概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四章-隨機(jī)變量的數(shù)字特征精品教案

實(shí)用文檔用心整理機(jī)變量的常見數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)．4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望4.1.1離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為引入數(shù)學(xué)期望的概念，先看如下例子：一名射手在n20次射擊的成績(jī)?nèi)缦卤恚?-實(shí)用文檔用心整理中靶環(huán)數(shù)610xi頻21ni12123321221頻i2020202020202020202020則在這20次射擊中的平均中靶環(huán)數(shù)為xn1221iixxf01L9i0niii0nx就會(huì)很接近于這個(gè)真實(shí)值。n我們知道，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)，頻率f的穩(wěn)定值就是概率p．因此，ii完整描述射手平均中靶環(huán)數(shù)的量應(yīng)當(dāng)是，稱之為中靶環(huán)數(shù)的數(shù)學(xué)期xpiii0望，其中p是射手命中ii環(huán)的概率．一般地，有如下定義：i定義1設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為-57-實(shí)用文檔用心整理{Xx}p,i1,2,L,ii若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱級(jí)數(shù)的和為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望或Xxpxpiiiii1i1均值，簡(jiǎn)稱期望，記為，即E(X)(4.1)E(X)xpiii1否則，稱隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望不存在．(4.1)式是隨機(jī)變量X的取值x以它i的概率為權(quán)的加權(quán)平均，它反映了隨機(jī)變量X的平均取值，因此我們也稱隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)為隨機(jī)變量X的均值．若把x,x,L,x,L看成x軸上質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，而p,p,L,p,L看成相應(yīng)質(zhì)12i12i點(diǎn)的質(zhì)量，質(zhì)量總和=1，則(4.1)式就表示質(zhì)點(diǎn)系的重心坐標(biāo)．pii1例1甲、乙兩隊(duì)“比賽”，甲隊(duì)贏的概率為0.6，輸?shù)母怕蕿?.4，并且甲隊(duì)每贏一次得3分，每輸一次扣1分。以X表示甲隊(duì)得分值，求E(X)．解X的分布列為X13--實(shí)用文檔用心整理由(4.1)式易知E(X)13.即甲隊(duì)平均每次可得1.4分．例28點(diǎn)至9點(diǎn)和9點(diǎn)至10點(diǎn)都恰有一輛到站，各車到站的時(shí)刻是隨機(jī)的，且各車到站的時(shí)間是相互獨(dú)立的，其規(guī)律為8:50/9:500.4某乘客8:20到站，求他候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望．解設(shè)乘客的候車時(shí)間為X8:20到車站，而8點(diǎn)到9點(diǎn)的一趟車已于8:109:1050min，對(duì)應(yīng)的概率為事件“第一趟車8:10開走，且第二趟9:10開”發(fā)生的概率，即{X50}0.20.20.04．該乘客其余候車時(shí)間對(duì)應(yīng)的概率可類似得到。于是候車時(shí)間X的分布列為-59-實(shí)用文檔用心整理X0.40.040.080.08p從而該乘客候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望為E(X)1030507090例3設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布表為.YXXY求隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望．XY解由(X,Y)的聯(lián)合分布律可得關(guān)于、的邊緣分布分別為XY--實(shí)用文檔用心整理P3/85311313于是有E(X)12，EY)1232.888848XYXY(,)的聯(lián)事實(shí)上，我們不需要先求關(guān)于、的邊緣分布，可以直接由XY合分布律求和的數(shù)學(xué)期望．為此，我們給出如下定理：定理1設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布為{Xx,Yy}p,i,j1,2,Lijij則yp,．(4.2)E(X)xpiEY)ijjiji1j1i1j1X證關(guān)于的邊緣分布為{Xx}p,i1,2,L，ij1于是有xp，E(X)x{Xx}x(p)iiiii1i1j1i1j1-61-實(shí)用文檔用心整理同理可得yp．EY)yYy}y(p)jjjjj1j1i1i1j14.1.2連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望X若Xf(x)落入(x,xdx)內(nèi)的概率可近似地表示為f(x)dx，所以，連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望可以定義如下：定義2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)(x)dx絕對(duì)收斂，則稱積分(x)dx的值為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望或均值，簡(jiǎn)稱期望，記為E(X)，即(4.3)E(X)(x)dxX否則，稱隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望不存在．x設(shè)在軸上連續(xù)分布著質(zhì)量，其線密度為f(x)，則由(x)dx(x)dxf(x)dx可知E(X)的物理意義是質(zhì)量密度為f(x)的一維連續(xù)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)--實(shí)用文檔用心整理心的坐標(biāo)．例4設(shè)隨機(jī)變量X服從柯西分布,其密度函數(shù)為1f(x),-xx)2X試證的數(shù)學(xué)期望不存在．證因?yàn)?xxf(x)dxdx2dxxx)(1x)2201x)20即xf(x)dx不收斂，所以E(X)不存在．X例5（單位：min）是一個(gè)隨機(jī)變量，概率密度函數(shù)為/(1500),0≤≤1500x2xf(x)(3000x)/(1500),1500x3000其它20,-63-實(shí)用文檔用心整理X求的數(shù)學(xué)期望．解由已知可得1500xf(x)dxx3000-xE(X)xdx3000xdx1500215002015001500xx/3x3233500200010001500.例6設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度函數(shù)為2xy,0≤x≤1,0≤y≤1f(x,y)0,其它EXEY求（（XY解關(guān)于、的邊緣概率密度函數(shù)分別為32f(x)Xf(x,y)dyf(x,y)dx1(2xy)dyx(0≤x≤1)，032f(y)Y1(2xy)dxy(0≤y≤1)．0--實(shí)用文檔用心整理于是有33xx10523，E(X)x(x)dx1243033yy1523．EY)y(-y)dy1-24300XY類似于二維離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，我們不必先求關(guān)于、的邊緣概率密度函數(shù)，可以直接由(X,Y)的概率密度求和的數(shù)學(xué)期望．XY定理2設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(,)的概率密度函數(shù)為(,)，則有XYfxyY)(x,y)ddy．(4.4)E(X)(,d,ExyxyXY證關(guān)于、的邊緣概率密度函數(shù)分別為，()(,,fxyxf(x)(,fxyyfyXY于是有fxyyxxyxy，．E(X)xxX([(,(,dx[(,(,dyEY)yyy(fxyxyxyxy-65-實(shí)用文檔用心整理4.1.3隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望在實(shí)際問題中，常常需要求出隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，例如Yg(X)，XY．我們可以由的分布求出的分布，然后再計(jì)算EY)．但是，求要求EY)YY的分布，可以直接由的分布來求EY)．X定理3設(shè)X是隨機(jī)變量，Yg(X)是X的連續(xù)函數(shù)，則有(1)若X為離散型變量，其概率函數(shù)為{PXxpk},1,2,L,如果級(jí)kk數(shù)絕對(duì)收斂，則有g(shù)(x)pkkk1(4.5)EY)E[g(X)]g(x)p.kkk12)若X為連續(xù)型變量,其密度函數(shù)為f(x)g(x)f(x)dx絕對(duì)收斂，則有(4.6)g(x)f(x)dx.E(Y)E[g(X)]這個(gè)定理還可以推廣到兩個(gè)或多個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的情況．設(shè)Zg(X,Y)是隨機(jī)變量X,Y的連續(xù)函數(shù)，則Z也是一個(gè)隨機(jī)變量．若--實(shí)用文檔用心整理(X,Y)為離散型隨機(jī)變量，且其聯(lián)合分布律為{Xx,Yy}p,i,j1,2L,iiij如果絕對(duì)收斂，則有g(shù)(x,y)piiiji1j1(4.7)E(Z)E[g(X,Yg(x,y)p.iiiji1j1若(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)變量，且其概率密度函數(shù)為f(x,y)，如果絕對(duì)收斂，則有(,)(,)ddgxyfxyxy(4.8)E(Z)E[g(X,Y)](,)(,)dd.gxyfxyxy例7設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為,p的二項(xiàng)分布，Xe2X,求EY)．Y解因?yàn)?，分布律為X~B(,p){Xk}Cpq,k0,1,2,L,n,kknkn所以nnEY)E)eCpqC(pe)q(peq)，2X2kkknkk2knk2nnnk0k0-67-實(shí)用文檔用心整理其中．pq1例8設(shè)隨機(jī)變量X在YsinX的數(shù)學(xué)期望.1,0f(x)X解因?yàn)?XU(0,),所以X其他0,12EYsinxf(x)dxsinx.X0例9設(shè)二維隨機(jī)變量X,Y的聯(lián)合分布律為YX38381818求,,EXEYE.解--實(shí)用文檔用心整理33113xp101110330303,82EX888iij13313yp000110220303,82EY888iij338EXYxyp10011128ijijij1191303031032033.884例10設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為xy,0≤x≤1,0≤y≤1,f(x,y)0,其它.求E()，E(X-Y).213解E()(x,yxdy,11(xyy00E(X-Y)(-)(,dxyfxyxy2216.11(x-y)(xyy11(x--yy22230000例11設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為-69-實(shí)用文檔用心整理13y0x0y2xf(x,y)4其它.求((()和EXEYEEX2Y().211xx144解E(X)213)ddyxy2xdx13)d,yy22244300001145d3)d,xxyEY)21(13)ddyxyxy21yy224800001xyx145E(XY)213)ddyxy2xd1xy3)d,yy2224600001(XY)21(xy)x3y)dyE222224001414372xdx13y)dy2dx1y(13y)dy.3222150000X例12設(shè)國(guó)際市場(chǎng)上每年對(duì)我國(guó)某種出口農(nóng)產(chǎn)品的需求量(單位：t)是隨機(jī)變量，它服從[1200，3000]上的均勻分布．若售出這種農(nóng)產(chǎn)品1t，可賺2萬(wàn)元，但若銷售不出去，則每噸需付倉(cāng)庫(kù)保管費(fèi)1萬(wàn)元，問每年應(yīng)準(zhǔn)備多少噸產(chǎn)品才可得到最大利潤(rùn)?y解設(shè)每年準(zhǔn)備該種商品噸，則利潤(rùn)為y--實(shí)用文檔用心整理2y,X≥y,2y,X≥y,3Xy,Xy.Yg(X)2X(yX),Xy.于是由2y,x≥y,g(x)3xy,xy.1，1200≤x≤3000,f(x)1800，其它.得到平均利潤(rùn)為11EY)g(x)x[(3xy)dx2dx]y18001800y13y7200y2160000)(2,18002當(dāng)y=2400時(shí)，EY)取到最大值，故每年準(zhǔn)備此種商品2400t，可使平均利潤(rùn)達(dá)到最大．4.1.4數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)在下面的討論中，假設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望存在．僅對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量-71-實(shí)用文檔用心整理的情形給出性質(zhì)的證明．CECC性質(zhì)1設(shè)為常數(shù)，則有()=．CPXC證可將看成離散型隨機(jī)變量，分布律為{=}=1，故由定義即得ECC()=．CXEX性質(zhì)2設(shè)為常數(shù)，為隨機(jī)變量，則有()=(X證設(shè)的密度函數(shù)為f(x)，則有E)(x)dxC(x)dx(X性質(zhì)3設(shè)X,Y為任意兩個(gè)隨機(jī)變量，都有E(XY)E(X)EY)．證設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為f(x,y)，邊緣密度函數(shù)分別為f(x)和f(y)，則XYE(XY)(xy)f(x,yy(x,y)ddy(x,ydy(xx(yyE(X)EY)．XY--實(shí)用文檔用心整理這一性質(zhì)可以推廣到任意有限多個(gè)隨機(jī)變量之和的情形，即E(XXLX)E(X)E(X)LE(X)．12n12n一般地，隨機(jī)變量線性組合的數(shù)學(xué)期望，等于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的線性組合，即E(kXkXLkX)kE(X)kE(X)LkE(X)，(4.9)1122nn11222n其中k,k,L,k為常數(shù)．12n性質(zhì)4設(shè)X,Y相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有E()E(X)EY)．(4.10)XY相互獨(dú)立，故其聯(lián)合密度函數(shù)與邊緣密度函數(shù)滿足證因?yàn)榕cf(x,y)f(x)f(y)，所以XYxfyxy()(dE()(x,y)dyXYxxyyEXEY((=()()．XY-73-實(shí)用文檔用心整理X,X,L,X為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有12nE(XXLX)E(X)E(X)LE(X).(4.11)12n12n例13一民航機(jī)場(chǎng)的送客班車載有20位旅客，自機(jī)場(chǎng)開出，沿途旅客有10個(gè)車站可以下車．如到達(dá)一個(gè)車站沒有旅客下車班車就不停．設(shè)每位旅X客在各個(gè)車站下車是等可能的，且各旅客是否下車相互獨(dú)立，以表示停車的次數(shù)，求E(X).解設(shè)隨機(jī)變量第站無人下車,0,1iX第站有人下車.i=1,2,…,10,則有XXXLX．1210i由題意，任一旅客在第個(gè)車站不下車的概率為0.9,{X0}表示第站iii沒有旅客下車，故20位旅客都不在第站下車的概率為i20，在第站有人下車的概率為120，于是得X的分布律如下：iP0.9201-0.920--實(shí)用文檔用心整理因此從而，E(X)00.9201(10.920)=1-0.920iE(X)E(XXLX)E(X)E(X)LE(X)12101210100.9)8.820，這表明班車平均停車約9次．X類似于本例將XXY例14設(shè)二維隨機(jī)變量(,)的密度函數(shù)為14xy，xy133f(x,y)，試驗(yàn)證E(XY)E(X)EY)，但和是不獨(dú)立的．XY133解因?yàn)?)(,dExyxy11xy(1-xyxy)ddy411-75-實(shí)用文檔用心整理1221221，1(-xx)dx-xx04253435415151111E(X)EY)，11x(1-xyxy)ddy12dx03344111114，11y(1-xyxy)dy12dy0334111所以E()E(X)EY)．X的邊緣密度函數(shù)11=(≤≤1x1f(x)Xf(x,y)dy1(1-xyxy)dy33421即1，1≤x≤，.f(x)2XY同理可得的邊緣密度函數(shù)為1f(y)2，1≤y≤Y，.--實(shí)用文檔用心整理顯然有(,)()()XYfxyfxfy，故和是不獨(dú)立的．XY本例說明，由()()()不能得出和相互獨(dú)立的結(jié)論．XYEEXEY4.2隨機(jī)變量的方差4.2.1方差的概念X定義3設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量．若E[XE(X)]存在，則稱E[XE(X)]22為的方差，記為D(X)或)XX，即D(X)E[XE(X)]．(4.12)2與具有相同量綱的量D(X)稱為的均方差或標(biāo)準(zhǔn)差，記為XX或(X)．XXX的方差反映出D(X)D(X)是XXX刻畫取值分散程度的一個(gè)量．XX方差實(shí)際上是隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望．故若為離散型隨機(jī)變量，其分布律為-77-實(shí)用文檔用心整理{Xx}p,k1,2,L,kk則D(X)[(.xEXp(4.13)2kkk1Xfx若為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為(．(4.14)(4.15)D(X)[xE(Xf(x)dx2另外，還有一個(gè)常用的計(jì)算方差的重要公式：D(X)E(X)[E(X)].22事實(shí)上，D(X)[XE(X)][X2XE(X)(E(X))]222E(X)2E(X)E(X)[E(X)]E(X)[E(X)].2222X例1設(shè)隨機(jī)變量服從（0-1）分布，分布律為{Xp,{X0}1pq，求D(X)．--實(shí)用文檔用心整理解因?yàn)镋(X)p,E(X)1p0qp,222所以D(X)E(X)[E(X)]ppp(1p)pq.222例2設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為X1，1≤x≤0f(x)1，0x1，求D(X)．解因?yàn)?0E(X)x0xxxxx11110E(X)0xxx)dxxx)d,2226所以-79-實(shí)用文檔用心整理1D(X)E(X)-[E(X)].2264.2.2方差的性質(zhì)CDC性質(zhì)1設(shè)為常數(shù)，則()=0．證D(C)E(C)[E(C)]CC0.2222XC性質(zhì)2設(shè)為隨機(jī)變量，為常數(shù)，則有D(CX)CD(X).2證D(CX)E(CX)[E(CX)]C[E(X)(E(X))]CD(X).2222222XY性質(zhì)3設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，則有D(XY)D(X)DY)．證D(XY)E[(XY)E(XY)]2E[(XE(X))YEY))]2E[XE(X)]EYEY)]2E[XE(XYEY)]22--實(shí)用文檔用心整理D(X)DY)2[XE(XYEY因?yàn)閇XE(XYEYE[E(X)EY)Y)YE(XE(XY)E(X)EY)，XY()()()[((0又與相互獨(dú)立，所以EEXEY，故EXEXYEY，從而有D(XY)D(X)DY)．綜合性質(zhì)1～3可以得到：若隨機(jī)變量X與X相互獨(dú)立，C,C,C是常12012數(shù)，則有D(CCXCX)CD(X)CD(X)．21220112212X,X,L,X相12n互獨(dú)立，C,C,L,C為常數(shù)，則有01nD(CCXCXLCX)CD(X)CD(X)LCD(X)2122201122nn12nn性質(zhì)4D(X)0的充分必要條件{XE(X)}1．-81-實(shí)用文檔用心整理4.2.3常見隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差4.2.3.1二項(xiàng)分布XnpXBnp設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為、的二項(xiàng)分布，即~(，)，其分布律為{Xk}Cpq,k0,1,2,L,n,kknknppq其中0<<1，+=1，則n!nnnE(X)pqkpqkkknknkknk)!knk0k0k0(n1)!npqk1(n1)(k(kn1)(k1)]!k1n1mk1Cpqnp(pq)np.mn1mnmn1m0X當(dāng)n1時(shí)，二項(xiàng)分布即為(0分布，也就是說，若隨機(jī)變量服從參數(shù)為p的(0分布，則其數(shù)學(xué)期望E(X)p．對(duì)于服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量，還可用更簡(jiǎn)單的方法來計(jì)算E(X)與nApD(X)．設(shè)在重貝努里試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)事件發(fā)生的概率為，不發(fā)生的qp概率為=1-，若引入隨機(jī)變量--實(shí)用文檔用心整理1,第次試驗(yàn),iAX0,.ii1,2,L,n，則發(fā)生的次數(shù)為AXXXLX．12n顯然，~(,),~(01)XBnpX分布，且X,X,L,X相互獨(dú)立，于是由數(shù)學(xué)期i12n望的性質(zhì)可得E(X)E(XXLX)E(X)E(X)LE(X)nE(X)np,12n12niD(X)D(XXLX)D(X)D(X)LD(X)nD(X)npq12n12ni4.2.3.2泊松分布X~()設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為泊松分布，即XP，其分布律為k{Xk}ek!,k0,1,2,L,則kk1E(X)kpkeek!(kkk0k0k1-83-實(shí)用文檔用心整理，meeem!m0D(X)E(X)[E(X)]E[X(X1)X]222k[X(X1)]kk(e22k!k1k2．eee2222(kk24.2.3.3幾何分布X設(shè)隨機(jī)變量服從幾何分布，其分布律為{Xk}p(1p),k1,2,L,k1p其中0<<1為常數(shù)，則E(X)kpp)p[p)]p[)pk1kkk1k0k0p1,p2p--實(shí)用文檔用心整理k1E(X)kpp)pk(k1)(1p)kpp)22k1k1k1k1k1pp2(1-)12-ppp)[p)E(X),kp)]pp23k01pD(X)E(X)-[E(X．22p24.2.3.4均勻分布XabXUab設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間[，]上服從均勻分布，即~[，]，其密度函數(shù)1,a≤x≤b,其它.f(x)ba0,則1ab，E(X)xdxbba2a1abb-a)2x2．D(X)E(X)[E(X)]x2b22ba212a4.2.3.5指數(shù)分布設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為（0）X的指數(shù)分布，即X~E()，其密度-85-實(shí)用文檔用心整理函數(shù)e,x≥0,x0.f(x)0,則11,E(X)xed[e|ed]e|xxxxxxx000012112．D(X)E(X)[E(X)]xedx222x22204.2.3.6正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為X~(,),的正態(tài)分布，即XN，其密度函22數(shù)則1(x)2(x)e,x,2f21(x)22E(X)xedx2--實(shí)用文檔用心整理11()2()2xxdxedx(x221122()2txtedtexd,221()2xD(X)E[XE(X(x)2ex222-)σ22xt2t2ttet(t(eedtt2+-2222π2.222X-我們知道，若．實(shí)際上，對(duì)任意的隨機(jī)X~N(,)，則N~(0,1)2XEXDXDX變量，若其數(shù)學(xué)期望()，方差()均存在，且()>0，令XE(X)*,XD(X)則有E(X)0,D(X)1．我們稱上述過程為對(duì)隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)化．**-87-實(shí)用文檔用心整理4.3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)對(duì)于二維隨機(jī)變量(,)與的數(shù)學(xué)期望和XYXYXY方差之外，還需要了解與之間相互關(guān)系．我們知道，若X與Y相互獨(dú)立，則有[((0；若[((0，則說明X與YEXEXYEYEXEXYEY某種聯(lián)系．定義4設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量．若[XE(XYEY)]存在，則稱XYX,Y)，即它是隨機(jī)變量與的協(xié)方差，記為X,Y)[XE(XYEY)]．(4.16)(4.17)而當(dāng)D(X)DY)0時(shí)，稱X,Y)D(X)DY)XY為隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù)．當(dāng)0時(shí)，稱隨機(jī)變量與Y是不相關(guān)XXY的．顯然，是一個(gè)無量綱的數(shù)．XY若(X,Y)是離散型隨機(jī)變量，分布律為{Xx,Yy}p(i,j1,2,L)，則ijij--實(shí)用文檔用心整理(4.18)X,Y)[xE(XyEYp,iji1j1若(X,Y)是連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為f(x,y)，則(4.19)X,Y)[xE(xyEYfx,yy.XY由定義及前面對(duì)方差性質(zhì)的討論可知，對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量與，下列等式成立：D(XY)D(X)DY)2cov(X,Y),X,Y)E()E(X)EY(4.20)(4.21)例1已知DX4,DY1,0.6,求DXY,D3XY.xy解DXYDXDYX,Y=2()()DXDYDXDYxy=0.621=7.4,D3XYD3XDY3X,2Y=9412()()DXDY=DXDY0.621=25.6.xy-89-實(shí)用文檔用心整理例2設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為XYq0p其中pq1，求相關(guān)系數(shù)．XYXY解由(X,Y)的聯(lián)合分布律，可得隨機(jī)變量與的邊緣分布律為qpqp--實(shí)用文檔用心整理與均服從(0-1)分布，于是有XYE(X)p,D(X)pq,EY)p,DY)pq.X,Y)E()E(X)EY)00q01010011ppppppq,2所以X,Y)D(X)DY)XY例3設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為12，xy，0≤x≤≤y≤f(x,y)22其它.求X,Y)和．XY-91-實(shí)用文檔用心整理解因?yàn)?0xxy)dyE(X)2240-212220xxy)ddyE(X2D(X)2220-2同理可得EY)0.7854,DY)0.1876,111又0xy)dy1E()222280-2所以X,Y)E()-E(X)EY)0.6629(0.7854)0.0461,20.04610.2454.(0.1876)2由協(xié)方差的定義易知協(xié)方差具有下列性質(zhì):性質(zhì)1D(X)X,X--實(shí)用文檔用心整理性質(zhì)2,),XYYX性質(zhì)3cov(,bY)abX,Ya,性質(zhì)4，),),XYZXZYZX,Y相互獨(dú)立，則cov(X,Y)0.性質(zhì)5若XY將隨機(jī)變量與標(biāo)準(zhǔn)化，得XE(X)YE(X)X,Y.**D(X)DY)由相關(guān)系數(shù)定義，顯然有cov(X,Y).**XY一種相互關(guān)系的本質(zhì)．性質(zhì)1||1.≤XY證D(XY)D(X)DY)2cov(X,Y)******112cov(X,Y)2(1)≥0,**XY即-93-實(shí)用文檔用心整理1≥0,≤||1.XYXY性質(zhì)2||1的充分必要條件是YaX}1，其中a0,a,b為常XY數(shù)．證由方差性質(zhì)得YaX}YaXb0}1成立的充分必要條件為DYaXb)EYaXb)][EYaXb)]22EYaXb)]02而EYaXb)]EYEY))a(XE(X))(EY)aE(X)b)]22EYEY)]aE[XE(X)]E[EY)aE(X)b]22222aEYEY)][XE(X)]2EYEY)][EY)aE(X)b]2aE[XE(X)][EY)aE(X)b]--實(shí)用文檔用心整理DY)aD(X)[EY)aE(X)b]2acov(X,Y)22X,Y)D(X)X,Y)D(X)[a]DY)[1(2)][EY)(X)b],22D(X)DY)上式右端3項(xiàng)均是非負(fù)的，故由EYaXb)]0知22cov(X,Y)110,D(X)DY)即0,2XY從而||1.XY越大，Y與X的線性關(guān)系就越密切，當(dāng)=1時(shí)，Y與X就有XYXY線性關(guān)系．反之，越小，與的線性關(guān)系就越差，若YX=0，與YXXYXY間無線性關(guān)系，故稱X與Y是不相關(guān)的．可見，的大小確是與間線XYXY性關(guān)系強(qiáng)弱的一種度量．設(shè)隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù)存在．若X與Y相互獨(dú)立，則有XYX,Y)0，從而0，即若X與Y相互獨(dú)立，則X與Y不相關(guān)．反之，XY若X與YX與Y-95-實(shí)用文檔用心整理而相互獨(dú)立是就一般關(guān)系而言的．例3若X~N，且YX，問與是否不相關(guān)？XY2x21解因?yàn)?，密度函?shù)為偶函數(shù)，所以X~Nef(x)22E(X)E(X)0．于是由3cov(X,Y)E(XY)E(X)EY)E(X)E(X)E(X)032X,Y)得0.XYD(X)DY)這說明X與Y是不相關(guān)的，但YX，顯然，X與Y是不相互獨(dú)立的．2例4設(shè)(X,Y).(X,Y)~N(,;,;)221122XY解由X~N(,),Y~N(,)，有2211222E(X),D(X),EY),DY).21122故)f(x,y)ddyX,Y)(xy12--實(shí)用文檔用心整理11()x2(x)()()yy212122(x)()eyxydd2)2211221122121()212x)yx121(x)e1dxy()eyd,22112122121yxx令則有,,tu211122111221u)eutdtduX,Y)222221212122ueuuetdt222221222ueudutetdt1222212,212于是X,Y)．D(X)DY)XY可見二維正態(tài)隨機(jī)變量(,)的密度函數(shù)中的參數(shù)就是X與Y的相關(guān)系-97-實(shí)用文檔用心整理數(shù)，因此，二維正態(tài)隨機(jī)變量的分布完全可由每個(gè)變量的數(shù)學(xué)期望，方,12差及相關(guān)系數(shù)確定．,2212XY我們已經(jīng)知道，對(duì)二維正態(tài)隨機(jī)變量（，）來說，X與Y相互獨(dú)立的充分必要條件為．現(xiàn)在又知0XY，故對(duì)二維正態(tài)隨機(jī)變量（，）XY來說，X與Y不相關(guān)和X與Y相互獨(dú)立是等價(jià)的．4.4矩與協(xié)方差矩陣對(duì)數(shù)學(xué)期望、方差和協(xié)方差作進(jìn)一步的推廣，可得隨機(jī)變量的高階矩．矩是最廣泛的一種數(shù)字特征．定義5設(shè)為隨機(jī)變量，若kmE(X)(=1，2，…)kkXk存在，則稱它為的階原點(diǎn)矩．若kcE[XE(X)]（=1，2，…）kkXk存在，則稱它為的階中心矩．若--實(shí)用文檔用心整理EXYk,l）(=1,2,…)（klXYkl存在，則稱它為與的+階混合原點(diǎn)矩．若E{[XE(X)]YEY)]}(=1,2,…)k,lklXYkl存在，則稱它為與的+階混合中心矩．EXXDXX顯然，數(shù)學(xué)期望（）是的一階原點(diǎn)矩，方差（）是的二階中心矩，協(xié)方差X,Y)是的1+1階混合中心矩．XY二維隨機(jī)向量（，）有四個(gè)二階中心矩，分別記為C[XE(XDX，CEXEXYEY,21112CEYEYXEX,[(EYEYDY.C22122將它們排成矩陣CCC（4.22）1112CC2122稱為二維隨機(jī)向量（）的協(xié)方差矩陣．nXXX定義6如果維隨機(jī)向量（，，…，）的二階中心矩12n-99-實(shí)用文檔用心整理Ccov(X,X){[XE(X)][XE(X)]}，i,=1,2,…nijijiijj都存在，則稱矩陣CCCC111213nCCCC（4.23）C2122232nCCCC1n2n3nnXXXX為（，，，…，）的協(xié)方差矩陣．n123不難看出，協(xié)方差矩陣是一個(gè)對(duì)稱矩陣．11例1設(shè)X,Y的協(xié)方差矩陣為，求C.XY19DX，DY9,,XY解由協(xié)方差矩陣定義可知DXDYX,Y1所以.3XY例2設(shè)二維隨機(jī)變量（）具有概率密度10,,xy≤1,22p(x,y)其它.--實(shí)用文檔用心整理試求隨機(jī)變量（）的協(xié)方差矩陣．1解E(X)(,dxyxy1xxdx2dy1x221x1xdx021EY類似地（）=0．X,Y)[xE(XyEYp(x,y)ddyy（對(duì)1xx2y01x2CCX,Y即有==cov()=0.1221CXE(X}x(,dpxyxy2211xddy2d(cos)drr1r2200x2y2111d2cos210rdr2cosd3240011)120,d424-101-實(shí)用文檔用心整理1CC,4由對(duì)稱性可知2211101所以隨機(jī)變量（）的協(xié)方差矩陣為4.04n最后介紹一下維正態(tài)分布．引入矩陣記號(hào)x1E(X)11xE(X),U,X222MMMxnE(X)nnnXXX維正態(tài)隨機(jī)變量（，，…，）的概率密度定義為12n11Lp(x,x,,x)(XU)C1(XU).e212nn12(2)|C|2CXXXCC其中是（，，…，）的協(xié)方差矩陣，||是矩陣的行列式．12nnn