一題一課,生長思維

本文格式為Word版，下載可任意編輯——一題一課,生長思維戴承惠

[摘

要]選好初始問題，借助“一題一課〞的形式逐次展開內(nèi)容，整體設(shè)計(jì)優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，重視變式拓展加強(qiáng)知識(shí)關(guān)聯(lián)，建構(gòu)解決一類問題的方法體系;問題浮現(xiàn)上從封閉到開放，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，幫助學(xué)生積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，撬動(dòng)深度學(xué)習(xí)，使核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落地生根.

[關(guān)鍵詞]一題一課;最值問題;轉(zhuǎn)化思想;深度學(xué)習(xí)

學(xué)情分析

最短路徑問題是中考的熱點(diǎn)試題，這類試題形式多樣，涉及面廣，是學(xué)生不簡單突破的難點(diǎn).雖然平日練習(xí)、考試中經(jīng)常出現(xiàn)，但鑒于教材浮現(xiàn)的知識(shí)時(shí)段不一致（軸對稱最值問題、翻折最值問題等），因此相關(guān)知識(shí)與方法的浮現(xiàn)是零散、孤立的，導(dǎo)致學(xué)生不能深入把握知識(shí)的本質(zhì).為此，本專題適合在中考其次輪復(fù)習(xí)時(shí)使用，內(nèi)容聚焦且有層次，幫助學(xué)生完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、把握數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)、感悟數(shù)學(xué)思想和方法，實(shí)現(xiàn)由“學(xué)會(huì)〞到“會(huì)學(xué)〞的轉(zhuǎn)變.

復(fù)習(xí)目標(biāo)

筆者采用“一題一課〞的復(fù)習(xí)模式，運(yùn)用聯(lián)系的、整體的視角將與線段最值有關(guān)的典型習(xí)題融于一題之中，幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系，促使深度學(xué)習(xí)的真正發(fā)生.具體目標(biāo)如下：

（1）熟悉最短路徑問題的幾種模型，把握問題解決的方法.

（2）體會(huì)轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想和方法，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.

（3）幫助學(xué)生歸納問題解決的模型，體驗(yàn)成功的喜悅，加強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.

教學(xué)設(shè)計(jì)

1.初始問題，蓄勢待發(fā)

引例：如圖1，在Rt△ABC中，AB=6，∠C=30°，∠A=90°，P是斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AP的最小值.

變式1：如圖2，由點(diǎn)P作PU⊥AB于U，作PV⊥AC于V，求UV的最小值.

功能分析：立足學(xué)情，挖掘和整合初始問題，是“一題一課〞數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的起點(diǎn)，也是知識(shí)、方法和思維的生長點(diǎn).引例主要喚醒學(xué)生用“垂線段最短〞求最值的方法，變式1的設(shè)置讓學(xué)生感悟幾何動(dòng)態(tài)圖形的“變〞中有“不變〞，繁雜問題簡單化，滲透轉(zhuǎn)化思想.低起點(diǎn)的問題引入，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也為深度學(xué)習(xí)的發(fā)生積蓄能量.

教學(xué)示范：引例問題難度不大，給學(xué)生適當(dāng)?shù)臅r(shí)間，學(xué)生簡單回復(fù)：當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP的值最小.結(jié)合變式1，教師以問題引導(dǎo)學(xué)生：（1）當(dāng)AP⊥BC時(shí)，如何求AP的值，你有什么方法？（2）四邊形AUPV是什么圖形？（3）根據(jù)四邊形AUPV是矩形，你會(huì)聯(lián)想到什么？（根據(jù)矩形的性質(zhì)，對比簡單想到轉(zhuǎn)化求AP的最小值）（4）你能概括這兩個(gè)模型的特征嗎？引導(dǎo)學(xué)生概括本質(zhì)特征——“一動(dòng)一定型〞，動(dòng)點(diǎn)在直線上，解決策略是垂線段最短.

2.螺旋變式，高歌猛進(jìn)

變式2：如圖3，已知AN=3，Q是AB上的動(dòng)點(diǎn)，△AQN沿QN翻折，點(diǎn)A與A′對應(yīng)，求BA′的最小值.

變式3：如圖4，點(diǎn)M是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足∠M=90°，求CM的最小值.

功能分析：“隱圓〞問題對學(xué)生而言是對比難把握的問題，往往學(xué)生看不到滿足動(dòng)點(diǎn)軌跡的直接條件，解決這類問題需要學(xué)生自主摸索并發(fā)現(xiàn)軌跡，能靈活地用軌跡實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化.兩個(gè)變式，讓學(xué)生從簡單的圖形中發(fā)現(xiàn)特征，如在變式2、變式3中抓住“AN=A′N〞“∠M=90°〞始終不變，提煉基本模型，根據(jù)“定點(diǎn)定長或定弦定角必有‘隱圓〞，聯(lián)想到此動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，讓學(xué)生體驗(yàn)“尋特征—顯隱圓—明路徑—解最值〞的過程.

教學(xué)示范：解決這類問題的關(guān)鍵在于，引導(dǎo)學(xué)生從“變〞的現(xiàn)象中抓住“不變〞的本質(zhì)，從“不變〞的本質(zhì)摸索動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，進(jìn)而讓“隱圓〞現(xiàn)身，幫助學(xué)生形成對這類問題研究方法的整體認(rèn)識(shí).教師以問題引導(dǎo)學(xué)生：（1）上述“隱圓〞模型是怎么形成的？你知道依據(jù)嗎？（2）兩個(gè)模型之間有沒有聯(lián)系？能否進(jìn)行歸納總結(jié)？（3）你們能概括此類問題的特征嗎？通過這三個(gè)問題，總結(jié)“隱圓〞的特征（如圖5），提煉問題的本質(zhì)變式;此類問題也是“一動(dòng)一定型〞，動(dòng)點(diǎn)在弧上，解決策略是把線段的最值轉(zhuǎn)化到“圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)〞的最值問題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力.

變式4：如圖6，S為AB的中點(diǎn)，R是BG上的動(dòng)點(diǎn)，求SR+AR的最小值.

變式5：如圖7，BG是∠ABC的平分線，H，L是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，求△HLG的周長的最小值.

功能分析：變式4主要考察“馬飲水〞模型，此問題是利用軸對稱求線段和最小值的經(jīng)典習(xí)題，主要是通過軸對稱變換，化同側(cè)為異側(cè)，實(shí)現(xiàn)“化折為直〞.變式5從變式4的“兩定一動(dòng)型〞變成“兩動(dòng)一定型〞，考察了化歸思想，屬于雙軸對稱模型，讓學(xué)生深刻體會(huì)軸對稱的“橋梁〞作用，為探究問題提供“腳手架〞，從而實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的有的放矢.

教學(xué)示范：教學(xué)中先讓學(xué)生自主思考、分析條件，學(xué)生對比簡單想到“馬飲水〞問題，以直線BG為對稱軸，S與S′關(guān)于BG對稱，則SR+AR=AR+S′R.顯然，當(dāng)S′，R，A在同一直線上時(shí)，AR+RS′最短（如圖8）.變式5是對變式4的拓展引申，引導(dǎo)學(xué)生把“兩定一動(dòng)型〞轉(zhuǎn)化成“兩動(dòng)一定型〞，勉勵(lì)學(xué)生思考怎么把三條動(dòng)線段轉(zhuǎn)化到一條線段上，這類問題最終往往會(huì)化歸到“兩點(diǎn)之間，線段最短〞（如圖9）.

3.深度探究，挖掘本質(zhì)

變式6：如圖10，H，G，L是△ABC上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若∠A=60°，∠B=75°，AC=6，求△HLG的周長的最小值.

功能分析：通過有層次性的問題變式，讓學(xué)生體會(huì)一個(gè)簡單圖形中問題的不斷生長，適時(shí)將問題一般化，從“兩動(dòng)一定型〞拓展到“三動(dòng)點(diǎn)型〞，尋覓知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)、整體化的建構(gòu)聯(lián)系，抓住問題本質(zhì)進(jìn)行變式，引發(fā)學(xué)生深度思考，讓學(xué)生領(lǐng)悟解決線段和最小值問題模型的一般思維模式，真正發(fā)揮數(shù)學(xué)課堂的育人價(jià)值.

教學(xué)示范：教學(xué)過程中，留給學(xué)生充沛的時(shí)間思考，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生思考如下幾個(gè)問題：（1）題目要求什么？（2）三條折線段求最值問題，你會(huì)聯(lián)想到什么？這兩個(gè)問題的目的是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“三動(dòng)點(diǎn)型〞，問題的本質(zhì)還是轉(zhuǎn)化成“馬飲水〞問題：DH=HL，LG=GE，則D，H，G，E四點(diǎn)共線時(shí)，ADE為頂角120°的等腰三角形，即當(dāng)AL⊥BC時(shí)，△HLG的周長最短（如圖11）.

4.自主編題，創(chuàng)新思維

遷移提升：如圖12，在Rt△OAB中，點(diǎn)A在直線y=2上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)中始終保持∠B=30°不變，請你提一個(gè)關(guān)于線段和最小值的問題.

學(xué)生經(jīng)過小組合作交流，教師總結(jié)，最終展示三個(gè)拓展.

拓展1：如圖12，點(diǎn)A在直線y=2上運(yùn)動(dòng)，求OB的最小值.

拓展2：如圖13，若D為（0，3），求DB的最小值.

拓展3：如圖13，若D為（0，3），求DB+OB的最小值.

功能分析：開放性地設(shè)計(jì)問題，為學(xué)生創(chuàng)造條件和機(jī)遇，讓他們自己構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)，勉勵(lì)學(xué)生主動(dòng)參與、積極編題，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)“再發(fā)現(xiàn)〞的過程，加強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力;同時(shí)關(guān)注學(xué)情，把握動(dòng)態(tài)生成，讓學(xué)生學(xué)得數(shù)學(xué)本質(zhì)，又學(xué)得興趣盎然，使課堂更加自然、簡約、深刻.

教學(xué)示范：對于開放性問題，教學(xué)時(shí)勉勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，然后小組合作探討，派代表共享小組的編題想法.教師在過程中要關(guān)注學(xué)生的問題探究，對于學(xué)生所提問題進(jìn)行適當(dāng)分類，抓住關(guān)鍵、凸顯本質(zhì)的問題，從而做到收放自如，提高課堂效率.拓展1中，求OB的最小值，本質(zhì)上可以轉(zhuǎn)化成OA的最小值，讓學(xué)生感悟轉(zhuǎn)化思想的奇妙.拓展2、拓展3中，要去挖掘點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡，引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想，畫圖找特別的三個(gè)點(diǎn)，大致判定軌跡是弧或直線，再用參數(shù)法確定點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線，進(jìn)而把問題轉(zhuǎn)化為垂線段最短與“馬飲水〞問題.

5.歸納小結(jié)，升華主旨

通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，值得我們思考的幾個(gè)問題：（1）同學(xué)們，你明白了最短路徑問題有哪幾種基本模型嗎？（2）解決這類問題用到了什么知識(shí)，你都明了了嗎？對此你還有什么想法？

功能分析：通過學(xué)生回想總結(jié)，梳理解決“最短路徑問題〞的本質(zhì)性思路，將解題的經(jīng)歷轉(zhuǎn)化為思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而遷移應(yīng)用的其他“相關(guān)〞類型問題的解題模式，淡化解題技巧，重視知識(shí)本質(zhì)，優(yōu)化思維品質(zhì)，發(fā)展核心素養(yǎng)，這應(yīng)當(dāng)是深度學(xué)習(xí)價(jià)值之所在.

教學(xué)示范：在教學(xué)過程中，教師要擅長引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)“最短路徑問題〞的基本特征，提煉基本方法，感悟數(shù)學(xué)思想和方法，積極的評價(jià)促進(jìn)學(xué)生的思維習(xí)慣在反思中不斷矯正與提升，實(shí)現(xiàn)低階思維走向高階思維，形成學(xué)生思維發(fā)展的深刻性.

設(shè)計(jì)說明

1.立足深度的“學(xué)〞，挖掘初始問題

“初始問題〞的挖掘和整合，要從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，分析學(xué)生的知識(shí)薄弱點(diǎn)，重新組合教材的典型例題、習(xí)題作為“一題〞的主要素材，由一個(gè)問題驅(qū)動(dòng)生成一節(jié)課的全部知識(shí)，建構(gòu)完整的知識(shí)和方法體系.本課以引例出發(fā)，用一道題貫穿始終，走出“題海戰(zhàn)術(shù)〞的陰影，追求簡約而不簡單的思維課堂.

2.立足深度的“教〞，重視問題設(shè)計(jì)

基于一個(gè)初始問題，認(rèn)真研究并琢磨其本質(zhì)，通過縱橫聯(lián)系，改變問題條件或結(jié)論，置換問題背景，以轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想為主線把孤立的問題串聯(lián)起來，形成