思維可視化助力數(shù)學建模

本文格式為Word版，下載可任意編輯——思維可視化助力數(shù)學建模陳云

數(shù)學問題的解決往往是有“模〞的，在“建模〞的過程中，教師引導學生運用圖示、表格、公式等，用數(shù)學的語言把思考方法、思考過程、思考結果表達出來，這個過程就是“思維可視化〞。學生在經歷模型準備、模型假設、模型建立和模型分析的過程中，恰當運用圖解，有助于從生活中抽象數(shù)學問題、運用數(shù)學語言描述發(fā)現(xiàn)，直至正確建立數(shù)學模型，并將所學知識應用到需要解決的問題中去。

數(shù)學建模;模型準備;模型假設;模型分析

數(shù)學問題的解決往往是有“模〞的，在小學數(shù)學課堂中建立的這個“模〞，是廣泛意義上的模式，是學生在對一類現(xiàn)實問題觀測和分析的基礎上，利用直觀的數(shù)學語言或工具，對問題進行恰當?shù)某橄?、提煉，并最終成為解決一類問題的模型。在建模的過程中，教師引導學生運用圖示、表格、公式等數(shù)學語言，把思考方法、思考過程、思考結果表達出來，這個過程就是“思維可視化〞。“可視化〞方式讓學生數(shù)學學習的心理過程清楚可見，助力學生對問題的分析、認識和解決，助力學生感知力、思維力、想象力的提升，更助力數(shù)學建模的完成。

數(shù)學模型并非現(xiàn)實問題的直接翻版，小學課堂中的數(shù)學建模往往要經歷模型準備、模型假設、模型建立和模型分析的過程，也就是結合生活實際進行抽象—運用數(shù)學語言、數(shù)學方式描述—初步建立數(shù)學模型—應用于需要解決的問題。下面以蘇教版三年級上冊“間隔排列〞的教學過程為例，來分析思維可視化在建模過程中的重要作用。

一、模型準備

在建模的準備過程中學生需要了解問題的實際背景，把握對象的各種信息，特別是提煉出問題的精華，進而用數(shù)學語言來描述問題。在“間隔排列〞的教學過程中，當浮現(xiàn)教材主題情境圖之后，教師首先引導學生用生活語言表述：小兔和小兔之間有一個蘑菇、木樁和籬笆一個接一個……接著進一步要求學生用數(shù)學語言描述問題，提醒學生關注“數(shù)〞的信息和“量〞的特質，并選擇適合的方式浮現(xiàn)出來。然后教師與學生一起，用表格的方式將信息進行整理。

使用表格便于信息的集中、觀測和對比，是一種有數(shù)學特色的可視化“語言〞，學生一看就知道接下來應當是會進行數(shù)量上的觀測與對比。確實，建模的準備過程需要對大量的觀測數(shù)據進行統(tǒng)計分析，以尋求規(guī)律，這就需要啟發(fā)學生選擇適合的“可視化〞方式，把繁雜的現(xiàn)實問題抽象成數(shù)學的信息，凸出“量〞的特質，再輔以關鍵詞，讓學生對問題的把握一目了然。當然，問題的特點決定著采用什么樣的“可視化〞方式，靜態(tài)的表格、圖示，動態(tài)的場景重現(xiàn)、電化手段等，都不失為好方法。

二、模型假設

有了充分的準備，教師要根據實際問題的特征和建模的目的，引導學生對問題進行必要的簡化，并用特性化的數(shù)學語言提出一些恰當?shù)募僭O?！伴g隔排列〞的教學中，學生觀測了兩種物體的數(shù)量，內心對兩種物體的數(shù)量關系有了朦朧的認識，此時教師便可以啟發(fā)學生提出模型的初步假設：能把你的發(fā)現(xiàn)寫出來或者畫出來嗎？在問題驅動下，學生有了多種表達方式，有用文字表述的：一個物體的數(shù)量=另一個物體的數(shù)量+1;有用字母抽象的：a=b+1;有用圖形代替的：+1……多元的表達方式，是學生對問題特性化的理解。

“可視〞的數(shù)量關系式使問題的主要方面凸顯了出來，一方面說明學生已經在嘗試用抽象的方式進行建模，另一方面也暴露出學生對“間隔排列〞方式認識的單一性。在分析完問題后，學生會帶著自己的認識，對存在的問題進行假設，嘗試運用抽象法，把繁雜的研究對象轉化為數(shù)學的模式，經合理簡化后，建立起數(shù)學關系式（或方程式），以透露研究對象定量的規(guī)律性。這既是數(shù)學建模中很關鍵的一步，也是對比困難的一步，運用“可視化〞的方式更利于浮現(xiàn)學生的學習心理，找到學生在問題認識上的得與失。

三、模型建立

在假設的基礎上，學生進一步利用適當?shù)臄?shù)學工具來刻畫各變量、常量之間的數(shù)學關系，建立相應的數(shù)學結構。例如，學生對“間隔排列〞的模型有了初步假設之后，需要進一步對自己公式中的各個符號進行解釋：這里的a和又表示什么？如何便于相互間的溝通？為什么會出現(xiàn)一個物體比另一個物體多1的現(xiàn)象？生活中的“間隔排列〞現(xiàn)象都符合這個規(guī)律嗎？隨著生活中大量間隔排列現(xiàn)象的引入、對比、抽象，學生嘗試更完整地把研究過程和研究結果浮現(xiàn)出來（如圖1）。

有了這樣直觀工具的幫助，學生明白了同樣是的間隔排列，兩端物體是否一致決定了兩種物體的數(shù)量是否一致。于是就有了“首尾一致〞和“首位不同〞的第一次模型分類。為了進一步幫助學生理解間隔排列中兩種物體之間的數(shù)量關系，教師借助“一一對應〞的思想，引導學生圈一圈（如圖2）。

至此，模型得以建立：

首尾一致：兩端物體數(shù)量=另一種物體數(shù)量+1;

首尾不同：物體a的數(shù)量=物體b的數(shù)量。

從這里可以看到，圖形、公式都是重要且簡單的數(shù)學工具，運用這些“可視化〞工具，能讓學生的思維從抽象到具象再到抽象的過程有所依托，學生充分發(fā)揮想象力，借抽象的工具對自己的思路進行詳細闡釋，當模型與現(xiàn)實還沒有完全契合時，會有其他同學思路的補充和完善，以充分考慮各種可能性，最終完成模型的建立。

四、模型分析

對所建立模型的思路進行闡述之后，學生還需將模型與生活實際聯(lián)系起來，對所得的模型進行數(shù)學上的分析和檢驗，這是模型的運用過程，也是其數(shù)學價值的表達。在“間隔排列〞模型建立之后，教師給學生提供了這樣的生活情境：“體育課上，男生女生是間隔排列的，已知男生有18人，這個班最多多少人？最少多少人？〞男女生的“間隔排列〞會出現(xiàn)哪些狀況？好多學生能像圖1那樣用圖形或文字代替男生、女生，逐一排列。當然也會有同學用更簡單的分析方式進行闡述（如圖3），這雖然只是跨出了一小步，卻可以看出學生對現(xiàn)實問題抽象、提煉的建模能力得到了有效提升。

對模型的分析要分為兩部分進行考慮，模型有哪些優(yōu)點，又有什么缺點？很顯然，完成圖3這樣的分析是對模型的直接運用，是模型優(yōu)點的展示。事實上，“間隔排列〞可能出現(xiàn)的狀況還有好多，譬如這里的學生圍成一個圓會是多少人呢？假如不是排成一列，而是排成兩列或三列呢？等等。當然對于模型的這些缺點該怎么改進，并不需要三年級學生立刻去解決，但隨著學生今后學習的深入，再遇到“間隔排列〞問題時，就可以利用自己豐富的聯(lián)想和想象對原有的模型進行改進和完善，以期更好地去解決實際問題，這正是模型評價的基本目的和方向