北師大版-數(shù)學(xué)選修3數(shù)學(xué)史課件：第三章-數(shù)與數(shù)系的發(fā)展

第三章數(shù)與數(shù)系的發(fā)展主要內(nèi)容原始人類的數(shù)感（NumberSence）數(shù)的抽象概念與數(shù)的符號(hào)數(shù)域擴(kuò)張（簡(jiǎn)稱“擴(kuò)域”）形成五大數(shù)系公理化的方法創(chuàng)造超復(fù)數(shù)四元數(shù)一一對(duì)應(yīng)的計(jì)數(shù)方法超限數(shù)的連續(xù)假設(shè)第三章數(shù)與數(shù)系的發(fā)展主要內(nèi)容3.1數(shù)的起源

“數(shù)和形的概念不是從其它任何地方，而是從現(xiàn)實(shí)世界中得來的?！睂?duì)數(shù)的起源的進(jìn)程歸結(jié)為：依賴于本能感覺，形成一一對(duì)應(yīng)的計(jì)數(shù)方法，建立集合的等價(jià)關(guān)系并給出其一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)（或代表集合）規(guī)定符號(hào)。3.1數(shù)的起源

“數(shù)和形的概念不是從其它任何地方，而是從3.1.1數(shù)感

數(shù)感，即感知事物多少的心理能力。原始人類較早的“有”與“無”、“多”與“少”的認(rèn)識(shí)某些鳥類和黃蜂具有數(shù)感，例如，烏鴉的數(shù)感3.1.1數(shù)感

數(shù)感，即感知事物多少的心理能力。3.1.2一一對(duì)應(yīng)計(jì)數(shù)法與進(jìn)位制

一一對(duì)應(yīng)的計(jì)數(shù)方法例如，是用手指計(jì)數(shù)物體的個(gè)數(shù)荷馬（約公元前9~8世紀(jì)）的詩史中，獨(dú)眼巨人波呂斐摩斯用石子計(jì)數(shù)羊只澳洲土著人用身體的各部分來對(duì)應(yīng)自然數(shù)一一對(duì)應(yīng)的計(jì)數(shù)方法很容易形成自然數(shù)的概念,它是數(shù)概念發(fā)展的重要途徑。3.1.2一一對(duì)應(yīng)計(jì)數(shù)法與進(jìn)位制

一一對(duì)應(yīng)的計(jì)進(jìn)位制當(dāng)計(jì)數(shù)較多的實(shí)物時(shí)，人類學(xué)會(huì)了一次用更大的單位計(jì)數(shù)的方法。如，五進(jìn)制：一五，一十，十五，二十，……十進(jìn)制，這時(shí)從1到10的十個(gè)數(shù)都有自己的特殊名稱，而從11開始，就用10的進(jìn)位表示了。在英語中，eleven意指“剩下”或“比10多1”，twelve意指“比10多2”，thirteen即“3和10”，……；twenty意指“兩個(gè)10”，而hundred則指“10個(gè)10”。進(jìn)位制古代巴比倫人的六十進(jìn)位制瑪雅數(shù)系中的二十進(jìn)位制計(jì)算機(jī)技術(shù)中的二進(jìn)位制進(jìn)位制的轉(zhuǎn)化例如，四進(jìn)制數(shù)（3021）4轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的方法為：（3021）4=3·43+0·42+1·4+2=198古代巴比倫人的六十進(jìn)位制3.1.3度量的數(shù)

使用具有確定標(biāo)準(zhǔn)的容器、長(zhǎng)度（稱為單位）等去度量，度量出的次數(shù)之大小就產(chǎn)生量的概念。人類的度量活動(dòng)是產(chǎn)生數(shù)概念的途徑之一。度量數(shù)可以發(fā)展非整數(shù)性的小數(shù)和分?jǐn)?shù)的概念3.1.3度量的數(shù)

使用具有確定標(biāo)準(zhǔn)的容器、長(zhǎng)度（稱為單如，畢德哥拉斯學(xué)派從音調(diào)的不同高度中抽象出數(shù)的理念，在古代中國的“黃鐘起度”的傳說圖3.1是西漢末年王莽律嘉量斛的結(jié)構(gòu)示意圖；中間大的圓柱為斛量，中間底部圓柱形為斗，左右兩邊各有一耳，都呈圓柱形，左耳為升量，右耳上為合量、下為龠量。如，畢德哥拉斯學(xué)派從音調(diào)的不同高度中抽象出數(shù)的理念，圖3.3.1.4抽象的數(shù)數(shù)與被計(jì)算的東西分離開來了，出現(xiàn)了1，2，3，…這些無名數(shù)，無名數(shù)的出現(xiàn)標(biāo)志著抽象的數(shù)概念的產(chǎn)生，懷特海（1861~1947）：“首先注意到七條魚和七天的共同點(diǎn)的人畢竟使思想史前進(jìn)了一大步。他是第一個(gè)具有純數(shù)學(xué)觀念的人”。教育的啟示學(xué)會(huì)1、2、3，…的概念，并不意味著就可以脫離具體事物進(jìn)行抽象的數(shù)的思維。相反，當(dāng)人們接觸到數(shù)的符號(hào)或名稱時(shí)，仍然與那些需要計(jì)算對(duì)象的某些具體表象聯(lián)系在一起。3.1.4抽象的數(shù)數(shù)與被計(jì)算的東西分離開來了，出現(xiàn)了13.1.5神秘的數(shù)神秘?cái)?shù)廣泛存在于古代人類社會(huì)，數(shù)字在這里不表示什么同類的序列，也不用于最簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)運(yùn)算，而是利用數(shù)本身的神秘性來預(yù)卜事物的未來。數(shù)被想象成具有神秘屬性的代表物，它便通過宗教、神話來影響人類的生活。原始人類對(duì)自然的認(rèn)識(shí)是有限的，往往借助數(shù)——這個(gè)思維的抽象物，來解釋世界上無法理解或控制的各種現(xiàn)象。于是神秘?cái)?shù)就被不斷用于卜筮、祈禱或其它宗教活動(dòng)之中。甚至成為治國的工具。3.1.5神秘的數(shù)神秘?cái)?shù)廣泛存在于古代人類社會(huì)，數(shù)字在這里如，夏王朝的“天有九野，地有九州，王有九鼎，籌有《九疇》”的治國方針。夏王朝將天分為“九天”；地為“九州”，并將州的官員稱為“牧”。九州牧貢銅，鑄造九鼎，以九鼎象征九州，向天下昭示自己為九州之主。春秋時(shí)期，用于籌算的“九九”表在中國也普遍使用。這或許可以看出，神秘?cái)?shù)與運(yùn)算中的數(shù)在歷史發(fā)展中的先后順序。如，夏王朝的“天有九野，地有九州，王有九鼎，籌有3.2數(shù)的表示方法3.2.1結(jié)繩與書契結(jié)繩記數(shù)成為人類早期表示記數(shù)的方法圖3.2臺(tái)灣高山族的結(jié)繩（現(xiàn)藏中央民族大學(xué)）中國古籍上記有伏羲“結(jié)繩而治”。

3.2數(shù)的表示方法結(jié)繩記數(shù)成為人類早期表示記數(shù)的方法圖3.3日本琉球群島的結(jié)繩結(jié)繩記數(shù)成為人類早期表示記數(shù)的方法“書契”，就是刻劃。“書”是劃痕，“契”是刻痕如，在青海，1974年至1978年出土一批帶刻口的骨片，是新石器時(shí)代末期用于記事、記數(shù)的實(shí)物?！皶酢?，就是刻劃?！皶笔莿澓?，“契”是刻痕3.2.2文字記數(shù)

新石器時(shí)代中晚期的遺址（西安半坡、山東城子崖等都出現(xiàn)了數(shù)字符號(hào)。如，在西安半坡人的遺址（距今約5000~6000年）中，發(fā)現(xiàn)陶器上刻的符號(hào)中有數(shù)字符號(hào)：“”（五）、“”（六）、“”（七）、“”（八）、“”（十）、“”（二十）3.2.2文字記數(shù)

新石器時(shí)代中晚期的遺址（西安半坡、

商代的甲骨文“金文”（“鐘鼎文”或“彝銘”）的十進(jìn)制。個(gè)、十、百、千、萬五個(gè)十進(jìn)制的數(shù)字（盡管表達(dá)形式尚不統(tǒng)一）都能準(zhǔn)確無誤的給以表達(dá)。商代對(duì)于數(shù)字的表述尚未形成位值制，但在沿襲前人數(shù)字符號(hào)表示法的基礎(chǔ)上，又創(chuàng)造了百、千、萬等數(shù)字名稱。表示數(shù)的符號(hào)在人類歷史上經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的演變過程，一直到1522年所謂阿拉伯?dāng)?shù)碼（叫印度數(shù)碼更確切些）才被世界各國所接受。中國到1892年才開始采用阿拉伯?dāng)?shù)碼，但數(shù)的寫法還是豎寫，直到20世紀(jì)才采用現(xiàn)代寫法。商代的甲骨文“金文”（“鐘鼎文”或“彝銘”）的3.2.3位值制記數(shù)法十進(jìn)制的位值記數(shù)法，它不僅采用十進(jìn)制，而且在不同位置上的數(shù)碼，表示這個(gè)數(shù)碼與10的某個(gè)冪次的乘積。即用位置來表示數(shù)。3.2.3位值制記數(shù)法十進(jìn)制的位值記數(shù)法，它不僅采用中國古代的籌算中的位值制記數(shù)法?；I式的數(shù)碼有縱、橫兩種形式：123456789縱式橫式中國古代的籌算中的位值制記數(shù)法。籌式數(shù)字?jǐn)[放的方法規(guī)定：個(gè)位、百位、萬位以上的數(shù)用縱式，十位、千位、十萬位上的數(shù)用橫式，縱橫相間，以免發(fā)生誤會(huì)；又規(guī)定用空位來表示零。例如197和1907的籌式分別表示為和籌式數(shù)字?jǐn)[放的方法規(guī)定：個(gè)位、百位、萬位以上的數(shù)用不完全的定位制――“累加制”，它是同一單位用同一符號(hào)累加，達(dá)到較高單位時(shí)才換一個(gè)新符號(hào)。如羅馬數(shù)字采用五進(jìn)累加制，它用大寫拉丁字母表示數(shù)的單位：I（1）,V（5）,X（10）,L（50）,C（100）,D（500）,M（1000）。在表示其它數(shù)時(shí)，大單位在左，小單位在右，表示累加，如VⅡ(7);若大單位在右、小單位在左，表示減法，如IV(4)。不完全的定位制――“累加制”，它是同一單位用同一符號(hào)巴比倫人發(fā)展了應(yīng)用定位不完全的60進(jìn)位制的數(shù)系一方面，60以上的數(shù)目依定位原則寫出；另一方面，60以內(nèi)的數(shù)則按照以十進(jìn)制的簡(jiǎn)單分群數(shù)系寫出，如524,551=2×603+25×602+42×60+31=其中分別代表1和10。巴比倫人發(fā)展了應(yīng)用定位不完全的60進(jìn)位制的數(shù)系

埃及象形文字?jǐn)?shù)系是以10進(jìn)位制為基礎(chǔ)的。用來表示1和10的頭幾次方的稱號(hào)是：埃及象形文字?jǐn)?shù)系是以10進(jìn)位制為基礎(chǔ)的。用來表示1任何數(shù)現(xiàn)在都可以用這些符號(hào)相加的方法給以表示了，其中每一個(gè)符號(hào)重復(fù)必要的次數(shù)。于是，13015=1×104+3×103+1×10+5=另外，埃及人比較習(xí)慣于從右往左寫，而我們寫這個(gè)數(shù)，還是從左往右。任何數(shù)現(xiàn)在都可以用這些符號(hào)相加的方法給以表示了，其中古代瑪雅人的數(shù)系是16世紀(jì)在墨西哥發(fā)現(xiàn)的。研究認(rèn)為，法定的瑪雅年是360天，因此其數(shù)系本質(zhì)上是二十進(jìn)制。但從第二次數(shù)群的冪次不是202，而是18×20，對(duì)于更高次的數(shù)群亦采用18×20n的形式。如：43，480=6×18×202+0×18×20+14×20。當(dāng)然，古代瑪雅人沒有計(jì)算符號(hào)，其數(shù)字是由表示6、0、14的符號(hào)自上而下排列的。古代瑪雅人的數(shù)系是16世紀(jì)在墨西哥發(fā)現(xiàn)的。研究認(rèn)為，法定3.2.4干支記數(shù)法干支記數(shù)法是一種特有的60進(jìn)制的記數(shù)方法十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥3.2.4干支記數(shù)法干支記數(shù)法是一種特有的60進(jìn)制的六十甲子

干支干支干支干支干支干支干支干支干支干支甲子乙丑丙寅丁卯戊辰己巳庚午辛未壬申癸酉甲戌乙亥丙子丁丑戊寅己卯庚辰辛巳壬午癸未甲申乙酉丙戌丁亥戊子己丑庚寅辛卯壬辰癸巳甲午乙未丙申丁酉戊戌己亥庚子辛丑壬寅癸卯甲辰乙巳丙午丁未戊申己酉庚戌辛亥壬子癸丑甲寅乙卯丙辰丁巳戊午己未庚申辛酉壬戌癸亥六十甲子

干支干支干支干支干支干支干支干支干支干支甲子乙丑丙圖3.4甲骨文中的干支表拓片如圖3.4。這些干支表盡管都有些殘損，但從排列上看，全是由上到下豎行排列，而且都是甲起頭，10對(duì)一行，排列整齊，說明商代人已有了序數(shù)的概念。甲骨文中的干支表圖3.4甲骨文中的干支表拓片甲骨文中的干支表中國早在商代就使用干支紀(jì)日法。干支紀(jì)年，始于東漢初年如，殷商的帝王們也大多用其出生的那一天的干支名來命名。據(jù)考證，中國古代自春秋時(shí)期魯隱公三年（公元前720年）二月己巳日（這天發(fā)生一次全日食）起，就開始連續(xù)使用干支紀(jì)日，直至清末，2600年從未間斷，這是世界上使用時(shí)間最長(zhǎng)的紀(jì)日法。干支紀(jì)年，我們今天仍用在農(nóng)歷紀(jì)年上，近代史上許多重大事件，也常以該事件發(fā)生的干支年號(hào)來命名，如“辛亥革命”、“甲午戰(zhàn)爭(zhēng)”、“辛丑條約”、“庚子賠款”等。中國早在商代就使用干支紀(jì)日法。干支紀(jì)年，始于東漢初年3.3數(shù)系在計(jì)算中發(fā)展3.3.1負(fù)數(shù)在中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中，較早形成負(fù)數(shù)和相關(guān)運(yùn)算法則?！毒耪滤阈g(shù)》方程章中提出了負(fù)數(shù)的概念以及它們的運(yùn)算法則：“異名相除，同名相益，正無入正之，負(fù)無入負(fù)之”。在古代演算使用算籌進(jìn)行的。為了區(qū)分正負(fù)數(shù)，劉徽在注文中說“正算赤，負(fù)算黑，否則以斜正為異。”如表示+6，表示—6。3.3數(shù)系在計(jì)算中發(fā)展3.3.1負(fù)數(shù)西方數(shù)學(xué)家更多地是研究負(fù)數(shù)存在的合理性如，16、17世紀(jì)的帕斯卡認(rèn)為從0減去4是純粹的胡說帕斯卡的朋友阿潤(rùn)德提出一種有趣的說法來反對(duì)負(fù)數(shù)，他說如果(－1)：1=1：(－1)，那么較小數(shù)與較大數(shù)的比怎么等于較大數(shù)與較小數(shù)的比呢？英國數(shù)學(xué)家瓦里士認(rèn)為負(fù)數(shù)小于零而大于無窮大（1655）。他對(duì)此解釋道：因?yàn)闀r(shí)，。而負(fù)數(shù)故。英國著名代數(shù)學(xué)家德·摩根在1831年仍認(rèn)為負(fù)數(shù)是虛構(gòu)的。他用以下的例子說明這一點(diǎn)：“父親56歲，其子29歲。問何時(shí)父親的年齡將是兒子的2倍？”他列方程56+x=2（29+x），開解得x=－2。他稱此解是荒唐的。當(dāng)然，歐洲在18世紀(jì)排斥負(fù)數(shù)的人已經(jīng)不多了。隨著19世紀(jì)整數(shù)的理論基礎(chǔ)的建立，負(fù)數(shù)在邏輯上的合理性才真正確立。西方數(shù)學(xué)家更多地是研究負(fù)數(shù)存在的合理性如，16、17世3.3.2無理數(shù)公元前5世紀(jì)，圖3.5黃金比的幾何作圖法(一)畢德哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)了一些直角三角形的三邊不能用整數(shù)或整數(shù)之比來表示的事實(shí)3.3.2無理數(shù)公元前5世紀(jì)，圖3.5黃金比的幾何作圖圖3.6黃金比的幾何作圖法(二)在古希臘幾何學(xué)家試圖作正五邊形時(shí),就曾遇到過一個(gè)有趣的無理數(shù)。為了作正五邊形，只要能作出360的角即可，因?yàn)檫@個(gè)角的二倍（即720的角）是圓內(nèi)接正五邊形一邊所對(duì)的圓心角。于是問題轉(zhuǎn)化為作頂角為360的等腰三角形。為此，如圖3.5中，設(shè)AC平分底角OAB。這時(shí)，OC=AC=AB，且△BAC與△AOB相似。取OA=1，設(shè)AB=x，于是有AB/BC=OA/AB，x/（1－x）=1/x，即x2+x－1=0。由此得到x=（－1）/2。運(yùn)用古希臘尺規(guī)作圖的方法，不難作出這樣的x：圖3.6黃金比的幾何作圖法(二)如圖3.6所示，其中OA=1，MO=1/2，因而AM=/2，以及AB=AN=AM－MN=（－1）/2=x。這里的無理數(shù)x被稱為“黃金比”（有的資料上把它的倒數(shù)（+1）/2≈1.618稱為“黃金比”），它在自然界中，以及在科學(xué)和藝術(shù)中，處處都會(huì)出現(xiàn)。它是早期被發(fā)現(xiàn)的無理數(shù)之一。如圖3.6所示，其中OA=1，MO=1/2，因而AM=第一次數(shù)學(xué)危機(jī)與古希臘數(shù)學(xué)家歐道克索斯的“量”理論無理數(shù)最早出現(xiàn)在中國《九章算術(shù)》中時(shí)，絲毫沒有引起人們的異議?！毒耪滤阈g(shù)》的開方術(shù)中說：“若開不盡者，為不可開，當(dāng)以面命之。”第一次數(shù)學(xué)危機(jī)與古希臘數(shù)學(xué)家歐道克索斯的“量”理論有理數(shù)和無理數(shù)的小數(shù)表達(dá)式任何有理數(shù)都具有一個(gè)有限的或循環(huán)的小數(shù)表達(dá)式，反之，任何有限的或循環(huán)的小數(shù)表達(dá)式都表示一個(gè)有理數(shù)。而無理數(shù)的小數(shù)表達(dá)式是無限不循環(huán)的；反之，任何無限不循環(huán)小數(shù)表達(dá)式都表示一個(gè)無理數(shù)。重要的性質(zhì)：在任何兩個(gè)不同的正無理數(shù)之間都存在一個(gè)有理數(shù)。事實(shí)上，如果a和b（o＜a＜b）表示兩個(gè)無理數(shù)，且它們的小數(shù)表達(dá)式為a=a0.a1a2…和b=b0。b1b2…，設(shè)i是使得an≠bn（n=0，1，2，…）的第一個(gè)n值。于是，c=b0。b1b2…bi就是a和b之間的一個(gè)有理數(shù)。有理數(shù)和無理數(shù)的小數(shù)表達(dá)式任何有理數(shù)都具有一個(gè)有限的或循環(huán)的3.3.3復(fù)數(shù)虛數(shù)是負(fù)數(shù)開平方的產(chǎn)物，它是在代數(shù)方程求解過程中逐步為人們所發(fā)現(xiàn)的公元三世紀(jì)的丟番圖只接受正有理根而忽略所有其它根，當(dāng)方程兩個(gè)負(fù)根或虛根時(shí)，他就稱它是不可解的。十二世紀(jì)印度的婆什伽羅指出：“負(fù)數(shù)沒有平方根，因?yàn)樨?fù)數(shù)不可能是平方數(shù)”卡當(dāng)（1545）解方程得到根和。這使卡當(dāng)迷惑不解，并稱負(fù)數(shù)的平方根是“虛構(gòu)的”、“超詭辯的力量”。17世紀(jì)，盡管用公式法解方程時(shí)經(jīng)常產(chǎn)生虛數(shù)，但是對(duì)它的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)仍沒有認(rèn)識(shí)。萊布尼茲說：“那個(gè)我們稱之為虛的－1的平方根，是圣靈在分析奇觀中的超凡顯示，是介于存在與不存在之間的兩棲物，是理想世界的瑞兆?！?.3.3復(fù)數(shù)虛數(shù)是負(fù)數(shù)開平方的產(chǎn)物，它是在代數(shù)方程求用幾何的直觀來認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)英國數(shù)學(xué)家瓦里士（1685）用幾何直觀表示實(shí)數(shù)系二次方程復(fù)根的方法：畫一條數(shù)軸，將根的實(shí)部在數(shù)軸上表示為一點(diǎn)，在此點(diǎn)處做一線段垂直于數(shù)軸，其長(zhǎng)度等于的系數(shù)，即表示根的虛部。丹麥數(shù)學(xué)家韋塞爾（1788年）做了改進(jìn)：在已有數(shù)軸上，做與之垂直的虛軸，并以為單位，這樣就建立了復(fù)平面，對(duì)于每個(gè)復(fù)數(shù)a+bi，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)由坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)的向量。韋塞爾用幾何方法的向量運(yùn)算規(guī)定了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，這些定義在現(xiàn)今的教材中也仍保留著。高斯在（1811年）提出a+bi可用點(diǎn)（a,b）表示，并于1831年闡述了復(fù)數(shù)的幾何加法與乘法。同時(shí)他指出，在這個(gè)幾何表示中人們可以看到復(fù)數(shù)的直觀意義已完全建立起來。復(fù)數(shù)的幾何表示促使人們改變了對(duì)虛數(shù)的神秘印象，成為直觀上可以接受的數(shù)學(xué)對(duì)象。用幾何的直觀來認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)英國數(shù)學(xué)家瓦里士（1685）用幾復(fù)數(shù)的公理化定義

1837年英國數(shù)學(xué)家哈密頓指出，復(fù)數(shù)a+bi實(shí)數(shù)的有序偶（a,b），i在復(fù)平面上可表示為（0，1），用有序偶給出四則運(yùn)算的定義，在這種定義下，通常的結(jié)合律、交換律及分配律，都能用實(shí)數(shù)的有序偶推導(dǎo)出來復(fù)數(shù)的公理化定義

1837年英國數(shù)學(xué)家哈密頓指出，復(fù)3.3.4四元數(shù)利用“域擴(kuò)張”的方法，尋找新的數(shù)域――超復(fù)數(shù)域。哈密頓的嘗試――從三元數(shù)到四元數(shù)“模法則”：兩個(gè)數(shù)(a+bi+cj)、（x+yi+zj）相乘得到一個(gè)新數(shù)，它所對(duì)應(yīng)的（三維空間）向量的長(zhǎng)，恰好是原先兩數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量的長(zhǎng)的積。即對(duì)于(a2+b2+c2)與(x2+y2+z2)，是否可以找到(u,v,w),使得(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=u2+v2+w2。此前，勒讓德就舉例說明模法則在三元數(shù)域中不可能成立：3=1+1+1及21=16+4+1都可以表示為三個(gè)平方數(shù)的和，可是3×21=63卻不能表示為三個(gè)平方數(shù)的和。理由是：凡是形如8n+7的整數(shù)都不能表示為三個(gè)平方數(shù)的和。3.3.4四元數(shù)利用“域擴(kuò)張”的方法，尋找新的數(shù)域――布爾罕橋上的頓悟——i2=j2=k2=ijk=－1。

哈密頓經(jīng)歷了十五年鍥而不舍的努力，終于使一個(gè)新的超復(fù)數(shù)域誕生了。這種四元數(shù)也像實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)那樣可以施行加、減、乘、除的運(yùn)算，但是卻不能滿足乘法交換律。正如我們已經(jīng)看到的，ij≠ji。布爾罕橋上的頓悟——i2=j2=k2=ijk=－1。

超復(fù)數(shù)域的發(fā)展

“八元數(shù)”，這是一種包含四元數(shù)的新數(shù)，不能滿足乘法結(jié)合律。利用公理化方法構(gòu)造數(shù)系“2n元數(shù)”，并且證明了：

n=4且滿足“模法則”的數(shù)是不存在的（1848年）能保持普通代數(shù)所有基本性質(zhì)不變，而比復(fù)數(shù)域更大的數(shù)系是不具備這些基本性質(zhì)的。（維爾斯特拉斯，1861年）能滿足除乘法交換律之外的一切代數(shù)基本性質(zhì)的超復(fù)數(shù)域，只有四元數(shù)一種（弗羅賓紐斯，1878年）能施行加、減、乘、除的數(shù)系只有四種，他們分別是一維的實(shí)數(shù)域、二維的復(fù)數(shù)域、四維的四元數(shù)域及八維的八元數(shù)域（1958年）超復(fù)數(shù)域的發(fā)展

“八元數(shù)”，這是一種包含四元數(shù)的新數(shù)，3.4數(shù)系的公理化復(fù)數(shù)、微積分、幾何學(xué)的理論的邏輯基礎(chǔ)都建立在實(shí)數(shù)系上。人們用公理化方法建立實(shí)數(shù)的邏輯基礎(chǔ)，即實(shí)數(shù)系自身的嚴(yán)密化——“分析的算術(shù)化”過程。在三個(gè)方面取得了進(jìn)展：（1）運(yùn)用公理化的方法，使實(shí)數(shù)建立在自然數(shù)系的基礎(chǔ)之上；（2）康托的基數(shù)序數(shù)理論，將自然數(shù)建立在集合論的基礎(chǔ)之上；（3）邏輯學(xué)家力圖從邏輯命題演算的基礎(chǔ)上導(dǎo)出集合論，將數(shù)學(xué)建立在純邏輯的基礎(chǔ)之上。這種方法尚未取得完美的結(jié)果。3.4數(shù)系的公理化復(fù)數(shù)、微積分、幾何學(xué)的理論的邏輯3.4.1戴德金分割無理數(shù)的邏輯定義（戴德金1872年）：將有理數(shù)集合劃分成兩個(gè)非空集合A和，使得A中的任意的數(shù)都小于中的任一數(shù)。A和的分割記為。這樣的分割可能產(chǎn)生三種情況，（1）在A中沒有最大的數(shù)，而中有最小的數(shù)r；（2）在A中有最大的數(shù)r，而在中沒有最小的數(shù)；（3）在A中沒有最大的數(shù)，在中也沒有最小的數(shù)。在前面兩種情況中，分割產(chǎn)生有理數(shù)，或者說分割界定了有理數(shù)。在第三種情況中，界數(shù)不存在，分割不能界定任何有理數(shù)。這時(shí)規(guī)定：任何屬于第三種情況的分割就界定了一個(gè)無理數(shù)。3.4.1戴德金分割無理數(shù)的邏輯定義（戴德金1873.4.2自然數(shù)公理“皮亞諾公理”：（1）1是一個(gè)自然數(shù)。（2）每一個(gè)確定的自然數(shù)a，都有一個(gè)確定的后繼數(shù)，而也是一個(gè)自然數(shù)。（3）1不是任何自然數(shù)的后繼數(shù)，即1≠。（4）一個(gè)數(shù)只能是某一個(gè)數(shù)的后繼數(shù)，或者根本不是后繼數(shù)，即由=，一定能推得a=b。（5）任何一個(gè)自然數(shù)的集合，如果包含1，并且假設(shè)包含a，也一定包含a的后繼數(shù)，那么這個(gè)集合就包含所有的自然數(shù)。‘上帝創(chuàng)造自然數(shù)；其余一切都是人為的?！肆_內(nèi)克）3.4.2自然數(shù)公理“皮亞諾公理”：3.5超限基數(shù)無限是整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。無限是許多怪事和悖論棲身之處如，芝諾悖論，表述第五公設(shè)的表述，無窮小量（第二次數(shù)學(xué)危機(jī)）希爾伯特說：“自古以來，沒有別的問題象無限這樣深深地激動(dòng)過人的情緒，沒有別的想法象它這樣富有成效地?zé)òl(fā)過人的精神。同時(shí)，沒有別的概念象它這樣迫切需要澄清。”3.5超限基數(shù)無限是整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。3.5.1一一對(duì)應(yīng)方法與可列集定義：如果能根據(jù)某一法則使集合M與集合N中的元素建立一一對(duì)應(yīng)，那么M與N等價(jià)（按現(xiàn)代數(shù)學(xué)家的語言：稱M與N“等勢(shì)”或具有“相同基數(shù)”）。例如，偶數(shù)集E與自然數(shù)集N、整數(shù)集Z與自然數(shù)集N的一一對(duì)應(yīng)可以定義為：當(dāng)n∈N，有E中元2n與之對(duì)應(yīng)；當(dāng)n∈N，有Z中與之對(duì)應(yīng)。3.5.1一一對(duì)應(yīng)方法與可列集定義：如果能根據(jù)某定義：能與自然數(shù)集N構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的集合，就稱為可列集或可數(shù)集。記為。如，。定義：能與自然數(shù)集N構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的集合，就稱為可列集證明有理數(shù)集Q也是可列集（采用對(duì)角線的對(duì)應(yīng)方法）

證明有理數(shù)集Q也是可列集（采用對(duì)角線的對(duì)應(yīng)方法）定理：如果有可數(shù)個(gè)可列集A1,A2,A3,…，則它們的并集仍舊是可列集。事實(shí)上，不妨假定對(duì)于任何i、j，Ai和Aj沒有共同元素。我們現(xiàn)在對(duì)A1,A2,A3,…的元素編號(hào)如下：A1：a11①，a12②，a13④，a14⑦，…A2：a21③，a22⑤，a23⑧…A3：a31⑥，a32⑨…A4：a41⑩，………對(duì)于固定k,Ak的元素形如：ak1,ak2,ak3,…。我們定義一一對(duì)應(yīng)F：{1，2，3，…}其中F(1)=a11,F(2)=a12,F(3)=a21,F(4)

=a13,F(5)=a22,F(6)=a31,F(7)=a14,…,

從上圖可以直觀看出這個(gè)映射是一一對(duì)應(yīng)。因此，仍舊是可數(shù)集。

由以上的性質(zhì)可以知道Q一定是可數(shù)集。定理：如果有可數(shù)個(gè)可列集A1,A2,A3,…，則它們的并集仍定義：有限集合不能通過一一對(duì)應(yīng)映射到自己的真子集合上，而無窮集合卻可以通過一一