排列組合(答案)

一.重點、難點：加法原理、乘法原理解決復(fù)雜問題時，若采用分步完成，則用乘法原則，若采用分類完成，則用加法原則。2.將2.將n個不同元素排成一列，為An■n!nn!3.從n個不同元素中選出m個排成一列為Am■3.n（nIm）!從n個不同元素中，任取m個組成一組?！?n!Cm■nm!（nIm）!5.Am■Cm5.Am■CmAmnnmCm■Cn-nCm■Cm?■Cnnnn__nIm一Cm■■——CmnmI1n6.C3■12010C3■84（無0）9討論b■16.C3■12010C3■84（無0）9討論b■1，2，3……90■1■2■2■3■…■8B9■240（4）討論b■0，1，2……992■82■…■12■02■285［例2］3個國家種。解：每國2個共六人站成一排,要求同一國家的兩個人不相鄰,有不同的排法討論（1（1（1,4）,4）,3）,（2（2（2,5）,6）,5）,（4,6）（3,6）（3,5）nnCm■——CmCm■—Cm?nnImnI1nmnI1解決排列、組合的基本方法從“特殊元素”與“特殊位置”入手分清“有序”與“無序”分清“分組”與“分配”及平均分組問題直接法（分類）間接法（從所有可能中排除）逆歸與疊代【典型例題】［例1］三位數(shù)。兒，若a■b■。，則abc稱為漸升數(shù)，若a■b■c,則abc為漸降數(shù)，若a■b，b■c稱為凸數(shù)，若a■b，b■c稱為凹數(shù)，求四種數(shù)各有多少個。解：規(guī)定順序即設(shè)有順序(1，5)，(2，4)，(3，6)(1，6)，(2，4)，(3，5)??.5■A3■A2■A2■A2■2403222［例3］甲班組共十六名工人，從中選出七人參加植樹。A必在其中的選法C6■500515A必不在其中的選法C7■643515A、B同時在其中的選法C5■182014A、B至少有一人在其中的選法C7■C7■C6■C6■C5■11440■3432■80081614141414［例4］從1,2,3.100這100個數(shù)中，任取兩數(shù)相乘(不考慮順序)積可被3整除的有多少個？積可被9整除的有多少個？不能被3整除，67個能被3整除不能被9整除，22個能被9整除，11個C2■C2■273910067C2■C1■C1■C2■126511118922［例5］七名學(xué)生站成一排照相(高矮不同)(1)站成一排有多少種不同的站法(2)站成兩排(前三后四)有多少種不同站法(3)站成一排，甲乙必須相鄰(4)站成一排，甲乙不相鄰(5)甲在乙左邊(6)甲乙之間間隔兩人(7)甲不在左邊第一個且乙不在右邊第一個(8)從中選出四人站一成一排，左邊比右邊高答案：(1)A7■50407(2)A3■A4■A7■5040747(3)A2■A6■144026A5■C2■A2■A7■A2■a6■3600562726(5)A7/2■25207(6)A2A2A4■960524(7)A7■A6■A6■A5■A1■C1C1■A5■372076656555(8)C4■357［例6］典型問題：六個球，投入四個盒子，有多少種不同方法。(1)球不同，盒不同(2)球不同，盒不同，每盒不空(3)球相同，盒不同(4)球相同，盒不同，每盒不空(5)球不同，盒相同，每盒不空(6)球相同，盒相同解：(1)46■4096(2)只有(3，1，1，1)，(2，2，1，1)兩種???C3A4■C2C2A4/2!■156064644(3)C3■849(4)C3■105(5)分組(3，1，1，1)，(2，2，1，1)??.C3■C2C2/2!■65664(6)9只有(6，0，0，0)，(5，1，0，0)，(4，2，0，0)(4，1，1，0)，(3，3，0，0)，(3，2，1，0)(3，1，1，1)，(2，2，2，0)，(2，2，1，1)［例7］已知f是集合A,b,gd■到集合B■■0,1,21的映射。(1)不同的映射f有多少個？(2)若要求ff-f1fd.4，則不同的映射f有多少個？解析：(1)A中每個元素都可選0、1、2三者之一為像，由分步計數(shù)原理，共有34■81(個)不同的映射。(2)根據(jù)a,b,c,d對應(yīng)的像為2的個數(shù)來分類，可分為三類：第1類：沒有元素的像為2，其和又為4，故其像都為1，這樣的映射只有1個；第2類：一個元素的像是2,其余三個元素的像必為0、1、1,這樣的映射有■1243（個）；第3類：兩個元素的像是2,另兩個元素的像必為0,這樣的映射有C2■6（個）。4由分類計數(shù)原理,共有1+12+6=19（個）［例8］從1到100的自然數(shù)中,每次取出不同的兩個數(shù),使它們的和大于100,則不同的取法有多少種？解析：從1，2，3，…，97，98，99，100中取出的數(shù)中有1，由1+100>100知，取法數(shù)為1種；取出2，V2+100>100，2+99>100，取法有2種；取出3,取法數(shù)為3種；?…取出50,750+51>100,50+52>100,…，50+100>100,取法有50種；所以取出的數(shù)字含1至50時，共得取法數(shù)N1=1+2+3+…+50=1275種。第二類，從51至100中任取兩個數(shù)字，其和都大于100,A有不同取法N=C2■1225250種，故總的取法有N=N1+N2=2500種。［例9］某體育彩票規(guī)定：從01至36共36個號中抽出7個號為一注，每注2元。某人想從01至10中選3個連續(xù)的號，從11至20中選2個連續(xù)的號，從21至30中選1個號，從31至36中選1個號組成一注，則這人把這種特殊要求的號買全，至少要花（）A.3360元B.6720元C.4320元D.8640元答案：D解析：據(jù)分步計算原理，買全號共需要8X9X10X6X2=8640元，故選D。［例10］球臺上有4個黃球，6個紅球，擊黃球入袋記2分，擊紅球入袋記1分，欲將此十球中的4球擊入袋中，但總分不低于5分，擊球方法有幾種？■X■y■4解析：設(shè)擊入黃球x個，紅球y個符合要求，則有.二.<（x,y■N），得1■x■4■2x■y■5.IX■1IX■2IX■3IX■4■■y■3,■■y■2,■■y■1,■■y■0相應(yīng)每組解（x,y）,擊球方法數(shù)分別為C1C3,C2C2,C3C1,C4CoTOC\o"1-5"\h\z46464646共有不同擊球方法數(shù)為C1C3■C2C2■C3C1■C4C0■19546464646［例11］已知集合A={x11■x■9,且x■N},若p,q■A,e■logq，則以e為離心率p的不同形狀的橢圓有（）A.25個B.26個C.27個D.28個答案：B解析：由于e■10,e.,.9■p■q■1當(dāng)q■2時，p?3、4、…、9,橢圓的不同形狀有7個;當(dāng)q■3時，p?4、5、…、9,橢圓的不同形狀有6個;當(dāng)q■4時，p■、6、…、9,橢圓的不同形狀有5個；當(dāng)q=5時，p=6、7、8、9,橢圓的不同形狀有4個；當(dāng)q=6時，p=7、8、9,橢圓的不同形狀有3個；當(dāng)q=7時，p=8、9,橢圓的不同形狀有2個；當(dāng)q=8時，p=9,橢圓的不同形狀有1個；其中l(wèi)og2■log3,log2■log44939，共有（7+6+5+4+3+2+1）—2=26個點評：上面用的枚舉解法，也可由p,q■A,e■logq■■051■口9■p■q■1,因p此問題成為從2至9這8個數(shù)字中任取兩個數(shù)字并作一組的不同取法。??有C2■2■26個。8[例12]已知20Cn■4n-4■Cn?■15A2，則n■。n15nIEnIE解：???20Cn■4,■41Cn■■20[C5■-n■4IC4]n15nIEnIE5nIE20C5■C5，20C4nH5n*n*?.20C4■15A2n*nIE20?.4m311nl211nl1"■.■即■15n■3，r214!解得n■2（n舍去）填2點評：（1）本題是組合數(shù)公式的應(yīng)用,關(guān)鍵是公式的選擇,還要注意組合數(shù)性質(zhì)在化簡中的功能。n（2）特別注意：①Cm■Cm■■Cm11:②Cm■—Cm,;③Am■Cmim!nnnHnmn■nn[例13]3個人坐在一排8個座位上，若每人的兩邊都要有空位，則不同的坐法種數(shù)為。解析：把5個空位看作5個1,3個人為2、3、4,問題變?yōu)檫@8個數(shù)字排一列，2、3、4不相鄰,且不排在兩頭,只須在5個1形成的4個空位中選3個排上2、3、4。??共A3■24種排法。4答案：24[例14]一條街道上共有10盞路燈,為節(jié)約用電又不影響照明,決定每天晚上10點熄滅其中的4盞,并且不能熄滅相鄰兩盞也不能熄滅兩頭兩盞,問不同熄燈方法有多少種。解析：記熄滅的燈為0,亮燈為1,則問題是4個0和6個1的一個排列,并且要求0不相鄰,且不排在兩端,故先將1排好,在6個1形成的5個空中,選取4個插入0,共有方法數(shù)C5■5種。[例15]在由數(shù)字1,2,3,4,5組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)中,大于23145且小于

43521的數(shù)共有（）A.56個B.57個C.58個D.60個解答：本題主要考查排列知識及分類計數(shù)原理。比23145大且比43521小的數(shù)可以分為三類一類以3開頭的數(shù)有：A4■24種4二類以2開頭的數(shù)有：A3■A3■.3?1.17種333三類以4開頭的數(shù)有：A3■A3■■13?1.17種333據(jù)分類計數(shù)原理共有24+17+17=58種。故選C。[例16]某中學(xué)擬于下學(xué)年在高一年級開設(shè)《矩陣與變換》、《信息安全與密碼》、《開關(guān)電路與布爾代數(shù)》等三門數(shù)學(xué)選修課程。在計劃任教高一的10名數(shù)學(xué)教師中，有3人只能任教《矩陣與變換》，有2人只能任教《信息安全與密碼》，另有3人只能任教《開關(guān)電路與布爾代數(shù)》，這三門課程都能任教的只有2人?，F(xiàn)要從這10名教師中選出9人，分別擔(dān)任這三門選修課的任課教師，且每門課程安排3名教師任教，則不同的安排方案共有（）A.8種B.12種C.14種D.16種解答：按邏輯順序作出如下圖所示的文氏圖表，從中選出9人，因為只去掉一位教師，可考慮到哪位教師沒有任教，共分4類，第一類只能任教信息安全與密碼的2位教師中有1位沒有任教，則必須由中間的兩人補充信息安全與密碼課程，有C1種選法；第二類中間兩人中有1位教師沒有任教，則還有1人只能去任教信息安全與密碼課程，有C1種選法；第三類只能任教矩陣與變換的3位教師中有1位沒有任教，則必須在中間2位中選1位來補充，共有Ci■C1種選法；第四類只能任教開關(guān)電路與布爾代數(shù)的3位教師中有1位沒有任教，32則必須在中間2位中選則必須在中間2位中選1位來補，共有Ci■Ci種選法，故共有Ci■Ci■Ci■Ci■Ci3222232■CI-16種選法，即應(yīng)選D。開關(guān)電胳3\與布六代功【模擬試題】（答題時間：45分鐘）.甲、乙、丙3位同學(xué)選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有（）A.36種B.48種C.96種D.192種.在下圖的1X6矩形長條中涂上紅、黃、藍三種顏色，每種顏色限涂兩格，且相鄰兩格不同色，則不同的涂色方法共有（）A.90種B.54種C.30種D.45種

.在ax?1?展開式中含x4項的系數(shù)為一35,則a為（）D.■D.■2A.■1B.-1C.■一2.6人站成一排，若調(diào)換3個人的位置，有多少種不同的換法（）A.40B.60C.120D.240.如圖所示的陰影部分是由方格紙上的4個相鄰的方格組成的T形圖案，那么在由4X5個小方格組成的方格紙上可以畫出不同位置的T形圖案的個數(shù)是（）A.17個B.34個C.32個D.16個6.在■1■6.在■1■xx??％x■的展開式中，x4的系數(shù)是通項公式為a■3n■5的數(shù)列的（）A.第20項B.第18項C.第11項D.第3項7.已知函數(shù)y■ax2■bx■c,其中a,b,c■.1,2,3,4.則不同的二次函數(shù)的個數(shù)共有（）A.125B.15C.100D.10.一個口袋內(nèi)有4個不同的紅球,6個不同的白球,若取一個紅球記2分,取一個白球記1分,從中任取5個球,使總分不少于8分的取法有（）A.6種B.60種C.66種D.186種.3名醫(yī)生和6名護士被分配到3所學(xué)校為學(xué)生體檢,每校分配1名醫(yī)生和2名護士,不同的分配法共有（）A.90種B.180種C.270種D.540種.已知.2■上II的展開式中第三項與第五項的系數(shù)之比為■3-，其中i2■■，則■xI14展開式中常數(shù)項是（）A.■45iB.45iC.■45D.45.若Ex■-■展開式中含—項的系數(shù)與含—項的系數(shù)之比為一5,則n等于（）■x■x2x4A.4B.6C.8D.10.集合A■%x■Ci,n是非負整數(shù)■，集合B=.2,3,4■則下列結(jié)論正確的是（）4A.A■B■{0,1,2,3,4}b.AIB

C.A■B■{1,4}D.AIB安排7位工作人員在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1D.AIB42X2■的展開式中常數(shù)項為。（用數(shù)字作答）■x■15.將數(shù)字1,2,3,4,5,6排成一列，記第i個數(shù)為a.1,2,■,6.若a■1,a■3，i13a■5,a■a■a，則不同的排列方法有種。（用數(shù)字作答）5135.如圖所示，某小花園中間為噴水池，噴水池周圍的A、B、C、D區(qū)域種植4種不同顏色的草皮，且相鄰的區(qū)域不種同一種顏色的草皮，則共有種不同的種植方法。（以數(shù)字作答）o.有6本不同的書。（1）甲、乙、丙3人每人2本,有多少種不同的分法？（2）分成3堆,每堆2本,有多少種不同的分堆方法？（3）分成3堆,一堆1本,一堆2本,一堆3本,有多少種不同的分堆方法？（4）分給甲、乙、丙3人,一人1本,一人2本,一人3本,有多少種不同的分配方法？（5）分成3堆,有2堆各1本,另一堆4本,有多少種不同的分堆方法？（6）擺在3層書架上,每層2本,有多少種不同的擺法？.現(xiàn)有A、B、C、D、E、F、G、H共8位同學(xué)站成一排照像，要求學(xué)生A、B相鄰，C、D相鄰，而G、H不相鄰，這樣的排隊照像方式有（）A.36種B.48種C.42種D.1920種.某車間有11個工人,其中5名男工是鉗工,4名女工是車工,另外2位老師傅既能當(dāng)鉗工又能當(dāng)車工?，F(xiàn)在從這11名工人中選派4名鉗工和4名車工修理一臺機床,有多少種不同的選派方法？.四面體ABCD的頂點和各棱的中點共10個點。（1）設(shè)一個頂點為A,從其它9點中取3個點，使它們和點A在同一平面上，不同的取法有多少種？（2）在這10點中取4個不共面的點,不同的取法有多少種？【試題答案】C2.C3.A4.A5.B6.A7.C8.C9.D10.DB12.C13.240014.－4215.3016.8417.解答：（1）在6本書中,先取2本給甲,再從剩下4本書中取2本給乙,最后2本給丙，共有C2C2C2■90（種）。642C2C2(2)6本書平均分3堆，用上述方法重復(fù)了A3倍，故共有—d■15(種)3A33(3)從6本書中，先取1本作一堆，再在剩下的5本中取2本作一堆，最后3本作一堆，共有CiC2■60(種)65(4)在(3)的分堆中，甲、乙、丙3人各取1堆，共有CiC2A3■360(種)653CiCi(5)平均分堆要除以堆數(shù)的全排列數(shù)，不平均分堆則不除，故共有土」■15(種)A22(6)本題即為6本書放在6個位置上，共有A6■720(種)6.解析：把A，B看成是一個整體有A2種站法，c，d也看成一個整體有A2種站法，再22把AB、CD、E、F四