高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)《平面向量、復(fù)數(shù)》練習(xí)

熱點(diǎn)06平面向量、復(fù)數(shù)熱點(diǎn)06平面向量、復(fù)數(shù)從新高考的考查情況來看，平面向量主要命題方向：向量的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積運(yùn)算，利用向量數(shù)量積解決模長(zhǎng)、夾角問題，平行或垂直問題、平面向量基本定理及應(yīng)用，有時(shí)也會(huì)與三角函數(shù)、平面解析幾何進(jìn)行交匯命題共線向量定理，主要以選擇題和填空題的形式呈現(xiàn)，難度不大．考查考生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)和方程思想、數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．復(fù)數(shù)及其運(yùn)算也是新高考的一個(gè)必考點(diǎn)，內(nèi)容比較簡(jiǎn)單，主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算。1．平面向量的線性運(yùn)算技巧(1)不含圖形的情況：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解．(2)含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來求解．求參數(shù)問題可以通過研究向量間的關(guān)系，通過向量的運(yùn)算將向量表示出來，進(jìn)行比較求參數(shù)的值．2、數(shù)量積和模的計(jì)算問題，求解思路：①直接利用數(shù)量積的定義；②建立坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)運(yùn)算求解．在利用數(shù)量積的定義計(jì)算時(shí)，要善于將相關(guān)向量分解為圖形中模和夾角已知的向量進(jìn)行計(jì)算．求平面向量的模時(shí)，常把模的平方轉(zhuǎn)化為向量的平方．3、向量與平面幾何綜合問題的解法1）坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決．2）基底法：適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來求解．4、復(fù)數(shù)一般考查共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)平面的意義比較多，中間夾雜著復(fù)數(shù)之間的運(yùn)算法則，這類題目相對(duì)比較簡(jiǎn)單，屬于送分題目。牽涉到知識(shí)點(diǎn)也是比較少，主要注重基本運(yùn)算；特別會(huì)求復(fù)數(shù)類題目可采取答案帶入式運(yùn)算。熱點(diǎn)1.平面向量的最值（范圍）問題①代數(shù)法：即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識(shí)來解決．②幾何法(數(shù)形結(jié)合法)：即利用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷；．熱點(diǎn)2.平面向量與其它知識(shí)的交匯問題1．向量在解析幾何中的作用(1)載體作用：向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問題時(shí)關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去“向量外衣”，導(dǎo)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題．(2)工具作用：利用a⊥b?a·b＝0；a∥b?a＝λb(b≠0)，可解決垂直、平行問題，特別是向量垂直、平行的坐標(biāo)表示在解決解析幾何中的垂直、平行問題時(shí)經(jīng)常用到．2．向量與三角的綜合應(yīng)用解決這類問題的關(guān)鍵是應(yīng)用向量知識(shí)將問題準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為三角問題，再利用三角知識(shí)進(jìn)行求解．A卷（建議用時(shí)60分鐘）一、單選題1．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·高三期中）我國(guó)東漢數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示，在“趙爽弦圖”中，若，，，則（）A． B． C． D．2．（2021·河北衡水中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知向量，的夾角為，，，則（）A．2 B． C． D．3．（2021·江蘇·無錫市教育科學(xué)研究院高三期中）已知向量=（1，3），向量=（3，t），=2，則等于（）A． B． C． D．4．（2021·陜西蒲城·高三期中）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝DC＝2，BC＝1，P是DC的中點(diǎn)，則（）A． B． C．3 D．95．（2021·山東·泰安一中模擬預(yù)測(cè)）已知是互相垂直的單位向量，若，則（）A． B． C．0 D．26．（2021·福建龍巖·高三期中）已知向量，，，若，則（）A． B． C． D．7．（2021·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知單位向量的夾角為.若，則實(shí)數(shù)的值為（）A．2 B． C．4 D．8．（2021·江蘇鹽城·高三期中）下列向量一定與向量垂直的是（）A． B． C． D．9．（2021·四川成都·高三期中）已知向量，，則在方向上的投影是（）A． B． C． D．10．（2021·遼寧·高三期中）已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)為A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．B．C．(3，2)D．(1，3)11．（2021·河南·高三期中）如圖所示，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上且，若（，），則（）A． B． C． D．12．（2021·河北衡水中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如果復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位，為實(shí)數(shù)）為純虛數(shù)，那么（）A．1 B．2 C．4 D．13.（2021·福建省連城縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的共軛復(fù)數(shù)為（）A． B． C． D．14．（2021·福建師大附中高三期中）已知，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限15．（2021·江蘇海安·高三期中）已知是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，則該方程的另一個(gè)根為（）A．2i＋3 B．－2i－3 C．2i－3 D．－2i＋316．（2021·山東青島·高三期中）若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)不可能為（）A． B． C． D．二、多選題17．（2021·河北衡水中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知，，則（）A．若，則 B．若，則C．的最小值為5 D．若向量與向量的夾角為鈍角，則18．（2021·全國(guó)全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知點(diǎn)為正十邊形的中心，且，則下列結(jié)論正確的有（）A．B．C．D．19．（2021·重慶一中高三期中）已知點(diǎn)G是三角形的重心，以下結(jié)論正確的是（）A．B．若，則三角形是等腰三角形C．三角形的面積等于，則D．若，則20．（2021·重慶九龍坡·高三期中）下列說法錯(cuò)誤的是（）A．若，則或B．若，，則C．若，，則D．若，，則或21．（2021·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，復(fù)數(shù)滿足在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則下列結(jié)論正確的有（）A．復(fù)數(shù)的虛部為B．C．的最大值D．的最小值為22．（2021·江蘇·南京師大蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三期中）已知實(shí)數(shù)a滿足，（i為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)，則（）A．z為純虛數(shù) B．為虛數(shù) C． D．23．（2021·浙江浙江·高三期末）下列命題為真命題的是（）A．若互為共軛復(fù)數(shù)，則為實(shí)數(shù)B．若i為虛數(shù)單位，n為正整數(shù)，則C．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為D．復(fù)數(shù)為的虛部為－1三、填空題24．（2021·四川·成都七中高三期中）已知向量，．（1）若當(dāng)時(shí)，，則實(shí)數(shù)的值為_______________________；（2）若存在正數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________________．25．（2021·上海普陀·一模）設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則的實(shí)部與虛部的和為___________.26．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·高三期中）已知非零向量不共線，若，，，且，，三點(diǎn)共線，則___________.四、解答題27．（2021·湖北·高三期中）如圖，在菱形ABCD中，若，，，．（1）若，，求，，x，y的值；（2）求的值．28．（2021·山東德州·高三期中）已知向量與是夾角為的單位向量，且向量.（1）求；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.29．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，．（1）求角和邊長(zhǎng)；（2）設(shè)為邊上一點(diǎn)，且為角的平分線，試求三角形的面積；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，若，分別求和的值．30．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知關(guān)于的方程的虛數(shù)根為、.（1）求的取值范圍；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.B卷（建議用時(shí)90分鐘）一、單選題1．（2021·重慶九龍坡·高三期中）已知，，，，則的取值范圍（）A．B．C．D．2．（2021·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學(xué)高三期中）如圖，在平行四邊形中，，，與交于點(diǎn).設(shè)，，若，則（）A． B． C． D．3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是不共線向量，設(shè)，，，，若△的面積為3，則△的面積為（）A．8 B．6 C．5 D．44．（2021·湖北·高三期末）已知復(fù)數(shù)和滿足，，則的取值范圍為（）A． B． C． D．5．（2021·山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)高三期中）騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運(yùn)動(dòng)，深受大眾喜愛，下圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A（前輪），圓D（后輪）的半徑均為，，，均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，設(shè)點(diǎn)P為后輪上的一點(diǎn)，則在騎動(dòng)該自行車的過程中，的最大值為（）A．24 B． C． D．6．（2021·福建省福州第一中學(xué)高三期中）設(shè)、、為非零不共線向量，若，則（）A．B．C．D．7．（2021·上海虹口·一模）已知，復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）滿足，給出下列結(jié)論：①的取值范圍是；②；③的取值范圍是；④的最小值為2；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．48．（2021·上海市徐匯中學(xué)高三期中）已知方程有兩個(gè)虛根，若，則的值是（）A．或 B． C． D．9．（2021·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)）1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫出以下公式，這個(gè)公式在復(fù)變論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)此公式，有下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A．①②③ B．②④ C．①② D．①③二、多選題10．（2021·湖北·高三期中）下列說法正確的是（）A．若，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是B．若M是的外心，且，則P是的內(nèi)心C．若O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則，，的面積之比3：4：5D．若O是的外心，，，的值為-811．（2021·福建省福州第一中學(xué)高三期中）數(shù)學(xué)家歐拉于1765年在其著作《三角形中的幾何學(xué)》首次指出：的外心，重心，垂心，依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為歐拉線.若，，則下列各式正確的是（）A．B．C．D．12．（2021·山東師范大學(xué)附中高三期中）在中，，，，的交點(diǎn)為，過的動(dòng)直線分別交線段，于，兩點(diǎn)，若，（，），則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．13．（2021·廣東·模擬預(yù)測(cè)）下列命題中正確的有（）A．若復(fù)數(shù)滿足，則； B．若復(fù)數(shù)滿足，則；C．若復(fù)數(shù)滿足，則； D．若復(fù)數(shù)，則．14．（2021·湖北·襄陽(yáng)四中模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)復(fù)數(shù)集X稱為某種運(yùn)算的“和諧集”是指X滿足性質(zhì):①X?C；②?a，b∈X對(duì)某種規(guī)定的運(yùn)算a⊕b，都有a⊕b∈X.則下列數(shù)集X是相應(yīng)運(yùn)算的“和諧集”的是（）A．，其中i是虛數(shù)單位，規(guī)定運(yùn)算:a⊕b=ab，(?a，b∈X)B．，規(guī)定運(yùn)算:C．，規(guī)定運(yùn)算:a⊕b=ab，(?a，b∈X)D．，規(guī)定運(yùn)算:a⊕b=a+b，(?a，b∈X)三、填空題15．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家棣莫佛（Demoivre，1667~1754）出生于法國(guó)香檳，他在概率論和三角學(xué)方面，發(fā)表了許多重要論文.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.根據(jù)這個(gè)公式，則______；若，則______.16．（2021·天津二中高三期中）已知邊長(zhǎng)為的正△ABC，內(nèi)切圓的圓心為O，過B點(diǎn)的直線l與圓相交于M，N兩點(diǎn)，（1）若圓心O到直線l的距離為1，則__________；（2）若，則的取值范圍為_____________．17．（2021·天津?qū)嶒?yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)）在中，，，，D在邊AB上（不與端點(diǎn)重合）.延長(zhǎng)CD到P，使得.當(dāng)D為AB中點(diǎn)時(shí)，PD的長(zhǎng)度為_______；若（m為常數(shù)且），則BD的長(zhǎng)度是____.18．（2021·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的坐標(biāo)為，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，且滿足，記，若的最小值為，則的最大值為________．19．（2021·浙江·慈溪中學(xué)高三期中）已知平面向量滿足：，當(dāng)與所成角最大時(shí)，則______20．（2022·天津北辰·）如圖，在平面四邊形中，．若點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_________．四、解答題21．（2021·江蘇·無錫市教育科學(xué)研究院高三期中）在△ABC中，已知，，，D為BC的中點(diǎn)，E為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AD與CE交于點(diǎn)O.設(shè).（1）若，求的值；（2）求的最小值.22．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知O是線段外一點(diǎn)，若，．（1）設(shè)點(diǎn)、是線段的三等分點(diǎn)，、及的重心依次為、、，試用向量、表示；（2）如果在線段上有若干個(gè)等分點(diǎn)，你能得到什么結(jié)論？請(qǐng)證明你的結(jié)論．23．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn).（1）如圖1，求的值；（2）如圖2，若點(diǎn)、滿足，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是平面上動(dòng)點(diǎn)，且滿足，其中，求的最小值.24．（2021·浙江浙江·高三期末）在梯形中，，P，Q分別為線段和上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求與的數(shù)量積；（2）若，求；（3）若，求的最大值．25．（2021