DSP-19巴特沃斯濾波器-PPT幻燈片

1巴特沃斯濾波器

ButterworthFilter巴特沃斯濾波器設計公式、步驟沖激響應不變法設計數(shù)字巴特沃斯濾波器雙線性變換法設計數(shù)字巴特沃斯濾波器2巴特沃斯濾波器

ButterworthFilter巴特沃斯(Butterworth)濾波器的幅度響應在通帶內具有最平坦的特性，且在通帶和阻帶內幅度特性是單調變化的。模擬巴特沃斯濾波器的幅度平方函數(shù)為3巴特沃斯濾波器

ButterworthFilter如下圖所示為Butterworth濾波器的幅度特性，其中為角頻率，在處幅度響應的平方為0.5，N為濾波器的階數(shù)，當時，幅度響應為1。6巴特沃斯濾波器

ButterworthFilter由此看出，巴特沃斯濾波器的極點分布特點：在s平面上共有2N個極點等角距地分布在半經(jīng)為的圓周上．7巴特沃斯濾波器

ButterworthFilter這些極點對稱于虛軸，而虛軸上無極點；N為奇數(shù)時，實軸上有兩個極點；N為偶數(shù)時，實軸上無極點；各個極點間的角度為。圖示為N=3時各極點的分布情況。8巴特沃斯濾波器

ButterworthFilter知道巴特沃斯濾波器的極點分布后，便可以由s平面左半平面的極點構成系統(tǒng)函數(shù)，根據(jù)極點分布，可以得到上式中，是s平面左半平面的極點，是右半平面的極點，

A和B都為常數(shù)。rs9巴特沃斯濾波器

ButterworthFilterButterworth濾波器有2N個極點，且對稱于虛軸，所以可將左半平面的極點分配給，以便得到一個穩(wěn)定的系統(tǒng)，把右半平面的極點分配給，不是所需要的，可以不管它，于是有巴特沃斯濾波器系統(tǒng)函數(shù)：10巴特沃斯濾波器

ButterworthFilterＡ值的確定N為偶數(shù)，A由濾波器在處的單位沖激響應來確定，即于是得到N為奇數(shù)可得到一樣的結果。11巴特沃斯濾波器

ButterworthFilter當Ｎ為偶數(shù)時，模擬Butterworth濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為式中，為左半平面的極點，為的共軛極點N為奇數(shù)時，模擬Butterworth濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

為負實軸上的極點。12巴特沃斯濾波器

ButterworthFilter總結設計數(shù)字Butterworth濾波器的步驟如下根據(jù)實際需要規(guī)定濾波器的數(shù)字截止頻率處的衰減，單位為dB

由數(shù)字截止頻率處的衰減計算模擬巴特沃斯濾波器的階數(shù)N和頻率13巴特沃斯濾波器

ButterworthFilter求模擬巴特沃斯濾波器的極點，并由s平面左半平面的極點構成系統(tǒng)函數(shù)左半平面的極點：系統(tǒng)函數(shù)：使用沖激不變法或雙線性變換法將轉換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)14巴特沃斯濾波器

ButterworthFilter例4.2設計一個數(shù)字巴特沃斯濾波器，在通帶截止頻率處衰減不大于1dB，在阻帶截止頻率處衰減不小于15dB。15巴特沃斯濾波器

ButterworthFilter解

(1)根據(jù)濾波器的指標得同理可得16巴特沃斯濾波器

ButterworthFilter(2)設T=1，將數(shù)字域指標轉換成模擬域指標得代入巴特沃斯濾波器的幅度平方函數(shù)得解這兩個方程得按此值設計的濾波器滿足通帶指標要求，阻帶指標將超過給定值。17巴特沃斯濾波器

ButterworthFilter求解N的詳細過程代入巴特沃斯濾波器的幅度平方函數(shù)得18巴特沃斯濾波器

ButterworthFilter(3)把代入式子得到s平面左半平面的3對極點分別為：由這3對極點構成的濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為19巴特沃斯濾波器

ButterworthFilter(4)將上述模擬Butterworth濾波器的系統(tǒng)函數(shù)部分分式展開，再按照沖激響應不變法求得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為可以代入來驗證濾波器的各項性能指標是否滿足要求?？梢钥闯?，設計的濾波器完全滿足規(guī)定的技術指標。20巴特沃斯濾波器

ButterworthFilter(5)實現(xiàn)上述設計的MATLAB程序如下a=10.^1.5-1;b=10.^0.1-1;c=a/b;d=log10(c);n=d/2/log10(3/2),pause;n=ceil(n);wc=0.2*pi/b.^(1/2/n),pause;[z,p,k]=butter(6,0.7032,'s'),pause;[sosa,ga]=zp2sos(z,p,k),pause;[b,a]=sos2tf(sosa,ga);[bz,az]=impinvar(b,a,1)[sos,g]=tf2sos(bz,az)模擬濾波器Butter(N,ωc,’S’)二階節(jié)變?yōu)閭骱问搅銟O增益形式變?yōu)槎A節(jié)形式傳函變?yōu)槎A節(jié)形式fs=121巴特沃斯濾波器

ButterworthFilter例4.3用雙線性變換法設計一個數(shù)字巴特沃斯濾波器，設取樣頻率為，在通帶截止頻率處衰減不大于1dB，在阻帶截止頻率處衰減不小于15dB。解

(1)將模擬截止頻率轉換成數(shù)字截止頻率22巴特沃斯濾波器

ButterworthFilter(2)計算將模擬截止頻率進行預畸變，即于是得到即23巴特沃斯濾波器

ButterworthFilter現(xiàn)在可以認為模擬頻率時歸一化的頻率，即令T=1，得即：解得：再代入左邊下面阻帶指標式子求得：可以驗算這個值對應的阻帶指標剛好滿足要求，而通帶指標已經(jīng)超過要求。24巴特沃斯濾波器

ButterworthFilter(3)把代入式子得到s平面左半平面的3對極點分別為：由這3對極點構成的濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為25巴特沃斯濾波器

ButterworthFilter(4)將上述模擬Butterworth濾波器的系統(tǒng)函數(shù)按照雙線性變換法求得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為26巴特沃斯濾波器

ButterworthFilter(4)這個濾波器由3個二階節(jié)級聯(lián)構成，如果每個二階節(jié)都采用直接II型結構，則這個濾波器的流程圖如下圖所示。為了檢驗所設計的數(shù)字濾波器性能指標，將代入驗證27巴特沃斯濾波器

ButterworthFilter(5)求解該題的MATLAB程序如下：a=10.^1.5-1;b=10.^0.1-1;c=a/b;d=log10(c);n=d/2/log10(tan(0.15*pi)/tan(0.1*pi)),pause;n=cei