高考數(shù)學精品預測卷01（解析版）

預測卷0117．在①函數(shù)；②函數(shù)；③函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到的圖象，的圖象關于原點對稱；這三個條件中任選一個作為已知條件，補充在下面的問題中，然后解答補充完整的題．已知______（只需填序號），函數(shù)的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)的單調遞減區(qū)間及其在上的最值．【解答】解：（1）選條件①：，又最小正周期，，，選條件②：，又最小正周期，，，選條件③：由題意可知，最小正周期，，，，又函數(shù)的圖象關于原點對稱，，又，，，（2）由（1）知，由，解得，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，，由，，，，，函數(shù)在上的最大值為2，最小值為．18．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前頁和為，且，．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和．【解答】解：（1）證明：，，，，數(shù)列是等比數(shù)列，首項為4，公比為2．（2）由（1）可得：，化為：．．，數(shù)列的前項和．19．如圖，在棱長為4的正方體中，，分別是棱，上的動點，且．（1）證明：；（2）當三棱錐的體積取得最大值時，求平面與平面夾角的余弦值．【解答】（1）證明：以為原點，，，的方問分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，4，，，0，，，4，，所以．因為，所以，即．（2）解：由（1）知，當且僅當時，等號成立，此時，2，，，4，．因為，4，，所以．設平面的法向量為，則，令，得．取平面的一個法向量．設平面與平面的夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值為．20．某企業(yè)認真貫徹黨的十九大精神，以科技創(chuàng)新為先導，既為自身做大做強增加動力，又為提高和保障人民生活水平做出貢獻，近期大批量生產一種恒流節(jié)水龍頭，現(xiàn)將這批產品成箱包裝，每箱有10打，每一打有12只，每一箱產品在出廠之前要對它的質量做檢測，若檢測出不合格的水龍頭，則應更換合格品．檢測時，先從這箱產品中任取一打做檢測，再根據(jù)檢測結果決定是否對該箱其余的水龍頭做檢測．設每只水龍頭為不合格品的概率均是，且各只水龍頭是否為不合格品相互獨立．（1）記每一打的12只水龍頭中恰有1只不合格品的概率是，求的最大值點．（2）今對一箱水龍頭產品檢測了一打，結果恰有1只不合格，以（1）中確定的作為的值．已知每只水龍頭的檢測費用是4元，若有不合格水龍頭出廠落入商家手中，則該企業(yè)要對每只不合格的水龍頭支付40元的信譽賠償金．若不對該箱其余的水龍頭做檢測，這一箱產品的檢測費用與信譽賠償金之和記為，求的期望．以檢測費用與信譽路償金之和的期望值作為決策依據(jù)，是否應該對這箱產品中其余的水龍頭進行檢測？【解答】解：（1）記每一打的12只水龍頭中恰有1只不合格品的概率是，則，，令，得，（舍去，當時，，當，時，，的最大值點．（2）由（1）知，令表示余下的108只水龍頭的不合格品數(shù)，依題意知，，即，．如果對余下的產品作檢驗，由這一箱產品所需要的檢驗費為元，，應該對余下的產品不進行檢驗．21．設，兩點的坐標分別為，直線，相交于點，且它們斜率之積為．（Ⅰ）求點的軌跡方程；（Ⅱ）若斜率為（其中的直線過點，且與曲線交于點，，弦的中點為，為坐標原點，直線與曲線交于點，，求四邊形的面積的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）設，根據(jù)題意可得，所以，化簡得，所以點的軌跡方程為；（Ⅱ）由消，得，設，，，，則，△恒成立，則，由，所以，則，由，，即為，兩點的坐標，所以點，到直線的距離之和為，則，又因為，故的取值范圍為．22．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若函數(shù)有兩個不大于的極值點，證明：．【解答】解：（1）定義域為，由，得，當時，，此時在上單調遞增，在上單調遞減，當時，令，即，，因為，所以，令，則或，即在和上單調遞增，令，則，即在，上單調減，當時，令，即，因為，所以，令，則或，即在和，上單調遞增．令，則，即在上單調遞減，綜上所述：當時，在上單調遞增，在上單調遞減，當時，在和上單調遞增，在，上單調遞減，當時，在和，上單調遞增，在上單調遞減；證明：（2）因為函數(shù)有兩個不大于的極值點，由（1）知，因為且，所以，所以要證明，只要證明，即要證