求最值，本題具有一定的難度．四、解答題8．（2022·湖南岳陽·二模）在SKIPIF1<0中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足SKIPIF1<0(1)求角B；(2)在①SKIPIF1<0的外接圓的面積為SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0的周長為12，③SKIPIF1<0，這三個條件中任選一個，求SKIPIF1<0的面積的最大值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）由已知，根據(jù)給的SKIPIF1<0，先使用正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化全部轉(zhuǎn)化成角的關(guān)系，然后再利用SKIPIF1<0,把SKIPIF1<0換掉，展開和差公式合并同類項，然后根據(jù)角B的取值范圍，即可完成求解；（2）由已知，根據(jù)第（1）問計算出的角B，若選①，現(xiàn)根據(jù)給的外接圓的面積計算出外接圓半徑R，然后根據(jù)角B利用正弦定理計算出邊長b，然后使用余弦定理結(jié)合基本不等式求解ac的最值，即可完成面積最值得求解；若選②，利用SKIPIF1<0，表示出三邊關(guān)系，利用余弦定理借助基本不等式求解出a+c的最值，然后再利用基本不等式找到ac與a+c的關(guān)系，從而求解出面積的最值；若選③，可根據(jù)邊長b、角B借助余弦定理使用基本不等式直接求解出ac的最值，即可完成面積最值得求解.(1)∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0(2)若選①，設(shè)SKIPIF1<0的外接圓半徑為R，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0由余弦定理，得：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時，等號成立.即SKIPIF1<0的面積的最大值為SKIPIF1<0若選②∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0由余弦定理SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0（舍）或SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時等號成立∴SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時等號成立若選③，由余弦定理，得：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時，等號成立.∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0的面積的最大值為SKIPIF1<09．（2022·重慶市育才中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點O是AC的中點，點P在線段MC上，(1)證明：SKIPIF1<0平面ABC；(2)若SKIPIF1<0，直線AP與平面ABC所成的角為SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的余弦值的大小【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0.【分析】（1）連接BO，由給定條件證明SKIPIF1<0，再由線面垂直的判斷推理作答.（2）在平面ABC內(nèi)過O作SKIPIF1<0，再以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量計算作答.(1)連接BO，如圖，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ABC，所以SKIPIF1<0平面ABC.(2)由（1）可得，平面SKIPIF1<0平面ABC，AP在平面ABC內(nèi)射影為AC，即SKIPIF1<0為直線AP與平面ABC所成的角，SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，則點P為線段MC的中點，在SKIPIF1<0中，過O作SKIPIF1<0交BC于D，則OD，OC，OM兩兩垂直，以點O為原點，射線OD，OC，OM分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，不妨令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面PAB的法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又平面ABC的法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而二面角SKIPIF1<0的平面角為銳角，所以二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0.10．（2022·山東·濟南市歷城第二中學(xué)模擬預(yù)測）△SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0.【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式及三角形內(nèi)角性質(zhì)可得SKIPIF1<0，再由正弦定理的邊角關(guān)系即可證結(jié)論.（2）由（1）及題設(shè)可得SKIPIF1<0，進而求得SKIPIF1<0，應(yīng)用余弦定理及正弦定理邊角關(guān)系求SKIPIF1<0，即可求SKIPIF1<0，注意根據(jù)B的范圍判斷符號，最后利用SKIPIF1<0及和角余弦公式求值即可.(1)由題設(shè)，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.(2)由（1）及題設(shè)，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1