奧數(shù)八大類型問題

奧數(shù)八大類型問題一、過橋問題（1）一列火車經(jīng)過南京長江大橋，大橋長6700米，這列火車長140米，火車每分鐘行400米，這列火車通過長江大橋需要多少分鐘？分析：這道題求的是通過時間。根據(jù)數(shù)量關(guān)系式，我們知道要想求通過時間，就要知道路程和速度。路程是用橋長加上車長?；疖嚨乃俣仁且阎獥l件?？偮烦蹋海祝┩ㄟ^時間：（分鐘）答：這列火車通過長江大橋需要17.1分鐘。一列火車長200米，全車通過長700米的橋需要30秒鐘，這列火車每秒行多少米？分析與解答：這是一道求車速的過橋問題。我們知道，要想求車速，我們就要知道路程和通過時間這兩個條件?？梢杂靡阎獥l件橋長和車長求出路程，通過時間也是已知條件，所以車速可以很方便求出。總路程：（米）火車速度：（米）答：這列火車每秒行30米。一列火車長240米，這列火車每秒行15米，從車頭進山洞到全車出山洞共用20秒，山洞長多少米？分析與解答：火車過山洞和火車過橋的思路是一樣的?；疖囶^進山洞就相當(dāng)于火車頭上橋；全車出洞就相當(dāng)于車尾下橋。這道題求山洞的長度也就相當(dāng)于求橋長，我們就必須知道總路程和車長，車長是已知條件，那么我們就要利用題中所給的車速和通過時間求出總路程。總路程：山洞長：（米）答：這個山洞長60米。二、和倍問題秦奮和媽媽的年齡加在一起是40歲，媽媽的年齡是秦奮年齡的4倍，問秦奮和媽媽各是多少歲？我們把秦奮的年齡作為1倍，“媽媽的年齡是秦奮的4倍”，這樣秦奮和媽媽年齡的和就相當(dāng)于秦奮年齡的5倍是40歲，也就是（4＋1）倍，也可以理解為5份是40歲，那么求1倍是多少，接著再求4倍是多少？（1） 秦奮和媽媽年齡倍數(shù)和是：4+1=5（倍）（2） 秦奮的年齡：40F5=8歲（3） 媽媽的年齡：8X4=32歲綜合：40F（4+1）=8歲8X4=32歲為了保證此題的正確，驗證（1） 8+32=40歲（2）32^8=4（倍）計算結(jié)果符合條件，所以解題正確。甲乙兩架飛機同時從機場向相反方向飛行，3小時共飛行3600千米，甲的速度是乙的2倍，求它們的速度各是多少？已知兩架飛機3小時共飛行3600千米，就可以求出兩架飛機每小時飛行的航程，也就是兩架飛機的速度和?？磮D可知，這個速度和相當(dāng)于乙飛機速度的3倍，這樣就可以求出乙飛機的速度，再根據(jù)乙飛機的速度求出甲飛機的速度。甲乙飛機的速度分別每小時行800千米、400千米。弟弟有課外書20本，哥哥有課外書25本，哥哥給弟弟多少本后，弟弟的課外書是哥哥的2倍？思考：（1）哥哥在給弟弟課外書前后，題目中不變的數(shù)量是什么？（2）要想求哥哥給弟弟多少本課外書，需要知道什么條件？（3）如果把哥哥剩下的課外書看作1倍，那么這時（哥哥給弟弟課外書后）弟弟的課外書可看作是哥哥剩下的課外書的幾倍？思考以上幾個問題的基礎(chǔ)上，再求哥哥應(yīng)該給弟弟多少本課外書。根據(jù)條件需要先求出哥哥剩下多少本課外書。如果我們把哥哥剩下的課外書看作1倍，那么這時弟弟的課外書可看作是哥哥剩下的課外書的2倍，也就是兄弟倆共有的倍數(shù)相當(dāng)于哥哥剩下的課外書的3倍，而兄弟倆人課外書的總數(shù)始終是不變的數(shù)量。（1） 兄弟倆共有課外書的數(shù)量是20+25=45。（2） 哥哥給弟弟若干本課外書后，兄弟倆共有的倍數(shù)是2+1=3。（3） 哥哥剩下的課外書的本數(shù)是45^3=15。（4） 哥哥給弟弟課外書的本數(shù)是25－15=10。試著列出綜合算式：甲乙兩個糧庫原來共存糧170噸，后來從甲庫運出30噸，給乙?guī)爝\進10噸，這時甲庫存糧是乙?guī)齑婕Z的2倍，兩個糧庫原來各存糧多少噸？根據(jù)甲乙兩個糧庫原來共存糧170噸，后來從甲庫運出30噸，給乙?guī)爝\進10噸，可求出這時甲、乙兩庫共存糧多少噸。根據(jù)“這時甲庫存糧是乙?guī)齑婕Z的2倍”，如果這時把乙?guī)齑婕Z作為1倍，那么甲、乙?guī)焖婕Z就相當(dāng)于乙存糧的3倍。于是求出這時乙?guī)齑婕Z多少噸，進而可求出乙?guī)煸瓉泶婕Z多少噸。最后就可求出甲庫原來存糧多少噸。甲庫原存糧130噸，乙?guī)煸婕Z40噸。三、列方程組解應(yīng)用題（一）用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制盒身16個，或制盒底43個，一個盒身和兩個盒底配成一個罐頭盒，現(xiàn)有150張鐵皮，用多少張制盒身，多少張制盒底，才能使盒身與盒底正好配套？依據(jù)題意可知這個題有兩個未知量，一個是制盒身的鐵皮張數(shù)，一個是制盒底的鐵皮張數(shù)，這樣就可以用兩個未知數(shù)表示，要求出這兩個未知數(shù)，就要從題目中找出兩個等量關(guān)系，列出兩個方程，組在一起，就是方程組。兩個等量關(guān)系是：A做盒身張數(shù)+做盒底的張數(shù)二鐵皮總張數(shù)B制出的盒身數(shù)X2=制出的盒底數(shù)用86張白鐵皮做盒身，64張白鐵皮做盒底。四、奇數(shù)與偶數(shù)（一）其實，在日常生活中同學(xué)們就已經(jīng)接觸了很多的奇數(shù)、偶數(shù)。凡是能被2整除的數(shù)叫偶數(shù)，大于零的偶數(shù)又叫雙數(shù)；凡是不能被2整除的數(shù)叫奇數(shù)，大于零的奇數(shù)又叫單數(shù)。因為偶數(shù)是2的倍數(shù)，所以通常用這個式子來表示偶數(shù)（這里是整數(shù)）。因為任何奇數(shù)除以2其余數(shù)都是1，所以通常用式子來表示奇數(shù)（這里是整數(shù)）。奇數(shù)和偶數(shù)有許多性質(zhì)，常用的有：性質(zhì)1兩個偶數(shù)的和或者差仍然是偶數(shù)。例如：8+4=12，8-4=4等。兩個奇數(shù)的和或差也是偶數(shù)。例如：9+3=12，9-3=6等。奇數(shù)與偶數(shù)的和或差是奇數(shù)。例如：9+4=13，9-4=5等。單數(shù)個奇數(shù)的和是奇，雙數(shù)個奇數(shù)的和是偶數(shù)，幾個偶數(shù)的和仍是偶數(shù)。性質(zhì)2奇數(shù)與奇數(shù)的積是奇數(shù)。偶數(shù)與整數(shù)的積是偶數(shù)。性質(zhì)3任何一個奇數(shù)一定不等于任何一個偶數(shù)。有5張撲克牌，畫面向上。小明每次翻轉(zhuǎn)其中的4張，那么，他能在翻動若干次后，使5張牌的畫面都向下嗎？同學(xué)們可以試驗一下，只有將一張牌翻動奇數(shù)次，才能使它的畫面由向上變?yōu)橄蛳?。要想?張牌的畫面都向下，那么每張牌都要翻動奇數(shù)次。5個奇數(shù)的和是奇數(shù)，所以翻動的總張數(shù)為奇數(shù)時才能使5張牌的牌面都向下。而小明每次翻動4張，不管翻多少次，翻動的總張數(shù)都是偶數(shù)。所以無論他翻動多少次，都不能使5張牌畫面都向下。甲盒中放有180個白色圍棋子和181個黑色圍棋子，乙盒中放有181個白色圍棋子，李平每次任意從甲盒中摸出兩個棋子，如果兩個棋子同色，他就從乙盒中拿出一個白子放入甲盒；如果兩個棋子不同色，他就把黑子放回甲盒。那么他拿多少后，甲盒中只剩下一個棋子，這個棋子是什么顏色的？不論李平從甲盒中拿出兩個什么樣的棋子，他總會把一個棋子放入甲盒。所以他每拿一次，甲盒子中的棋子數(shù)就減少一個，所以他拿180+181-1=360次后，甲盒里只剩下一個棋子。如果他拿出的是兩個黑子，那么甲盒中的黑子數(shù)就減少兩個。否則甲盒子中的黑子數(shù)不變。也就是說，李平每次從甲盒子拿出的黑子數(shù)都是偶數(shù)。由于181是奇數(shù)，奇數(shù)減偶數(shù)等于奇數(shù)。所以，甲盒中剩下的黑子數(shù)應(yīng)是奇數(shù)，而不大于1的奇數(shù)只有1，所以甲盒里剩下的一個棋子應(yīng)該是黑子。五、稱球問題例1有4堆外表上一樣的球，每堆4個。已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每個重10克，次品球每個重11克，請你用天平只稱一次，把是次品的那堆找出來。解：依次從第一、二、三、四堆球中，各取1、2、3、4個球，這10個球一起放到天平上去稱，總重量比100克多幾克，第幾堆就是次品球。例2有27個外表上一樣的球，其中只有一個是次品，重量比正品輕，請你用天平只稱三次（不用砝碼），把次品球找出來。解：第一次：把27個球分為三堆，每堆9個，取其中兩堆分別放在天平的兩個盤上。若天平不平衡，可找到較輕的一堆；若天平平衡，則剩下來稱的一堆必定較輕，次品必在較輕的一堆中。第二次：把第一次判定為較輕的一堆又分成三堆，每堆3個球，按上法稱其中兩堆，又可找出次品在其中較輕的那一堆。第三次：從第二次找出的較輕的一堆3個球中取出2個稱一次，若天平不平衡，則較輕的就是次品，若天平平衡，則剩下一個未稱的就是次品。例3把10個外表上一樣的球，其中只有一個是次品，請你用天平只稱三次，把次品找出來。解：把10個球分成3個、3個、3個、1個四組，將四組球及其重量分別用A、B、C、D表示。把A、B兩組分別放在天平的兩個盤上去稱，則若人=8,則A、B中都是正品，再稱B、C。如B=C，顯然D中的那個球是次品；如B>C,則次品在C中且次品比正品輕，再在C中取出2個球來稱，便可得出結(jié)論。如BVC，仿照B>C的情況也可得出結(jié)論。若A>B，則C、D中都是正品，再稱B、C,則有B=C，或BVC(B>C不可能，為什么？)如B=C，則次品在A中且次品比正品重，再在A中取出2個球來稱，便可得出結(jié)論；如BVC，仿前也可得出結(jié)論。若AVB，類似于A>B的情況，可分析得出結(jié)論。六、抽屜原理【例1】一個小組共有13名同學(xué)，其中至少有2名同學(xué)同一個月過生日。為什么？【分析】每年里共有12個月，任何一個人的生日，一定在其中的某一個月。如果把這12個月看成12個“抽屜”，把13名同學(xué)的生日看成13只“蘋果”，把13只蘋果放進12個抽屜里，一定有一個抽屜里至少放2個蘋果，也就是說，至少有2名同學(xué)在同一個月過生日?！纠?】任意4個自然數(shù)，其中至少有兩個數(shù)的差是3的倍數(shù)。這是為什么？【分析與解】首先我們要弄清這樣一條規(guī)律：如果兩個自然數(shù)除以3的余數(shù)相同，那么這兩個自然數(shù)的差是3的倍數(shù)。而任何一個自然數(shù)被3除的余數(shù)，或者是0，或者是1，或者是2，根據(jù)這三種情況，可以把自然數(shù)分成3類，這3種類型就是我們要制造的3個“抽屜”。我們把4個數(shù)看作“蘋果”，根據(jù)抽屜原理，必定有一個抽屜里至少有2個數(shù)。換句話說，4個自然數(shù)分成3類，至少有兩個是同一類。既然是同一類，那么這兩個數(shù)被3除的余數(shù)就一定相同。所以，任意4個自然數(shù)，至少有2個自然數(shù)的差是3的倍數(shù)?！纠?】有規(guī)格尺寸相同的5種顏色的襪子各15只混裝在箱內(nèi)，試問不論如何取，從箱中至少取出多少只就能保證有3雙襪子(襪子無左、右之分)？【分析與解】試想一下，從箱中取出6只、9只襪子，能配成3雙襪子嗎？回答是否定的。按5種顏色制作5個抽屜，根據(jù)抽屜原理1，只要取出6只襪子就總有一只抽屜里裝2只，這2只就可配成一雙。拿走這一雙，尚剩4只，如果再補進2只又成6只，再根據(jù)抽屜原理1，又可配成一雙拿走。如果再補進2只，又可取得第3雙。所以，至少要取6＋2＋2=10只襪子，就一定會配成3雙。思考：1.能用抽屜原理2，直接得到結(jié)果嗎？把題中的要求改為3雙不同色襪子，至少應(yīng)取出多少只？把題中的要求改為3雙同色襪子，又如何？【例4】一個布袋中有35個同樣大小的木球，其中白、黃、紅三種顏色球各有10個，另外還有3個藍色球、2個綠色球，試問一次至少取出多少個球，才能保證取出的球中至少有4個是同一顏色的球？【分析與解】從最“不利”的取出情況入手。最不利的情況是首先取出的5個球中，有3個是藍色球、2個綠色球。接下來，把白、黃、紅三色看作三個抽屜，由于這三種顏色球相等均超過4個，所以，根據(jù)抽屜原理2,只要取出的球數(shù)多于(4-1)X3=9個，即至少應(yīng)取出10個球，就可以保證取出的球至少有4個是同一抽屜(同一顏色)里的球。故總共至少應(yīng)取出10＋5=15個球，才能符合要求。思考：把題中要求改為4個不同色，或者是兩兩同色，情形又如何？當(dāng)我們遇到“判別具有某種事物的性質(zhì)有沒有，至少有幾個”這樣的問題時，想到它——抽屜原理，這是你的一條“決勝”之路。七、還原問題【例1】某人去銀行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次取了余下的一半多100元。這時他的存折上還剩1250元。他原有存款多少元？【分析】從上面那個“重新包裝”的事例中，我們應(yīng)受到啟發(fā)：要想還原，就得反過來做（倒推）。由“第二次取余下的一半多100元”可知，“余下的一半少100元”是1250元，從而“余下的一半”是1250+100=1350（元）余下的錢（余下一半錢的2倍）是：1350X2=2700（元）用同樣道理可算出“存款的一半”和“原有存款”。綜合算式是：［（1250+100）X2+50］X2=5500（元）還原問題的一般特點是：已知對某個數(shù)按照一定的順序施行四則運算的結(jié)果，或把一定數(shù)量的物品增加或減少的結(jié)果，要求最初（運算前或增減變化前）的數(shù)量。解還原問題，通常應(yīng)當(dāng)按照與運算或增減變化相反的順序，進行相應(yīng)的逆運算?！纠?】有26塊磚，兄弟2人爭著去挑，弟弟搶在前面，剛擺好磚，哥哥趕來了。哥哥看弟弟挑得太多，就拿來一半給自己。弟弟覺得自己能行，又從哥哥那里拿來一半。哥哥不讓，弟弟只好給哥哥5塊，這樣哥哥比弟弟多挑2塊。問最初弟弟準備挑多少塊？【分析】我們得先算出最后哥哥、弟弟各挑多少塊。只要解一個“和差問題”就知道：哥哥挑“（26+2）^2=14”塊，弟弟挑“26-14=12”塊。提示：解還原問題所作的相應(yīng)的“逆運算”是指：加法用減法還原，減法用加法還原，乘法用除法還原，除法用乘法還原，并且原來是加（減）幾，還原時應(yīng)為減（加）幾，原來是乘（除）以幾，還原時應(yīng)為除（乘）以幾。對于一些比較復(fù)雜的還原問題，要學(xué)會列表，借助表格倒推，既能理清數(shù)量關(guān)系，又便于驗算。八、雞兔同籠問題例1雞兔同籠，頭共46，足共128，雞兔各幾只？［分析］:如果46只都是兔，一共應(yīng)有4X46=184只腳，這和已知的128只腳相比多了184-128=56只腳.如果用一只雞來置換一只兔，就要減少4-2=2（只）腳.那么，46只兔里應(yīng)該換進幾只雞才能使56只腳的差數(shù)就沒有了呢？顯然，56^2=28，只要用28只雞去置換28只兔就行了?所以，雞的只數(shù)就是28,兔的只數(shù)是46-28=18。解：①雞有多少只？（4X6T28）F（4-2）=（184-128）^2=56^2=28（只）免有多少只？46-28=18（只）答：雞有28只，免有18只。例2雞與兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少只？［分析］：這個例題與前面例題是有區(qū)別的，沒有給出它們腳數(shù)的總和，而是給出了它們腳數(shù)的差?這又如何解答呢？假設(shè)100只全是雞，那么腳的總數(shù)是2X100=200（只）這時兔的腳數(shù)為0,雞腳比兔腳多200只，而實際上雞腳比兔腳多80只.因此，雞腳與兔腳的差數(shù)比已知多了（200-80）=120（只），這是因為把其中的兔換成了雞.每把一只兔換成雞，雞的腳數(shù)將增加2只，兔的腳數(shù)減少4只.那么，雞腳與兔腳的差數(shù)增加（2+4）=6（只）所以換成雞的兔子有120^6=20（只）?有雞（100-20）=80（只）。解：（2X100-80）^（2+4）=20（只）。100-20=80（只）。答：雞與兔分別有80只和20只。例3紅英小學(xué)三年級有3個班共135人，二班比一班多5人，三班比二班少7人，三個班各有多少人？［分析1］我們設(shè)想，如果條件中三個班人數(shù)同樣多，那么，要求每班有多少人就很容易了.由此得到啟示，是否可以通過假設(shè)三個班人數(shù)同樣多來分析求解。結(jié)合下圖可以想，假設(shè)二班、三班人數(shù)和一班人數(shù)相同，以一班為標(biāo)準，則二班人數(shù)要比實際人數(shù)少5人.三班人數(shù)要比實際人數(shù)多7-5=2（人）.那么，請你算一算，假設(shè)二班、三班人數(shù)和一班人數(shù)同樣多，三個班總?cè)藬?shù)應(yīng)該是多少？解法1：一班：［135-5+（7-5）］F3=132F3=44（人）二班：44+5=49（人）三班：49-7=42（人）答：三年級一班、二班、三班分別有44人、49人和42人。［分析2］假設(shè)一、三班人數(shù)和二班人數(shù)同樣多，那么，一班人數(shù)比實際要多5人，而三班要比實際人數(shù)多7人.這時的總?cè)藬?shù)又該是多少？解法2：（135+5+7）^3=147F3=49（人）49-5=44（人），49-7=42（人）答：三年級一班、二班、三班分別有44人、49人和42人。例4劉老師帶了41名同學(xué)去北海公園劃