天津市濱海新區(qū)七所重點學(xué)校2022年高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。125601xy之間的一組數(shù)據(jù)：xx1234ym3.24.87.5若y關(guān)于x的線性回歸方程為y0.25，則m的值為（ ）A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.5x∈（0

a lnx

1ln

c

a b c若

，，＝

，＝2 ，＝

的大小關(guān)系為（ ） A．b＞c＞a B．c＞b＞a

C．a(chǎn)＞b＞c D．b＞a＞c已知雙曲線Cx2y210,b0FF

P為雙曲線C上一點，QC漸近a2 b2 1 2PQ均位于第一象限，且

，QF13132 1313

QF2

0，則雙曲線C的離心率為（ ）33A． 1 B．33

1 C．

2 D． 2已知橢

x2y2a2 b2

x2y2a2 b2

的焦點相同則雙曲線漸近線方程（ ）23A．y x332C．y x22

B．y 3xD．y 2x

x

Rx

0,

x

是單調(diào)遞減函數(shù)，則f

log

15，flog ，flog5

3的大小關(guān)系是（ ）

2 35 1 1A．flog f3f5 B．flog f5f3 35 5 2 35 2 5C．f3flog1f5 D．f5flog1f35 35 2 2 35 56M

,（nN*，若集合Aa,a1 2

M，且對任意的bM，存在使得bai

aj

，其中a,ai j

A，1ij2AM的基底下列集合中能作為集合M的基底的是（ ）

B．

C．2,3

D．2,4如圖，在

M是邊

的中點，將

沿著AM翻折成 ，且點不在平面

內(nèi)，點是線段 上一點若二面角

與二面角

的平面角相等，則直線 經(jīng)過

的（ ）A．重心 B．垂心 C．內(nèi)心 D．外心xy1

x,

xx2y2xy1

，則2x3y

的最大值為（ ）1

C．3 D．2已知數(shù)列A．

滿足 ，且B．

，則數(shù)列D．

的通項公式為（）已知正項等比數(shù)列

的前nS

1,

7，則aa

a的最小值為（ ）n n 2 9 3 274 4 4

12 n4A．( )2

B．( )3

C．( )4

D．( )527 27已知全集A． B．

27 27， ，則 （）C． D．fx

ex,xf2x1fxm40(mR)有四個相異的實數(shù)根m的取值范x圍是( )A．4,e

4 e1

B．4,3

C．e

4e1

,3

D．e

4e1

, 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。x2雙曲線a2

y2b2

1a0,b0的左焦點為F1

點A5點P為雙曲線右支上的動點且APF周1長的最小值為8，則雙曲線的實軸長，離心率為 .14．農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習(xí)慣，粽子又稱粽籺，俗粽子”，古稱角黍”，是端午節(jié)大家都會嘗的食品，傳說這是為了紀念戰(zhàn)國時期楚國大臣、愛國主義詩人屈如圖，平行四邊形形狀的紙片是由六個邊長為的正三角形構(gòu)成的，將它沿虛線折起來，可以得到如圖所示粽子形狀的六面體，則該六面體的體積；若該六面體內(nèi)有一球，則該球體積的最大值．x2已知雙曲線a2

y2b2

b0)的左右焦點分別關(guān)于兩漸近線對稱點重合，則雙曲線的離心率 在ABC 中，內(nèi)角C的對邊長分別為、、c，已知a2c2，且sinAcosC3cosAsinC，則b ．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）某企業(yè)質(zhì)量檢驗員為了檢測生產(chǎn)線上零件的質(zhì)量情況，從生產(chǎn)線上隨機抽取了80所測量的零件尺寸（m，得到如下的頻率分布直方圖：根據(jù)頻率分布直方圖，求這80個零件尺寸的中位數(shù)（結(jié)果精確到0.01；若從這80個零件中尺寸位于之外的零件中隨機抽取4X表示尺寸在上的零件個數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX；已知尺寸在63.0,64.5 上的零件為一等品，否則為二等品，將這80個零件尺寸的樣本頻率視為概.現(xiàn)對生產(chǎn)線上生產(chǎn)的零件進行成箱包裝出售，每箱100個.企業(yè)在交付買家之前需要決策是否對每箱的所有零件進行檢驗，已知每個零件的檢驗費用為99元.企業(yè)要向買家對每個二等品支付500元的賠償費用現(xiàn)對一箱零件隨機抽檢了11個，結(jié)果有1個二等品，以整箱檢驗費.18（12分）已知數(shù)列an

}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列(nN*)a1

2，且2a1

，3

成等差數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列{a}的通項公式；n（Ⅱ）設(shè)bn

log2

a，n

為數(shù)列{bn

}的前n項和，記Tn

11S S1

1S3

1，證明：1 TS n

2．x2t19（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為y

1 （t為參數(shù)，以原點O為極點，x軸的正半t22軸為極軸建立極坐標系，直線l極坐標方程為cos 2.若直線l交曲線C于A，

兩點，求線段AB的長.4 B4 20（12分）已知兩數(shù)f(x)lnxkx．當kf(x的極值點；當k0時，若f(x)ba 0(a,bR)恒成立，求ea1b1的最大值．x21（12分）某公園有一塊邊長為3百米的正三角形ABC卉方案是：先建造一條直道DE將ABC分成面積之比為2:1的兩部分（點E分別在邊AB，AC上；再取DEMAM（如圖）.ADxDEy1

，AMy2

（單位：百米）.y1

yx的函數(shù)關(guān)系式；2D.x34t 22（10分）在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)）以坐標原點為極點， y 2 軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為22cos80.求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；若點p是直線l的一點，過點p作曲線C的切線，切點為Q，求PQ的最小值.參考答案125601、D【解析】利用表格中的數(shù)據(jù)，可求解得到x2.5,代入回歸方程，可得y5，再結(jié)合表格數(shù)據(jù)，即得解.【詳解】利用表格中數(shù)據(jù)，可得x2.5,又y2.1x0.25,y5，m3.24.87.520．解得m4.5故選：D【點睛】2、A【解析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解．【詳解】∵∈（，，∴a＝lnx＜0，b＝（

1 1）lnx＞（）0＝1，2 20＜c＝elnx＜e0＝1，∴a，b，c故選：A．【點睛】本題考查三個數(shù)的大小的判斷，考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．3、D【解析】由雙曲線的方程

x2y2

1F

，P為雙曲線C上的一點，Q為雙曲線C的漸近線上的一點，a2 b2 1 2且P,Q都位于第一象限，且2QPPF

,QF2

QF2

0，可知P為QF2

的三等分點，且QFQFQF,點Q在直線bxay0上，并且OQc，則Q(a,b)，F(xiàn)2

(c,0)，P(xy2(xayb(cxy，1 1 1 1 1 12ac 2ac

,y ，即P( , )，131 3 13

3 3 3(2ac)2 1代入雙曲線的方程可得 4a2 4

1，解得eca

2D．點睛：本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，離心率的求法，考查了轉(zhuǎn)化思想以及運算能力，雙曲線的離心率是雙曲線最重ac，代入公式ec；②只需要a根據(jù)一個條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式，轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e(e的取值范圍)．4、A【解析】由題意可得2a22b2a2b2，即a2【詳解】

3b2，代入雙曲線的漸近線方程可得答案.x2 y2

x2 y2 1

x2y21(a0,b0)依題意橢圓 a2 b2

1(ab0)與雙曲線 a2

(a0,b0)即a2 b2 的焦點相同，可b2 22 2a2b2

1a2 b2，12 2123b233b 3a2

3b2，∴a

，可得232

a 3,2b2雙曲線的漸近線方程為：y

3x x,32a 32故選：A．【點睛】5、D【解析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得log5log5log3fx.2 3 5【詳解】因為log5log310log1log3log51，3 3 5 5 5故log5log30.3 5又log5log42log9log50，故log5log5log3.2 2 3 3 2 3 5x0,fx是單調(diào)遞減函數(shù)，所以flog2

5f3

5f5

3.

x

f

135

log3

5

log3

5，

log5flog1flog

3.2 35 5D.【點睛】本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性在大小比較中的應(yīng)用，比較大小時注意選擇合適的中間數(shù)來傳遞不等關(guān)系，本題屬于中檔題.6、C【解析】根據(jù)題目中的基底定義求解.【詳解】因為1213，21203，30213，41212，51213，61313，所以M故選：C【點睛】7、A【解析】根據(jù)題意到兩個平面的距離相等，根據(jù)等體積法得到

，得到答案.【詳解】二面角與二面角的平面角相等，故到兩個平面的距離相等.故故 ，故，即為 中點.，兩三棱錐高相等，故 ，故選：.【點睛】本題考查了二面角，等體積法，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.8、C【解析】作出可行域，直線目標函數(shù)對應(yīng)的直線l，平移該直線可得最優(yōu)解．【詳解】作出可行域，如圖由射線AB，線段AC，射線CD 圍成的陰影部分（含邊界，作直線l:2x3y40，平移直線l，當l過點C(1,1)z2x3y4故選：C．【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，解題關(guān)鍵是作出可行域，本題要注意可行域不是一個封閉圖形．9、D【解析】試題分析：因為公比為的等比數(shù)列，所以，所以，即，即，所以數(shù)列，所以數(shù)列是以的通項公式是為首項，，故選D．考點：數(shù)列的通項公式．10、D【解析】由S 2

1,S 9 3

727

的通項公式an

27

1n5n

1n6an

1，從而可知aa12

a的最小值為aan 1

aaa34

，求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列n的公比為q，則q0， 41aq2 2714

a1

SS

aq ，解得1

27，3 3

27 1 1

q2得a n

2n1.27

q0當1n5時，a 1；當n6時，a 1，n n4則aa12

a的最小值為aan 1

aaa345

(a3

)5(

)5.27D.【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式的求法，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于中檔題.11、C【解析】先求出集合U，再根據(jù)補集的定義求出結(jié)果即可．【詳解】由題意得 ，∵ ，∴ ．C．【點睛】本題考查集合補集的運算，求解的關(guān)鍵是正確求出集合和熟悉補集的定義，屬于簡單題．12、A【解析】exf x = f x =

,x

,當x0時fx

ex

x1

0,x1,x0,1時,fxx時,fxx ex x

,x0 x2單調(diào)遞增x,fxe,,x,fxe,,x0xexx10恒x2x,0時,fxfx0,,f2x1fxm40(mR)有四個相異的實數(shù)根fxt,t2m40則0t1

e,t2

e,e21em400210m40,m4,e

4 e1.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2 2【解析】

2,0，根據(jù)APF周長為PF

PA

AF

2a3，計算得到答案.2 1 1 1 2【詳解】x2 y2設(shè)雙曲線a2 b2

1a0,b0F2

2,0.APFPFPAAFPF2aPA3

2a362a8.1 1 1 2 2APF2

共線時等號成立，故a1，即實軸長為2a2，e

c2.a22.【點睛】本題考查雙曲線周長的最值問題，離心率，實軸長，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.28 628 66 729【解析】(1)先算出正四面體的體積，六面體的體積是正四面體體積的2倍，即可得出該六面體的體積；(2)由圖形的對稱性得,小球的體積要達到最大,即球與六個面都相切時，求出球的半徑，再代入球的體積公式可得答案.【詳解】

331 33S21

2

，由對稱性可知該六面是由兩個正四面合成的，4 132313236362可求出該四面體的高為

，故四面體體積為 ，3 3 4 3 122因此該六面體體積是正四面體的2倍，所以六面體體積是 ；26由圖形的對稱性得，小球的體積要達到最大，即球與六個面都相切時，由于圖像的對稱性，內(nèi)部的小球要是體積最大，就是球要和六個面相切，68 6連接球心和五個頂點，把六面體分成了六個三棱錐設(shè)球的半徑為R，68 6231 23

33所以 6 36

R R4

，所以球的體積V R369 3 396

.729故答案為：6【點睛】

； .28 628 6本題考查由平面圖形折成空間幾何體、考查空間幾何體的的表面積、體積計算，考查邏輯推理能力和空間想象能力求解球的體積關(guān)鍵是判斷在什么情況下，其體積達到最大，考查運算求解能力.215、2【解析】x2a2

y20,b0)1，即ba，b2即可求出雙曲線的離心率．【詳解】x2a2

y21(a0,b0)的左右焦點分別關(guān)于兩條漸近線的對稱點重合，b2一條漸近線的斜率為1，即ba，2c 2a，ec ，2a2故答案為： ．2【點睛】116、4【解析】∵sinAcosC3cosAsinCa2b2c2 b2c2a2∴根據(jù)正弦定理與余弦定理可得：a 3 c，即2c22a2b22ab 2bc∵a2c2∴b2∵∴b4故答案為4三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（）63.47（）分布列見詳解，期望為16（）.7【解析】計算62.0,63.0,63.0,63.50.5計算位于62.5,64.5之外的零件中隨機抽取4X..【詳解】（1）尺寸在62.0,63.0的頻率：0.50.0750.2250.15尺寸在63.0,63.50.50.750且0.150.50.150.375所以可知尺寸的中位數(shù)落在63.0,63.5假設(shè)尺寸中位數(shù)為x所以0.15x63.00.7500.5x63.47所以這80個零件尺寸的中位數(shù)63.47（2）尺寸在62.0,62.5的個數(shù)為800.0750.5尺寸在的個數(shù)為800.1000.54X的所有可能取值為1，2，3，4 C1C3 4 C2C2 18則P X1 4 3 ，P X2 4 3C4 35 C4 357 7 C3C1 12 C4 1P X3 4 3 ，P X4 4C4 35 C4 357 7X123X1234P41812135353535EX14218312411635 35 35 35 7（3）二等品的概率為0.50.0750.2250.1000.2如果對余下的零件進行檢驗則整箱的檢驗費用為P100999900（元）1余下二等品的個數(shù)期望值為890.2如果不對余下的零件進行檢驗，整箱檢驗費用與賠償費用之和的期望值為P119950017.89989（元）2P1

P.2【點睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，掌握中位數(shù)，平均數(shù)，眾數(shù)的計算方法，中位數(shù)的理解應(yīng)該從中位數(shù)開始左右兩邊的頻率各為0.5，考驗分析能力以及數(shù)據(jù)處理，屬中檔題.18（Ⅰ）an

2n，nN*（Ⅱ）見解析【解析】（Ⅰ）由a1

22aa1 3

,3a2

成等差數(shù)列，可求得q，從而可得本題答案；（Ⅱ）化簡求得bn【詳解】

，然后求得

1S ，再用裂項相消法求n

，即可得到本題答案.（Ⅰ）因為數(shù)列

是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列N

2qq0，2a,a1

,3a2

n 1成等差數(shù)列，所以2a3

2a13a2

，即22q2432q，22qq

（舍去，則a

aqn11

2n，nN*；（Ⅱ）證明：bn

loga2

log2n2

n，S 1n(n1)，1

2 21 1 n 2 Sn

n(n1) n n1則T

11

1

12(11111

1 )2(1 1 )，n S S S1 2 3

S 2 2 3 n n1 n1n1 1 1 1 因為0

，所以

21 2即1Tn

n1 2 2.

n1【點睛】本題主要考查等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，以及用裂項相消法求和并證明不等式，考查學(xué)生的運算求解能力和推理證明能力.19、16【解析】2由coscoscossinsin ，化簡得cossin2，由xcos,ysin，所2 44 44 x2t以直線l的直角坐標方程為xy2，因為曲線C的參數(shù)方程為 1

x2

8y，直線l的方程與曲線Cxy2的方程聯(lián)立，

x28x160

Ax,y

y2tBx,y

x8,x

，根據(jù)弦長公式求解即可.

x2

8y

1 1 2 2 1 12【詳解】2coscoscossinsin2

，化簡得cossin2，44 44 又因為xcos,ysin，所以直線l的直角坐標方程為xy2，x2t因為曲線C的參數(shù)方程為 1

，消去tx2

8y，y2t2xy2將直線l的方程與曲線C的方程聯(lián)立，x2

8y

yx28x160，Ax,

Bx,

x8,x

16，1 1 2 2 1 12xx2xx2yy21 2 1 2xx2xx21 2 1 22 xx24xx1 2 12將xx8,xx1 1

16AB16.【點睛】20（）唯一的極大值點1（）1【解析】f(x0的解，確定此解兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的正負，確定極值點；問題可變形為a lnxb恒成立，由導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)ylnxb

的最小值，b0ylnxb

無最小值，因x x x此只有b0，從而得出ab的不等關(guān)系，得出所求最大值．【詳解】（）f(x)定義域為(0,)，當k1時，f(x)lnxx,f(x)11，xf(x0x1f(x0,0xf(x0,x1f(x在(0,1)上單調(diào)遞增，在f(xx1，無極小值點．（2）當k0f(xbalnxba．x x若f(x)ba 0,(a,bR)恒成立，則lnxba 0(a,bR)恒成立，x x所以a lnxb恒成立，xylnxby

xb

，由題意b0，函數(shù)在(0,b)上單調(diào)遞減，在(b,)上單調(diào)遞增，x x2所以a lnb1，所以a1 lnb所以ea1 b，所以ea1b11，故eab11．【點睛】f(x0x0

不一定是極值點，還需滿足在x0

兩側(cè)f(x)的符號相反．不等式恒成立深深轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，這里分離參數(shù)法起關(guān)鍵作用．21（1）y1

，x2,3.y x2x2366x2x2934x22

，x2,3.（2）AD

6百米時，兩條直道的長度之和取得最小值6

63 2百米.63 22 【解析】由S

ADE

S22

AE.ADEy1

關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；在ADE和AEM中，利用余弦定理，可得y2

關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.方法二：在ADE中，可得DEAEAD，則有1 DE

AE

2AEADAD2，化簡整理即得；同理AM

ADAE 由和基本不等式，計算即得.SADE23SADE23

SABC

3ADx，1 21 6 ADAEsin 2 3

3232sin

3，AEx.0ADx3由0AE

6x

，得2x3.1：在ADE中，由余弦定理，得DE2AD2AE22ADAEcos3

x2

366.x2x2366x2故直道DE長度y1

xy1

，x2,3.ADE中，由余弦定理，得①AD2DM2AM22DMAMcosAMD①AE2EM2AM22EMAMcosAMD ②1MDEDMEM

DE.21AD2AE