初中數(shù)學(xué)競賽：數(shù)論的方法技巧(含例題練習(xí)及答案)

2．若a|c，b|c，且a，b互質(zhì)，則ab|c。常常有助于問題的解決。這些常用的形式有：1．十進(jìn)制表示形式：n=an10n+an-110n-1+…+a0；2．帶余形式：a=bq+r；14．2的乘方與奇數(shù)之積式：n=2t，其中t為奇數(shù)。m例2在一種室內(nèi)游戲中，魔術(shù)師請(qǐng)一個(gè)人隨意想一個(gè)三位數(shù)(a,b,c依5個(gè)數(shù)acb,bac,bca,cab與的和N，把N告訴魔術(shù)師，于是魔術(shù)師就可以說出這個(gè)人所想的數(shù)?，F(xiàn)在設(shè)N=3194，請(qǐng)你當(dāng)魔術(shù)師，求出數(shù)來。例3從自然數(shù)1，2，3，…，1000中，最多可取出多少個(gè)數(shù)使得所取出的數(shù)中任意三個(gè)數(shù)之和能被18整除？是所取出的數(shù)中的任意4其中m，n是自然數(shù)。于是c-d=18（m-n）。上式說明所取出的數(shù)中任意2個(gè)數(shù)之差是18的倍數(shù)，即所取出的每個(gè)數(shù)除以18所得的余數(shù)均相同。設(shè)這個(gè)余數(shù)為r，則其中a1，b1，c1是整數(shù)。于是a+b+c=18（a1+b1+c1）+3r。因?yàn)?8|3r，即6|r，推知1000=55×18+10，所以，從中可取共56個(gè)數(shù)，它們中的任意3個(gè)數(shù)之和能被18整除。例4求自然數(shù)N，使得它能被5和49整除，并且包括1和N在內(nèi)，它共有10個(gè)約數(shù)。解：把數(shù)N寫成質(zhì)因數(shù)乘積的形式：N=2357Pna1aa3aa24n由于N能被5和72=49整除，故ak為自然數(shù)或零。依題意，有（a1+1）（a2+1）…（an+1）=10。由于a3+1≥2，a4+1≥3，且10=2×5，故a1+1=a2+1=a5+1=…=an+1=1，即只能有2個(gè)不同的質(zhì)因數(shù)5和a4+1≥3＞2，即N=5×7=5×7=12005。2-15-14例5如果N是1，2，3，…，1998，1999，2000的最小公倍數(shù)，那么N等于多少個(gè)2與1個(gè)奇數(shù)的積？2=2048＞2000，每一個(gè)不大于2000的自然數(shù)表示為質(zhì)1011因數(shù)相乘，其中2的個(gè)數(shù)不多于10個(gè)，而1024=2，所以，N等于10個(gè)2與某10個(gè)奇數(shù)的積。5使問題迎刃而解。二、枚舉法枚舉法（也稱為窮舉法）是把討論的對(duì)象分成若干種情況（分類），然后對(duì)各種情況逐一討論，最終解決整個(gè)問題。3分類，按奇偶性分類及按數(shù)值的大小分類等。例6求這樣的三位數(shù)，它除以11所得的余數(shù)等于它的三個(gè)數(shù)字的平方和。900范圍，以縮小討論范圍，減少計(jì)算量。設(shè)這個(gè)三位數(shù)的百位、十位、個(gè)位的數(shù)字分別為11所得余數(shù)都不大于10，所以x2+y2+z2≤10，從而1≤x≤3，0≤y≤3，0≤z≤3。所求三位數(shù)必在以下數(shù)中：100，101，102，103，110，111，112，120，121，122，130，200，201，202，211，212，220，221，300，301，310。不難驗(yàn)證只有100，101兩個(gè)數(shù)符合要求。例7將自然數(shù)N接寫在任意一個(gè)自然數(shù)的右面（例如，將2接寫在35的右面得352），如果得到的新數(shù)都能被N整除，那么N稱為魔術(shù)數(shù)。問：小于2000的自然數(shù)中有多少個(gè)魔術(shù)數(shù)？P為任意一個(gè)自然數(shù)，將魔術(shù)數(shù)PN，下面對(duì)N為一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)分別討論。⑴當(dāng)N為一位數(shù)時(shí)，=10P+N，依題意N︱，則N︱10P，由于需對(duì)任意數(shù)P成立，故N︱10，所以N=1，2，5；⑵當(dāng)N為兩位數(shù)時(shí)，=100P+N，依題意N︱，則N︱100P，故N|100，所以N=10，20，25，50；⑶當(dāng)N為三位數(shù)時(shí)，N︱N|1000，所以N=100，125，200，250，500；⑷當(dāng)N為四位數(shù)時(shí)，同理可得N=1000，1250，2000，2500，5000。符合條件的有1000，1250。綜上所述，魔術(shù)數(shù)的個(gè)數(shù)為14個(gè)。說明：（1）我們可以證明：k位魔術(shù)數(shù)一定是10k的約數(shù)，反之亦然。4（2）這里將問題分成幾種情況去討論，對(duì)每一種情況都增加了一個(gè)前提條件，從而降低了問題的難度，使問題容易解決。例8有3張撲克牌，牌面數(shù)字都在10以內(nèi)。把這3張牌洗好后，分別發(fā)給小明、小亮、小光3人。每個(gè)人把自己牌的數(shù)字記下后，再重新洗牌、發(fā)牌、記數(shù)，這樣反復(fù)幾次后，3人各自記錄的數(shù)字的和順次為13，15，23。問：這3張牌的數(shù)字分別是多少？解：13+15+23=51，51=3×17。因?yàn)?7＞13，摸17次是不可能的，所以摸了3次，3張撲克牌數(shù)字之和是17，可能的情況有下面15種：①1，6，10②1，7，9③1，8，8④2，5，10⑤2，6，9⑥2，7，8⑦3，4，10⑧3，5，9⑨3，6，8⑩3，7，7(11)4，4，9(12)4，5，8(13)4，6，7(14)5，5，7(15)5，6，6只有第⑧種情況可以滿足題目要求，即3+5+5=13；3+3+9=15；5+9+9=23。這3張牌的數(shù)字分別是3，5和9。例9寫出12個(gè)都是合數(shù)的連續(xù)自然數(shù)。100以內(nèi)最多可以寫出7個(gè)連的范圍擴(kuò)大一些就行了。解法1：用篩選法可以求得在113與127之間共有12個(gè)都是合數(shù)的連續(xù)自然數(shù)：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126。121個(gè)是22個(gè)是3的倍數(shù)，第3個(gè)是4的倍數(shù)……第12個(gè)是13的倍數(shù)，那么這12個(gè)數(shù)就都是合數(shù)。又m+2，m+3，…，m+13是12個(gè)連續(xù)整數(shù)，故只要m是2，3，…，13的公倍數(shù)，這12個(gè)連續(xù)整數(shù)就一定都是合數(shù)。解法m為這12m+13分別是2的倍數(shù)，3的倍數(shù)，4的倍數(shù)……13的倍數(shù)，因此12個(gè)數(shù)都是合數(shù)。5（1）將左邊第一個(gè)數(shù)碼移到數(shù)字串的最右邊；（2）從左到右兩位一節(jié)組成若干個(gè)兩位數(shù)；（4）所剩的兩位質(zhì)數(shù)中有相同者，保留左邊的一個(gè)，其余劃去；（5）所余的兩位質(zhì)數(shù)保持?jǐn)?shù)碼次序又組成一個(gè)新的數(shù)字串。問：經(jīng)過1999次操作，所得的數(shù)字串是什么？6設(shè)這一摞卡片的張數(shù)為N，觀察上表可知：（1）當(dāng)N=2（a=0，1，2，3，…）時(shí)，剩下的這張卡片是原來那一摞卡片a的最后一張，即第2張；a（2）當(dāng)N=2）時(shí)，剩下的這張卡片是原來那一摞卡片的第2m張。aa取N=100，因?yàn)?00=2+36，2×36=72，所以剩下這張卡片是原來那一摞卡6片的第72張。敵人命令他們排成圓圈，編上號(hào)碼1，2，3，…然后把1號(hào)殺了，把3號(hào)殺了，虜有111人，那么約瑟夫斯的號(hào)碼是多少？例12要用天平稱出1克、2克這些不同的整數(shù)克重量，至少要用多少個(gè)砝碼？這些砝碼的重量分別是多少？分析與解：一般天平兩邊都可放砝碼，我們從最簡單的情形開始研究。（1）稱重1克，只能用一個(gè)1克的砝碼，故1克的一個(gè)砝碼是必須的。（2）稱重2克，有3種方案：①增加一個(gè)1克的砝碼；②用一個(gè)2克的砝碼；③用一個(gè)313克的砝碼放在砝碼盤內(nèi)。從數(shù)學(xué)角度看，就是利用3-1=2。（3）稱重3克，用上面的②③兩個(gè)方案，不用再增加砝碼，因此方案①淘汰。（4）稱重4克，用上面的方案③，不用再增加砝碼，因此方案②也被淘汰?？傊?克、3克兩個(gè)砝碼就可以稱出（3+1）克以內(nèi)的任意整數(shù)克重。（5）接著思索可以進(jìn)行一次飛躍，稱重5克時(shí)可以利用：9-（3+1）=5，即用一個(gè)9克重的砝碼放在砝碼盤內(nèi)，1克、3克兩個(gè)砝碼放在稱重盤內(nèi)。這樣，可以依次稱到1+3+9=13（克）以內(nèi)的任意整數(shù)克重。而要稱14克時(shí)，按以內(nèi)的任意整數(shù)克重。7本題的答案。8（a+d）×1000+（b+c）×110+（a+d）=9878。比較等式兩邊，并注意到數(shù)字和及其進(jìn)位的特點(diǎn)，可知：a+d=8，b+c=17。已知c-1=d，d+2=b，可求得：a=1，b=9，c=8，d=7。即所求的四位數(shù)為1987。易知當(dāng)α=β=4，γ=2時(shí)，符合題設(shè)條件。此時(shí)解：從特殊情況入手，可歸納出：如果是3為自然數(shù)），那么劃1n最后剩下的還是起始數(shù)1。93＜999＜3，從999個(gè)數(shù)中劃掉（999-3=）270個(gè)數(shù)，剩下的（3=）7296676個(gè)數(shù)，即可運(yùn)用上述結(jié)論。因?yàn)槊看蝿澋舻氖?270個(gè)數(shù)必須劃135270個(gè)數(shù)是（135×3=）405，則留下的3個(gè)數(shù)的起始數(shù)為406。所以最后剩下的6那個(gè)數(shù)是406。6．23枚。解：設(shè)圓周上余a枚棋子。因?yàn)閺牡?次越過A處拿走2枚棋子到第10次將要越過A處棋子時(shí)小洪拿走了2a枚棋子，所以，在第9次將要越過A處棋子時(shí)，圓周上有3a枚棋子。依此類推，在第8次將要越過A處棋子時(shí)，圓周上有3a枚棋子……在第1次將要越過A處棋子時(shí)，圓周上有3a枚棋子，在第1次29將要越過A處棋子之前，小洪拿走了[2(3a-1)+1]枚棋子，所以9N=2(3a-1)+1+3a=3a-1。1099若N=3a=59049a-1是14N就是2和7a必須是10奇數(shù)；若N=（7×8435+4）a-1=7×8435a+4a-1是7的倍數(shù)，則4a-1必須是7的倍數(shù)，當(dāng)不是7的倍數(shù)，當(dāng)a=2313，是7的倍數(shù)。當(dāng)N是14的倍數(shù)時(shí)，圓周上有23枚棋子。7．259980。解：用十進(jìn)位制表示的若干個(gè)四位數(shù)之和的加法原理為：若干個(gè)四位數(shù)之和=千位數(shù)數(shù)字之和×1000+百位數(shù)數(shù)字之和×100+十位數(shù)數(shù)字之和×10+個(gè)位數(shù)數(shù)字之和。以這是因?yàn)?，?dāng)千位數(shù)確定后，百位數(shù)可以在其余4個(gè)數(shù)字中選擇；千、百位數(shù)確定后，十位數(shù)可以在其余3個(gè)數(shù)字中選擇；同理，個(gè)位數(shù)有2種可能。因此，滿足條件的四位數(shù)的千位數(shù)數(shù)字之和為（1+2+3+4）×4×3×2=240。以1，2，3，4中之一為百位數(shù)時(shí)，因?yàn)?不能作為千位，所以千位數(shù)也有3種選擇；十位數(shù)也有3種選擇（加上0）；個(gè)位數(shù)有2種選擇。因此，百位數(shù)10180。所以滿足條件的四位數(shù)之和為240×1000+180×（1+10+100）=259980。8．將541號(hào)起，逆時(shí)針轉(zhuǎn)到55，就相當(dāng)于1號(hào)座；轉(zhuǎn)到56，就相當(dāng)于2號(hào)座；如此下去，顯然轉(zhuǎn)到m，就相當(dāng)于m被54所除的余數(shù)號(hào)座。設(shè)想滿足要求的安排是存在的。不妨設(shè)1和11是同一國的代表，由于任一國只有2名代表，于是11和21不是同一國代表，下面的排法是：21和31是同一國的代表；31和41不是同一國的代表；41和51是同一國的代表；51和61不是同一國的代表（61即7號(hào)座）。由此，20k+1和20k+11是同一國的代表，若20k+1，20k+11大于54，則取這個(gè)數(shù)被54除的余數(shù)為號(hào)碼的座位。取261和271261被54除的余數(shù)是被54除的余數(shù)是號(hào)座與451號(hào)與11號(hào)座是同一國的代表。這樣，1號(hào)、11號(hào)的三位代表是同一國的，這是不可能的。所以題目要求的安排不可能實(shí)現(xiàn)。數(shù)論的方法技巧（下）四、反證法是正確的。反證法的過程可簡述為以下三個(gè)步驟：1．反設(shè)：假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立，而其反面成立；2．歸謬：由“反設(shè)”出發(fā)，通過正確的推理，導(dǎo)出矛盾——與已知條件、公理、定義、定理、反設(shè)及明顯的事實(shí)矛盾或自相矛盾；3．結(jié)論：因?yàn)橥评碚_，產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤，既然結(jié)論的反面不成立，從而肯定了結(jié)論成立。11解：如果存在這樣的三位數(shù)，那么就有+96）98（2，61，2×61），（3，60，3×60），（4，59，4×59），…，（30，33，30×33），（31，32，31×32）。31×32=992。如果劃去的數(shù)少于30個(gè)，那么上述三元數(shù)組至少剩下一個(gè)，這樣就不滿足題設(shè)條件。所以，30是最少的個(gè)數(shù)。六、配對(duì)法用于計(jì)數(shù)）。傳說高斯8例7求這9999999個(gè)數(shù)中所有數(shù)碼的和。解：在這些數(shù)前面添一個(gè)數(shù)0，并不影響所有數(shù)碼的和。將這1000萬個(gè)數(shù)兩兩配對(duì)，因?yàn)?與與與5000000各對(duì)的數(shù)碼和都是9×7=63。這里共有5000000對(duì)，故所有數(shù)碼的和是63×5000000=315000000。例8某商場(chǎng)向顧客發(fā)放99990001到9999張購物券為“幸運(yùn)券”。例如號(hào)碼0734，因0+7=3+4，所以這個(gè)號(hào)碼的購物券是幸運(yùn)券。試說明，這個(gè)商場(chǎng)所發(fā)的購物券中，所有幸運(yùn)券的號(hào)碼之和能被101整除。解：顯然，號(hào)碼為9999的是幸運(yùn)券，除這張幸運(yùn)券外，如果某個(gè)號(hào)碼n是幸運(yùn)券，那么號(hào)碼為m=9999-n的購物券也是幸運(yùn)券。由于9999是奇數(shù)，所以m≠n。由于9999這張幸運(yùn)券之外，其余所有幸運(yùn)券可全部兩兩配對(duì)，而每一對(duì)兩個(gè)號(hào)碼之和均為9999，即所有幸運(yùn)券號(hào)碼之和是9999的倍數(shù)。因?yàn)?999=99×101，所以所有幸運(yùn)券號(hào)碼之和能被101整除。m例9已知最簡分?jǐn)?shù)可以表示成：nm111。試說明分子mn23881是質(zhì)數(shù)89的倍數(shù)。解法一：仿照高斯求和（1+2+3+…+n）的辦法，將和14從而2m×88！=89×k（k是正整數(shù)）。因?yàn)?9為奇質(zhì)數(shù)，所以89不能整除88！，從而89|m。解法二：作配對(duì)處理m11111111n2因?yàn)?9為奇質(zhì)數(shù)，所以89不能整除88！，從而89|m。m例10已知一個(gè)整數(shù)等于4個(gè)不同的形如11，而所求的數(shù)整S是四個(gè)不同的真分?jǐn)?shù),,,,,,,,,,,,,,,,