高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題《函數(shù)與導(dǎo)數(shù)》解讀

重難點(diǎn)06重難點(diǎn)06函數(shù)與導(dǎo)數(shù)從新高考的考查情況來(lái)看，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一直是高考的重點(diǎn)和難點(diǎn)．一般以基本初等函數(shù)為載體，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、零點(diǎn)等問(wèn)題，同時(shí)與解不等式關(guān)系最為密切，還可能與三角函數(shù)、數(shù)列等知識(shí)綜合考查。一般出現(xiàn)在選擇題和填空題的后兩題以及解答題中，難度較大，復(fù)習(xí)備考的過(guò)程中應(yīng)引起重視。通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問(wèn)題，考查考生的分類(lèi)討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理核心素養(yǎng).1、研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類(lèi)討論．(1)討論分以下四個(gè)方面①二次項(xiàng)系數(shù)討論；②根的有無(wú)討論；③根的大小討論；④根在不在定義域內(nèi)討論．(2)討論時(shí)要根據(jù)上面四種情況，找準(zhǔn)參數(shù)討論的分類(lèi)．(3)討論完畢須寫(xiě)綜述．2、研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根的方法(1)通過(guò)最值(極值)判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法:借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值后，通過(guò)極值的正負(fù)，函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)圖象走勢(shì)，從而判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)或者通過(guò)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍．(2)數(shù)形結(jié)合法求解零點(diǎn):對(duì)于方程解的個(gè)數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù))問(wèn)題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，畫(huà)出草圖數(shù)形結(jié)合確定其中參數(shù)的范圍．(3)構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)零點(diǎn):①根據(jù)條件構(gòu)造某個(gè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求解．②解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是將函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、曲線交點(diǎn)相互轉(zhuǎn)化，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．3、求與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍的方法：方程有實(shí)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)．（1）參數(shù)分離法，構(gòu)造新的函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求新函數(shù)單調(diào)性與最值.（2）分類(lèi)討論法.4、不等式的恒成立問(wèn)題和有解問(wèn)題、無(wú)解問(wèn)題是聯(lián)系函數(shù)、方程、不等式的紐帶和橋梁，也是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問(wèn)題，往往用到的方法是依據(jù)不等式的特點(diǎn)，等價(jià)變形，構(gòu)造函數(shù)，借助圖象觀察，或參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)處理．恒成立問(wèn)題的重要思路：(1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max．(2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min．存在性（有解）問(wèn)題的重要思路：(1)存在m≥f(x)?m≥f(x)min(2)存在m≤f(x)?m≤f(x)max．5、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式f(x)＞g(x)的基本方法：(1)若f(x)與g(x)的最值易求出，可直接轉(zhuǎn)化為證明f(x)min＞g(x)max；(2)若f(x)與g(x)的最值不易求出，可構(gòu)造函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)，然后根據(jù)函數(shù)h(x)的單調(diào)性或最值，證明h(x)＞0.無(wú)論不等式的證明還是解不等式，構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的思想，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，達(dá)到解題的目的，是一成不變的思路，合理構(gòu)思，善于從不同角度分析問(wèn)題，是解題的法寶.6、函數(shù)性質(zhì)綜合問(wèn)題函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略：（1）函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合．注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性．（2）周期性與奇偶性的綜合．此類(lèi)問(wèn)題多考查求值問(wèn)題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．（3）單調(diào)性、奇偶性與周期性的綜合．解決此類(lèi)問(wèn)題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解．（4）應(yīng)用奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．利用單調(diào)性比較大小、解不等式、研究函數(shù)的最值、函數(shù)單調(diào)性的討論（含參）、零點(diǎn)問(wèn)題和不等式恒成立的相關(guān)問(wèn)題（包含不等式證明和由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍）是出題頻率最高的；同時(shí)也要注意極值點(diǎn)偏移、雙變量等熱點(diǎn)問(wèn)題。A卷（建議用時(shí)90分鐘）一、單選題1．（2021·江蘇連云港·高三期中）已知某電子產(chǎn)品電池充滿時(shí)的電量為3000毫安時(shí)，且在待機(jī)狀態(tài)下有兩種不同的耗電模式可供選擇.模式A：電量呈線性衰減，每小時(shí)耗電300毫安時(shí)；模式B：電量呈指數(shù)衰減，即：從當(dāng)前時(shí)刻算起，t小時(shí)后的電量為當(dāng)前電量的倍.現(xiàn)使該電子產(chǎn)品處于滿電量待機(jī)狀態(tài)時(shí)開(kāi)啟A模式，并在m小時(shí)后切換為B模式，若使其在待機(jī)10小時(shí)后有超過(guò)5%的電量，則m的取值范圍是（）A．（5，6） B．（6，7） C．（7，8） D．（8，9）2．（2021·江蘇·無(wú)錫市教育科學(xué)研究院高三期中）已知函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)A的值為（）A．4 B．2 C．-2 D．-43．（2021·江蘇常州·高三期中）若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（）A． B． C． D．4．（2021·山東臨沂·高三期中）設(shè)函數(shù)在區(qū)間D上的導(dǎo)函數(shù)為，在區(qū)間D上的導(dǎo)函數(shù)為，若在區(qū)間D上，恒成立，則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”.已知實(shí)數(shù)m為常數(shù)，，若對(duì)滿足的任何一個(gè)實(shí)數(shù)m，函數(shù)在區(qū)間上都為“凸函數(shù)”，則的最大值為（）A．4 B．3 C．2 D．15．（2021·四川遂寧·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍（）A．B．C．D．6．（2022·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）函數(shù)，若滿足恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．7．（2021·江蘇海安·高三期中）已知設(shè)其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（）A． B． C． D．8．（2021·陜西·長(zhǎng)安一中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，且，則的值為（）A．3 B．4 C．9 D．16二、多選題9．（2021·江蘇南京·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A．B．對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，都有C．為偶函數(shù)D．不等式的解集為10．（2021·山東省膠州市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．只有一個(gè)極值點(diǎn) B．設(shè)，則與的單調(diào)性相同C．在上單調(diào)遞增 D．有且只有兩個(gè)零點(diǎn)11．（2021·遼寧大連·高三期中）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增B．函數(shù)的圖象不關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且在區(qū)間上不單調(diào)C．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)D．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)12．（2021·廣東化州·高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）A．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是B．函數(shù)的值域是C．函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)D．對(duì)任意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，，若，則三、填空題13．（2021·江蘇南通·高三期中）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則_________.14．（2021·重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，，且，，，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．15．（2021·江蘇·灌云縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，則當(dāng)時(shí)的極大值為_(kāi)_________，若在（，為自然對(duì)數(shù)的底）的最大值為，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_________.16．（2021·江蘇·沛縣教師發(fā)展中心高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中，若存在唯一整數(shù)，使得，則的取值范圍是__________．四、解答題17．（2021·遼寧·大連市第一中學(xué)高三期中）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的導(dǎo)函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若關(guān)于x的不等式在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.18．（2021·江蘇·南京市中華中學(xué)高三期中）函數(shù).（1）求函數(shù)在的值域；（2）設(shè)，已知，求證：.19．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·高三期中）已知函數(shù)，.（1）若在處的切線也是的切線，求的值；（2）若，恒成立，求的最小整數(shù)值.20．（2021·廣東江門(mén)·高三階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，且，證明.21．（2021·江蘇鹽城·高三期中）設(shè)函數(shù).（1）求證：當(dāng)時(shí)，在上總成立；（2）求證：不論m為何值，函數(shù)總存在零點(diǎn).22．（2021·全國(guó)·高考真題）已知且，函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．B卷（建議用時(shí)90分鐘）一、單選題1．（2021·浙江·高考真題）已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（）A．B．C．D．2．（2021·河南·高三階段練習(xí)）函數(shù)的減區(qū)間是（）A． B． C． D．3．（2021·四川攀枝花·高三階段練習(xí)）方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”.如果函數(shù)的“新駐點(diǎn)”為，那么的取值范圍是（）A． B． C． D．4．（2021·江蘇·高三期中）設(shè)k>0，若不等式≤0在x>0時(shí)恒成立，則k的最大值為（）A．e B．eln3 C．log3e D．35．（2021·河南·溫縣第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)的定義域是，，對(duì)任意，，則不等式的解集為（）A．B．C．或D．或6．（2021·河北邢臺(tái)·高三階段練習(xí)）已知方程在區(qū)間上恰有3個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．（2021·全國(guó)·高考真題）設(shè)，，．則（）A． B． C． D．8．（2021·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減B．當(dāng)時(shí)，在處的切線為軸C．當(dāng)時(shí)，在存在唯一極小值點(diǎn)，且D．對(duì)任意，在一定存在零點(diǎn)二、多選題9．（2021·山東臨沂·高三階段練習(xí)）若函數(shù)在上有最大值，則a的取值可能為（）A．－6 B．－5 C．－3 D．－210．（2021·重慶九龍坡·高三期中）已知函數(shù)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)B．，，使C．是的極大值點(diǎn)D．的取值范圍是11．（2021·湖北·高三期中）已知函數(shù)，下列結(jié)論成立的是（）A．函數(shù)在定義域內(nèi)無(wú)極值B．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為C．函數(shù)在定義域內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)D．函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，，且12．（2021·福建省福州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=，函數(shù)g(x)=xf(x)，下列選項(xiàng)正確的是（）A．點(diǎn)（0，0）是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)B．∈（1，3），使f（）>f（）C．函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇D．若關(guān)于x的方程[g（x）]2－2ag（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（∪（）三、填空題13．（2021·山東師范大學(xué)附中高三期中）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.14．（2021·山東泰安·高三期中）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)______.15．（2021·廣東·高三階段練習(xí)）若對(duì)任意的，，且當(dāng)時(shí)，都有，則的最小值是________.16．（2021·天津·南開(kāi)中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.四、解答題17．（2021·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）求曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)．18．（2021·廣東化州·高三階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的