高三數(shù)學(xué)知識點：解題思路

4/4高三數(shù)學(xué)知識點：解題思路沈陽二中劉銳在備考的后期,適度的處理一些對你構(gòu)成挑戰(zhàn)性的問題是有益的。本文在G波利亞圍繞問題解決過程設(shè)計的一段師生對話的根底上,添加了更具高中特征的一些內(nèi)容,同時刪除了一些關(guān)于更深入的解題過程的議論,試圖闡釋高中階段具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問題解決的工作環(huán)節(jié)及其思維的開展脈絡(luò)。一、熟悉問題(“S〞代表學(xué)生,“T〞代表老師,下同)S:我應(yīng)該從哪兒開始?T:從問題的表達(dá)開始。S:我能做什么?T:觀察揣摩整個問題,盡量使其清晰而鮮明?？梢詴簳r拋開細(xì)節(jié)。S:這樣做,我能得到什么好處?T:你會明白問題,使自己熟悉問題,并把問題的目標(biāo)牢記在腦海中。這樣全神貫注地對待問題也會調(diào)動你的記憶力,做好準(zhǔn)備去重新聯(lián)想與問題有關(guān)的各點。二、深入理解問題S:我應(yīng)該從哪兒開始?T:還是從問題的表達(dá)開始。當(dāng)你對問題的表達(dá)已清楚地印入腦海,以致你即使暫時不去看它,你也不怕把它忘掉時,你就可以開始下面的工作了。S:我能做什么?T:先把問題的主要局部剖析出來。未知數(shù)是什么?數(shù)據(jù)(包括數(shù)、圖形和事項等)是什么?條件是什么?畫張圖。并引入適當(dāng)?shù)姆枴:這樣做,我能得到什么好處?T:你會準(zhǔn)備好并弄清楚以后可能起作用的細(xì)節(jié)。三、探索有益的念頭S:我應(yīng)該從哪兒開始?T:從考慮問題的主要局部開始。如求解問題的未知、與條件;求證問題的前提與結(jié)論。S:怎樣進(jìn)行?T:首先從各個方面考慮你的問題。分別突出各個局部,考察各個細(xì)節(jié),用不同的方式審查同一細(xì)節(jié)。試著在每一個細(xì)節(jié)發(fā)現(xiàn)某些新意義。把細(xì)節(jié)用不同的方式組合起來,從不同的角度考慮它,嘗試在整個問題中得到某些新解釋。其次試圖找出與你現(xiàn)有知識和解題方面的經(jīng)驗等有關(guān)的內(nèi)容。試想過去在類似的情況下有什么曾幫過你的忙。并按照如下的次序提出以下問題：①你以前見過它嗎?你是否見過相同的問題而形式稍有不同?②看著未知數(shù)!試想出一個具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉問題。③這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關(guān)且早已解決的問題。你能不能利用它?你能利用它的結(jié)果嗎?你能利用它的方法嗎?為了利用它,你是否應(yīng)該引入某些輔助元素?④你能不能重新表達(dá)這個問題?你能不能用不同的方式重新表達(dá)它?利用普遍化、特殊化、類比、舍去一局部限制等手段了嗎?⑤回到定義去!⑥你是否利用了所有的數(shù)據(jù)?你是否利用了所有條件?等等……S:你能告訴我這六個提問的設(shè)計意圖嗎?T:問題①和②的設(shè)計旨在找尋在過去解題過程中與現(xiàn)有問題相同或相似的問題,不過兩者還是有區(qū)別的,前者是從整個問題的角度尋求相同或相似的問題,后者是從問題的主要局部上來找尋相同或相似的問題。問題③是在找到與現(xiàn)在的問題有關(guān)且早已解決的問題時,我們又應(yīng)如何利用?值得注意的是,這里可以利用的應(yīng)含括三個方面：原問題的結(jié)果、方法以及結(jié)果和方法同時使用。通常問題①②③能激起一連串正確的想法,但它們也不是萬靈的。一旦上述三個問題的提問沒有實質(zhì)性的突破,這時我們不得不變化、變換我們的問題,問題④就是在這樣的背景下提出來的。當(dāng)我們陷入更為被動的狀態(tài)時,我們通過提出問題⑤,以其獲得原問題更為準(zhǔn)確或新的角度的認(rèn)識。問題⑥的提出位置應(yīng)該放置在熟悉和理解問題的環(huán)節(jié)上,這里提出來是防止我們陷入對問題的某個局部或細(xì)節(jié)的過度關(guān)注,以致顧此失彼。四、實現(xiàn)方案S:我應(yīng)該從哪兒開始?T:從剛剛構(gòu)建的思路開始。當(dāng)你感到你已清楚要做的主要工作,并且自信能提供可能需要的運算與論證,就可以開始工作了。S:怎樣進(jìn)行?T:詳細(xì)地進(jìn)行你以前認(rèn)為可行的代數(shù)運算和幾何運算。如果你的問題很復(fù)雜,可以分成“大〞步驟和“小〞步驟,每一大步驟又由幾個小步驟組成。首先檢查大步驟,以后再檢驗小步驟。五、回憶S:我應(yīng)該從哪兒開始?T:從解答開始,它的每一個細(xì)節(jié)都應(yīng)該是完整而正確的。S:怎樣進(jìn)行?T:從各個方面考慮這個解,找出與你已有知識之間的聯(lián)系?？紤]解的細(xì)節(jié),研究每一個細(xì)節(jié)的正確性;并嘗試使它們盡可能的簡單;研究解答中較冗長的局部,使它們更短些;試著一眼就看出整個解。試著去改良解的各局部,使它直觀?？偨Y(jié)你解題的方法,嘗試看出它的要點,并且嘗試把它用于其他問題?？偨Y(jié)所得結(jié)果并試著用于其他的問題。S:這樣做,我能有什么好處?T: