2023屆江西省“紅色十校”高三上學(xué)期第一聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆江西省“紅色十?！备呷蠈W(xué)期第一聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出集合B，再求兩集合的交集即可.【詳解】因?yàn)榛颍?，故選：B．2．若復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)除法和乘法運(yùn)算法則求出即可得到虛部.【詳解】因?yàn)椋?，故z的虛部為2.故選：D．3．下圖是國家統(tǒng)計(jì)局7月發(fā)布的2021年6月至2022年6月規(guī)模以上工業(yè)原煤產(chǎn)量增速的月度走勢，其中2022年1~2月看作1個(gè)月，現(xiàn)有如下說法：①2021年10月至2022年3月，規(guī)模以上工業(yè)原煤產(chǎn)量增速呈現(xiàn)上升趨勢；②2021年6月至2022年6月，規(guī)模以上工業(yè)原煤產(chǎn)量增速的中位數(shù)為5.9；③從這12個(gè)增速中隨機(jī)抽取2個(gè)，增速都超過10的概率為．則說法正確的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】從2021年10月至2022年3月，規(guī)模以上工業(yè)原煤產(chǎn)量增速呈現(xiàn)上升趨勢，可判斷①，求出2021年6月至2022年6月規(guī)模以上工業(yè)原煤產(chǎn)量增速的中位數(shù)可判斷②；由古典概率的計(jì)算公式代入可判斷③【詳解】從2021年10月至2022年3月，規(guī)模以上工業(yè)原煤產(chǎn)量增速呈現(xiàn)上升趨勢，故①正確；2021年6月至2022年6月，規(guī)模以上工業(yè)原煤產(chǎn)量增速的中位數(shù)為，故②正確；從這12個(gè)增速中隨機(jī)抽取2個(gè)，都超過10的概率，故③正確.故選:D．4．函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值的正負(fù)判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以為奇函?shù)，故排除C，D；又，故排除B.故選：A．5．2022年11月，第五屆中國國際進(jìn)口博覽會(huì)在上海舉行，組委員會(huì)安排5名工作人員去A，B等4個(gè)場館，其中A場館安排2人，其余比賽場館各1人，則不同的安排方法種數(shù)為（

）A．48 B．60 C．120 D．240【答案】B【分析】先安排2人去A場館，再安排剩余的人去其它場館即可.【詳解】分為兩步，第一步：安排2人去A場館有種結(jié)果；第二步：安排其余3人到剩余3個(gè)場館，有種結(jié)果，所以不同的安排方法種數(shù)為.故選：B．6．設(shè)函數(shù)，若是奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)的奇偶性求出，得到函數(shù)的解析式，根據(jù)解析式求函數(shù)值即可.【詳解】由已知可得，則．因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，因?yàn)?，解得，所以，所?故選：B．7．設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】跟特殊值1，2比較即可判斷大小.【詳解】因?yàn)榍遥?，所?故選：A．8．將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，得到如圖所示的函數(shù)的圖象，則（

）A．0 B．1 C．2 D．【答案】C【分析】由三角函數(shù)的圖象變換得到的解析式，再由其圖象性質(zhì)得出后計(jì)算原式【詳解】依題意，，故，又的周期滿足，得，所以，所以，又，得，又，所以，所以，所以，故選：C9．“寸影千里”法是《周髀算經(jīng)》中記載的一種遠(yuǎn)距離測量的估算方法，其具體方法是在同一天（如夏至）的正午，于兩地分別豎起同高的標(biāo)桿，然后測量標(biāo)桿的影長，并根據(jù)“日影差一寸，實(shí)地相距千里”的原則推算兩地距離．如圖，某人在夏至的正午分別在同一水平面上的A，B兩地豎起高度均為a寸的標(biāo)桿與，與分別為標(biāo)桿與在地面的影長，再按影長與的差結(jié)合“寸影千里”來推算A，B兩地的距離．記，則按照“寸影千里”的原則，A，B兩地的距離大約為（

）A．里 B．里C．里 D．里【答案】C【分析】在直角三角形中利用正切表示出，再由同角三角函數(shù)及兩角和的余弦公式化簡，最后根據(jù)“寸影千里”的原則得解.【詳解】由題意可知，所以，所以可以估計(jì)A，B兩地的距離大約為里，故選：C．10．已知，滿足，則的最小值是（）A． B． C．2 D．2【答案】D【分析】將給定等式變形為，，再代入并結(jié)合均值不等式求解作答.【詳解】由，得，而，則有，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值為2.故選：D11．已知三棱錐的頂點(diǎn)都在球O的球面上，，若三棱錐的體積最大值為2，則球O的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件及同弧所對圓心角與圓周角的關(guān)系，再利用勾股定理及棱錐的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)的外接圓圓心為，依題意可知為正三角形，所以圓的半徑，設(shè)球O的半徑為R，因?yàn)槠矫?，所以，?dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐的高等于，所以三棱錐，得，解得.所以球O的半徑為.故選:D．12．若曲線與曲線在公共點(diǎn)處有公共切線，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)公共點(diǎn)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出關(guān)于、的方程組，即可解得實(shí)數(shù)、的值.【詳解】設(shè)公共點(diǎn)為，的導(dǎo)數(shù)為，曲線在處的切線斜率，的導(dǎo)數(shù)為，曲線在處的切線斜率，因?yàn)閮汕€在公共點(diǎn)處有公共切線，所以，且，，所以，即解得，所以，解得，故選：A．二、填空題13．已知向量，且，則實(shí)數(shù)_____________．【答案】2【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算及向量垂直的坐標(biāo)表示即得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，解得．故答案為?.14．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)F到直線的距離為，則p的值為_____________．【答案】2或4【分析】求出，由題意用點(diǎn)到直線的距離公式即可求出p的值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為F，則，則點(diǎn)F到直線的距離為：，所以，因?yàn)椋曰?.故答案為：2或4.15．韓信是我國漢代能征善戰(zhàn)、智勇雙全的一員大將．歷史上流傳著一個(gè)關(guān)于他點(diǎn)兵的奇特方法．有一天，韓信問有多少士兵在操練，部將回答：三三數(shù)之，剩二；五五數(shù)之，剩三；七七數(shù)之，剩四，韓信很快就知道了士兵的人數(shù)．設(shè)有m個(gè)士兵，若，符合條件的m共有___________個(gè)．【答案】10【分析】由題意，m除3余2、除5余3、除7余4，可得m最小的項(xiàng)為53，且為公差的等差數(shù)列，即可由求解.【詳解】由“三三數(shù)之，剩二”知，m是等差數(shù)列5，8，11，14，…中的項(xiàng)，其中滿足“五五數(shù)之，剩三”的最小數(shù)是8，故m是等差數(shù)列8，23，38，53，…中的項(xiàng)，其中滿足“七七數(shù)之，剩四”的最小數(shù)是53，故m是等差數(shù)列53，158，263，368，…中的項(xiàng)，可得通項(xiàng)公式，令，解得，且，故符合條件的m共有10個(gè)．故答案為：10.三、雙空題16．已知，則___________，的最小值是_____________．【答案】

【分析】利用湊角及兩角和差的正弦公式，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系、兩角差的正切公式及基本不等式即可求解.【詳解】由題意得，，所以，即，于是有，所以．又，設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號，所以的最小值為．故答案為：；.四、解答題17．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，填在下面的橫線上，并解答問題．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且____________．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若是的等比中項(xiàng)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．注：如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)條件選擇見解析，；(2).【分析】（1）選①，利用與的關(guān)系求解作答；選②，構(gòu)造等差數(shù)列求出求解作答；選③，構(gòu)造常數(shù)列計(jì)算作答；（2）由（1）求出，再利用裂項(xiàng)相消法求解作答.【詳解】(1)選①，，由，得，則，即，而，因此是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，，所以的通項(xiàng)公式為．選②，由，得，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以的通項(xiàng)公式為．選③，由，得，因此數(shù)列是常數(shù)列，則有，即，所以的通項(xiàng)公式為．(2)由（1）知，，依題意，，則所以，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和．18．如圖，在四棱錐中，平面，底面四邊形是正方形，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成銳二面角的大?。敬鸢浮?1)證明見解析(2)【分析】（1）設(shè)與的交點(diǎn)為O，連接，則，由平面，可證得平面，則，而由正方形的性質(zhì)可得，所以由線面垂直的判定可證得結(jié)論，（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【詳解】(1)證明：設(shè)與的交點(diǎn)為O，連接．因?yàn)榈酌嫠倪呅螢檎叫?，所以．又點(diǎn)E為的中點(diǎn)，所以．因?yàn)槠矫?，平面，所以，所?因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以．因?yàn)椋矫?，所以平面?2)解：設(shè)，則．以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，可得．由（1）知，平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則，因?yàn)椋?，即平面與平面所成銳二面角的大小為．19．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)若，求b和c．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，結(jié)合正弦定理將原式化為，再結(jié)合余弦定理可求出角，（2）由正弦定理結(jié)合已知求出，再利用余弦定理可求出.【詳解】(1)設(shè)的外接圓半徑為R，因?yàn)橛烧叶ɡ恚?，結(jié)合余弦定理，得，因?yàn)椋?，得，因?yàn)?，所以?2)由（1）知，所以，所以，由余弦定理得，，即，解得或（舍去）．綜上．．20．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的離心率為，且過點(diǎn)．(1)求C的方程；(2)若直線與C交于P，Q兩點(diǎn)，且的面積是，求證：．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）由橢圓過的點(diǎn)可得，再結(jié)合離心率即可計(jì)算作答；（2）聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，求出弦PQ長及點(diǎn)O到直線l的距離即可求解作答.【詳解】(1)因橢圓過點(diǎn)，則，又橢圓C的離心率為，則有，解得，所以C的方程為．(2)依題意，，由消去x并整理得：，，設(shè)，則，于是得，點(diǎn)O到l的距離，因此，即，整理得，即，顯然滿足，所以.21．已知函數(shù)．(1)求的極值；(2)若函數(shù)，求的極小值的最大值．【答案】(1)極小值1，無極大值(2)1【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性后求解，（2）設(shè)出的零點(diǎn)，在中消去，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)求解最值【詳解】(1)）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則，所以在上單調(diào)遞增，且．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)有極小值，無極大值．(2)因?yàn)?，所以．由?）知，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則有唯一解．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，且滿足．所以．令，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，的極小值的最大值為1．22．在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．(1)求C的極坐標(biāo)方程和l的直角坐標(biāo)方程；(2)l與C交于A，B兩點(diǎn)，若，求．【答案】(1)，(2)或．【分析】（1）由C的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，再根據(jù)公式轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，根據(jù)極坐標(biāo)意義直線方程可化為直角坐標(biāo)方程；（2）根據(jù)極徑的幾何意義及根與系數(shù)的關(guān)系，由可得極角.【詳解】(1)將C的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程得，即，∴C的極坐標(biāo)方程為．∵l的極坐標(biāo)方程為，∴l(xiāng)的直角坐標(biāo)方程為．(2)將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得．當(dāng)時(shí)，設(shè)A，B所