一元二次方程知識點

第23章知識點?1.一元二次方程的定義（重點），要求:會判斷某個方程是否為一元二次方程;一元二次方程的一般形式為:ax2+bx+c=0,a^^會確定方程的各項系數(shù)會將一個一元二次方程化為一般形式，并指出各項系數(shù);會求某個一元二次方程成立的條件;知道方程的一個根，會求方程中相關(guān)字母的值.?2.解一元二次方程的方法共有四種方法:直接開平方法;因式分解法;（3）配方法;（4）公式法.3.直接開平方法適用于解形如x2=b,（mx+a）=b的方程，如果b>0,就可以利用直接開平方法來解.4.因式分解法適用于將方程化為一般形式后左邊能進(jìn)行因式分解的方程，具體方法是:將方程化為一般形式;將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積;令每一個因式等于0，就得到兩個一元一次方程;解兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.?5.配方法本方法需要與直接開平方法共同求解，具體方法是:將方程化為一般形式;方程兩邊同時除以二次項系數(shù)，把

二次項系數(shù)化為1;移項:把常數(shù)項移到方程的右邊;配方:在方程兩邊各加上一次項系數(shù)一半的平方，使左邊成為完全平方式.求解:如果方程的右邊整理后是非負(fù)數(shù)，就可以用直接開平方法求解，若右邊是負(fù)數(shù)，則表示原方程無解.注意:使用本方法一定要將方程的二次項系數(shù)化為1.舉例:二次項系數(shù)化為“1”后，直接進(jìn)行配方，如下x2x2+px+2=-q+■6.公式法使用本方法時要將方程化為一般形式，確定各項系數(shù).具體方法是:(1)一化:將方程化為一般形式；(2)二定：確定a,b,c的值及A=b2-4ac的值；(3)三判:根據(jù)a判斷方程是否有解①若A=b2-4ac>0，則方程有兩個實數(shù)解；②若A=b2-4ac<0,則方程無解.(4)四代:將各項系數(shù)代入求根公式，卡主日八一以I-b士b2-4以求根公式為X二j2a?7.另一種方法:換元法本方法常常用來求解高次方程，通過換元來達(dá)到求解的目的.此類題目如：例1.解方程X4-X2-6=0［分析］本題可設(shè)m=x2,從而原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的一元二次方程m2-m—6—0,通過求解m來達(dá)到求解x的目的.(例2.解方程X+V_2［分析］本題可設(shè)m=X+〒.從而原方程轉(zhuǎn)化為Xm2-m-1=0?8.根的判別式A=b2-.判別式a=b2FW號與一元二次方程的解有關(guān):當(dāng)A=b2-4ac三0時，方程有兩個實數(shù)根；當(dāng)A=b2-4ac<0時，方程無解(即無實數(shù)根).當(dāng)A=b2-4ac〉0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)A=b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根.?9.韋達(dá)定理韋達(dá)定理反映了一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系.若元二次方程>x+c=0(a中0)的兩根分別為x,x,則有12bx+x=-(1)i2a；X?X=⑵i2a?10.典型例題例1.已知(a2+b2-3)Ca2+b2+1)=12,求a2+b2的值.

［分析］這里可設(shè)m=a2+b2,原方程化為(m-3)m+1)=12,展開整理得m2-2m-15=0.例2.先用配方法說明:不論x取何值，代數(shù)式x2-6x+10的值總大于0，再求出當(dāng)x取何值時，此代數(shù)式的值最小，最小值為多少?［分析］代數(shù)式x2-6x+10配方后為：(x-3)+1,V(x-3)>0,「.(x-3)+1〉0,即代數(shù)式的值大于0.例3.已知關(guān)于x的方程2x2-4x+3q=0的一個根是1-、2,求它的另一個根及q的值.［分析］知道方程的一個根求另一個根，使用韋達(dá)定理，這里可設(shè)另一個根為m，根據(jù)韋達(dá)定理則有出m和韋達(dá)定理則有出m和q的值.mG-2)=7即可求例4.學(xué)校計劃用地面磚鋪設(shè)教學(xué)樓前矩形廣場的地面ABCD,已知廣場的長為100m,寬為80m,圖案設(shè)計如下圖所示:廣場的四個角為正方形，陰影部分為四個矩形，陰影部分鋪綠色地面磚，其余部分鋪白色地面磚.要使鋪白色地面磚的面積為5200平方米，那么小正方形的邊長為多少米？如果鋪白色地面磚的費用為30元每平方米，鋪綠色地面磚的費用為20元每平方米，當(dāng)小正方形的邊長為多少時，鋪廣場地面的總費用最少？最少費用是多少？AD例5.已知x,x是一元二次方程2x2—2x+1-3m=0的兩個實數(shù)根，且x,x滿足不等式xx+2（x+x）＞0,求實數(shù)m的取值范圍.12■11.平均增長率問題b=a（1+x）n平均增