六年級奧數(shù)專題：找規(guī)律

六年級奧數(shù)專題：找規(guī)律六年級奧數(shù)專題：找規(guī)律六年級奧數(shù)專題：找規(guī)律V:1.0精細整理，僅供參考六年級奧數(shù)專題：找規(guī)律日期：20xx年X月六年級奧數(shù)專題：找規(guī)律同學(xué)們從三年級開始，就陸續(xù)接觸過許多“找規(guī)律”的題目，例如發(fā)現(xiàn)圖形、數(shù)字或數(shù)表的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)周期變化規(guī)律等等。這一講的內(nèi)容是通過發(fā)現(xiàn)某一問題的規(guī)律，推導(dǎo)出該問題的計算公式。例1求99邊形的內(nèi)角和。分析與解：三角形的內(nèi)角和等于180°，可是99邊形的內(nèi)角和怎樣求呢？我們把問題簡化一下，先求四邊形、五邊形、六邊形……的內(nèi)角和，找一找其中的規(guī)律。

如上圖所示，將四邊形ABCD分成兩個三角形，每個三角形的內(nèi)角和等于180°，所以四邊形的內(nèi)角和等于180°×2=360°；同理，將五邊形ABCDE分成三個三角形，得到五邊形的內(nèi)角和等于180°×3＝540°；將六邊形ABCDEF分成四個三角形，得到六邊形的內(nèi)角和等于180°×4＝720°。通過上面的圖形及分析可以發(fā)現(xiàn)，多邊形被分成的三角形數(shù)，等于邊數(shù)減2。由此得到多邊形的內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和=180°×（n-2）（n≥3）。有了這個公式，再求99邊形的內(nèi)角和就太容易了。99邊形的內(nèi)角和=180°×（99-2）＝17460°。例2四邊形內(nèi)有10個點，以四邊形的4個頂點和這10個點為三角形的頂點，最多能剪出多少個小三角形？

分析與解：在10個點中任取一點A，連結(jié)A與四邊形的四個頂點，構(gòu)成4個三角形。再在剩下的9個點中任取一點B。如果B在某個三角形中，那么連結(jié)B與B所在的三角形的三個頂點，此時三角形總數(shù)增加2個（見左下圖）。如果B在某兩個三角形的公共邊上，那么連結(jié)B與B所在邊相對的頂點，此時三角形總數(shù)也是增加2個（見右下圖）。類似地，每增加一個點增加2個三角形。所以，共可剪出三角形4＋2×9=22（個）。如果將例2的“10個點”改為n個點，其它條件不變，那么由以上的分析可知，最多能剪出三角形4＋2×（n-1）=2n＋2=2×（n＋1）（個）。同學(xué)們都知道圓柱體，如果將圓柱體的底面換成三角形，那么便得到了三棱柱（左下圖）；同理可以得到四棱柱（下中圖），五棱柱（右下圖）。如果底面是正三角形、正四邊形、正五邊形……那么相應(yīng)的柱體就是正三棱柱、正四棱柱、正五棱柱……例3n棱柱有多少條棱如果將不相交的兩條棱稱為一對，那么n棱柱共有多少對不相交的棱分析與解：n棱柱的底面和頂面都是n邊形，每個n邊形有n個頂點，所以n棱柱共有2n個頂點。觀察三棱柱、四棱柱、五棱柱的圖形，可以看出，每個頂點都與三條棱相連，而每條棱連接2個頂點，所以n棱柱共有棱2n×3÷2=3n（條）。進一步觀察可以發(fā)現(xiàn)，n棱柱中每條棱都與4條棱相交，與其余的3n－4-1=（3n－5）條棱不相交。共有3n條棱，所以不相交的棱有3n×（3n-5）（條），因為不相交的棱是成對出現(xiàn)的，各計算一遍就重復(fù)了一遍，所以不相交的棱共有3n×（3n-5）÷2（對）。例4用四條直線最多能將一個圓分成幾塊？用100條直線呢？分析與解：4條直線時，我們可以試著畫，100條直線就不可能再畫了，所以必須尋找到規(guī)律。如下圖所示，一個圓是1塊；1條直線將圓分為2塊，即增加了1塊；2條直線時，當2條直線不相交時，增加了1塊，當2條直線相交時，增加了2塊。由此看出，要想分成的塊盡量多，應(yīng)當使后畫的直線盡量與前面已畫的直線相交。再畫第3條直線時，應(yīng)當與前面2條直線都相交，這樣又增加了3塊（見左下圖）；畫第4條直線時，應(yīng)當與前面3條直線都相交，這樣又增加了4塊（見右下圖）。所以4條直線最多將一個圓分成1＋1＋2＋3＋4=11（塊）。由上面的分析可以看出，畫第n條直線時應(yīng)當與前面已畫的（n—1）條直線都相交，此時將增加n塊。因為一開始的圓算1塊，所以n條直線最多將圓分成1＋（1＋2＋3＋…＋n）=1＋n（n+1）÷2（塊）。當n=100時，可分成1＋100×（100＋1）÷2=5051（塊）。例5用3個三角形最多可以把平面分成幾部分10個三角形呢

分析與解：平面本身是1部分。一個三角形將平面分成三角形內(nèi)、外2部分，即增加了1部分。兩個三角形不相交時將平面分成3部分，相交時，交點越多分成的部分越多（見下圖）。由上圖看出，新增加的部分數(shù)與增加的交點數(shù)相同。所以，再畫第3個三角形時，應(yīng)使每條邊的交點盡量多。對于每個三角形，因為1條直線最多與三角形的兩條邊相交，所以第3個三角形的每條邊最多與前面2個三角形的各兩條邊相交，共可產(chǎn)生3×（2×2）=12（個）交點，即增加12部分。因此，3個三角形最多可以把平面分成1＋1＋6＋12=20（部分）。由上面的分析，當畫第n（n≥2）個三角形時，每條邊最多與前面已畫的（n—1）個三角形的各兩條邊相交，共可產(chǎn)生交點3×［（n—l）×2］=6（n—1）（個），能新增加6（n－1）部分。因為1個三角形時有2部分，所以n個三角形最多將平面分成的部分數(shù)是2＋6×［1＋2＋…＋（n—1）］當n=10時，可分成2＋3×10×（10—1）=272（部分）。練習1.求12邊形的內(nèi)角和。2.五邊形內(nèi)有8個點。以五邊形的5個頂點和這8個點為三角形的頂點，最多能剪出多少個小三角形？

3.已知n棱柱有14個頂點，那么，它有多少條棱？

4.n條直線最多有多少個交點？

5.6條直線與2個圓最多形成多少個交點？

6.兩個四邊形最多把平面分成幾部分？

練習答案：1.1800°。2.19個。提示：與例2類似可得5+2×（8-1）=19（個）。3.21條棱。提示：n棱柱有2n個頂點，3n條棱。4.n（n-1）÷2。解：1+2+3+…+（n-1）=n（n-1）÷2。5.41個。解：6條直線有交點6×（6-1）÷2=15（個），每條直線與兩個圓各有2個交點，兩個圓之間有2個交點，共有交點15+6×4+2=41（個）。6.10部分。提示：見右圖。與例5類似，當畫第n（n≥2