高數(shù)下學(xué)期期末試題(含答案)3套

高等數(shù)學(xué)期末考試試卷1一、 單項(xiàng)選擇題分）1、設(shè)直線(

，平面 ，那么與之間的夾角為A.02、二元函數(shù)B.在點(diǎn)C.處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在是在點(diǎn)D.處可微的（）A.充分條件B.充分必要條件3、設(shè)函數(shù)，則等于（）3、設(shè)函數(shù)，則等于（）A.B.5、若冪級(jí)數(shù)在處收斂，則該級(jí)數(shù)在處（）A.絕對(duì)收斂B.條件收斂C.發(fā)散 C.不能確定其斂散性C．D.4、二次積分交換次序后為（）A.B.C.D.6C．D.4、二次積分交換次序后為（）A.B.C.D.

的一個(gè)解若 則 在A.某鄰域內(nèi)單調(diào)減少 B.取極小值1、設(shè)＝（4，-3，4），＝（2，2，1），則向量在上的投影＝C.某鄰域內(nèi)單調(diào)增加 D.取極大二、 填空題1、設(shè)＝（4，-3，4），＝（2，2，1），則向量在上的投影＝6、＝7、為通解的二階線性常系數(shù)齊次微分方程為1、設(shè)，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，且其一階導(dǎo)數(shù)不為1，求。2、求過曲線上一點(diǎn)（1，2，0）的切平面方程。(46、＝7、為通解的二階線性常系數(shù)齊次微分方程為1、設(shè)，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，且其一階導(dǎo)數(shù)不為1，求。2、求過曲線上一點(diǎn)（1，2，0）的切平面方程。2、設(shè)，，那么3、D，時(shí)，4、設(shè)2、設(shè)，，那么3、D，時(shí)，4、設(shè)是球面，則＝5、函數(shù)展開為的冪級(jí)數(shù)為3、計(jì)算二重積分，其中

，其中是沿曲線 由點(diǎn)（0，1）到點(diǎn)5、求級(jí)數(shù)的和。(10分5、求級(jí)數(shù)的和。曲線方程。

曲線上任一點(diǎn)的切線在

軸上的截距與法線在軸上的截距之比為3，求此2、解：令2、解：令設(shè)收斂，證明級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。(6設(shè)收斂，證明級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。一、 單項(xiàng)選擇題分）1、 A 、 C 3、 C 4、 B 5、 A 6、 D1、22、3、4、二、 填空題1、22、3、4、5、6、07、1、解：令則，故(5×95、6、07、1、解：令則，故當(dāng)＝＝＝＝＝

，即在x軸上方時(shí)，線積分與路徑無關(guān)，選擇 由（0，1）到則所以切平面的法向量為：切平面方程為：3、解：＝＝＝4、解：令，則所以切平面的法向量為：切平面方程為：3、解：＝＝＝4、解：令，則5、解：令則，即令，則有＝(10分令，則有＝解：設(shè)曲線上任一點(diǎn)為，則在軸上的截距為過的切線方程為：過的法線方程為：在軸上的截距為依題意有令解：設(shè)曲線上任一點(diǎn)為，則在軸上的截距為過的切線方程為：過的法線方程為：在軸上的截距為依題意有令則，代入（1）得：分離變量得：解得：即由的任意性，即，得到……..(1)由的任意性，即，得到……..(1)而與都收斂，由比較法及其性質(zhì)知：收斂故而與都收斂，由比較法及其性質(zhì)知：收斂故絕對(duì)收斂。證明：即五、證明題(6)證明：即C.D.4、設(shè)，改變其積分次序，則I＝（C.D.4、設(shè)，改變其積分次序，則I＝（）A.B.C.D.高等數(shù)學(xué)期末考試試卷2一，單項(xiàng)選擇題分）1、直線一定()2、二元函數(shù)在點(diǎn)處A.過原點(diǎn)且垂直于x軸 B.過原點(diǎn)且平行于xC.不過原點(diǎn)，但垂直于x軸 D.不過原點(diǎn)，但平行1、直線一定()2、二元函數(shù)在點(diǎn)處A②③①B.③A②③①B.③②①3、設(shè)，則等于（）A.0B.C.3、設(shè)，則等于（）A.0B.2、設(shè)，則＝2、設(shè)，則＝6、以為通解的二階線性常系數(shù)齊次微分方程為5、若與都收斂，則（）A.條件收斂B.絕對(duì)收斂C.發(fā)散C.不能確定其斂散性6、二元函數(shù)的極大值點(diǎn)為（）A.(1,0)D.(-3,2)B.(1,2)C.(-3,0)1、過點(diǎn)（1，3，－2）且與直線垂直的平面方程為二、 填空題1、過點(diǎn)（1，3，－2）且與直線垂直的平面方程為3D：3D：，5、冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為＝5、冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為7、若收斂，則＝8、平面上的曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)面的方程為1、設(shè)可微，由確定，求及7、若收斂，則＝8、平面上的曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)面的方程為1、設(shè)可微，由確定，求及。3、求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域。4、求曲線積分3、求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域。邊界取順時(shí)針方向。(10分)曲線 上的縱坐標(biāo)，求此曲線方程。(6分)

，其中是由 所圍成區(qū)域的橫坐標(biāo)的平方是過 點(diǎn)的切線與軸交點(diǎn)2、計(jì)算二重積分，其中2、計(jì)算二重積分，其中。設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，證明級(jí)數(shù)也收斂。一、 單項(xiàng)選擇題設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，證明級(jí)數(shù)也收斂。1、 A 、 A 3、 C 4、 B 5、 B 6、 D1、2、3、44、5、6、7、18、二、 填空題1、2、3、44、5、6、7、18、1、解：令(4×7)1、解：令2、解：＝＝===3、解：令對(duì)于，當(dāng)時(shí)＝發(fā)散當(dāng)2、解：＝＝===3、解：令對(duì)于，當(dāng)時(shí)＝發(fā)散當(dāng)時(shí)，＝也發(fā)散所以在時(shí)收斂，在該區(qū)間以外發(fā)散，即解得故所求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為2，收斂域?yàn)椋?，4）4、解：令，則，由格林公式得到＝＝＝＝4解：過的切線方程為：依題意有：即…………..(1)令X＝0，得對(duì)應(yīng)的齊次方程解為將代入（1）得：令所求解為由比較法及收斂的性質(zhì)得：收斂。解：過的切線方程為：依題意有：即…………..(1)令X＝0，得對(duì)應(yīng)的齊次方程解為將代入（1）得：令所求解為由比較法及收斂的性質(zhì)得：收斂。故（1）的解為：證明：由于收斂，所以也收斂，而五、證明題(6分故（1）的解為：證明：由于收斂，所以也收斂，而高等數(shù)學(xué)期末考試試卷3一．選擇題(4分6=24分)1、設(shè)a,b,c為非零向量，則(ab)c=[ ]．(A) a(bc)(B) (ba)c(C) c(ab) (D) c(ba).函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微分的充分條件是f(x,y)在(x,y)處[ ]．0 0 0 0(A)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) (B)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在(C)存在任何方向的方向?qū)?shù) (D)函數(shù)連續(xù)且存在偏導(dǎo)數(shù)D:x

y

2x，fx,yD

f(x,=[ ]．(A)

d2sin

Df(rcos,rsin(B) 2d

2cos

f(rcos,rsin(C)

0 02d2cos2 02

f(rcos,rsin

(D)

0 02d2sin2 02

f(rcos,rsin二、填空題(4分6=24分)直線x1y2z與平面xy2z60的交點(diǎn)是 ．2 1 3用鋼板做體積為8m3的有蓋長方體水箱．最少用料S= m2．二次積分1dx0

1ey的值是 ．x設(shè)x

y

z

a2(a0)，則(xy)2dS= ．3 3小ftz5x

2y2．在(,1,)處登ft，最陡方向2 4（10分）求過點(diǎn)(1,2,3xy

z而與平面7x8y9z100的4 5 6平行的直線方程．1四10分）將函數(shù)f(x) 展開成1的冪級(jí)數(shù)．并給出收斂域。x24x3五10分）計(jì)算三重積分 (x2y2xdv其中是由拋物面2z及平面5所圍成的空間閉區(qū)域1y2六（10分設(shè)L是由直線x2y2上從(2,0)到B()一段及圓弧x1y2從B(0,1)再到C(1,0)的有向曲線，計(jì)算

(x22y)dx(3xyey)dyL七10 分）計(jì)算曲面積x2y2z22az(a0)

x3dydzy3dzdxz3dxdy，其中 為球面（10分）設(shè)uf(x2y2,z)，f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而zz(x,y)由方程2uxyzez確定，求xy。一．選擇題（4416分1D。c(bacababc)(abc2【解】應(yīng)選擇。f(x,y),fx微分

x,y)在點(diǎn)Pxyy 0 0

)連續(xù) zf(x,y)在點(diǎn)P(x,y0 0 0

)處可3C。在極坐標(biāo)下D:2

2

,0r2cos f(x,D

= d2cos2 022

f(rcos,rsin二、填空題（6424分1(,,3)直線化為參數(shù)式x12ty2t z3t代入平面方程2t(2t2(3t60得 t1代入?yún)?shù)方程得 xyz3故交點(diǎn)為 (1,1,3)224m2設(shè)水箱的長為xm寬為ym則其高應(yīng)為8m此水箱所用材料的面積為xy8 8 8 8S2(xyy x )2(xy )(x0,y0)xy xy x y令S y8)0 S x8)0得x2y2x x2 y y2即當(dāng)水箱的長為2m、寬為、高為8 2m時(shí)水箱所用的材料最省22S(2,2)2(222222)24m23【解】應(yīng)填111)2 e1 1 1 y 1

1 1 1 1dxey2dy=ey2dydx=yey2dy= ey2=2 )0 x 0 0 8

2 e0【解】應(yīng)

a43(xy)2dS=(x2y22xy)dS=2x2dS =2(x23

y2

z2)dS=2a2dS=843 3 【解】應(yīng)填3i4j3 3 3在(

,1, )處登ft，最陡方向是z5x22y2在( ,1)的梯度方向2 4 2gradz(3,1)(2xi4yj)2

(3,1)2

=3i4j【解】應(yīng)填12xfx間斷點(diǎn)，故s(12

，而x2

是f(x)連續(xù)點(diǎn)，s( )2 2s(s(=12 2三【解】已知直線方向向量s (4,5,6)，已知平面法向量n(7,8,9) （4分）1設(shè)所求直線方向向量s ，則i jss1n4

k69i6jk k69

8分）7 8所求直線方程為x1y2z3

……………（10分）1 2 1四．【解】因?yàn)閒(x) 1

1 1

……（2分）x24x3 (x1)(x3) x) 2(3x) 1

1………………（4分）x1)

x1)2 414n0

(1)n

(x1)n2n

18n

(1)n

(x1)n4n

………………（6分）x-1x-14

(1)n(12n21

122n3

)(x1)n

…………（8分）x-x-12

1

1 （9分）解出收斂域?yàn)?（10分）五 【解】積分區(qū)域關(guān)于yoz面對(duì)稱，xdv0在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域可表示為0 0r

r210210

z5 （2分）(x2

y

x)dvr2rdrddz （4分） 102d r3dr510

dz （6分）0 0 1r22101100

(5r3

2r5)dr （8分）5r4 1

10

2504

12r60

3 （10分）【解】補(bǔ)充CAx軸上由C(1,0A(2,0則L和CAQ P

…………（2分）Px22y,Q3xyey。x則由Green公式

3(2)5。 （4分）原式

LCA CA 1

5dxdyCAD2

………（6分） 12 x2dx （8分）4 2 15(4

352 （10分）4七【解】由Gauss公式原式x2y2z2)dv （2分）3r2r2sindrdd （4分）32dsind2acosr4dr20 0 (2a)5

………（6分）6

2cos5sind （8分）5 0(2a)5 1 32 5 6

5a

………………（10分）八【解】由方程xyzez兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得z z1xezx

（2分）z 1

z類似地有

1（4分）x 1ez y 1