以橢圓及圓為背景的解析幾何大題

高考資源網(wǎng)〔,您身邊的高考專家..高考資源網(wǎng)〔,您身邊的高考專家[名師精講指南篇][高考真題再現(xiàn)]例1[2015XX高考]如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓的離心率為,且右焦點F到左準(zhǔn)線l的距離為3.〔1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔2過F的直線與橢圓交于A,B兩點,線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點P,C,若PC=2AB,求直線AB的方程.[答案]〔1〔2或．[解析]試題解析：〔1由題意,得且,解得,,則,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．〔2當(dāng)軸時,,又,不合題意．當(dāng)與軸不垂直時,設(shè)直線的方程為,,,將的方程代入橢圓方程,得,則,的坐標(biāo)為,且．若,則線段的垂直平分線為軸,與左準(zhǔn)線平行,不合題意．從而,故直線的方程為,則點的坐標(biāo)為,從而．因為,所以,解得．此時直線方程為或．例2[2016XX高考]如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知以為圓心的圓:及其上一點A<2,4>.<1>設(shè)圓N與x軸相切,與圓外切,且圓心N在直線x=6上,求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔2設(shè)平行于OA的直線l與圓相交于B,C兩點,且BC=OA,求直線l的方程；〔3設(shè)點T〔t,0滿足：存在圓上的兩點P和Q,使得,求實數(shù)t的取值范圍.[答案]〔1〔2〔3[解析]試題解析：解：圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為,所以圓心M<6,7>,半徑為5,.〔1由圓心N在直線x=6上,可設(shè).因為N與x軸相切,與圓M外切,所以,于是圓N的半徑為,從而,解得.因此,圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為.<2>因為直線l∥OA,所以直線l的斜率為.設(shè)直線l的方程為y=2x+m,即2x-y+m=0,則圓心M到直線l的距離因為而所以,解得m=5或m=-15.故直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0.<3>設(shè)因為,所以……①因為點Q在圓M上,所以…….②將①代入②,得.于是點既在圓M上,又在圓上,從而圓與圓沒有公共點,所以解得.因此,實數(shù)t的取值范圍是.[考點]直線方程、圓的方程、直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系、平面向量的運算[名師點睛]直線與圓中的三個定理：切線的性質(zhì)定理,切線長定理,垂徑定理；兩個公式：點到直線距離公式及弦長公式,其核心都是轉(zhuǎn)化到與圓心、半徑的關(guān)系上,這是解決直線與圓的根本思路.對于多元問題,也可先確定主元,如本題以為主元,揭示在兩個圓上運動,從而轉(zhuǎn)化為兩個圓有交點這一位置關(guān)系,這也是解決直線與圓問題的一個思路,即將問題轉(zhuǎn)化為直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系問題.例3[2017XX高考]如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的左、右焦點分別為,,離心率為,兩準(zhǔn)線之間的距離為8．點在橢圓上,且位于第一象限,過點作直線的垂線,過點作直線的垂線．〔1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔2若直線,的交點在橢圓上,求點的坐標(biāo)．[答案]〔1；〔2．試題解析：〔1設(shè)橢圓的半焦距為c．因為橢圓E的離心率為,兩準(zhǔn)線之間的距離為8,所以,,解得,于是,因此橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是．因為點在橢圓上,由對稱性,得,即或．又在橢圓E上,故．由,解得；,無解．因此點P的坐標(biāo)為．[考點]橢圓方程、直線與橢圓的位置關(guān)系[名師點睛]直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,一般轉(zhuǎn)化為直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組,利用根與系數(shù)關(guān)系或求根公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點在曲線上〔點的坐標(biāo)滿足曲線方程等．[熱點深度剖析]1.圓錐曲線的解答題中主要是以橢圓為基本依托,考查橢圓方程的求解、考查直線與曲線的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想等數(shù)學(xué)思想方法,這道解答題往往是試卷的壓軸題之一．由于圓錐曲線與方程是傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)主干知識,在高考命題上已經(jīng)比較成熟,考查的形式和試題的難度、類型已經(jīng)較為穩(wěn)定,預(yù)計2017年仍然是這種考查方式,不會發(fā)生大的變化．2.解決圓錐曲線綜合題,關(guān)鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形與幾何性質(zhì),注意挖掘知識的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律,通過對知識的重新組合,以達(dá)到鞏固知識、提高能力的目的.綜合題中常常離不開直線與圓錐曲線的位置,因此,要樹立將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立,應(yīng)用判別式、韋達(dá)定理的意識.解析幾何應(yīng)用問題的解題關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,合理建立曲線模型,然后轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)問題作出定量或定性的分析與判斷.常用的方法：數(shù)形結(jié)合法,以形助數(shù),用數(shù)定形.在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中,常借助于"平面幾何性質(zhì)"數(shù)形結(jié)合、"方程與函數(shù)性質(zhì)"化解析幾何問題為代數(shù)問題、"分類討論思想"化整為零分化處理、"求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系"等等.3..避免繁復(fù)運算的基本方法：回避,選擇,尋求.所謂回避,就是根據(jù)題設(shè)的幾何特征,靈活運用曲線的有關(guān)定義、性質(zhì)等,從而避免化簡方程、求交點、解方程等繁復(fù)的運算.所謂選擇,就是選擇合適的公式,合適的參變量,合適的方法等,一般以直接性和間接性為基本原則."設(shè)而不求"、"點代法"等方法的運用就是主動的"所謂尋求".4.定點、定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量,那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等,這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個點、一個值,就是要求的定點、定值．化解這類問題難點的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等,根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量．5.預(yù)計18年將繼續(xù)將解幾大題作為探究能力考查的"試驗田",考查定點、定值問題的可能性較大.[最新考綱解讀]內(nèi)容要求備注ABC平面解析幾何初步直線的斜率和傾斜角

√

對知識的考查要求依次分為了解、理解、掌握三個層次〔在表中分別用A、B、C表示.了解：要求對所列知識的含義有最基本的認(rèn)識,并能解決相關(guān)的簡單問題.理解：要求對所列知識有較深刻的認(rèn)識,并能解決有一定綜合性的問題.掌握：要求系統(tǒng)地掌握知識的內(nèi)在聯(lián)系,并能解決綜合性較強的或較為困難的問題.直線方程

√直線的平行關(guān)系與垂直關(guān)系

√

兩條直線的交點

√

兩點間的距離、點到直線的距離

√

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程

√直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

√

圓錐曲線與方程中心在坐標(biāo)原點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)

√

中心在坐標(biāo)原點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)√

頂點在坐標(biāo)原點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)√

[重點知識整合]一、1.橢圓的定義：〔1第一定義：平面內(nèi)到兩定點F1,F2的距離之和為定值2a<2a>|F1〔2第二定義：平面內(nèi)與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.〔0<e<1.2.圖形與方程〔以一個為例圖形標(biāo)準(zhǔn)方程：<>0>3.幾何性質(zhì)：〔1范圍〔2中心坐標(biāo)原點〔3頂點〔4對稱軸軸,軸,長軸長,短軸長〔5焦點焦距,〔〔6離心率,〔〔7準(zhǔn)線〔8焦半徑〔9通徑〔10焦參數(shù)二、1.拋物線的定義：平面內(nèi)與定點和直線的距離相等的點的軌跡.〔e=12.圖形與方程〔以一個為例圖形標(biāo)準(zhǔn)方程：3.幾何性質(zhì)：〔1范圍經(jīng),〔2中心無〔3頂點〔4對稱軸軸〔5焦點焦距無〔6離心率〔7準(zhǔn)線〔8焦半徑〔9通徑〔10焦參數(shù)[應(yīng)試技巧點撥]一、〔1要能夠靈活應(yīng)用圓錐曲線的兩個定義〔及其"括號"內(nèi)的限制條件解決有關(guān)問題,如果涉及到其兩焦點<或兩相異定點>,那么優(yōu)先選用圓錐曲線第一定義；如果涉及到焦點三角形的問題,也要重視第一定義和三角形中正余弦定理等幾何性質(zhì)的應(yīng)用,尤其注意圓錐曲線第一定義與配方法的綜合運用。〔2橢圓的定義中應(yīng)注意常數(shù)大于|F1F2|.因為當(dāng)平面內(nèi)的動點與定點F1、F2的距離之和等于|F1F2|時,其動點軌跡就是線段F1F2；當(dāng)平面內(nèi)的動點與定點F1、F2的距離之和小于|F〔3求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程①定義法：根據(jù)橢圓定義,確定的值,再結(jié)合焦點位置,直接寫出橢圓方程．②待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點是在x軸還是在y軸上,設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程,然后根據(jù)條件確定關(guān)于的方程組,解出,從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．〔4橢圓中有一個十分重要的△OF1B2<如圖>,它的三邊長分別為.易見,且若記,則.〔5在掌握橢圓簡單幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)上,能對橢圓性質(zhì)有更多的了解,如：①與分別為橢圓上點到焦點距離的最大值和最小值；②橢圓的通徑<過焦點垂直于長軸的弦>長,過橢圓焦點的直線被橢圓所截得的弦長的最小值．〔6共離心率的橢圓系的方程：橢圓的離心率是,方程是大于0的參數(shù),的離心率也是我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程.二、對于拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與,重點把握以下兩點：<1>是焦點到準(zhǔn)線的距離,恒為正數(shù)；<2>方程形式有四種,要搞清方程與圖形的對應(yīng)性,其規(guī)律是"對稱軸看一次項,符號決定開口方向"．B．拋物線的幾何性質(zhì)以考查焦點與準(zhǔn)線為主．根據(jù)定義,拋物線上一點到焦點的距離和到準(zhǔn)線的距離相等,可得以下規(guī)律：<1>拋物線上一點到焦點的距離；<2>拋物線上一點到焦點F的距離；<3>拋物線上一點到焦點F的距離；<4>拋物線上一點到焦點F的距離.C．直線與拋物線的位置關(guān)系類似于前面所講直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系．特別地,已知拋物線,過其焦點的直線交拋物線于兩點,設(shè)．則有以下結(jié)論：<1>,或<為所在直線的傾斜角>；<2>；<3>.過拋物線焦點且與對稱軸垂直的弦稱為拋物線的通徑,拋物線的通徑長為.[考場經(jīng)驗分享]1.目標(biāo)要求：直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷、有關(guān)圓錐曲線弦的問題等能很好地滲透對函數(shù)方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的考查,一直是高考考查的重點,特別是焦點弦和中點弦等問題,涉及中點公式、根與系數(shù)的關(guān)系以及設(shè)而不求、整體代入的技巧和方法,也是考查數(shù)學(xué)思想方法的熱點題型．2.注意問題：<1>對于填空題,常充分利用幾何條件,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．<2>涉及弦長的問題中,應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法計算弦長；涉及垂直關(guān)系時也往往利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運算；涉及過焦點的弦的問題,可考慮用圓錐曲線的定義求解．3.經(jīng)驗分享：圓錐曲線中的最值問題類型較多,解法靈活多變,但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何方法,即通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是利用代數(shù)方法,即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個<些>參數(shù)的函數(shù)<解析式>,然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解．[名題精選練兵篇]1.[XX市2018屆高三上學(xué)期第一次調(diào)研]如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的離心率為,兩條準(zhǔn)線之間的距離為.〔1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔2已知橢圓的左頂點為,點在圓上,直線與橢圓相交于另一點,且的面積是的面積的倍,求直線的方程.[答案]〔1〔2,試題解析：〔1設(shè)橢圓的焦距為,由題意得,,解得,,所以.所以橢圓的方程為.〔2方法一：因為,所以,所以點為的中點.因為橢圓的方程為,所以.設(shè),則.所以①,②,由①②得,解得,〔舍去.把代入①,得,所以,因此,直線的方程為即,.方法二：因為,所以,所以點為的中點.設(shè)直線的方程為.由得,所以,解得,所以,,代入得,化簡得,即,解得,所以,直線的方程為即,.2.[XX市等四市2018屆高三上學(xué)期第一次模擬]如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓的離心率為,且過點.為橢圓的右焦點,為橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點,連接分別交橢圓于兩點.⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；⑵若,求的值；⑶設(shè)直線,的斜率分別為,,是否存在實數(shù),使得,若存在,求出的值；若不存在,請說明理由.[答案]〔1〔2〔3試題解析：〔1設(shè)橢圓方程為,由題意知：解之得：,所以橢圓方程為：〔2若,由橢圓對稱性,知,所以,此時直線方程為,由,得,解得〔舍去,故．〔3設(shè),則,直線的方程為,代入橢圓方程,得,因為是該方程的一個解,所以點的橫坐標(biāo),又在直線上,所以,同理,點坐標(biāo)為,,所以,即存在,使得．3.[南師附中、天一、海門、XX四校2018屆高三聯(lián)考]已知橢圓的方程：,右準(zhǔn)線方程為,右焦點為橢圓的左頂點.〔1求橢圓的方程；〔2設(shè)點為橢圓在軸上方一點,點在右準(zhǔn)線上且滿足且,求直線的方程.[答案]〔1；〔2或.[解析]試題分析：〔1由準(zhǔn)線方程和焦點坐標(biāo)可得,由此可得橢圓方程．〔2由題意設(shè)的方程為,與橢圓方程聯(lián)立解方程組可得點M的坐標(biāo),由此可得,,然后由建立關(guān)于的方程,解方程可得,從而可得直線方程．試題解析：〔1由題意得,∴,橢圓的方程為．又,又,解得或．∴直線的方程為或．4.[如皋市2017--2018學(xué)年度高三年級第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研]在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線與橢圓交于點,〔在軸上方,且.設(shè)點在軸上的射影為,三角形的面積為2〔如圖1.〔1求橢圓的方程；〔2設(shè)平行于的直線與橢圓相交,其弦的中點為.①求證：直線的斜率為定值；②設(shè)直線與橢圓相交于兩點,〔在軸上方,點為橢圓上異于,,,一點,直線交于點,交于點,如圖2,求證：為定值.[答案]〔1<2>①②[解析]試題分析：〔1設(shè),已知,即,所以,故,即,再根據(jù)橢圓經(jīng)過解得,從而可得橢圓的試題解析：〔1由題意,可設(shè),已知,即,所以,故,即；又橢圓經(jīng)過,即,解得；故所求橢圓的方程為：<2>設(shè)平行的直線的方程為,且,①聯(lián)立,得到,所以,；故,直線的斜率為〔定值②由題意可知,聯(lián)立方程組得設(shè),先考慮直線斜率都存在的情形：直線,聯(lián)立方程組：得,直線,聯(lián)立方程組：得,則,,所以當(dāng)直線斜率不存在時結(jié)果仍然成立.5.[興化市楚水實驗學(xué)校、黃橋中學(xué)、口岸中學(xué)三校2018屆高三12月聯(lián)考]已知圓與軸負(fù)半軸相交于點,與軸正半軸相交于點.〔1若過點的直線被圓截得的弦長為,求直線的方程；〔2若在以為圓心半徑為的圓上存在點,使得<為坐標(biāo)原點>,求的取值范圍；〔3設(shè)是圓上的兩個動點,點關(guān)于原點的對稱點為,點關(guān)于軸的對稱點為,如果直線與軸分別交于和,問是否為定值？若是求出該定值；若不是,請說明理由.[答案]〔1直線的方程為或；〔2；〔3為定值1..試題解析：〔1若直線的斜率不存在,則的方程為：,符合題意.若直線的斜率存在,設(shè)的方程為：,即∴點到直線的距離∵直線被圓截得的弦長為,∴∴,此時的方程為：∴所求直線的方程為或〔2設(shè)點的坐標(biāo)為,由題得點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為由可得,化簡可得∵點在圓上,∴,∴∴所求的取值范圍是.〔3∵,則∴直線的方程為令,則同理可得∴∴為定值1.6.[前黃高級中學(xué)、如東高級中學(xué)、姜堰中學(xué)等五校2018屆高三上學(xué)期第一次學(xué)情監(jiān)測]如圖,已知橢圓的左頂點,且點在橢圓上,分別是橢圓的左、右焦點。過點作斜率為的直線交橢圓于另一點,直線交橢圓于點.〔1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔2若為等腰三角形,求點的坐標(biāo)；〔3若,求的值.[答案]〔1〔2〔3[解析]試題分析：<1>由題意得到關(guān)于的方程組,求解方程組可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；<2>由題意可得點在軸下方據(jù)此分類討論有：,聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得；<3>設(shè)直線的方程,聯(lián)立直線方程與橢圓方程,可得利用幾何關(guān)系計算可得,利用點在橢圓上得到關(guān)于實數(shù)k的方程,解方程有：.試題解析：∴直線的方程,由得或∴〔3設(shè)直線的方程,由得∴∴∴∴若,則∴,∴,∵,∴,∴與不垂直；∴,∵,,∴直線的方程,直線的方程:由解得∴又點在橢圓上得,即,即∵,∴點睛：解決直線與橢圓的綜合問題時,要注意：<1>注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件,明確確定直線、橢圓的條件；<2>強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力,重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．7．已知橢圓：的離心率為,且過點.〔Ⅰ求橢圓的方程；〔Ⅱ過點任作一條直線與橢圓相交于,兩點,試問在軸上是否存在定點,使得直線與直線關(guān)于軸對稱？若存在,求出點的坐標(biāo)；若不存在,說明理由.[答案]〔Ⅰ;〔Ⅱ.[解析]試卷分析：〔Ⅰ根據(jù)離心率為,短軸右端點為A的坐標(biāo)即可求出a,b的值,進(jìn)而求出橢圓的方程；〔Ⅱ分類討論：當(dāng)直線與軸不垂直時,當(dāng)軸時,由橢圓的對稱性可知恒有直線與直線關(guān)于軸對稱,即在軸上存在定點,使得直線與直線關(guān)于軸對稱.試卷解析：〔Ⅰ由題意得,,故橢圓的方程為.〔Ⅱ假設(shè)存在點滿足題設(shè)條件.當(dāng)直線與軸不垂直時,設(shè)的方程為,代入橢圓方程化簡得：,所以當(dāng)時,,直線與直線關(guān)于軸對稱,當(dāng)軸時,由橢圓的對稱性可知恒有直線與直線關(guān)于軸對稱,綜上可得,在軸上存在定點,使得直線與直線關(guān)于軸對稱.點睛：本題考查橢圓的方程,考查了直線與橢圓的位置關(guān)系,考查了韋達(dá)定理的運用,考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想,考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題,超強的運算能力是解決問題的關(guān)鍵.8．已知點為上的動點,點滿足.〔1求點的軌跡的方程；〔2直線與相切,且與圓相交于兩點,求面積的最大值〔其中為坐標(biāo)原點.[答案]〔Ⅰ；〔Ⅱ.試題解析：〔Ⅰ設(shè),由于,則有,則,又在橢圓上,故有,即點的軌跡的方程為；〔Ⅱ直線與橢圓相切,故由可得：因為,則有〔顯然。點到直線的距離,則；因為,則,所以則,當(dāng)且僅當(dāng)時,即時等號成立.所以,面積的最大值為9．已知雙曲線的左右兩個頂點是,,曲線上的動點關(guān)于軸對稱,直線與交于點,〔1求動點的軌跡的方程；〔2點,軌跡上的點滿足,求實數(shù)的取值范圍.[答案]〔1；〔2.[解析][試題分析]〔1借助題設(shè)條件運用兩個等式相乘建立等式；〔2依據(jù)題設(shè)條件運用直線與橢圓的位置關(guān)系建立二次方程,運用判別式及根與系數(shù)的關(guān)系建立不等式分析求解：〔1由已知,設(shè)則直線,直線,兩式相乘得,化簡得,即動點的軌跡的方程為；〔2過的直線若斜率不存在則或3,設(shè)直線斜率存在,,則由〔2〔4解得代入〔3式得,化簡得,由〔1解得代入上式右端得,,解得,綜上實數(shù)的取值范圍是.10．已知橢圓〔的離心率為,分別是它的左、右焦點,且存在直線,使關(guān)于的對稱點恰好是圓〔的一條直線的兩個端點.〔1求橢圓的方程；〔2設(shè)直線與拋物線〔相交于兩點,射線,與橢圓分別相交于點,試探究：是否存在數(shù)集,當(dāng)且僅當(dāng)時,總存在,使點在以線段為直徑的圓內(nèi)？若存在,求出數(shù)集；若不存在,請說明理由.[答案]〔1;〔2[解析]試題分析：〔1由圓的方程配方得半徑為2,由題設(shè)知,橢圓的焦距等于圓的直徑,所以,又,可得橢圓方程.〔2由題可得直線是線段的垂直平分線,由方程與,聯(lián)立可得：,.又點在以線段為直徑的圓內(nèi)即,〔2因為產(chǎn)于的對稱點恰好是圓的一條直徑的兩個端點,所以直線是線段的垂直平分線〔是坐標(biāo)原點,故方程為,與,聯(lián)立得：,由其判別式得①.設(shè),,則,,從而,.因為的坐標(biāo)為,所以,,注意到與同向,與同向,所以點在以線段為直徑的圓內(nèi),所以即代入整理得②當(dāng)且僅當(dāng)即時,總存在,使②成立.又當(dāng)時,由韋達(dá)定理知方程的兩根均為正數(shù),故使②成立的,從而滿足①.故存在數(shù)集,當(dāng)且僅當(dāng)時,總存在使點在以線段為直徑的圓內(nèi).點晴:本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系.直線和圓錐曲線的位置關(guān)系一方面要體現(xiàn)方程思想,另一方面要結(jié)合已知條件,從圖形角度求解．聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組,化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解是一個常用的方法.涉及點在以線段為直徑的圓內(nèi),坐標(biāo)化求解即可.11．設(shè)分別是橢圓的左、右焦點,過作傾斜角為的直線交橢圓于兩點,到直線的距離為,連接橢圓的四個頂點得到的菱形面積為.〔1求橢圓的方程；〔2設(shè)過點的直線被橢圓和圓所截得的弦長分別為,當(dāng)最大時,求直線的方程.[答案]<1>;<2>或.[解析]<1>設(shè)坐標(biāo)為,坐標(biāo)為,則直線的方程為,即；又,橢圓的方程為.<2>易知直線的斜率不為,可設(shè)直線的方程為,則圓心到直線的距離為,所以,得,,〔當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立,所以直線方程為或.點睛：對于圓錐曲線的題型,在做題時首先要題中的幾何關(guān)系理解清楚,最好可以畫出草圖幫助自己理解,然后根據(jù)幾何關(guān)系建立等式求解,對于第二問在求解范圍及最值問題時首先要明確表達(dá)式,然后根據(jù)基本不等式或者函數(shù)求最值方法來求解范圍問題.12．設(shè)點到坐標(biāo)原點的距離和它到直線的距離之比是一個常數(shù)．〔1求點的軌跡；〔2若時得到的曲線是,將曲線向左平移一個單位長度后得到曲線,過點的直線與曲線交于不同的兩點,過的直線分別交曲線于點,設(shè),,,求的取值范圍．[答案]〔Ⅰ見解析;〔Ⅱ.試題解析:〔Ⅰ過點作,為垂足,設(shè)點的坐標(biāo)為,則,又,所以,故點的軌跡方程為.可化為,顯然點的軌跡為焦點在軸上的橢圓.〔Ⅱ時,得到的曲線的方程是,故曲線的方程是.設(shè),,則,由,得,即.當(dāng)與軸不垂直時,直線的方程為,即,代入曲線的方程并注意到,整理可得,則,即,于是.當(dāng)與軸垂直時,A點的橫坐標(biāo)為,,顯然也成立.同理可得.設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,消去y整理得,由及,解得.又,則.故求的取值范圍是.點睛:本題考查了軌跡方程的求法以及直線與橢圓相交時相關(guān)問題,屬于中檔題.在<1>中,求軌跡與求軌跡方程不一樣,把軌跡方程求出來后,再判斷是什么類型的曲線;在<2>中,注意向量坐標(biāo)運算求出的表達(dá)式,再聯(lián)立直線的方程和橢圓方程求出,進(jìn)而求出的范圍.13．已知點為橢圓的左焦點,且兩焦點與短軸的一個頂點構(gòu)成一個等邊三角形,直線與橢圓有且僅有一個交點.〔Ⅰ求橢圓的方程；〔Ⅱ設(shè)直線與軸交于,過點的直線與橢圓交于兩不同點,,若,求實數(shù)的取值范圍.[答案]〔1；〔2.〔Ⅱ由〔Ⅰ得點的坐標(biāo),從而可得,要求范圍只要求得的范圍,為此可直線分類,對斜率不存在時,求得,而當(dāng)直線斜率存在時,可設(shè)出直線方程為,同時設(shè),則,由韋達(dá)定理可把表示為的函數(shù),注意直線與橢圓相交,判別式＞0,確定的范圍,從而可得的范圍,最后可得的取值范圍.試題解析：〔Ⅰ由題意,得,則橢圓為：,由,得,直線與橢圓有且僅有一個交點,,橢圓的方程為；〔Ⅱ由〔Ⅰ得,直線與軸交于,,當(dāng)直線與軸垂直時,,由,當(dāng)直線與軸不垂直時,設(shè)直線的方程為,,由,依題意得,,且,,,,綜上所述,的取值范圍是.14．已知點,點是直線上的動點,過作直線,,線段的垂直平分線與交于點．<1>求點的軌跡的方程；<2>若點是直線上兩個不同的點,且的內(nèi)切圓方程為,直線的斜率為,求的取值范圍．[答案]<1>;<2>.[解析]試題分析：〔1利用拋物線定義求解即可；〔2設(shè)出的三個頂點的坐標(biāo),表示出的解析式,化簡之后可得為關(guān)于的方程的兩根,然后由韋達(dá)定理表示的長度,最后在中消去參數(shù),故可以得到的取值范圍.試題解析：<1>據(jù)題設(shè)分析知,點的軌跡是以點為焦點,直線為準(zhǔn)線的拋物線,所以曲線的方程為.所以圓心到直線的距離為1,即,所以,由題意,得,所以.同理,有,所以是關(guān)于的方程的兩根,所以因為所以.因為,所以.直線的斜率,則,所以.因為函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時,,所以,所以,所以.所以的取值范圍是.15．已知橢圓的離心率,右焦點,過點的直線交橢圓于兩點.〔1求橢圓的方程；〔2若點關(guān)于軸的對稱點為,求證:三點共線；<3>當(dāng)面積最大時,求直線的方程.[答案]<1>;<2>見解析;<3>.[解析]試題分析：<1>根據(jù)離心率可求得的值,從而可求得的值,進(jìn)而可得結(jié)果；<2>設(shè),只需用平面向量坐標(biāo)法證明即可得結(jié)論；〔3設(shè)直線的方程為,根據(jù)韋達(dá)定理、弦長公式、三角形面積公式將面積表示為關(guān)于的函數(shù)式,換元后根據(jù)配方法求最值,取得最值時可以確定的值,進(jìn)而可得結(jié)果.試題解析：<1>由,橢圓的方程是.<2>由〔1可得,設(shè)直線的方程為.由方程組,得,依題意,得.設(shè),則,由,得三點共線.<3>設(shè)直線的方程為.由方程組,得,依題意,得.設(shè),則,令,則,即時,最大,最大時直線的方程為.[方法點晴]本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線求最值,屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義,特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決,非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法,本題〔2就是用的這種思路,利用配方法法求三角形最值的.16．已知橢圓的離心率為,短軸長為,右焦點為.〔1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔2若直線過點且與橢圓有且僅有一個公共點,過點作直線交橢圓與另一點.①證明：當(dāng)直線與直線的斜率,均存在時,為定值；②求面積的最小值.[答案]〔1;〔2.〔2①由題意可知直線的斜率存在,設(shè)直線的方程：,因為點在直線上,所以,聯(lián)立直線與橢圓方程：由可得,又直線與橢圓有且只有一個公共點,故,即.由韋達(dá)定理,可得點坐標(biāo).因為直線過橢圓右焦點為,所以直線的斜率；而直線的斜率,所以：.②因為,,所以,即；所以三角形的面積；,由直線的斜率為,可得直線的方程：,與橢圓方程聯(lián)立可得：.所以,令,則,單調(diào)遞增,故當(dāng)且僅當(dāng)時成立.點睛：平面解析幾何是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容和知識點,也是高考重點考查的重要內(nèi)容內(nèi)容和考點。這類問題的設(shè)置旨在考查運用代數(shù)的方法建立直線與圓錐曲線出方程,依據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識與方法的綜合運用,以及運算求解能力、分析推斷能力等基本數(shù)學(xué)能力的運用。解答本題的第一問時,依據(jù)題設(shè)建立方程組,通過解方程組,使得問題獲解；解答本題的第二問時,先建立直線的方程再借助直線與橢圓的位置關(guān)系進(jìn)行分析探求,從而使得問題獲解。17．已知橢圓過點,且離心率為．〔Ⅰ求橢圓的方程；〔Ⅱ設(shè)直線與橢圓交于、兩點,以為對角線作正方形,記直線與軸的交點為,問、兩點間距離是否為定值？如果是,求出定值；如果不是,請說明理由．[答案]〔Ⅰ;〔Ⅱ．[解析]試題分析：<1>利用題意確定的值即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；<2>利用題意聯(lián)立直線與橢圓的方程,利用弦長公式求得的值,最后利用勾股定理進(jìn)行計算,證得為定值即可.試題解析：〔Ⅰ設(shè)橢圓的半焦距為．因為點在橢圓上,所以．故．又因為,所以,．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:．〔Ⅱ設(shè),,線段中點為．聯(lián)立和,得:．由,可得．所以,．所以中點為．弦長,又直線與軸的交點,所以．所以．所以、兩點間距離為定值．點睛：第一問屬于常規(guī)題目,第二問求解定值,求定值問題常見的方法有兩種：<1>從特殊入手,求出定值,再證明這個值與變量無關(guān)．<2>直接推理、計算,并在計算推理的過程中消去變量,從而得到定值．本題利用第二種方法求解定值.18．已知中心在原點的橢圓的兩焦點分別為雙曲線的頂點,直線與橢圓交于、兩點,且,點是橢圓上異于、的任意一點,直線外的點滿足,．〔1求點的軌跡方程；〔2試確定點的坐標(biāo),使得的面積最大,并求出最大面積．[答案]〔1點的軌跡是橢圓除去四個點,,,,其方程為〔,；〔2,點的坐標(biāo)為或.〔3由點到直線距離可得三角形面積表達(dá)式,由均值不等式可得面積最大值及此時點坐標(biāo)。試題解析：〔1由的焦點為的頂點,得的焦點,．令的方程為,因為在上,所以．于是由解得,,所以的方程為．由直線與橢圓交于、兩點,知、關(guān)于原點對稱,所以．令點,,則,,,．于是由,,得即兩式相乘得．又因為點在上,所以,即,代入中,得．當(dāng)時,得；當(dāng)時,則點或,此時或,也滿足方程．若點與點重合,即時,由解得或．若點與點重合時,同理可得或．綜上,點的軌跡是橢圓除去四個點,,,,其方程為〔,．〔2因為點到直線的距離,,所以的面積.當(dāng)且僅當(dāng),即或,此時點的坐標(biāo)為或．19．已知點是長軸長為的橢圓：上異于頂點的一個動點,為坐標(biāo)原點,為橢圓的右頂點,點為線段的中點,且直線與的斜率之積恒為.〔1求橢圓的方程；〔2設(shè)過左焦點且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于兩點,線段的垂直平分線與軸交于點,點橫坐標(biāo)的取值范圍是,求的最小值.[答案]〔Ⅰ;<Ⅱ>．試題解析：〔Ⅰ∵橢圓的長軸長為,∴．設(shè),∵直線與的斜率之積恒為,∴,∴,∴,故橢圓的方程為.<Ⅱ>設(shè)直線方程為,代入有,設(shè),中點,∴.∴∴的垂直平分線方程為,令,得∵,∴,∴．,．點睛：解析幾何中的最值是高考的熱點,在圓錐曲線的綜合問題中經(jīng)常出現(xiàn),求解此類問題的一般思路為在深刻認(rèn)識運動變化的過程之中,抓住函數(shù)關(guān)系,將目標(biāo)量表示為一個<或者多個>變量的函數(shù),然后借助于函數(shù)最值的探求來使問題得以解決.20．在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓〔,圓〔,若圓的一條切線與橢圓相交于兩點.〔1當(dāng),時,若點都在坐標(biāo)軸的正半軸上,求橢圓的方程；〔2若以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點,探究之間的等量關(guān)系,并說明理由.[答案]〔1橢圓的方程是；〔2滿足等量關(guān)系．[解析]試題分析：<1>首先利用直線到圓心的距離等于半徑求得的值,然后結(jié)合幾何關(guān)系求得的值即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.<2>將原問題轉(zhuǎn)化為,聯(lián)立直線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系整理計算即可求得之間的等量關(guān)系.試題解析：解：〔1∵直線與相切,∴.由,,解得.∵點都在坐標(biāo)軸正半軸上,∴.∴切線與坐標(biāo)軸的交點為,.∵點在直線上,∴.∴〔*由消去,得.即顯然∴由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,得代入〔*式,得.整理,得.又由〔1,有.消去,得∴∴滿足等量關(guān)系.[名師原創(chuàng)測試篇]1.已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上,長軸長為,且點在橢圓上．〔1求橢圓的方程；〔2設(shè)是橢圓長軸上的一個動點,過作方向向量的直線交橢圓于、兩點,求證：為定值．[答案]〔1；〔2證明見解析．[解析]試題分析：〔1已知橢圓的長軸長,就是已知,那么在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中還有一個參數(shù),正好橢圓過點,把這個點的代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可求出,得橢圓方程；〔2這是直線與橢圓相交問題,考查同學(xué)們的計算能力,給定了直線的方向向量,就是給出了直線的斜率,只要設(shè)動點的坐標(biāo)為,就能寫出直線的方程,把它與橢圓方程聯(lián)立方程組,可求出兩點的坐標(biāo),從而求出的值,看它與有沒有關(guān)系〔是不是常數(shù),當(dāng)然在求時,不一定要把兩點的坐標(biāo)直接求出〔如直接求出,對下面的計算沒有幫助,而是采取設(shè)而不求的思想,即設(shè),然后求出,,而再把用,表示出來然后代入計算,可使計算過程簡化．試題解析：〔1因為的焦點在軸上且長軸為,故可設(shè)橢圓的方程為〔,因為點在橢圓上,所以,解得,…………〔1分所以,橢圓的方程為．〔2設(shè)〔,由已知,直線的方程是,由〔*設(shè),,則、是方程〔*的兩個根,所以有,,所以,〔定值．所以,為定值．2.已知圓過定點,圓心在拋物線上,、為圓與軸的交點．〔1當(dāng)圓心是拋物線的頂點時,求拋物線準(zhǔn)線被該圓截得的弦長．〔2當(dāng)圓心在拋物線上運動時,是否為一定值？請證明你的結(jié)論．〔3當(dāng)圓心在拋物線上運動時,記,,求的最大值,并求出此時圓的方程．[答案]〔1；〔2是定值,為2；〔3取得最大值,此時圓的方程為．[解析]也即求出為定值；〔3根據(jù)圓的性質(zhì),由〔2可得兩點的坐標(biāo)為,這樣就可用來表示,可求得,時,有,時,利用基本不等式有,從而〔當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,故所求最大值為．試題解析：〔1拋物線的頂點為,準(zhǔn)線方程為,圓的半徑等于1,圓的方程為．弦長………4分〔2設(shè)圓心,則圓的半徑,圓的方程是為：…………6分令,得,得,,是定值．………………8分〔3由〔2知,不妨設(shè),,,．．………………11分當(dāng)時,．………………12分當(dāng)時,．當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立…………14分所以當(dāng)時,取得最大值,此時圓的方程為．………………16分3.給定橢圓,稱圓心在坐標(biāo)原點O,半徑為的圓是橢圓C的"伴隨圓",已知橢圓C的兩個焦點分別是.〔1若橢圓C上一動點滿足,求橢圓C及其"伴隨圓"的方程；〔2在〔1的條件下,過點作直線l與橢圓C只有一個交點,且截橢圓C的"伴隨圓"所得弦長為,求P點的坐標(biāo)；〔3已知,是否存在a,b,使橢圓C的"伴隨圓"上的點到過兩點的直線的最短距離.若存在,求出a,b的值；若不存在,請說明理由.[答案]〔1橢圓方程,伴隨圓方程；〔2；〔3存在,．[解析]試題分析：〔1這是基本題,題設(shè)實質(zhì)已知,要求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,已知圓心及半徑求圓的方程；〔2為了求點坐標(biāo),我們可設(shè)直線方程為,直線與橢圓只有一個公共點,即直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立方程組,這個方程組只有一個解,消元后利用可得的一個方程,又直線截圓所得弦長為,又得一個關(guān)于的方程,聯(lián)立可解得；〔3這是解析幾何中的存在性問題,解決方法都是假設(shè)存在,然后去求出這個,能求出就說明存在,不能求出就說明不存在．解法如下,寫出過點的直線方程,求出圓心到這條直線的距離為,可見當(dāng)圓半徑不小于3時,圓上的點到這條直線的最短距離為0,即當(dāng)時,,但由于,無解,當(dāng)圓半徑小于3時,圓上的點到這條直線的最短距離為,由此得,又有,可解得,故存在．試題解析：〔1由題意：,則,所以橢圓的方程為,------2分其"伴隨圓"的方程為．-----------------------4分〔2設(shè)直線的方程為由得------------