新課標(biāo)2022年版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第二章函數(shù)第九節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用練習(xí)含解析文

PAGEPAGE16第九節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用學(xué)習(xí)要求:1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征.知道直線上升、指數(shù)增長、對(duì)數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用.1.幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)=ax+b(a、b為常數(shù),且a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)=ax+b(a≠二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),且a≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)=bax+c(a,b,c為常數(shù),b≠0,a>0且a≠1)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)=blogax+c(a,b,c為常數(shù),b≠0,a>0且a≠1)冪函數(shù)模型f(x)=axn+b(a,b,n為常數(shù),且a≠0)2.三種增長型函數(shù)模型的圖象與性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xα(α>0)在(0,+∞)上的增減性①增函數(shù)

②增函數(shù)

③增函數(shù)

增長速度④越來越快

⑤越來越慢

相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x增大逐漸表現(xiàn)為與⑥y軸平行

隨x增大逐漸表現(xiàn)為與⑦x軸平行

隨α值變化而不同值的比較存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí),有l(wèi)ogax<xα<ax3.解函數(shù)應(yīng)用題的步驟(四步八字)(1)審題:弄清題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系,初步選擇數(shù)學(xué)模型;(2)建模:將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言,利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型;(3)求模:求解數(shù)學(xué)模型,得出數(shù)學(xué)結(jié)論;(4)還原:將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際問題的意義.以上過程用框圖表示如下:知識(shí)拓展形如f(x)=x+ax(a>0)的函數(shù)模型稱為“對(duì)勾”函數(shù)模型(1)該函數(shù)在(-∞,-a)和((2)當(dāng)x>0時(shí),在x=a處取最小值1.判斷正誤(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“?”).(1)某種商品進(jìn)價(jià)為每件100元,按進(jìn)價(jià)增加10%出售,后因庫存積壓降價(jià),若按九折出售,則每件還能獲利. ()(2)已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,當(dāng)x∈(4,+∞)時(shí),三個(gè)函數(shù)的增長速度大小為g(x)>f(x)>h(x). ()(3)函數(shù)y=2x的函數(shù)值在(0,+∞)上一定比y=x2的函數(shù)值大.()(4)在(0,+∞)上,隨著x的增大,y=ax(a>1)的增長速度會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xα(α>0)的增長速度. ()答案(1)?(2)√(3)?(4)√2.在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中,測量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)如下表:x0.500.992.013.98y-0.990.010.982.00則x,y最適合的擬合函數(shù)是 ()A.y=2xB.y=x2-1C.y=2x-2D.y=log2x答案D3.前兩年某商品的價(jià)格每年遞增20%,后兩年每年遞減20%,則四年后的價(jià)格與原來價(jià)格比較,變化的情況是 ()A.減少7.84%B.增加7.84%C.減少9.5%D.不增不減答案A4.某公司為了業(yè)務(wù)發(fā)展制訂了一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案,在銷售額x為8萬元時(shí),獎(jiǎng)勵(lì)1萬元;銷售額x為64萬元時(shí),獎(jiǎng)勵(lì)4萬元.若公司擬定的獎(jiǎng)勵(lì)模型為y=alog4x+b.某業(yè)務(wù)員要得到8萬元獎(jiǎng)勵(lì),則他的銷售額應(yīng)為萬元.

答案10245.某城市客運(yùn)公司確定客票價(jià)格的方法:如果行程不超過100km,那么票價(jià)是0.5元/km,如果超過100km,那么超過100km的部分按0.4元/km定價(jià),則客運(yùn)票價(jià)y(元)與行程x(km)之間的函數(shù)關(guān)系式是.

答案y=0.利用函數(shù)模型解決實(shí)際問題1.(2019北京,14,5分)李明自主創(chuàng)業(yè),在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店,銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為了增加銷量,李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷:一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元,顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后,李明會(huì)得到支付款的80%.(1)當(dāng)x=10時(shí),顧客一次購買草莓和西瓜各1盒,需要支付元;

(2)在促銷活動(dòng)中,為了保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折,則x的最大值為.

答案(1)130(2)15解析(1)x=10時(shí),一次購買草莓和西瓜各1盒,共140元,由題意得顧客需支付140-10=130元.(2)設(shè)每筆訂單金額為m元,則只需考慮m≥120時(shí)的情況.根據(jù)題意得(m-x)×80%≥m×70%,所以x≤m8,m≥為了保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折,則x≤m8min,而m8min=15,所以所以x的最大值為15.2.(2020河北衡水中學(xué)調(diào)研)為了降低能源損耗,某體育館的外墻需要建造隔熱層,體育館要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關(guān)系:C(x)=k3x+5(0≤x≤10,k為常數(shù)),若不建隔熱層,每年能源消耗費(fèi)用為8萬元,設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式;(2)隔熱層修建多厚時(shí),總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小?并求總費(fèi)用的最小值.解析(1)當(dāng)x=0時(shí),C(0)=8,∴k=40,∴C(x)=403x+5(0≤∴f(x)=6x+20×403x+5=6x+(2)由(1)得f(x)=2×(3x+5)+8003x令3x+5=t,t∈[5,35],則y=2t+800t-10≥22t·800t-10=70(當(dāng)且僅當(dāng)2此時(shí)x=5,f(x)取得最小值,為70.∴隔熱層修建5cm厚時(shí),總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小,最小值為70萬元.方法技巧利用所給函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)注點(diǎn)(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型,弄清哪些量為待定系數(shù).(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法,確定模型中的待定系數(shù).(3)利用該模型求解實(shí)際問題.二次函數(shù)、分段函數(shù)模型典例1某自來水廠的蓄水池存有400噸水,水廠每小時(shí)可向蓄水池中注水60噸,同時(shí)蓄水池又向居民小區(qū)不間斷供水,t小時(shí)內(nèi)供水總量為1206t(0≤t≤24)噸(1)從供水開始到第幾小時(shí)時(shí),蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少噸?(2)若蓄水池中水量少于80噸時(shí),就會(huì)出現(xiàn)供水緊張的現(xiàn)象,則在一天的24小時(shí)內(nèi)約有幾個(gè)小時(shí)出現(xiàn)供水緊張的現(xiàn)象?解析(1)設(shè)t小時(shí)后蓄水池中的水量為y噸,則y=400+60t-1206t,0≤t≤令6t=x,則x2=6t,0≤x≤即y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40,0≤x≤12,所以當(dāng)x=6,即t=6時(shí),ymin=40,即從供水開始到第6小時(shí)時(shí),蓄水池中的存水量最少,只有40噸.(2)由(1)及題意得400+10x2-120x<80?x2-12x+32<0,解得4<x<8,即4<6t因?yàn)?23-83=8,典例2(2020陜西西安中學(xué)模擬)某景區(qū)提供自行車出租服務(wù),該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使用,管理這些自行車的費(fèi)用是每日115元.根據(jù)經(jīng)驗(yàn),若每輛自行車的日租金不超過6元,則自行車可以全部租出;若超過6元,則每超過1元,租不出的自行車就增加3輛.為了便于結(jié)算,每輛自行車的日租金x(單位:元,只取整數(shù))并且要求租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費(fèi)用,用y(單位:元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費(fèi)用后得到的部分).(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式;(2)試問當(dāng)每輛自行車的日租金為多少元時(shí),才能使一日的凈收入最多?解析(1)當(dāng)x≤6時(shí),y=50x-115,令50x-115>0,解得x>2.3,∵x為整數(shù),∴3≤x≤6,x∈Z.當(dāng)x>6時(shí),y=[50-3(x-6)]x-115=-3x2+68x-115.令-3x2+68x-115>0,得3x2-68x+115<0,∵x為整數(shù),∴6<x≤20,x∈Z,∴f(x)=50(2)對(duì)于y=50x-115(3≤x≤6,x∈Z),顯然當(dāng)x=6時(shí),ymax=185;對(duì)于y=-3x2+68x-115=-3x-3432+8113當(dāng)x=11時(shí),ymax=270.∵270>185,∴當(dāng)每輛自行車的日租金定為11元時(shí),才能使一日的凈收入最多.方法技巧1.實(shí)際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出,而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成,如出租車票價(jià)與路程之間的關(guān)系,應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解.2.構(gòu)造分段函數(shù)時(shí),要力求準(zhǔn)確、簡捷,做到分段合理、不重不漏.3.分段函數(shù)的最值是各段的最大(最小)值的最大(最小)者.1.為了保護(hù)環(huán)境,發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì),某單位在國家科研部門的支持下,進(jìn)行技術(shù)攻關(guān),采用了新工藝,把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸,最多為600噸,月處理成本y(單位:元)與月處理量x(單位:噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=12x2-200x80000,且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品的價(jià)值為100元.則該單位每月能否獲利?如果獲利,求出最大利潤;如果不獲利,那么國家至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該單位不虧損?解析設(shè)該單位每月獲利為S元,則S=100x-y=100x-1=-12x2+300x-80=-12(x-300)2-35000(400≤x≤因?yàn)?00≤x≤600,所以當(dāng)x=400時(shí),S取得最大值,為-40000.故該單位不獲利,需要國家每月至少補(bǔ)貼40000元,才能不虧損.2.(2020云南昆明第三中學(xué)模擬)某快遞公司在某市的貨物轉(zhuǎn)運(yùn)中心,擬引進(jìn)智能機(jī)器人分揀系統(tǒng),以提高分揀效率和降低物流成本,已知購買x臺(tái)機(jī)器人的總成本p(x)=1600x2+x+150(單位:萬元)(1)若使每臺(tái)機(jī)器人的平均成本最低,則應(yīng)買多少臺(tái)?(2)現(xiàn)按(1)中的數(shù)量購買機(jī)器人,需要安排m人將郵件放在機(jī)器人上,機(jī)器人將郵件送達(dá)指定落袋格口即完成分揀,經(jīng)試驗(yàn)知,每臺(tái)機(jī)器人的日平均分揀量q(m)=815m(60-m),1≤m≤30,480,m>30(單位解析(1)由總成本p(x)=1600x2+x+150,可得每臺(tái)機(jī)器人的平均成本y當(dāng)且僅當(dāng)1600x=150x,即x所以若使每臺(tái)機(jī)器人的平均成本最低,應(yīng)買300臺(tái).(2)引進(jìn)機(jī)器人后,每臺(tái)機(jī)器人的日平均分揀量q(m)=8當(dāng)1≤m≤30時(shí),300臺(tái)機(jī)器人的日平均分揀量為160m(60-m)=-160m2+9600m=-160(m-30)2+144000,所以當(dāng)m=30時(shí),日平均分揀量取得最大值,為144000件.當(dāng)m>30時(shí),日平均分揀量為480×300=144000件.所以300臺(tái)機(jī)器人的日平均分揀量的最大值為144000件.當(dāng)傳統(tǒng)人工分揀144000件時(shí),需要的人數(shù)為144000所以日平均分揀量達(dá)最大值時(shí),用人數(shù)量比引進(jìn)機(jī)器人前的用人數(shù)量最多可減少120-30指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型典例3某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥,如果成年人按規(guī)定的劑量服用,據(jù)監(jiān)測,服藥后每毫升血液中的含藥量y(單位:微克)與時(shí)間t(單位:小時(shí))之間近似滿足如圖所示的曲線.(1)寫出第一次服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)據(jù)進(jìn)一步測定,每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時(shí)治療疾病有效,求服藥一次后治療疾病有效的時(shí)間.解析(1)由題圖,設(shè)y=kt,0≤t≤1,當(dāng)t=1時(shí),由y=4得k=4,則y=4t.由121-a=4所以y=4(2)由y≥0.25得0≤解得116≤t≤5,故服藥一次后治療疾病有效的時(shí)間是5-116=79典例4候鳥每年都要隨季節(jié)的變化進(jìn)行大規(guī)模的遷徙,研究某種鳥類的專家發(fā)現(xiàn),該種鳥類的飛行速度v(單位:m/s)與其耗氧量Q之間的關(guān)系為v=a+blog3Q10(其中a,b是實(shí)數(shù)).據(jù)統(tǒng)計(jì),該種鳥類在靜止的時(shí)候其耗氧量為30個(gè)單位,而其耗氧量為90個(gè)單位時(shí),其飛行速度為1m/s(1)求出a,b的值;(2)若這種鳥類為了趕路程,飛行的速度不能低于2m/s,則其耗氧量至少要多少個(gè)單位?解析(1)由題意可知,當(dāng)這種鳥類靜止時(shí),它的速度為0m/s,此時(shí)耗氧量為30個(gè)單位,則a+blog33010=0,即a+b=0;當(dāng)耗氧量為90個(gè)單位時(shí),速度為1m/s,則a+blog39010=1,即a+2b=1聯(lián)立方程a(2)由(1)知,v=a+blog3Q10所以要使飛行速度不低于2m/s,則v≥2,所以-1+log3Q10≥2,即log3Q10≥3,解得Q≥所以若這種鳥類為了趕路程,飛行的速度不能低于2m/s,則其耗氧量至少要270個(gè)單位.規(guī)律總結(jié)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題時(shí),要正確理解題意,分清條件和結(jié)論,理清數(shù)量關(guān)系,將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型,求解過程中不要忽略實(shí)際問題對(duì)變量的限制.

1.某食品的保鮮時(shí)間y(單位:小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位:℃)滿足函數(shù)關(guān)系y=ekx+b(e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),k,b為常數(shù)).若該食品在0℃的保鮮時(shí)間是192小時(shí),在22℃的保鮮時(shí)間是48小時(shí),則該食品在33℃的保鮮時(shí)間是 ()A.16小時(shí)B.20小時(shí)C.24小時(shí)D.28小時(shí)答案C由已知得192=eb,①48=e22k+b=e22k·eb,②將①代入②得e22k=14當(dāng)x=33時(shí),y=e33k+b=e33k·eb=123×192=24,所以該食品在33℃的保鮮時(shí)間是24故選C.2.某公司為激勵(lì)創(chuàng)新,計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2017年全年投入研發(fā)資金130萬元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是 ()(參考數(shù)據(jù):lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年答案D設(shè)第n(n∈N*)年該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元.根據(jù)題意得130(1+12%)n-1>200,則lg[130(1+12%)n-1]>lg200,∴l(xiāng)g130+(n-1)lg1.12>lg2+2,∴2+lg1.3+(n-1)lg1.12>lg2+2,∴0.11+(n-1)×0.05>0.30,解得n>245又∵n∈N*,∴nmin=5,∴該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是2021年.故選D.A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.下列函數(shù)中,隨x的增大y的增大速度最快的是 ()A.y=0.001·exB.y=1000lnxC.y=x1000D.y=1000·2x答案A2.用長度為24米的材料圍成一矩形場地,中間加兩道隔墻,要使矩形的面積最大,則隔墻的長度為 ()A.3米B.4米C.6米D.12米答案A3.(2020廣西柳州高級(jí)中學(xué)期中)某電視新產(chǎn)品投放市場后第一個(gè)月銷售量為100臺(tái),第二個(gè)月銷售量為200臺(tái),第三個(gè)月銷售量為400臺(tái),第四個(gè)月銷售量為790臺(tái),則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷售量y與投放市場的月數(shù)x之間關(guān)系的是 ()A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=50×2xD.y=100log2x+100答案C4.(2020海南嘉積中學(xué)調(diào)研)已知甲、乙兩種商品在過去一段時(shí)間內(nèi)的價(jià)格走勢(shì)如圖所示.假設(shè)某商人持有資金120萬元,他可以在t1至t4的任意時(shí)刻買賣這兩種商品,且買賣能夠立即成交(其他費(fèi)用忽略不計(jì)).如果他在t4時(shí)刻賣出所有商品,那么他將獲得的最大利潤是 ()A.40萬元B.60萬元C.120萬元D.140萬元答案C5.(2020陜西西安中學(xué)期中)某位股民購進(jìn)某只股票,在接下來的交易時(shí)間內(nèi),他的這只股票先經(jīng)歷了n次漲停(每次上漲10%),又經(jīng)歷了n次跌停(每次下跌10%),則該股民這只股票的盈虧情況(不考慮其他費(fèi)用)為 ()A.略有盈利B.略有虧損C.沒有盈利也沒有虧損D.無法判斷盈虧情況答案B6.(2020湖南岳陽一中期末)根據(jù)有關(guān)資料,圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361,可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080,則下列各數(shù)中與MN最接近的是(參考數(shù)據(jù):lg3≈0.48) (A.1033B.1053C.1073D.1093答案DB組能力拔高7.某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料,如圖,為降低消耗,開源節(jié)流,現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用,當(dāng)截取的矩形面積最大時(shí),矩形兩鄰邊長x,y應(yīng)為 ()A.x=15,y=12B.x=12,y=15C.x=14,y=10D.x=10,y=14答案A如圖,由三角形相似得24-y24-8=x20?x所以當(dāng)y=12時(shí),S有最大值,此時(shí)x=15.經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.8.某化工廠生產(chǎn)一種溶液,按市場要求雜質(zhì)含量不超過0.1%,若開始時(shí)溶液中含雜質(zhì)2%,每過濾一次可使雜質(zhì)含量減少13,該溶液至少過濾次才能達(dá)到市場要求.(參考數(shù)據(jù):lg20.3010,lg3≈0.4771)

答案8解析設(shè)該溶液的過濾次數(shù)為n,則2%1-13n≤0.即23n≤所以nlg23≤-1-lg所以n≥7.39,所以n=8.9.一艘輪船在勻速行駛過程中每小時(shí)的燃料費(fèi)與速率v的平方成正比,且比例系數(shù)為k,除燃料費(fèi)外其他費(fèi)用為每小時(shí)96元.當(dāng)速度為10海里/小時(shí)時(shí),每小時(shí)的燃料費(fèi)是6元.若勻速行駛10海里,當(dāng)這艘輪船的速度為海里/小時(shí)時(shí),總費(fèi)用最小.

答案40解析設(shè)該輪船每小時(shí)的總費(fèi)用為y元,則y=kv2+96,當(dāng)v=10時(shí),k×102=6,解得k=0.06,所以該輪船每小時(shí)的總費(fèi)用y=0.06v2+96,因?yàn)閯蛩傩旭?0海里所用的時(shí)間為10v小時(shí),所以總費(fèi)用當(dāng)且僅當(dāng)0.6v