《復(fù)變函數(shù)》課程教學(xué)大綱

PAGEPAGE127《復(fù)變函數(shù)》課程教學(xué)大綱適用專業(yè):數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)執(zhí)筆人：王小靈審定人：王宏勇系負(fù)責(zé)人：張從軍南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系《復(fù)變函數(shù)》課程教學(xué)大綱課程代碼：200072英文名：ComplexVariableFunction課程類別：專業(yè)選修課適用專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)前置課：數(shù)學(xué)分析后置課：概率論、數(shù)學(xué)物理方程、偏微分方學(xué) 分：2學(xué)分課 時(shí)：54課時(shí)主講教師：王小靈選定教材：鐘玉泉，復(fù)變函數(shù)論（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.課程概述：復(fù)變函數(shù)的主要內(nèi)容是討論復(fù)數(shù)之間的相互依賴關(guān)系，其主要研究對(duì)象是解析函數(shù)。復(fù)變函數(shù)19CauchWeierstrass及Riemann等人就已經(jīng)給這門學(xué)科奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。復(fù)變函數(shù)不但是我們所學(xué)數(shù)學(xué)分析的理論推廣，而且作為一種強(qiáng)有力的工具，已經(jīng)被廣泛的應(yīng)用于自然科學(xué)的眾多領(lǐng)域，如理論物理、空氣動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)、彈性力學(xué)以及自動(dòng)控制學(xué)等，目前也被廣泛應(yīng)用于信號(hào)處理、電子工程等領(lǐng)域。復(fù)變函數(shù)作為教學(xué)目的：復(fù)變函數(shù)是微積分學(xué)在復(fù)數(shù)域上的推廣和發(fā)展，通過復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)能使學(xué)生對(duì)微積分學(xué)的某些內(nèi)容加深理解，提高認(rèn)識(shí)。教學(xué)方法：教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)理論與實(shí)際并重，各章應(yīng)安排一定課時(shí)的習(xí)題課，課后教師需安排時(shí)間集中對(duì)學(xué)生輔導(dǎo)答疑，學(xué)生必須完成一定量的作業(yè)。本課程可根據(jù)需要安排課堂討論。各章教學(xué)要求及教學(xué)要點(diǎn)第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)課時(shí)分配；6課時(shí)教學(xué)要求：1、理解復(fù)數(shù)、區(qū)域、單連通區(qū)域、復(fù)連通區(qū)域、逐段光滑曲線、無窮遠(yuǎn)點(diǎn)、擴(kuò)充復(fù)平面等概念。2、理解復(fù)數(shù)的性質(zhì)、會(huì)應(yīng)用模和輻角的性質(zhì)，會(huì)作點(diǎn)集的圖形。3、進(jìn)一步認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)域的結(jié)構(gòu)，并聯(lián)系中學(xué)的復(fù)數(shù)教學(xué)。教學(xué)內(nèi)容：第一節(jié)復(fù)數(shù)一、復(fù)數(shù)域二、平面三、復(fù)數(shù)的模與輻角五、共軛復(fù)數(shù)六、復(fù)數(shù)的應(yīng)用舉例第二節(jié)復(fù)平面上的點(diǎn)集一、平面點(diǎn)集的幾個(gè)基本概念二、區(qū)域與Jordon曲線函數(shù)的定義域與值域的概念和計(jì)算。第三節(jié)復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)的概念、復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)第四節(jié)復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)一、復(fù)球面二、擴(kuò)充復(fù)平面上的幾個(gè)基本概念第二章解析函數(shù)課時(shí)分配：9課時(shí)教學(xué)要求：1、理解導(dǎo)數(shù)、解析函數(shù)的定義、性質(zhì)及充要條件。2、理解函數(shù)在一點(diǎn)解析與函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)的區(qū)別。3、熟練掌握利用C—R條件判別解析函數(shù)的方法。4、熟練掌握已知解析函數(shù)的實(shí)部或虛部，求該解析函數(shù)的方法。5、熟練求多值函數(shù)的交點(diǎn)、及滿足條件的分交在指定點(diǎn)處的函數(shù)值。6、聯(lián)系中學(xué)教學(xué)、認(rèn)識(shí)復(fù)變函數(shù)中各類基本初等函數(shù)與相應(yīng)初等函數(shù)的異同。教學(xué)內(nèi)容：第一節(jié)解析函數(shù)的概念與C—R條件一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分二、解析函數(shù)及其簡(jiǎn)單性質(zhì)三、C—R條件第二節(jié)初等解析函數(shù)指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)第三章復(fù)變函數(shù)的積分課時(shí)分配：9課時(shí)教學(xué)要求：1、理解復(fù)積分的概念。2方法。3、理解劉維爾定理、莫勒拉定理和代數(shù)基本定理，知道證明方法。4、熟練掌握利用柯西積分定理和積分公式計(jì)算函數(shù)的各種積分。教學(xué)內(nèi)容：第一節(jié)復(fù)積分的概念及其簡(jiǎn)單性質(zhì)一、復(fù)變函數(shù)積分的定義二、復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算問題三、復(fù)變函數(shù)積分的基本性質(zhì)第二節(jié)Cauchy積分定理一、Cauchy積分定理Cauchy三、不定積分四、Cauchy積分定理的推廣五、Cauchy積分定理推廣到復(fù)周線的情形第三節(jié)Cauchy積分公式及其推理一、Cauchy積分公式二、解析函數(shù)的無窮可微性三、Cauchy積分公式的幾個(gè)推理第四節(jié)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系第四章解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示課時(shí)分配：9課時(shí)教學(xué)要求：1、理解一致收斂、內(nèi)閉一致收斂、冪級(jí)數(shù)、泰勒展式、收斂半徑、收斂圓的概念。2、理解復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)可導(dǎo)性，與微積分學(xué)的相應(yīng)定理比較，認(rèn)識(shí)其條件結(jié)論的強(qiáng)弱。3、熟練掌握冪級(jí)數(shù)收斂半徑和收斂圓的求法。4、熟練掌握將函數(shù)在指定點(diǎn)展成冪級(jí)數(shù)的方法。5、數(shù)量掌握解析函數(shù)零點(diǎn)和級(jí)別的求法。教學(xué)內(nèi)容：第一節(jié)復(fù)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)一、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)二、一致收斂的復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)三、解析函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第二節(jié)冪級(jí)數(shù)一、冪級(jí)數(shù)的斂散性二、收斂半徑的求法第三節(jié)解析函數(shù)的Taylor展式一、Taylor定理二、冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在及其收斂圓周上的狀況三、一些初等函數(shù)的Taylor展式第四節(jié)解析函數(shù)的零點(diǎn)的孤立性及唯一性定理二、唯一性定理三、最大模定理第五章解析函數(shù)的羅朗展式與孤立奇點(diǎn)課時(shí)分配：9課時(shí)教學(xué)要求：1、理解羅朗級(jí)數(shù)、孤立奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)、本性奇點(diǎn)的概念。2、熟練掌握求函數(shù)在孤立奇點(diǎn)去心鄰域上的羅朗展式。3、熟練掌握判斷奇點(diǎn)類別的方法。教學(xué)內(nèi)容：第一節(jié)解析函數(shù)的Laurent展式一、雙邊冪級(jí)數(shù)二、解析函數(shù)的Laurent展式三、Laurent級(jí)數(shù)與Taylor級(jí)數(shù)的關(guān)系四、解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的Laurent展式第二節(jié)解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)一、孤立奇點(diǎn)的三種類型二、可去奇點(diǎn)三、施瓦次引理四、極點(diǎn)五、本質(zhì)奇點(diǎn)六、皮卡定理第三節(jié)解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)第六章留數(shù)理論及其應(yīng)用課時(shí)分配：12課時(shí)教學(xué)要求：1、理解留數(shù)的定義。2、熟練掌握計(jì)算留數(shù)的方法。3、理解留數(shù)基本定理，會(huì)用留數(shù)理論計(jì)算積分。教學(xué)內(nèi)容：第一節(jié)留數(shù)一、留數(shù)的定義及留數(shù)定理二、留數(shù)的求法三、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)第二節(jié)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分一、計(jì)算2R(cos,sin)d型積分0二、計(jì)算

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