簡諧振動課件

第九章振動利用質點和剛體運動規(guī)律研究振動現(xiàn)象1第九章振動利用質點和剛體運動規(guī)律研究振動現(xiàn)象1§9.1簡諧振動的動力學特征§9.2簡諧振動的運動學§9.3簡諧振動的能量轉換§9.4簡諧振動的合成主要內容2§9.1簡諧振動的動力學特征主要內容2振動基本概念：機械運動:物體在某一位置附近往復運動的現(xiàn)象.按振動規(guī)律：簡諧、非簡諧、隨機振動.按振動原因：自由、受迫、自激、阻尼.1.振動:一個物理量在某一定值附近往復變化的過程.按自由度：單自由度系統(tǒng)、多自由度系統(tǒng).按振動位移：角振動、線振動.按系統(tǒng)參數(shù)特征：線性、非線性振動.2.分類

簡諧運動

最簡單、最基本的振動.簡諧運動復雜振動合成分解3振動基本概念：機械運動:物體在某一位置附近往復運動的現(xiàn)象.

彈簧振子的振動

平衡位置：質點在某位置所受的力（或沿運動方向受的力）等于零，該位置即為平衡位置。

一.簡諧振動§9-1簡諧振動的動力學特征

4彈簧振子的振動

平衡位置：質點在某位置所受的力（或振動的成因b慣性a回復力

線性回復力：若作用于質點的力與質點相對于平衡位置的位移（線位移或角位移）成正比，且指向平衡位置，則此作用力稱作線性回復力。

公式：是相對于平衡位置的位移。

5振動的成因b慣性a回復力線性回復力：若作用于質點令

彈簧振子的動力學分析得（1）彈簧振子作簡諧振動的動力學方程。如質點運動的動力學方程可歸結為：的形式，且其中決定于振動系統(tǒng)本身的性質。⑴式的形式就是簡諧振動的動力學方程式。6令彈簧振子的動力學分析得（1）彈簧振子作簡諧振動的轉動正向時動力學分析：OAm1.單擺二、簡諧振動的幾個例子令7轉動正向時動力學分析：OAm1.單擺二、簡諧振動的幾個例子令建立自然坐標系：若很小，則近似：,則：因此，（2）上式即為單擺簡諧振動的動力學方程O或：8建立自然坐標系：若很小，則近似：,則：2.

復擺

任何物體懸掛后所做的擺動叫復擺。

一剛體懸掛于O點，剛體的質心C距剛體的懸掛點O之間的距離是l。選角增加的方向為正方向，即：z軸垂直紙面向外,很小時：

*（C點為質心）轉動正向CO92.

復擺任何物體懸掛后所做的擺動叫復擺。一剛體復擺動力學令*（C點為質心）轉動正向CO10復擺動力學令*（C點為質心）轉動正向CO10彈簧振子單擺復擺由11彈簧振子單擺復擺由11三、簡諧振動的判據(jù)且常量取決于振動系統(tǒng)本身1.判斷位移與時間是否滿足微分方程：（1）2.判斷所受力或力矩是否為線性回復力或力矩對機械振動，用方程（1）或用線性回復力、線形回復力矩的概念定義簡諧振動是等價的。超出機械運動范圍，仍可用（1）式定義簡諧振動。12三、簡諧振動的判據(jù)且常量取決于振動系統(tǒng)本身1.判斷位移與時間[例題1]彈簧下面懸掛物體，不計彈簧質量和阻力，證明在平衡位置附近的振動是簡諧振動.（證明豎直懸掛彈簧的運動是諧振動。）Axxl根據(jù)牛頓第二定律得[解]與彈簧振子的動力學方程相同，故質點作簡諧振動.平衡位置有13[例題1]彈簧下面懸掛物體，不計彈簧質量和阻力，證明在平求證：木塊將作諧振動，并寫出諧振動動力學方程.[例題2]水面上浮有一方形木塊，在靜止時水面以上高度為a,水面以下高度為b.水密度為ρ，木塊密度為ρ，不計水的阻力.現(xiàn)用外力將木塊壓入水中，使木快上表面與水面平齊.[證]abρρS平衡時平衡時：重力浮力14求證：木塊將作諧振動，并寫出諧振動動力學方程.[例題2]水任意位置木塊受到的合外力為：木塊作諧振動.即令ρρS任意位置abxOx15任意位置木塊受到的合外力為：木塊作諧振動.即令ρρS證

設物體平衡時兩彈簧伸長分別為x1、x2，則物體受力平衡，有按圖（b）所取坐標，物體沿x軸移動位移x時，兩彈簧又分別被拉伸x’1和x’2，即x=x’1+x’2,則物體受力為[例3]如圖(a)所示，兩個輕彈簧的勁度系數(shù)分別為k1和k2，物體在光滑斜面上振動。（1）證明其運動仍是簡諧運動；（2）求系統(tǒng)的振動頻率。16證設物體平衡時兩彈簧伸長分別為x1、x2，則物將式（1）代入式（2）得式中

為常數(shù)，則物體作簡諧運動，振動頻率為討論:斜面傾角對彈簧作簡諧運動及振動的頻率均不產(chǎn)生影響。由式（3）得而x=x’1+x’2,，則得到)/,/2211kFxkFx-=￠-=￠17將式（1）代入式（2）得式中簡諧運動動力學方程積分常數(shù)，根據(jù)初始條件確定解方程設初始條件為:解得簡諧運動方程§9.2簡諧振動的運動學一、簡諧振動的運動方程18簡諧運動動力學方程積分常數(shù)，根據(jù)初始條件確定解方程設初始條件二、描述簡諧振動的物理量1.周期（T）完成一次全振動所用的時間：對彈簧振子：2.

頻率（）單位時間內完成的全振動的次數(shù)：的含義：個單位時間內完成的全振動的次數(shù)，即圓頻率。19二、描述簡諧振動的物理量1.周期（T）完成一次全振動所用3.振幅A定義：物體離開平衡位置最大位移的絕對值。它的大小決定于振動的初始狀態(tài)。由因此，（2）如：t=0時203.振幅A定義：物體離開平衡位置最大位移的絕對值。它4.

相位和初相位振動系統(tǒng)的狀態(tài)指：任意瞬時的位移和速度。但僅知振幅頻率還不夠，還須知道才能完全決定系統(tǒng)的運動狀態(tài)。叫簡諧振動的相位。當 時，叫初相位。由：可得：（3）

相位的意義:表征任意時刻t物體振動狀態(tài)（相貌）.物體經(jīng)一周期的振動，相位改變2π若已知初始條件：t=0時，，則⑶式有：214.

相位和初相位振動系統(tǒng)的狀態(tài)指：任意瞬時的位移和速度⑷、⑸式中的任意二個即可確定初位相。（4）（5）例1

一彈簧振子，t＝0時，求振動的初位相。解：因此，在第一象限，22⑷、⑸式中的任意二個即可確定初位相。（4）（5）例1一彈簧常數(shù)和的確定初始條件

對給定振動系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質決定，振幅和初相由初始條件決定.23常數(shù)和的確定初始條件對給定振動系統(tǒng)，周期由系5.相位差：兩振動相位之差。討論下列幾種情況：（1）若是的整數(shù)倍，則振動同相位；（2）若是的奇數(shù)倍，則振動相位相反；（3）若，則稱超前；（4）若，則稱落后；相位差的不同，表明二振動有不同程度的參差錯落，振動步調不同。245.相位差：兩振動相位之差。討論下列幾種情況：例2討論振動的位移，速度和加速度之間的關系。解：設：則，所以：速度的位相比位移的位相超前；加速度的位相比速度的位相超前；加速度的位相比位移的位相超前。25例2討論振動的位移，速度和加速度之間的關系。解：設：則，圖圖圖取26圖圖圖取26二振動相位差(

2-1

),若(

2-1

)=2n,n為整數(shù)，稱兩簡諧振動同相位.若(

2-1

)=(2n+1),n為整數(shù)，稱兩簡諧振動反相位.6.兩簡諧振動步調的比較

[例題3]二同頻率不同振幅的簡諧振動表示為的情況比較兩種振動.試分別就27二振動相位差(2-1),若(2-[解]（1）二振動相位相同，即振動狀態(tài)相同，同步調.(2)二振動相位相反，即二振動反步調.28[解]（1）二振動相位相同，即振動狀態(tài)相同，同步調.(2)總結：

⑴簡諧振動是周期性運動；⑵簡諧振動各瞬時的運動狀態(tài)由振幅A、頻率及初相位決定，或者說，由振幅和相位決定。⑶簡諧振動的頻率是由振動系統(tǒng)本身固有性質決定的，而振幅和初相位不僅決定于系統(tǒng)本身性質，而且取決于初始條件。29總結：⑴簡諧振動是周期性運動；⑵簡諧振動各瞬時的運動振幅大小決定曲線的“高低”，頻率影響曲線的“密集和疏散”.初相位決定曲線在橫軸上的位置。txO初相位=0txO描述：質點在各個時刻的偏離平衡位置的位移。三、簡諧振動的圖象：x-t圖線

30振幅大小決定曲線的“高低”，頻率影響曲線的“密集和疏散”.[例題4]質點作簡諧振動的曲線如圖所示，試根據(jù)圖推出該質點的振動式。t/s0241x/cm再由，在時，，從圖判知，v>0，即故在兩值中，只能取。又據(jù)圖有，代入振動式得[解]因，從圖得A=4，下面計算和。據(jù)圖有時，，代入振動式得31[例題4]質點作簡諧振動的曲線如圖所示，試根再由時，，可知。故取于是求得質點的振動式為本題在計算過程中取的單位為rad/s，t的單位為s，的單位為rad，x和A的單位為cm。另一種描述運動狀態(tài)的方法是利用相平面——坐標和速度構成的坐標系。其上一點給出質點在某時刻的運動狀態(tài)，隨時間推移，質點運動狀態(tài)在相平面上的代表點移動而畫出曲線，稱相軌跡或相圖。位置和速度的關系曲線就是它的相圖32再由時，旋轉矢量

自Ox軸的原點O作一矢量

，使它的模等于振動的振幅A，并使矢量

在

Oxy平面內繞點O作逆時針方向的勻角速轉動，其角速度與振動頻率相等，這個矢量就叫做旋轉矢量.

四、簡諧振動的矢量表示法

33旋轉矢量自Ox軸的原點O作一矢量，使它的模等于振動

以

為原點旋轉矢量的端點在軸上的投影點的運動為簡諧運動.34以為原點旋轉矢量的端點在軸上的投影點的運動用旋轉矢量的投影表示簡諧振動。如圖示：為一長度不變的矢量，的始點在坐標軸的原點處，記時起點t=0時，矢量與坐標軸的夾角為，矢量以角速度逆時針勻速轉動。35用旋轉矢量的投影表示簡諧振動。如圖示：為一長度由此可見：⑴勻速旋轉矢量在坐標軸上的投影即表示一特定的簡諧振動的運動學方程。⑵矢端的速度大小為，在x軸上的投影為：⑶矢端沿圓周運動的加速度即向心加速度的大小為：，在x軸上的投影：36由此可見：⑴勻速旋轉矢量在坐標軸上的投影即表示一特定的[例題5]如圖右方表示某簡諧振動的x-t圖，試用作圖方法畫出t1和t2時刻的旋轉矢量的位置.txO

t1

t2

P1P2xOAABB[解]37[例題5]如圖右方表示某簡諧振動的x-t圖，試用作以水平的彈簧振子為例動能xO=0x勢能§9.3簡諧振動的能量轉換

38以水平的彈簧振子為例動能xO=0x勢能總能總機械能守恒，即總能量不隨時間變化.OxtAx=costω0EA212k=EEkEPtO39總能總機械能守恒，即總能量不隨時間變化.OxtAx=co這些結論同樣適用于任何簡諧振動.(3)振幅不僅給出簡諧振動運動的范圍，而且還反映了振動系統(tǒng)總能量的大小及振動的強度.(1)任一簡諧振動總能量與振幅的平方成正比.(2)總能量不變.彈簧振子的動能和勢能的平均值相等，且等于總機械能的一半.結論(4)Ek與Ep相位相反.(5)Ek與Ep的變化頻率都是原頻率的兩倍.40這些結論同樣適用于任何簡諧振動.(3)振幅不僅給出簡諧振[例題6]彈簧振子水平放置，克服彈簧拉力將質點自平衡位置移開m，彈簧拉力為24N，隨即釋放，形成簡諧振動。計算:（1）彈簧振子的總能；（2）求質點被釋放后，行至振幅一半時，振子的動能和勢能.

[解]（1）A＝0.04m(2)取平衡位置為勢能零點,行至振幅一半時相位為60

[cos(w0t+α)=1/2]:41[例題6]彈簧振子水平放置，克服彈簧拉力將質點自平衡位置移

[例7]質量為的物體，以振幅作簡諧運動，其最大加速度為，求：（1）振動的周期；（2）通過平衡位置的動能；（3）總能量；（4）物體在何處其動能和勢能相等？42[例7]質量為的物體，以振幅（2）解（1）已知；(2)求:(1)43（2）解（1）已知；(2)求:(1)43（4）時由已知（3）解；(4)何處動勢能相等?求:(3)44（4）時由已知（3）解；(4)何處動勢能相等?求:(3)44可利用機械能守恒定律求出簡諧振動的運動學方程.積分既得令45可利用機械能守恒定律求出簡諧振動的運動學方程.積分既得一、同方向同頻率簡諧振動的合成設質點參與同方向同頻率的兩個簡諧振動：合位移：令：§9.4簡諧振動的合成46一、同方向同頻率簡諧振動的合成設質點參與同方向同頻率的兩個簡則：因此，（1）

⑴式表明：

兩個同方向同頻率簡諧運動合成后仍為同頻率的簡諧運動47則：因此，（1）⑴式表明：兩個同方向同用旋轉矢量法同樣得上述結果12或者：由簡諧振動的旋轉矢量法表示：、以頻率旋轉，之間的夾角不變，也以旋轉，平行四邊形的形狀不變。

48用旋轉矢量法同樣得上述結果12或者：由簡諧振動（1）相位差討論：

49（1）相位差討論：49（2）相位差50（2）相位差50（3）一般情況加強減弱小結：（1）相位差（2）相位差51（3）一般情況加強減弱小結：（1）相位差（2）相位差51二、兩個相互垂直的同頻率的簡諧運動的合成質點運動軌跡

（橢圓方程）52二、兩個相互垂直的同頻率的簡諧運動的合成質點運動軌跡（橢（1）或

討論（2）

53（1）或討（2）53（3）

討論54（3）討54

用旋轉矢量描繪振動合成圖55用旋轉矢量描繪振動合成圖55

兩相互垂直同頻率不同相位差簡諧運動的合成圖56兩相互垂直同頻率不同相位差簡諧運動的合成圖56

三、兩個同方向不同頻率簡諧運動的合成57三、兩個同方向不同頻率簡諧運動的合成57

頻率較大而頻率之差很小的兩個同方向簡諧運動的合成，其合振動的振幅時而加強時而減弱的現(xiàn)象叫拍.討論,的情況

58頻率較大而頻率之差很小的兩個同方向簡諧運動的合成，其合振動頻率振幅部分

方法一振幅

振動頻率59合振動頻率振幅部分方法一振幅振動頻率59拍頻（振幅變化的頻率）60拍頻（振幅變化的頻率）60

方法二：旋轉矢量合成法61方法二：旋轉矢量合成法61振幅

振動圓頻率拍頻62振幅振動圓頻率拍頻62四、互相垂直、不同頻率簡諧振動的合成利薩如圖形一般來說，兩個相互垂直的簡諧振動，由于具有不同頻率，其相位差將隨時間而變化，因而其合成振動的軌跡一般不能形成穩(wěn)定的圖形。但如果分振動的頻率成整數(shù)比，則合振動的軌跡為穩(wěn)定的曲線，曲線的花樣和分振動的頻率比、初位相有關，得出的圖形叫利薩如圖。利用電子示波器，調整輸入信號的頻率比，可以在熒光屏上觀察到不同樣式的利薩如圖形。因此，可由一個振動的已知頻率，通過測量求出另一個振動的未知頻率。工程上常用這種方法來測定未知頻率。63四、互相垂直、不同頻率簡諧振動的合成利薩如圖形一般來說不同頻率比例的利薩如圖形

1:11:11:24:34:38:69:78:6(方波)7:4利薩如圖形的演示及繪制64不同頻率比例的利薩如圖形1:11:11:2作業(yè)9.2.29.2.69.2.159.3.265作業(yè)9.2.265第九章振動利用質點和剛體運動規(guī)律研究振動現(xiàn)象66第九章振動利用質點和剛體運動規(guī)律研究振動現(xiàn)象1§9.1簡諧振動的動力學特征§9.2簡諧振動的運動學§9.3簡諧振動的能量轉換§9.4簡諧振動的合成主要內容67§9.1簡諧振動的動力學特征主要內容2振動基本概念：機械運動:物體在某一位置附近往復運動的現(xiàn)象.按振動規(guī)律：簡諧、非簡諧、隨機振動.按振動原因：自由、受迫、自激、阻尼.1.振動:一個物理量在某一定值附近往復變化的過程.按自由度：單自由度系統(tǒng)、多自由度系統(tǒng).按振動位移：角振動、線振動.按系統(tǒng)參數(shù)特征：線性、非線性振動.2.分類

簡諧運動

最簡單、最基本的振動.簡諧運動復雜振動合成分解68振動基本概念：機械運動:物體在某一位置附近往復運動的現(xiàn)象.

彈簧振子的振動

平衡位置：質點在某位置所受的力（或沿運動方向受的力）等于零，該位置即為平衡位置。

一.簡諧振動§9-1簡諧振動的動力學特征

69彈簧振子的振動

平衡位置：質點在某位置所受的力（或振動的成因b慣性a回復力

線性回復力：若作用于質點的力與質點相對于平衡位置的位移（線位移或角位移）成正比，且指向平衡位置，則此作用力稱作線性回復力。

公式：是相對于平衡位置的位移。

70振動的成因b慣性a回復力線性回復力：若作用于質點令

彈簧振子的動力學分析得（1）彈簧振子作簡諧振動的動力學方程。如質點運動的動力學方程可歸結為：的形式，且其中決定于振動系統(tǒng)本身的性質。⑴式的形式就是簡諧振動的動力學方程式。71令彈簧振子的動力學分析得（1）彈簧振子作簡諧振動的轉動正向時動力學分析：OAm1.單擺二、簡諧振動的幾個例子令72轉動正向時動力學分析：OAm1.單擺二、簡諧振動的幾個例子令建立自然坐標系：若很小，則近似：,則：因此，（2）上式即為單擺簡諧振動的動力學方程O或：73建立自然坐標系：若很小，則近似：,則：2.

復擺

任何物體懸掛后所做的擺動叫復擺。

一剛體懸掛于O點，剛體的質心C距剛體的懸掛點O之間的距離是l。選角增加的方向為正方向，即：z軸垂直紙面向外,很小時：

*（C點為質心）轉動正向CO742.

復擺任何物體懸掛后所做的擺動叫復擺。一剛體復擺動力學令*（C點為質心）轉動正向CO75復擺動力學令*（C點為質心）轉動正向CO10彈簧振子單擺復擺由76彈簧振子單擺復擺由11三、簡諧振動的判據(jù)且常量取決于振動系統(tǒng)本身1.判斷位移與時間是否滿足微分方程：（1）2.判斷所受力或力矩是否為線性回復力或力矩對機械振動，用方程（1）或用線性回復力、線形回復力矩的概念定義簡諧振動是等價的。超出機械運動范圍，仍可用（1）式定義簡諧振動。77三、簡諧振動的判據(jù)且常量取決于振動系統(tǒng)本身1.判斷位移與時間[例題1]彈簧下面懸掛物體，不計彈簧質量和阻力，證明在平衡位置附近的振動是簡諧振動.（證明豎直懸掛彈簧的運動是諧振動。）Axxl根據(jù)牛頓第二定律得[解]與彈簧振子的動力學方程相同，故質點作簡諧振動.平衡位置有78[例題1]彈簧下面懸掛物體，不計彈簧質量和阻力，證明在平求證：木塊將作諧振動，并寫出諧振動動力學方程.[例題2]水面上浮有一方形木塊，在靜止時水面以上高度為a,水面以下高度為b.水密度為ρ，木塊密度為ρ，不計水的阻力.現(xiàn)用外力將木塊壓入水中，使木快上表面與水面平齊.[證]abρρS平衡時平衡時：重力浮力79求證：木塊將作諧振動，并寫出諧振動動力學方程.[例題2]水任意位置木塊受到的合外力為：木塊作諧振動.即令ρρS任意位置abxOx80任意位置木塊受到的合外力為：木塊作諧振動.即令ρρS證

設物體平衡時兩彈簧伸長分別為x1、x2，則物體受力平衡，有按圖（b）所取坐標，物體沿x軸移動位移x時，兩彈簧又分別被拉伸x’1和x’2，即x=x’1+x’2,則物體受力為[例3]如圖(a)所示，兩個輕彈簧的勁度系數(shù)分別為k1和k2，物體在光滑斜面上振動。（1）證明其運動仍是簡諧運動；（2）求系統(tǒng)的振動頻率。81證設物體平衡時兩彈簧伸長分別為x1、x2，則物將式（1）代入式（2）得式中

為常數(shù)，則物體作簡諧運動，振動頻率為討論:斜面傾角對彈簧作簡諧運動及振動的頻率均不產(chǎn)生影響。由式（3）得而x=x’1+x’2,，則得到)/,/2211kFxkFx-=￠-=￠82將式（1）代入式（2）得式中簡諧運動動力學方程積分常數(shù)，根據(jù)初始條件確定解方程設初始條件為:解得簡諧運動方程§9.2簡諧振動的運動學一、簡諧振動的運動方程83簡諧運動動力學方程積分常數(shù)，根據(jù)初始條件確定解方程設初始條件二、描述簡諧振動的物理量1.周期（T）完成一次全振動所用的時間：對彈簧振子：2.

頻率（）單位時間內完成的全振動的次數(shù)：的含義：個單位時間內完成的全振動的次數(shù)，即圓頻率。84二、描述簡諧振動的物理量1.周期（T）完成一次全振動所用3.振幅A定義：物體離開平衡位置最大位移的絕對值。它的大小決定于振動的初始狀態(tài)。由因此，（2）如：t=0時853.振幅A定義：物體離開平衡位置最大位移的絕對值。它4.

相位和初相位振動系統(tǒng)的狀態(tài)指：任意瞬時的位移和速度。但僅知振幅頻率還不夠，還須知道才能完全決定系統(tǒng)的運動狀態(tài)。叫簡諧振動的相位。當 時，叫初相位。由：可得：（3）

相位的意義:表征任意時刻t物體振動狀態(tài)（相貌）.物體經(jīng)一周期的振動，相位改變2π若已知初始條件：t=0時，，則⑶式有：864.

相位和初相位振動系統(tǒng)的狀態(tài)指：任意瞬時的位移和速度⑷、⑸式中的任意二個即可確定初位相。（4）（5）例1

一彈簧振子，t＝0時，求振動的初位相。解：因此，在第一象限，87⑷、⑸式中的任意二個即可確定初位相。（4）（5）例1一彈簧常數(shù)和的確定初始條件

對給定振動系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質決定，振幅和初相由初始條件決定.88常數(shù)和的確定初始條件對給定振動系統(tǒng)，周期由系5.相位差：兩振動相位之差。討論下列幾種情況：（1）若是的整數(shù)倍，則振動同相位；（2）若是的奇數(shù)倍，則振動相位相反；（3）若，則稱超前；（4）若，則稱落后；相位差的不同，表明二振動有不同程度的參差錯落，振動步調不同。895.相位差：兩振動相位之差。討論下列幾種情況：例2討論振動的位移，速度和加速度之間的關系。解：設：則，所以：速度的位相比位移的位相超前；加速度的位相比速度的位相超前；加速度的位相比位移的位相超前。90例2討論振動的位移，速度和加速度之間的關系。解：設：則，圖圖圖取91圖圖圖取26二振動相位差(

2-1

),若(

2-1

)=2n,n為整數(shù)，稱兩簡諧振動同相位.若(

2-1

)=(2n+1),n為整數(shù)，稱兩簡諧振動反相位.6.兩簡諧振動步調的比較

[例題3]二同頻率不同振幅的簡諧振動表示為的情況比較兩種振動.試分別就92二振動相位差(2-1),若(2-[解]（1）二振動相位相同，即振動狀態(tài)相同，同步調.(2)二振動相位相反，即二振動反步調.93[解]（1）二振動相位相同，即振動狀態(tài)相同，同步調.(2)總結：

⑴簡諧振動是周期性運動；⑵簡諧振動各瞬時的運動狀態(tài)由振幅A、頻率及初相位決定，或者說，由振幅和相位決定。⑶簡諧振動的頻率是由振動系統(tǒng)本身固有性質決定的，而振幅和初相位不僅決定于系統(tǒng)本身性質，而且取決于初始條件。94總結：⑴簡諧振動是周期性運動；⑵簡諧振動各瞬時的運動振幅大小決定曲線的“高低”，頻率影響曲線的“密集和疏散”.初相位決定曲線在橫軸上的位置。txO初相位=0txO描述：質點在各個時刻的偏離平衡位置的位移。三、簡諧振動的圖象：x-t圖線

95振幅大小決定曲線的“高低”，頻率影響曲線的“密集和疏散”.[例題4]質點作簡諧振動的曲線如圖所示，試根據(jù)圖推出該質點的振動式。t/s0241x/cm再由，在時，，從圖判知，v>0，即故在兩值中，只能取。又據(jù)圖有，代入振動式得[解]因，從圖得A=4，下面計算和。據(jù)圖有時，，代入振動式得96[例題4]質點作簡諧振動的曲線如圖所示，試根再由時，，可知。故取于是求得質點的振動式為本題在計算過程中取的單位為rad/s，t的單位為s，的單位為rad，x和A的單位為cm。另一種描述運動狀態(tài)的方法是利用相平面——坐標和速度構成的坐標系。其上一點給出質點在某時刻的運動狀態(tài)，隨時間推移，質點運動狀態(tài)在相平面上的代表點移動而畫出曲線，稱相軌跡或相圖。位置和速度的關系曲線就是它的相圖97再由時，旋轉矢量

自Ox軸的原點O作一矢量

，使它的模等于振動的振幅A，并使矢量

在

Oxy平面內繞點O作逆時針方向的勻角速轉動，其角速度與振動頻率相等，這個矢量就叫做旋轉矢量.

四、簡諧振動的矢量表示法

98旋轉矢量自Ox軸的原點O作一矢量，使它的模等于振動

以

為原點旋轉矢量的端點在軸上的投影點的運動為簡諧運動.99以為原點旋轉矢量的端點在軸上的投影點的運動用旋轉矢量的投影表示簡諧振動。如圖示：為一長度不變的矢量，的始點在坐標軸的原點處，記時起點t=0時，矢量與坐標軸的夾角為，矢量以角速度逆時針勻速轉動。100用旋轉矢量的投影表示簡諧振動。如圖示：為一長度由此可見：⑴勻速旋轉矢量在坐標軸上的投影即表示一特定的簡諧振動的運動學方程。⑵矢端的速度大小為，在x軸上的投影為：⑶矢端沿圓周運動的加速度即向心加速度的大小為：，在x軸上的投影：101由此可見：⑴勻速旋轉矢量在坐標軸上的投影即表示一特定的[例題5]如圖右方表示某簡諧振動的x-t圖，試用作圖方法畫出t1和t2時刻的旋轉矢量的位置.txO

t1

t2

P1P2xOAABB[解]102[例題5]如圖右方表示某簡諧振動的x-t圖，試用作以水平的彈簧振子為例動能xO=0x勢能§9.3簡諧振動的能量轉換

103以水平的彈簧振子為例動能xO=0x勢能總能總機械能守恒，即總能量不隨時間變化.OxtAx=costω0EA212k=EEkEPtO104總能總機械能守恒，即總能量不隨時間變化.OxtAx=co這些結論同樣適用于任何簡諧振動.(3)振幅不僅給出簡諧振動運動的范圍，而且還反映了振動系統(tǒng)總能量的大小及振動的強度.(1)任一簡諧振動總能量與振幅的平方成正比.(2)總能量不變.彈簧振子的動能和勢能的平均值相等，且等于總機械能的一半.結論(4)Ek與Ep相位相反.(5)Ek與Ep的變化頻率都是原頻率的兩倍.105這些結論同樣適用于任何簡諧振動.(3)振幅不僅給出簡諧振[例題6]彈簧振子水平放置，克服彈簧拉力將質點自平衡位置移開m，彈簧拉力為24N，隨即釋放，形成簡諧振動。計算:（1）彈簧振子的總能；（2）求質點被釋放后，行至振幅一半時，振子的動能和勢能.

[解]（1）A＝0.04m(2)取平衡位置為勢能零點,行至振幅一半時相位為60

[cos(w0t+α)=1/2]:106[例題6]彈簧振子水平放置，克服彈簧拉力將質點自平衡位置移

[例7]質量為的物體，以振幅作簡諧運動，其最大加速度為，求：（1）振動的周期；（2）通過平衡位置的動能；（3）總能量；（4）物體在何處其動能和勢能相等？107[例7]質量為的物體，以振幅（2）解（1）已知；(2)求:(1)108（2）解（1）已知；(2)求:(1)43（4）時由已知（3）解；(4)何處動勢能相等?求:(3)109