人教A版新教材必修第一冊第三章《函數(shù)的概念與性質(zhì)》全部教案（共14課時）

3.1.1函數(shù)的概念(二)學習目標1.會判斷兩個函數(shù)是否為同一個函數(shù).2.能正確使用區(qū)間表示數(shù)集.3.會求一些簡單函數(shù)的定義域與函數(shù)值．一、區(qū)間的概念知識梳理設a，b∈R，且a<b，規(guī)定如下：區(qū)間數(shù)軸表示[a，b](a，b)[a，b)(a，b][a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，b](－∞，b)注意點：(1)區(qū)間只能表示連續(xù)的數(shù)集，開閉不能混淆．(2)用數(shù)軸表示區(qū)間時，要特別注意實心點與空心點的區(qū)別．(3)區(qū)間是實數(shù)集的一種表示形式，集合的運算仍然成立．(4)∞是一個符號，而不是一個數(shù)．例1把下列數(shù)集用區(qū)間表示：(1){x|x≥－1}；(2){x|x<0}；(3){x|－1<x<1}；(4){x|0<x<1或2≤x≤4}．解(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)．(2){x|x<0}＝(－∞，0)．(3){x|－1<x<1}＝(－1,1)．(4){x|0<x<1或2≤x≤4}＝(0,1)∪[2,4]．反思感悟用區(qū)間表示數(shù)集時要注意：(1)區(qū)間左端點值小于右端點值．(2)區(qū)間兩端點之間用“，”隔開．(3)含端點值的一端用中括號，不含端點值的一端用小括號．(4)以“－∞”“＋∞”為區(qū)間的一端時，這端必須用小括號．跟蹤訓練1(1)集合{x|－2<x≤2且x≠0}用區(qū)間表示為________．答案(－2,0)∪(0,2]解析{x|－2<x≤2且x≠0}＝(－2,0)∪(0,2]．(2)已知區(qū)間(a2＋a＋1,7]，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案(－3,2)解析由題意可知a2＋a＋1<7，即a2＋a－6<0，解得－3<a<2，所以實數(shù)a的取值范圍是(－3,2)．二、求函數(shù)的定義域與值例2(1)函數(shù)f(x)＝eq\r(xx－1)－eq\f(1,\r(x))的定義域為________．答案[1，＋∞)解析要使f(x)有意義，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx－1≥0，,x>0，))解得x≥1，所以f(x)的定義域為[1，＋∞)．(2)已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)，則f(2)＝______；當a≠－1時，f(a＋1)＝____________.答案eq\f(5,2)a＋1＋eq\f(1,a＋1)解析f(2)＝2＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2).當a≠－1時，a＋1≠0，所以f(a＋1)＝a＋1＋eq\f(1,a＋1).反思感悟(1)求函數(shù)的定義域應關注三點①要明確使各函數(shù)表達式有意義的條件是什么，函數(shù)有意義的準則一般有：(ⅰ)分式的分母不為0；(ⅱ)偶次根式的被開方數(shù)非負；(ⅲ)y＝x0要求x≠0.②不對解析式化簡變形，以免定義域變化．③當一個函數(shù)由兩個或兩個以上代數(shù)式的和、差、積、商的形式構成時，定義域是使得各式子都有意義的公共部分的集合．(2)函數(shù)求值的方法①已知f(x)的表達式時，只需用a替換表達式中的x即得f(a)的值．②已知f(x)與g(x)，求f(g(a))的值應遵循由里往外的原則．跟蹤訓練2求下列函數(shù)的定義域：(1)y＝3－eq\f(1,2)x；(2)y＝eq\f(x＋10,\r(x＋2))；(3)y＝eq\f(\r(5－x),|x|－3)；(4)y＝eq\f(\r(x＋1),\r(－x2－3x＋4)).解(1)函數(shù)y＝3－eq\f(1,2)x的定義域為R.(2)由于0的零次冪無意義，故x＋1≠0，即x≠－1.又x＋2>0，即x>－2，所以函數(shù)y＝eq\f(x＋10,\r(x＋2))的定義域為{x|x>－2且x≠－1}．(3)要使函數(shù)有意義，自變量x的取值必須滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－x≥0，,|x|－3≠0，))解得x≤5，且x≠±3，所以函數(shù)y＝eq\f(\r(5－x),|x|－3)的定義域為{x|x≤5且x≠±3}．(4)要使函數(shù)有意義，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,－x2－3x＋4>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥－1，,x＋4x－1<0，))解不等式組得－1≤x<1.所以函數(shù)y＝eq\f(\r(x＋1),\r(－x2－3x＋4))的定義域為{x|－1≤x<1}．三、判斷是否為同一個函數(shù)問題1構成函數(shù)的要素有哪些？提示定義域、對應關系和值域．問題2結合函數(shù)的定義，如何才能確定一個函數(shù)？提示有確定的定義域和對應關系，則此時值域唯一確定．例3下列各組函數(shù)：①f(x)＝eq\f(x2－x,x)，g(x)＝x－1；②f(x)＝eq\f(\r(x),x)，g(x)＝eq\f(x,\r(x))；③f(x)＝eq\r(x＋1)·eq\r(1－x)，g(x)＝eq\r(1－x2)；④f(x)＝eq\r(x＋32)，g(x)＝x＋3；⑤汽車勻速運動時，路程與時間的函數(shù)關系f(t)＝80t(0≤t≤5)與一次函數(shù)g(x)＝80x(0≤x≤5)．其中表示同一個函數(shù)的是________(填序號)．答案③⑤解析①不是同一個函數(shù)，定義域不同，f(x)的定義域為{x|x≠0}，g(x)的定義域為R.②不是同一個函數(shù)，對應關系不同，f(x)＝eq\f(1,\r(x))，g(x)＝eq\r(x).③是同一個函數(shù)，定義域、對應關系都相同．④不是同一個函數(shù)，對應關系不同，f(x)＝|x＋3|，g(x)＝x＋3.⑤是同一個函數(shù)，定義域、對應關系都相同．反思感悟判斷兩個函數(shù)為同一個函數(shù)應注意的三點(1)定義域、對應關系兩者中只要有一個不相同就不是同一個函數(shù)，即使定義域與值域都相同，也不一定是同一個函數(shù)．(2)函數(shù)是兩個數(shù)集之間的對應關系，所以用什么字母表示自變量、因變量是沒有限制的．(3)在化簡解析式時，必須是等價變形．跟蹤訓練3下列各組函數(shù)中是同一個函數(shù)的是()A．y＝x＋1與y＝eq\f(x2－1,x－1)B．y＝x2＋1與s＝t2＋1C．y＝2x與y＝2x(x≥0)D．y＝(x＋1)2與y＝x2答案B解析A，C選項中兩函數(shù)的定義域不同，D選項中兩函數(shù)的對應關系不同，故A，C，D錯誤．四、求抽象函數(shù)的定義域例4(1)函數(shù)y＝f(x)的定義域是[－1,3]，則f(2x＋1)的定義域為________．答案[－1,1]解析令－1≤2x＋1≤3，解得－1≤x≤1，所以f(2x＋1)的定義域為[－1,1]．(2)若函數(shù)y＝f(3x＋1)的定義域為[－2,4]，則y＝f(x)的定義域是()A．[－1,1] B．[－5,13]C．[－5,1] D．[－1,13]答案B解析由題意知，－2≤x≤4，所以－5≤3x＋1≤13，所以y＝f(x)的定義域是[－5,13]．反思感悟抽象函數(shù)的定義域(1)已知f(x)的定義域為[a，b]，求f(g(x))的定義域時，不等式a≤g(x)≤b的解集即定義域．(2)已知f(g(x))的定義域為[c，d]，求f(x)的定義域時，求出g(x)在[c，d]上的范圍(值域)即定義域．跟蹤訓練4已知函數(shù)f(x－1)的定義域為{x|－2≤x≤3}，則函數(shù)f(2x＋1)的定義域為()A．{x|－1≤x≤9} B．{x|－3≤x≤7}C．{x|－2≤x≤1} D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2≤x≤\f(1,2)))))答案D解析∵函數(shù)y＝f(x－1)的定義域為{x|－2≤x≤3}，∴－2≤x≤3，則－3≤x－1≤2，即函數(shù)f(x)的定義域為{x|－3≤x≤2}．∴對函數(shù)f(2x＋1)，有－3≤2x＋1≤2，解得－2≤x≤eq\f(1,2).即函數(shù)f(2x＋1)的定義域為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2≤x≤\f(1,2))))).1．知識清單：(1)區(qū)間的表示．(2)求簡單函數(shù)的定義域和函數(shù)值．(3)判斷是否為同一個函數(shù)．(4)求抽象函數(shù)的定義域．2．方法歸納：整體代換．3．常見誤區(qū)：不會用整體代換的思想求抽象函數(shù)的定義域．1．已知區(qū)間[2a－1,11]，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，6) B．(6，＋∞)C．(1,6) D．(－1,6)答案A解析由題意可知，2a－1<11，解得a<6.2．已知四組函數(shù)：①f(x)＝x，g(x)＝(eq\r(x))2；②f(x)＝x，g(x)＝eq\r(3,x3)；③f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N)；④f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.其中是同一個函數(shù)的是()A．沒有 B．僅有②C．②④ D．②③④答案C解析對于①，定義域不同；對于③，對應關系不同；對于②④，定義域與對應關系都相同．3．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(3,x)，則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))等于()A.eq\f(1,a)B.eq\f(3,a)C．a(chǎn)D．3a答案D解析f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝eq\f(3,\f(1,a))＝3a.4．函數(shù)y＝eq\f(\r(x＋1),x－1)的定義域是______________．答案{x|x≥－1且x≠1}解析由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,x－1≠0，))所以x≥－1且x≠1，故函數(shù)y＝eq\f(\r(x＋1),x－1)的定義域為{x|x≥－1且x≠1}．1．區(qū)間(0,1]等于()A．{0,1} B．{(0,1]}C．{x|0<x≤1} D．{x|0≤x≤1}答案C2．函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(1－3x),x)的定義域為()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤\f(1,3))))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,3)))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x≤\f(1,3))))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤\f(1,3)且x≠0))))答案D解析要使f(x)有意義，只需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3x≥0，,x≠0，))即x≤eq\f(1,3)且x≠0.3．設函數(shù)f(x)＝3x2－1，則f(a)－f(－a)的值是()A．0B．3a2－1C．6a2－2D．6a2答案A解析f(a)－f(－a)＝3a2－1－[3(－a)2－1]＝0.4．(多選)下列各組函數(shù)為同一個函數(shù)的是()A．f(x)＝x，g(x)＝eq\f(x2,x)B．f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0C．f(x)＝eq\f(\r(x)2,x)，g(x)＝eq\f(x,\r(x)2)D．f(t)＝eq\f(t2－16,t－4)，g(t)＝t＋4(t≠4)答案CD解析A．這兩個函數(shù)的定義域不同，所以這兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)；B．這兩個函數(shù)的定義域不同，所以這兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)；C．這兩個函數(shù)的定義域與對應關系均相同，所以這兩個函數(shù)為同一個函數(shù)；D．這兩個函數(shù)的定義域與對應關系均相同，所以這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)．5．若f(x)＝2x－1，則f(f(x))等于()A．2x－1 B．4x－2C．4x－3 D．2x－3答案C解析f(f(x))＝f(2x－1)＝2(2x－1)－1＝4x－3.6．已知函數(shù)f(x)的定義域為(－1,1)，則函數(shù)g(x)＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))＋f(x－2)的定義域為()A．(0,2) B．(1,2)C．(2,3) D．(－1,1)答案B解析由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<\f(x,2)<1，,－1<x－2<1，))解得1<x<2.7．若函數(shù)f(x)的定義域為[2a－1，a＋1]，值域為[a＋3,4a]，則a的取值范圍為________．答案(1,2)解析由區(qū)間的定義知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1<a＋1，,a＋3<4a，))解得1<a<2.8．函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(x－3),|x＋1|－5)的定義域為________．答案[3,4)∪(4，＋∞)解析要使函數(shù)有意義，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3≥0，,|x＋1|－5≠0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥3，,|x＋1|≠5，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥3，,x≠4且x≠－6，))∴x≥3且x≠4，故函數(shù)f(x)的定義域為[3,4)∪(4，＋∞)．9．已知f(x)＝eq\f(1,x2＋2)，g(x)＝x2＋1，x∈R.(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(3))的值．解(1)f(2)＝eq\f(1,4＋2)＝eq\f(1,6)，g(2)＝22＋1＝5.(2)f(g(3))＝f(32＋1)＝f(10)＝eq\f(1,100＋2)＝eq\f(1,102).10．求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)＝eq\r(3x－1)＋eq\r(1－2x)＋4；(2)f(x)＝eq\f(x＋30,\r(|x|－x)).解(1)要使函數(shù)式有意義，必須滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－1≥0，,1－2x≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,3)，,x≤\f(1,2).))解得eq\f(1,3)≤x≤eq\f(1,2)，所以函數(shù)的定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x≤\f(1,2))))).(2)要使函數(shù)式有意義，必須滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3≠0，,|x|－x>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－3，,|x|>x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－3，,x<0.))所以函數(shù)的定義域為{x|x<0且x≠－3}．11．已知f(x)＝ax3＋bx＋1，則f(1)＋f(－1)的值是()A．0B．－1C．1D．2答案D解析由題意知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx＋1，可得f(1)＝a＋b＋1，f(－1)＝－a－b＋1，所以f(1)＋f(－1)＝2.12．下列四組函數(shù)中表示同一個函數(shù)的是()A．f(x)＝eq\r(－2x3)，g(x)＝xeq\r(－2x)B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2C．f(x)＝eq\r(x2)，g(x)＝|x|D．f(x)＝0，g(x)＝eq\r(x－1)＋eq\r(1－x)答案C解析∵f(x)＝－xeq\r(－2x)，g(x)＝xeq\r(－2x)，對應關系不同，∴A選項中兩個函數(shù)不表示同一個函數(shù)；∵f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2，兩個函數(shù)的對應關系不一致，∴B選項中兩個函數(shù)不表示同一個函數(shù)；∵f(x)＝eq\r(x2)＝|x|與g(x)＝|x|，兩個函數(shù)的定義域均為R，對應關系也相同，∴C選項中兩個函數(shù)表示同一個函數(shù)；∵f(x)＝0，g(x)＝eq\r(x－1)＋eq\r(1－x)＝0(x＝1)，兩個函數(shù)的定義域不一致，∴D選項中兩個函數(shù)不表示同一個函數(shù)．13．已知函數(shù)y＝f(－2x＋1)的定義域是[－1,2]，則y＝f(x)的定義域是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)) B．[－3,3]C．[－1,5] D．以上都不對答案B解析由題意知－1≤x≤2，所以－3≤－2x＋1≤3，所以y＝f(x)的定義域為[－3,3]．14．函數(shù)y＝eq\r(ax2＋ax＋1)的定義域為R，則a的取值范圍為________．答案[0,4]解析當a＝0時，1≥0恒成立，所以a＝0，符合題意；當a≠0時，由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,a2－4a≤0，))?0<a≤4.所以a的取值范圍為[0,4]．15．已知g(x)＝1－2x，f(g(x))＝eq\f(1－x2,x2)(x≠0)，則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝________.答案15解析g(x)＝eq\f(1,2)，即1－2x＝eq\f(1,2)，則x＝eq\f(1,4)，代入f(g(x))＝eq\f(1－x2,x2)(x≠0)，可得f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1－\f(1,16),\f(1,16))＝15.16．已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)成立．(1)求f(0)和f(1)的值；(2)若f(2)＝a，f(3)＝b(a，b均為常數(shù))，求f(36)的值．解(1)令x＝y(tǒng)＝0，則f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0，令x＝y(tǒng)＝1則f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)令x＝2，y＝3，則f(6)＝f(2)＋f(3)＝a＋b，令x＝y(tǒng)＝6，則f(36)＝2f(6)＝2(a＋b)，∴f(36)＝2(a＋b)．3.1.1函數(shù)的概念(一)學習目標1.在初中用變量之間的依賴關系描述函數(shù)的基礎上，用集合語言和對應關系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念.2.體會集合語言和對應關系在刻畫函數(shù)概念中的作用.3.了解構成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域、值域．導語請同學們閱讀課本75頁《閱讀與思考》(大約3分鐘)，大家通過閱讀函數(shù)概念的發(fā)展歷程可以發(fā)現(xiàn)：函數(shù)概念的發(fā)展與生產(chǎn)、生活以及科學技術的實際需要緊密相關，而且隨著研究的深入，函數(shù)概念不斷得到嚴謹化、精確化的表達，這與我們學習函數(shù)的過程是一樣的．也就是說函數(shù)并不是很神秘、很可怕的東西，它只是一個名稱，它就在我們身邊，比如路程隨時間的變化而變化；一天中溫度隨時間的變化而變化；天宮二號在發(fā)射過程中，上升的高度隨時間的變化而變化，可以說這種變量關系無處不在，而我們要做的就是用心去體驗、去感受它的美．一、函數(shù)的概念問題1閱讀課本60頁的問題1和問題2，并思考它們有什么異同點？提示它們有相同的解析式，也就是對應關系．但它們有不同的實際背景，變量的取值范圍也不同．問題2請同學們繼續(xù)閱讀課本上的問題3和問題4，它們分別是函數(shù)嗎？如果是，請指出它們與問題1和問題2中的函數(shù)的區(qū)別．提示是函數(shù)．由圖象和表格呈現(xiàn)出來的變量間的對應關系比解析式更直觀、形象．問題3通過對課本中的4個問題的分析，你能說出它們有什么不同點和共同點嗎？提示不同點：課本中的問題1,2是用解析式刻畫兩個變量之間的對應關系，問題3是用圖象刻畫兩個變量之間的對應關系，問題4是用表格刻畫兩個變量之間的對應關系．共同點：①都包含兩個非空的實數(shù)集，分別用A，B來表示；②兩個實數(shù)集之間都有一種確定的對應關系；③對于數(shù)集A中的任意一個數(shù)x，按照對應關系，在數(shù)集B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應．知識梳理函數(shù)的概念概念一般地，設A，B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)三要素對應關系y＝f(x)，x∈A定義域x的取值范圍A值域與x的值相對應的y的值的集合{f(x)|x∈A}注意點：(1)A，B是非空的實數(shù)集．(2)定義域是非空的實數(shù)集A，但函數(shù)的值域不一定是非空實數(shù)集B，而是集合B的子集．(3)函數(shù)定義中強調(diào)“三性”：任意性、存在性、唯一性，即對于非空實數(shù)集A中的任意一個(任意性)元素x，在非空實數(shù)集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y與之對應．(4)函數(shù)符號“y＝f(x)”是數(shù)學符號之一，不表示y等于f與x的乘積，f(x)也不一定是解析式，還可以是圖象或表格，或其他的對應關系．(5)除f(x)外，有時還用g(x)，u(x)，F(xiàn)(x)，G(x)等符號表示函數(shù)．例1(1)(多選)下列集合A到集合B的對應關系f是函數(shù)的是()A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的數(shù)平方B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的數(shù)開方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的數(shù)取倒數(shù)D．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的數(shù)取絕對值答案AD解析按照函數(shù)定義，選項B中，集合A中的元素1對應集合B中的元素±1，不符合函數(shù)定義中一個自變量的值對應唯一的函數(shù)值的條件；選項C中，集合A中的元素0取倒數(shù)沒有意義，也不符合函數(shù)定義中集合A中任意元素都對應著唯一的函數(shù)值的要求；選項A和D符合函數(shù)的定義．(2)設M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，給出下列五個圖形：其中，能表示從集合M到集合N的函數(shù)關系的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3答案C解析①中，因為在集合M中當1<x≤2時，在N中無元素與之對應，所以①不能表示；②中，對于集合M中的任意一個數(shù)x，在N中都有唯一的數(shù)與之對應，所以②可以表示；③中，x＝2對應元素y＝3?N，所以③不能表示；④中，當x＝1時，在N中有兩個元素與之對應，所以④不能表示；⑤中，對于集合M中的任意一個數(shù)x，在N中都有唯一的數(shù)與之對應，所以⑤可以表示．反思感悟(1)判斷一個對應關系是否為函數(shù)的方法(2)根據(jù)圖形判斷對應關系是否為函數(shù)的方法①任取一條垂直于x軸的直線l；②在定義域內(nèi)平行移動直線l；③若直線l與圖形有且只有一個交點，則是函數(shù)；若在定義域內(nèi)沒有交點或有兩個或兩個以上的交點，則不是函數(shù)．跟蹤訓練1已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{1,2,4}，給出下列四個對應關系，其中能構成從M到N的函數(shù)的是()A．y＝x2 B．y＝x＋1C．y＝x－1 D．y＝|x|.答案D解析只有y＝|x|是符合題意的對應關系．二、函數(shù)的三要素問題4初中我們學習過哪些函數(shù)？提示一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)．問題5你能說一說問題4中的幾個函數(shù)的定義域、對應關系和值域分別是什么嗎？提示一次函數(shù)的定義域是R，值域也是R，對應關系實際上就是f(x)＝ax＋b(a≠0)；二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定義域是R，當a>0時，它的值域是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥\f(4ac－b2,4a)))))；當a<0時，它的值域是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤\f(4ac－b2,4a)))))，對應關系實際上就是f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；反比例函數(shù)f(x)＝eq\f(k,x)(k≠0)的定義域是{x|x≠0}，值域是{y|y≠0}，對應關系是f(x)＝eq\f(k,x)(k≠0)．例2(1)已知函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的定義域為__________________，值域為________．答案{x|－2≤x≤4或5≤x≤8}{y|－4≤y≤3}解析根據(jù)y＝f(x)的函數(shù)圖象可看出，f(x)的定義域為{x|－2≤x≤4或5≤x≤8}，值域為{y|－4≤y≤3}．(2)若已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈{－1,0,1}，則函數(shù)的值域為________．答案{0,1}解析由x∈{－1,0,1}，代入f(x)＝x2，解得f(－1)＝1，f(0)＝0，f(1)＝1，根據(jù)集合的互異性，函數(shù)的值域為{0,1}．反思感悟關于函數(shù)的三要素(1)函數(shù)的定義域即集合A，在坐標系中是橫坐標x的取值范圍．(2)函數(shù)的值域并不是集合B，是函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}，在坐標系中是縱坐標的取值范圍．(3)函數(shù)的對應關系f反映了自變量x的運算、對應方法，通過這種運算，對應得到唯一的函數(shù)值y.跟蹤訓練2函數(shù)y＝f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0))的值域是()A．R B．{y|－1≤y≤1}C．{－1,1} D．{－1,0,1}答案D三、構建問題情境例3已知矩形的面積為10，如圖所示，試借助該圖形構建問題情境描述下列變量關系．(1)f(x)＝eq\f(10,x)；(2)f(x)＝2x＋eq\f(20,x)；(3)f(x)＝eq\f(\r(x4＋100),x).解(1)設矩形的長為x，寬為f(x)，那么f(x)＝eq\f(10,x).其中x的取值范圍A＝{x|x>0}，f(x)的取值范圍B＝{f(x)|f(x)>0}，對應關系f把每一個矩形的長x，對應到唯一確定的寬eq\f(10,x).(2)設矩形的長為x，周長為f(x)，那么f(x)＝2x＋eq\f(20,x).其中x的取值范圍A＝{x|x>0}，f(x)的取值范圍B＝{f(x)|f(x)>0}，對應關系f把每一個矩形的長x，對應到唯一確定的周長2x＋eq\f(20,x).(3)設矩形的長為x，對角線長為f(x)，那么f(x)＝eq\f(\r(x4＋100),x).其中x的取值范圍A＝{x|x>0}，f(x)的取值范圍B＝{f(x)|f(x)≥2eq\r(5)}，對應關系f把每一個矩形的長x，對應到唯一確定的對角線長eq\f(\r(x4＋100),x).反思感悟構建問題情境的步驟(1)綜合考慮構建具體的實際問題；(2)賦予每個變量具體的實際意義；(3)根據(jù)變量關系，設計出所求的實際問題．跟蹤訓練3構建一個問題情境，使其中的變量關系能用解析式y(tǒng)＝2eq\r(x)來描述．解某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品的利潤是投資額的算術平方根的2倍，設投資額為x，利潤為y，那么y＝2eq\r(x).其中x的取值范圍A＝{x|x≥0}，y的取值范圍B＝{y|y≥0}，對應關系f把每一筆投資對應到唯一確定的利潤2eq\r(x).1．知識清單：(1)函數(shù)的概念．(2)函數(shù)的三要素．(3)構建問題情境．2．方法歸納：定義法、圖象法．3．常見誤區(qū)：函數(shù)概念的理解．1．已知f(x)＝|x|是集合A到集合B的函數(shù)，如果集合B＝{2}，那么集合A不可能是()A．{－2,2} B．{－2}C．{－1,2} D．{2}答案C解析若集合A＝{－1,2}，則－1∈A，但|－1|＝1?B，故選C.2．下列對應或關系式中是A到B的函數(shù)的是()A．A∈R，B∈R，x2＋y2＝1B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，對應關系如圖：C．A＝R，B＝R，f：x→y＝eq\f(1,x－2)D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝eq\r(2x－1)答案B解析A錯誤，x2＋y2＝1可化為y＝±eq\r(1－x2)，顯然對任意x∈A，y值不唯一；B正確，符合函數(shù)的定義；C錯誤，2∈A，在B中找不到與之相對應的數(shù)；D錯誤，－1∈A，在B中找不到與之相對應的數(shù)．3．函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝2022的公共點有()A．0個 B．1個C．0個或1個 D．以上答案都不對答案C4．若函數(shù)y＝x2－3x的定義域為{－1,0,2,3}，則其值域為________．答案{－2,0,4}1．(多選)對于函數(shù)y＝f(x)，以下說法正確的有()A．y是x的函數(shù)B．對于不同的x值，y值也不同C．函數(shù)是一種對應，是多對一或一對一D．函數(shù)可以是一對多答案AC解析由函數(shù)的定義知，y是x的函數(shù)，故A正確；對于不同的x值，y值可以相同，例如y＝|x|，當x＝1，－1時，y值均是1，故B錯誤；由函數(shù)的定義知，函數(shù)是一種對應，是多對一或一對一，不是一對多，故C正確，D錯誤．2．下列圖形中不是函數(shù)圖象的是()答案A解析A中至少存在一處如x＝0，一個橫坐標對應兩個縱坐標，這相當于集合A中至少有一個元素在集合B中對應的元素不唯一，故A不是函數(shù)圖象，B，C，D均符合函數(shù)定義．3．(多選)已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{y|0≤y≤4}，則下列對應關系中，可看作是從A到B的函數(shù)關系的是()A．f：x→y＝eq\f(1,8)x B．f：x→y＝eq\f(1,4)xC．f：x→y＝eq\f(1,2)x D．f：x→y＝x答案ABC解析根據(jù)函數(shù)的定義，對于D，在集合A中的部分元素，在集合B中沒有元素與它對應，故不正確．4．托馬斯說：“函數(shù)是近代數(shù)學的思想之花．”根據(jù)函數(shù)的概念判斷：下列對應關系是集合M＝{－1,1,2}到集合N＝{1,2,4}的函數(shù)的是()A．y＝2x B．y＝x＋1C．y＝|x| D．y＝x2＋1答案C解析根據(jù)題意，可知函數(shù)的定義域為M＝{－1,1,2}，對于A選項，按照對應的x→2x，函數(shù)的值域為E＝{－2,2,4}?N，A選項錯誤；對于B選項，按照對應的x→x＋1，函數(shù)的值域為E＝{0,2,3}?N，B選項錯誤；對于C選項，按照對應的x→|x|，函數(shù)的值域為E＝{1,2}?N，C選項正確；對于D選項，按照對應的x→x2＋1，函數(shù)的值域為E＝{2,5}?N，D選項錯誤．5．設f：x→x2是集合A到集合B的函數(shù)，如果集合B＝{1}，那么集合A不可能是()A．{1} B．{－1}C．{－1,1} D．{－1,0}答案D解析若集合A＝{－1,0}，則0∈A，但02?B.6．(多選)下列四種說法中，正確的有()A．函數(shù)值域中的每一個數(shù)，在定義域中都至少有一個數(shù)與之對應B．函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合C．定義域和對應關系確定后，函數(shù)的值域也就確定了D．若函數(shù)的定義域中只含有一個元素，則值域中也只含有一個元素答案ACD解析由函數(shù)定義知，A，C，D正確，B不正確．7．在一個展現(xiàn)人腦智力的綜藝節(jié)目中，一位參加節(jié)目的少年能將圓周率π準確地記憶到小數(shù)點后面200位，更神奇的是，當主持人說出小數(shù)點后面的位數(shù)時，這位少年都能準確地說出該數(shù)位上的數(shù)字．如果記圓周率小數(shù)點后第n位上的數(shù)字為y，那么你認為：y________(填“是”或“不是”)n的函數(shù)，理由是__________________________________________．答案是每一個圓周率上的數(shù)字n都對應唯一的y解析根據(jù)函數(shù)的定義可知，每一個圓周率上的數(shù)字n都對應唯一的y，所以y是n的函數(shù)．8．如圖，表示函數(shù)關系的是________．(填序號)答案①②④解析由于③中的2與1和3同時對應，故③不是函數(shù)關系．9．根據(jù)圖中的函數(shù)圖象，求出函數(shù)的定義域和值域．解圖(1)，定義域為{x|0≤x<3}，值域為{y|0≤y≤1或y＝2}；圖(2)，定義域為{x|x≥－2}，值域為{y|y≥0}；圖(3)，定義域為R，值域為{y|－1≤y≤1}．10．判斷下列對應關系是否為從A到B的函數(shù)：A＝B＝N*，對任意的x∈A，x→|x－3|.解考慮輸入值為3時，即當x＝3時輸出值y由y＝|x－3|給出，得y＝0.這個輸入值沒有輸出值與之對應，所以x→|x－3|(y＝|x－3|)不是從A到B的函數(shù)．11．已知集合A＝{1,2，k}，B＝{4,7,10}，x∈A，y∈B，使B中元素y和A中元素x一一對應，對應關系為y＝3x＋1，則k的值為()A．5B．4C．3D．2答案C解析根據(jù)對應關系為y＝3x＋1,3×1＋1＝4,3×2＋1＝7，由題意可得3×k＋1＝3k＋1＝10，所以k＝3.12．若兩個函數(shù)的對應關系相同，值域也相同，但定義域不同，則稱這兩個函數(shù)為同族函數(shù)，那么與函數(shù)y＝x2，x∈{－1,0,1,2}為同族函數(shù)的有()A．5個B．6個C．7個D．8個答案D解析由題意知同族函數(shù)是只有定義域不同的函數(shù)，函數(shù)解析式為y＝x2，值域為{0,1,4}，定義域中0是肯定有的，正、負1至少含有一個，正、負2至少含有一個，它的定義域可以是{0,1,2}，{0,1，－2}，{0，－1,2}，{0，－1，－2}，{0,1，－2,2}，{0，－1，－2,2}，{0,1，－1，－2}，{0,1，－1,2，－2}，共有8種不同的情況．13．下列構建的問題情境中的變量關系不可以用同一個解析式來描述的是()A．某商品的售價為2(單位：元/件)，銷量為x(單位：件)，銷售額為y(單位：元)，那么y＝2x.其中，x的取值范圍是A＝N，y的取值范圍是B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)∈N)))).對應關系f把商品的每一個銷量x，對應到唯一確定的銷售額2xB．把y＝2x(x∈N)看成是一次函數(shù)，那么它的定義域是N，值域是B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)∈N)))).對應關系f把定義域中的任意一個數(shù)x，對應到B中唯一確定的數(shù)2xC．某物體做勻速運動，速度為2(單位：米/秒)，運動時間為x(單位：秒)，路程為y(單位：米)，那么y＝2x.其中，x的取值范圍是A＝{x|x≥0}，y的取值范圍是B＝{y|y≥0}．對應關系f把物體的每個運動時間x，對應到唯一確定的路程2xD．某品牌汽車的裝貨量為2(單位：噸/臺)，汽車數(shù)量為t(單位：臺)，運載量為z(單位：噸)，那么z＝2t，其中，t的取值范圍是A＝N，z的取值范圍是B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(z\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(z,2)∈N)))).對應關系f把每一個汽車數(shù)量t，對應到唯一確定的運載量2t答案C14．已知集合A＝B＝{0,1,2,3}，f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，那么該函數(shù)的值域的不同情況有________種．答案15解析由函數(shù)的定義知，此函數(shù)可分為四類：若函數(shù)是四對一對應，則值域有{0}，{1}，{2}，{3}，共4種情況；若函數(shù)是三對一對應，則值域有{0,1}，{0,2}，{0,3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共6種情況；若函數(shù)是二對一對應，則值域有{0,1,2}，{0,1,3}，{0,2,3}，{1,2,3}，共4種情況；若函數(shù)是一對一對應，則值域為{0,1,2,3}，共1種情況．綜上，該函數(shù)的值域的不同情況有4＋6＋4＋1＝15(種)．15．已知函數(shù)f(x)的定義域為A＝{1,2,3,4}，值域為B＝{7,8,9}，且對任意的x<y，恒有f(x)≤f(y)，則滿足條件的不同函數(shù)共有________個．答案3解析由題意知，當1,2對應7時，3對應8,4對應9；當1對應7時，2,3對應8,4對應9；當1對應7時，2對應8,3,4對應9，所以一共有3個．16．試構建一個問題情境，使其中的變量關系可以用解析式y(tǒng)＝eq\f(10,x)(x∈{x|x>0})來描述．解直角三角形的面積為5，設一條直角邊長為x，另一條直角邊長為y，那么y＝eq\f(10,x).其中，x的取值范圍是A＝{x|x>0}，y的取值范圍是B＝{y|y>0}．對應關系f把每一個直角三角形的一條直角邊長x，對應到唯一確定的另一條直角邊長eq\f(10,x).3.1.2函數(shù)的表示法第1課時函數(shù)的表示法(1)學習目標1.了解函數(shù)的三種表示方法及各自的優(yōu)缺點.2.能用圖象法表示函數(shù)并能通過函數(shù)圖象得到函數(shù)的值域．導語如果一個人極有才華，我們會用“才高八斗”來形容；如果一個人兼有文武才能，我們會用“出將入相”來形容；如果一個人是稀有而可貴的人才，我們會用“鳳毛麟角”來形容；如果一個人品行卓越，天下絕無僅有，我們會用“斗南一人”來形容，那么對于不同呈現(xiàn)出來的函數(shù)，是否也會有不同的表示方法呢？讓我們一起來探究吧．一、函數(shù)的表示法問題結合初中所學以及上節(jié)課的幾個問題，你能總結出幾種函數(shù)的表示方法？提示解析法：就是用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應關系；列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系；圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系．例1中秋節(jié)到了，小明想買幾塊月餅，已知每塊月餅的單價是6元，買x(x∈{1,2,3,4,5,6})塊月餅需要y元，你能用函數(shù)的三種表示方法表示函數(shù)y＝f(x)嗎？解函數(shù)的定義域是數(shù)集{1,2,3,4,5,6}，用解析法可將函數(shù)表示為f(x)＝6x，x∈{1,2,3,4,5,6}．列表法可將函數(shù)表示為月餅數(shù)x123456錢數(shù)y61218243036圖象法可將函數(shù)表示為反思感悟理解函數(shù)表示法的三個關注點(1)列表法、圖象法、解析法均是函數(shù)的表示法，無論是哪種方式表示函數(shù)，都必須滿足函數(shù)的概念．(2)列表法更直觀形象，圖象法從形的角度描述函數(shù)，解析法從數(shù)的角度描述函數(shù)．(3)函數(shù)的三種表示法互相兼容或補充，許多函數(shù)是可以用三種方法表示的，但在實際操作中，仍以解析法為主．跟蹤訓練1已知函數(shù)f(x)＝－x－1，x∈{1,2,3,4}，試分別用圖象法和列表法表示函數(shù)y＝f(x)．解用圖象法表示函數(shù)y＝f(x)，如圖所示．用列表法表示函數(shù)y＝f(x)，如表所示．x1234y－2－3－4－5二、函數(shù)的圖象例2作出下列函數(shù)的圖象：(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；(2)y＝eq\f(2,x)，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．解(1)當x∈[0,2]時，圖象是一次函數(shù)y＝2x＋1的一部分，如圖所示．(2)當x∈[2，＋∞)時，圖象是反比例函數(shù)y＝eq\f(2,x)的一部分，如圖所示．(3)當－2≤x≤2時，圖象是拋物線y＝x2＋2x的一部分，如圖所示．反思感悟作函數(shù)y＝f(x)圖象的方法(1)若y＝f(x)是已學過的函數(shù)，則描出圖象上的幾個關鍵點，直接畫出圖象即可，有些可能需要根據(jù)定義域進行取舍．(2)若y＝f(x)不是所學過的函數(shù)之一，則要按：①列表；②描點；③連線三個基本步驟作出y＝f(x)的圖象．跟蹤訓練2作出下列函數(shù)的圖象：(1)y＝1－x(x∈Z)；(2)y＝x2－4x＋3，x∈[1,3]．解(1)因為x∈Z，所以圖象為直線y＝1－x上的孤立點，其圖象如圖①所示．(2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，當x＝1,3時，y＝0；當x＝2時，y＝－1，其圖象如圖②所示．三、求簡單函數(shù)的值域例3求下列函數(shù)的值域：(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(2)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5]；(3)y＝eq\f(2x＋1,x)；(4)y＝eq\f(3x＋2,x－1).解(1)∵y＝2x＋1，且x∈{1,2,3,4,5}，∴y∈{3,5,7,9,11}．∴函數(shù)的值域為{3,5,7,9,11}．(2)配方得y＝(x－2)2＋2.∵x∈[1,5]，畫函數(shù)圖象如圖所示，由圖知，2≤y≤11，即函數(shù)的值域為[2,11]．(3)y＝eq\f(2x＋1,x)＝2＋eq\f(1,x)，故該函數(shù)是由反比例函數(shù)向上平移了2個單位長度得到的，故值域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y≠2)))).(4)∵y＝eq\f(3x＋2,x－1)＝eq\f(3x－1＋5,x－1)＝3＋eq\f(5,x－1)≠3，∴函數(shù)的值域為(－∞，3)∪(3，＋∞)．反思感悟求函數(shù)值域的方法(1)觀察法：對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到．(2)配方法：此方法是求“二次函數(shù)類”值域的基本方法，即把函數(shù)通過配方轉化為能直接看出其值域的方法．(3)圖象法：利用已知一次函數(shù)、二次函數(shù)或反比例函數(shù)的圖象寫出函數(shù)的值域．(4)分離常數(shù)法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉化為“反比例函數(shù)類”的形式，便于求值域．(5)換元法：對于一些無理函數(shù)(如y＝ax±b±eq\r(cx±d))，通過換元把它們轉化為有理函數(shù)，然后利用有理函數(shù)求值域的方法，間接地求解原函數(shù)的值域．跟蹤訓練3求下列函數(shù)的值域：(1)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)；(2)y＝eq\f(1,x＋1)－1.解(1)∵x∈[－5，－2]在對稱軸x＝－1的左側，∴x∈[－5，－2]時，拋物線上升．∴當x＝－5時，y＝－12，當x＝－2時，y＝3.∴y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域是[－12,3]．(2)因為eq\f(1,x＋1)≠0，所以eq\f(1,1＋x)－1≠－1，故函數(shù)y＝eq\f(1,x＋1)－1的值域為{y|y≠－1}．1．知識清單：(1)函數(shù)的表示法．(2)函數(shù)的圖象及其應用．(3)求函數(shù)的值域．2．方法歸納：觀察法、配方法、換元法、分離常數(shù)法、數(shù)形結合法．3．常見誤區(qū)：求函數(shù)值域時忽略函數(shù)的定義域．1.函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的定義域是()A．RB．(－∞，1)∪(1，＋∞)C．(－∞，0)∪(0，＋∞)D．(－1,0)答案C解析由題圖知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．2．函數(shù)y＝x2－2x的定義域為{0,1,2,3}，那么其值域為()A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3}C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}答案A解析由對應關系y＝x2－2x得，0→0,1→－1,2→0,3→3，所以值域為{－1,0,3}．3．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x2＋2x＋2)(x∈R)的值域是()A．[0,1]B．[0,1)C．(0,1]D．(0,1)答案C解析因為x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1，所以0<eq\f(1,x＋12＋1)≤1，所以函數(shù)的值域為(0,1]．4．已知函數(shù)f(x)由下表給出，則f(3)＝________.x1≤x<222<x≤4f(x)123答案3解析∵當2<x≤4時，f(x)＝3，∴f(3)＝3.1．購買某種飲料x瓶，所需錢數(shù)為y元．若每瓶2元，用解析法將y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函數(shù)為()A．y＝2xB．y＝2x(x∈R)C．y＝2x(x∈{1,2,3，…})D．y＝2x(x∈{1,2,3,4})答案D解析題中已給出自變量的取值范圍，x∈{1,2，3,4}．2．函數(shù)f(x)＝2x＋1，x∈[0,1]的值域是()A．[1,3]B．(1,3)C．[2,3]D．[0,2]答案A解析由f(x)＝2x＋1的圖象知(圖略)，圖象整體是上升的，當x∈[0,1]時，f(0)＝1，f(1)＝3，所以值域為[1,3]．3．若集合A＝{y|y＝x2－1}，B＝{y|y＝－x2－2x}，則A∩B等于()A．(－1,1) B．[－1,1]C．(－1,1] D．[－1,1)答案B解析集合A＝{y|y＝x2－1}＝{y|y≥－1}，B＝{y|y＝－x2－2x}＝{y|y＝－(x＋1)2＋1}＝{y|y≤1}，則A∩B＝[－1,1]．4．李明在放學回家的路上，開始時和同學邊走邊討論問題，走得比較慢，后來他們索性停下來將問題徹底解決，再后來他加快速度回到了家．下列圖象中與這一過程吻合得最好的是()答案D解析由題意可知，李明離家的距離隨時間的變化先是變小，且變化得比較慢，后來保持不變，再后來繼續(xù)變小，且變化得比較快，直至為0，只有D選項符合題意．5．(多選)已知函數(shù)f(x＋1)＝x2－3x，且f(a)＝－2，則a的值為()A．3 B．2C．1 D．0答案AB解析由x2－3x＝－2得x＝1或x＝2，所以a＝1＋1＝2或a＝1＋2＝3.6．(多選)下列命題中是假命題的是()A．函數(shù)f(x)＝eq\r(x－2)＋eq\r(1－x)有意義B．函數(shù)y＝2x(x∈N)的圖象是一條直線C．函數(shù)是其定義域到值域的對應關系D．函數(shù)y＝x2(x≥0)的圖象是一條曲線答案AB解析A選項，函數(shù)f(x)的定義域需滿足x≥2且x≤1，不存在，A錯；B選項，函數(shù)y＝2x(x∈N)的圖象是由離散的點組成的，B錯；C選項，函數(shù)是其定義域到值域的對應關系，C對；D選項，函數(shù)y＝x2，x≥0的圖象是拋物線的一部分，D對．7．若A＝{y|y＝x2－2x＋2}，且a∈A，則eq\f(1,a＋2)的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))解析∵A＝{y|y＝x2－2x＋2}＝{y|y＝(x－1)2＋1}＝{y|y≥1}，a∈A，則a≥1，所以a＋2≥3，所以0＜eq\f(1,a＋2)≤eq\f(1,3).8．已知函數(shù)f(x)的定義域是[0,1]，值域是[1,2]，則這樣的函數(shù)可以是f(x)＝________.答案x＋1，x∈[0,1](答案不唯一)解析因為函數(shù)f(x)的定義域是[0,1]，值域是[1,2]，所以函數(shù)可以是f(x)＝x＋1，x∈[0,1]．9．畫出下列函數(shù)的圖象，并說出函數(shù)的定義域和值域：(1)y＝eq\f(8,x)；(2)y＝－4x＋5；(3)y＝x2－6x＋7.解(1)反比例函數(shù)y＝eq\f(8,x)的圖象如圖所示，定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域為(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)一次函數(shù)y＝－4x＋5的圖象如圖所示，定義域為R，值域為R.(3)二次函數(shù)y＝x2－6x＋7的圖象如圖所示，定義域為R，值域為[－2，＋∞)．10．某問答游戲的規(guī)則是：共5道選擇題，基礎分為50分，每答錯一道題扣10分，答對不扣分．試分別用列表法、圖象法、解析法表示一個參與者的得分y與答錯題目道數(shù)x(x∈{0,1,2,3,4,5})之間的函數(shù)關系．解(1)列表法，列出參賽者得分y與答錯題目道數(shù)x(x∈{0,1,2,3,4,5})之間的函數(shù)關系為x012345y50403020100(2)圖象法，畫出參賽者得分y與答錯題目道數(shù)x(x∈{0,1,2,3,4,5})之間的函數(shù)關系如圖．(3)解析法，參賽者得分y與答錯題目道數(shù)x(x∈{0,1,2,3,4,5})之間的函數(shù)關系為y＝50－10x，x∈{0,1,2,3,4,5}．11．一水池有2個進水口，1個出水口，進、出水速度如圖甲、乙所示．某天從0點到6點，該水池的蓄水量如圖丙所示．(至少打開一個水口)給出以下3個論斷：①0點到3點只進水不出水；②3點到4點不進水只出水；③4點到6點不進水也不出水．則正確論斷的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3答案B解析由題意可知在0點到3點這段時間，每小時進水量為2，即2個進水口同時進水且不出水，故①正確；從題干丙圖可知3點到4點水量減少了1，所以應該是有一個進水口進水，同時出水口也出水，故②錯；當兩個進水口同時進水，出水口也同時出水時，水量也保持不變，故③錯．12．已知陳校長某日晨練時，行走的時間x與離家的直線距離y之間的函數(shù)圖象如圖，若用黑點表示陳校長家的位置，則陳校長晨練所走的路線可能是()答案D解析由函數(shù)圖象可知，在行走過程中，有一段路程離陳校長家距離不變，除D選項外，其余都不符合，故排除A，B，C.13．已知函數(shù)f(x)＝x2－4x在[0，m]上的值域為[－4，0]，則實數(shù)m的取值范圍是________．答案[2,4]解析函數(shù)f(x)＝x2－4x的部分圖象及在[0，m]上的圖象如圖所示．f(0)＝0，f(2)＝－4，f(4)＝0，當x＞4時f(x)＞0；當0＜x＜4時，－4≤f(x)＜0，所以為使函數(shù)f(x)＝x2－4x在[0，m]上的值域為[－4,0]，實數(shù)m的取值范圍是[2,4]．14．在實數(shù)的原有運算中，我們定義新運算“*”如下：當a≥b時，a*b＝a；當a<b時，a*b＝b2.設函數(shù)f(x)＝(－2*x)－(2*x)，x∈(－2，2］，則函數(shù)f(x)的值域為__________..答案[－2,2]解析由題意知f(x)＝x2－2，因為x∈(－2,2]，所以x2∈[0,4]，所以f(x)∈[－2,2]．15．如圖所示的四個容器高度都相同．將水從容器頂部一個孔中以相同的速度注入其中，注滿為止．用下面對應的圖象顯示該容器中水面的高度h和時間t之間的關系，其中不正確的有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個答案A解析對于第一幅圖，水面的高度h的增加應是均勻的，因此不正確，其他均正確．16．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2)，是否存在實數(shù)m，使得函數(shù)的定義域和值域都是[1，m](m>1)？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．解存在．理由如下：f(x)＝eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2)＝eq\f(1,2)(x－1)2＋1圖象的對稱軸為x＝1，頂點為(1,1)且開口向上．∵m>1，∴要使f(x)的定義域和值域都是[1，m]，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝1，,fm＝m，))∴eq\f(1,2)m2－m＋eq\f(3,2)＝m，即m2－4m＋3＝0，∴m＝3或m＝1(舍)∴存在實數(shù)m＝3滿足條件．第2課時函數(shù)的表示法(2)學習目標1.掌握利用圖象的變換法作圖.2.會求函數(shù)的解析式．導語同學們，函數(shù)的圖象在整個函數(shù)的學習中占據(jù)重要的地位，因為它能帶領我們直觀的感受變量的發(fā)生、發(fā)展過程，就好像是有了“兩個黃鸝鳴翠柳，一行白鷺上青天”，就能在我們的腦海里呈現(xiàn)出一幅優(yōu)美的圖象一樣直接．一、函數(shù)圖象的畫法問題除了我們所熟悉的“列表、描點、連線”作圖，還有哪些作圖的方法？提示平移變換、對稱變換、翻折變換．知識梳理1．函數(shù)圖象的平移變換(1)左加右減：函數(shù)y＝f(x)的圖象沿x軸方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|個單位長度得到函數(shù)y＝f(x＋a)的圖象．(2)上加下減：函數(shù)y＝f(x)的圖象沿y軸方向向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|個單位長度得到函數(shù)y＝f(x)＋b的圖象．2．函數(shù)圖象的對稱變換(1)y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關于x軸對稱))y＝－f(x)；(2)y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關于y軸對稱))y＝f(－x)；(3)y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關于原點對稱))y＝－f(－x)．3．函數(shù)圖象的翻折變換(1)y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留x軸上方的圖象，),\s\do5(把x軸下方的圖象翻折到x軸上方))y＝|f(x)|；(2)y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留y軸右邊的圖象，),\s\do5(把y軸右邊的圖象翻折到y(tǒng)軸左邊))y＝f(|x|)．注意點：(1)左右移動加減的是自變量，且不帶系數(shù)與符號，上下移動加減的是函數(shù)值．(2)自變量的絕對值是左右翻折，函數(shù)值的絕對值是上下翻折．(3)若f(a－x)＝f(a＋x)，則函數(shù)f(x)的圖象關于x＝a對稱．例1畫出函數(shù)y＝(x－2)2的圖象．解方法一列表：x－1－0.500.511.522.533.544.55y96.2542.2510.2500.2512.2546.259描點、連線，圖象如圖所示．方法二圖象變換法：先作出函數(shù)y＝x2的圖象，然后把它向右平移2個單位長度，就得到函數(shù)y＝(x－2)2的圖象，如圖所示．反思感悟畫函數(shù)圖象的兩種常見方法(1)描點法：列表、描點、連線．(2)變換作圖法：常用的有水平平移變換、豎直平移變換、對稱變換、翻折變換等．跟蹤訓練1函數(shù)y＝eq\f(x,1＋x)的大致圖象是()答案A解析方法一y＝eq\f(x,1＋x)的定義域為{x|x≠－1}，排除C，D，當x＝0時，y＝0，排除B.方法二y＝eq\f(x,1＋x)＝1－eq\f(1,x＋1)，由函數(shù)的平移性質(zhì)可知A正確．二、求函數(shù)的解析式例2(1)已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，求f(x)；(2)已知f(x)為二次函數(shù)，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)．(3)已知2f(x)＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝x(x∈R且x≠0)，求f(x)的解析式．解(1)方法一(換元法)令t＝eq\r(x)＋1，則x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以f(x)的解析式為f(x)＝x2－1(x≥1)．方法二(配湊法)f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)＝x＋2eq\r(x)＋1－1＝(eq\r(x)＋1)2－1.因為eq\r(x)＋1≥1，所以f(x)的解析式為f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝2，,2b＝－4，,2a＋2c＝0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－2，,c＝－1，))所以f(x)＝x2－2x－1.(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2fx＋f

\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝xx≠0，,2f

\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋fx＝\f(1,x)x≠0，))可知f(x)＝eq\f(2x,3)－eq\f(1,3x)(x≠0)．反思感悟求函數(shù)解析式的四種常用方法(1)換元法：設t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可．(2)配湊法：對f(g(x))的解析式進行配湊變形，使它能用g(x)表示出來，再用x代替兩邊所有的“g(x)”即可．(3)待定系數(shù)法：若已知f(x)的解析式的類型，設出它的一般形式，根據(jù)特殊值確定相關的系數(shù)即可．(4)方程組法(或消元法)：當同一個對應關系中的兩個之間有互為相反數(shù)或互為倒數(shù)關系時，可構造方程組求解．提醒：應用換元法求函數(shù)解析式時，務必保證函數(shù)在換元前后的等價性．跟蹤訓練2(1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；(2)已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x)．(3)已知f(x)＋2f(－x)＝9x＋2，求f(x)的解析式．解(1)方法一(配湊法)：∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，∴f(x)＝x2－5x＋6.方法二(換元法)：令t＝x＋1，則x＝t－1，∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，即f(x)＝x2－5x＋6.(2)設f(x)＝ax＋b(a≠0)，則f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.又f(f(x))＝4x＋8，∴a2x＋ab＋b＝4x＋8，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,ab＋b＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\f(8,3)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－8.))∴f(x)＝2x＋eq\f(8,3)或f(x)＝－2x－8.(3)因為f(x)＋2f(－x)＝9x＋2，①所以f(－x)＋2f(x)＝9(－x)＋2，②②×2－①得3f(x)＝－27x＋2，即f(x)＝－9x＋eq\f(2,3).1．知識清單：(1)函數(shù)的圖象．(2)求函數(shù)解析式．2．方法歸納：待定系數(shù)法、換元法、配湊法、數(shù)形結合法．3．常見誤區(qū)：求函數(shù)解析式時容易忽視定義域．1．若二次函數(shù)的圖象開口向上且關于直線x＝1對稱，并過點(0,0)，則此二次函數(shù)的解析式可能為()A．f(x)＝x2－1 B．f(x)＝－(x－1)2＋1C．f(x)＝(x－1)2＋1 D．f(x)＝(x－1)2－1答案D解析設f(x)＝(x－1)2＋c，由于點(0,0)在二次函數(shù)圖象上，∴f(0)＝(0－1)2＋c＝0.∴c＝－1，∴f(x)＝(x－1)2－1.2．已知函數(shù)f(2x－1)＝4x＋6，則f(x)的解析式是()A．f(x)＝2x＋8 B．f(x)＝2x＋1C．f(x)＝2x＋2 D．f(x)＝4x＋2答案A解析因為f(2x－1)＝4x＋6＝2(2x－1)＋8，所以f(x)＝2x＋8.3．已知f(x)的圖象恒過點(1，－1)，則函數(shù)f(x－3)的圖象恒過點()A．(－2，－1) B．(4，－1)C．(1，－4) D．(1，－2)答案B解析因為已知f(x)的圖象恒過點(1，－1)，所以當x－3＝1時，f(x－3)＝－1，即函數(shù)f(x－3)的圖象恒過點(4，－1)．4．已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(－3,2)，頂點是(－2,3)，則函數(shù)f(x)的解析式為________________________________________________________________________．答案f(x)＝－x2－4x－1解析設f(x)＝a(x＋2)2＋3(a≠0)，由y＝f(x)過點(－3,2)，得a＝－1，∴f(x)＝－(x＋2)2＋3＝－x2－4x－1.1．函數(shù)f(x)＝|x－1|的圖象是()答案B解析畫出y＝|x|的圖象，則f(x)的圖象由y＝|x|的圖象向右平移一個單位長度得到．2．二次函數(shù)y＝2x2的圖象先向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)表達式為()A．y＝2(x＋1)2＋2 B．y＝2(x－1)2＋2C．y＝2(x＋1)2－2 D．y＝2(x－1)2－2答案B解析將二次函數(shù)y＝2x2的圖象向上平移2個單位長度得到函數(shù)y＝2x2＋2的圖象，再向右平移1個單位長度得函數(shù)y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))2＋2的圖象．3．函數(shù)y＝－eq\f(1,x－1)的圖象是()答案C解析方法一先畫y＝－eq\f(1,x)的圖象，然后再向右平移1個單位長度即可得到y(tǒng)＝－eq\f(1,x－1)的圖象．方法二根據(jù)函數(shù)y＝－eq\f(1,x－1)的定義域為(－∞，1)∪(1，＋∞)可排除B，D；再根據(jù)x＝2時，y＝－1<0，排除A.4．(多選)已知f(2x－1)＝4x2，則下列結論中正確的是()A．f(3)＝9 B．f(－3)＝4C．f(x)＝x2 D．f(x)＝(x＋1)2答案BD解析f(2x－1)＝4x2＝(2x－1)2＋2(2x－1)＋1，故f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，故選項C錯誤，選項D正確；f(3)＝16，f(－3)＝4，故選項A錯誤，選項B正確．5．(多選)設f(x)＝eq\f(1＋x2,1－x2)，則下列結論正確的有()A．f(－x)＝－f(x) B．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝－f(x)C．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))＝f(x) D．f(－x)＝f(x)答案BD解析因為f(x)＝eq\f(1＋x2,1－x2)，所以f(－x)＝eq\f(1＋－x2,1－－x2)＝f(x)，故A錯誤，D正確；f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2)＝eq\f(x2＋1,x2－1)＝－f(x)，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))＝eq\f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))2,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))2)＝eq\f(x2＋1,x2－1)＝－f(x)，故B正確，C錯誤．6．在平面直角坐標系中，先將拋物線y＝x2＋2x－3關于原點作中心對稱變換，再將所得的拋物線關于y軸作軸對稱變換，那么經(jīng)過兩次變換后所得的新拋物線的解析式為()A．y＝－x2＋2x－3 B．y＝－x2＋2x＋3C．y＝－x2－2x＋3 D．y＝x2＋2x＋3答案C解析先將拋物線y＝x2＋2x－3關于原點作中心對稱變換，得到拋物線y＝－[(－x)2＋2(－x)－3]，整理得y＝－x2＋2x＋3；再將拋物線y＝－x2＋2x＋3關于y軸作軸對稱變換，得到拋物線y＝－(－x)2＋2(－x)＋3，整理得y＝－x2－2x＋3，所以經(jīng)過兩次變換后所得的新拋物線的解析式為y＝－x2－2x＋3.7．設b>0，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋a2－1的圖象為下列圖象之一，則a的值為________．答案－1解析若a>0，即圖象開口向上，故排除第1個和第3個圖象，∵b>0，∴對稱軸x＝－eq\f(b,2a)<0，故排除第2個和第4個圖象；若a<0，即圖象開口向下，∵b>0，∴對稱軸x＝－eq\f(b,2a)>0，故函數(shù)圖象為第3個圖象．由圖象知函數(shù)過點(0,0)，∴a2－1＝0，∴a＝－1(舍去a＝1)．8．已知f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(1,x＋1)，那么f(x)的解析式為________．答案f(x)＝eq\f(x,1＋x)(x≠－1且x≠0)解析由f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(1,x＋1)可知，函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠0且x≠－1}．令t＝eq\f(1,x)，則f(t)＝eq\f(1,\f(1,t)＋1)＝eq\f(t,t＋1)，故f(x)＝eq\f(x,1＋x)(x≠－1且x≠0)．9．畫出函數(shù)y＝eq\f(2x,x＋1)的圖象．解因為y＝eq\f(2x,x＋1)＝2－eq\f(2,x＋1)，所以可先畫出函數(shù)y＝－eq\f(2,x)的大致圖象(如圖虛線所示)，把所得圖象向左平移1個單位長度，得到y(tǒng)＝－eq\f(2,x＋1)的圖象，再把所得圖象向上平移2個單位長度就得到函數(shù)y＝eq\f(2x,x＋1)的圖象，如圖實線所示．10．(1)已知f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)，求f(x)；(2)已知函數(shù)f(x)＝x2－bx＋c且f(1)＝0，f(2)＝－3，求f(x)．解(1)∵f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))2＋2，令t＝x－eq\f(1,x)，∴f(t)＝t2＋2，∴f(x)＝x2＋2.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝1－b＋c＝0，,f2＝4－2b＋c＝－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝6，,c＝5，))故f(x)＝x2－6x＋5.11．一等腰三角形的周長是20，底邊長y是關于腰長x的函數(shù)，則它的解析式為()A．y＝20－2xB．y＝20－2x(0<x<10)C．y＝20－2x(5≤x≤10)D．y＝20－2x(5<x<10)答案D解析由題意得y＋2x＝20，所以y＝20－2x，又2x>y，即2x>20－2x，即x>5，由y>0即20－2x>0得x<10，所以5<x<10.12．若y＝f(x＋3)的圖象經(jīng)過點P(1,4