(新高考)高三數(shù)學(xué)第二次模擬考試卷三（解析版A3版）

此卷只裝訂不密封班級(jí)姓名此卷只裝訂不密封班級(jí)姓名準(zhǔn)考證號(hào)考場(chǎng)號(hào)座位號(hào)數(shù)學(xué)（三）注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)，，，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，則，∵，則，故選D．2．集合，集合，則集合等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，由，得，所以，所以，故選C．3．已知函數(shù)的定義域是，滿(mǎn)足且對(duì)于定義域內(nèi)任意x，y都有SKIPIF1<0SKIPIF1<0成立，那么的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】對(duì)于定義域內(nèi)任意x，y，都有成立，令，得，，故選C．4．一個(gè)等比數(shù)列前項(xiàng)的和為48，前項(xiàng)的和為60，則前項(xiàng)的和為（）A．83 B．108 C．75 D．63【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列前項(xiàng)和為，因?yàn)榈缺葦?shù)列前項(xiàng)的和為48且不為零，則，，成等比數(shù)列，故，故，故選D．5．若向量，滿(mǎn)足，，且，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，向量，滿(mǎn)足，，且，可得，所以向量與的夾角為，故選B．6．已知直線(xiàn)與相交于、兩點(diǎn)，則為鈍角三角形的充要條件是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】圓的圓心為，半徑為，由于為等腰三角形，若該三角形為鈍角三角形，則，設(shè)圓心到直線(xiàn)的距離為，則，則，整理可得，解得，因?yàn)橹本€(xiàn)不過(guò)圓心，則，解得，綜上所述，，故選C．7．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由圖象可知．因?yàn)椋裕?，可得，由，所以，解得，結(jié)合選項(xiàng)可知，因此，故選D．8．北京2022年冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會(huì)吉祥物“雪容融”一亮相，好評(píng)不斷，這是一次中國(guó)文化與奧林匹克精神的完美結(jié)合，是一次現(xiàn)代設(shè)計(jì)理念的傳承與突破．為了宣傳2022年北京冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)，某學(xué)校決定派小明和小李等名志愿者將兩個(gè)吉祥物安裝在學(xué)校的體育廣場(chǎng)，若小明和小李必須安裝同一個(gè)吉祥物，且每個(gè)吉祥物都至少由兩名志愿者安裝，則不同的安裝方案種數(shù)為（）種．A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知應(yīng)將志愿者分為三人組和兩人組，當(dāng)三人組中包含小明和小李時(shí)，安裝方案有種；當(dāng)三人組中不包含小明和小李時(shí)，安裝方案有種，共計(jì)有種，故選A．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知、都是定義在上的函數(shù)，且為奇函數(shù)，的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則下列說(shuō)法中正確的有（）A．為偶函數(shù) B．為奇函數(shù)C．的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) D．為偶函數(shù)【答案】ACD【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以，A項(xiàng)：，則函數(shù)為偶函數(shù)，A正確；B項(xiàng)：，不是奇函數(shù)，B錯(cuò)誤；C項(xiàng)：因?yàn)椋?，則的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，C正確；D項(xiàng)：因?yàn)?，所以，則函數(shù)為偶函數(shù)，D正確，故選ACD．10．如圖，在正方體中，點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，則（）A．直線(xiàn)平面B．二面角的大小為C．三棱錐的體積為定值D．異面直線(xiàn)與所成角的取值范圍是【答案】AC【解析】如圖，在A中，∵，，，∴平面BB1D1，∴，同理，，∵，∴直線(xiàn)平面，故A正確；在B中，由正方體可知平面不垂直平面，故B錯(cuò)誤；在C中，∵，平面，平面，∴平面，∵點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，∴到平面的距離為定值，又的面積是定值，∴三棱錐的體積為定值，故C正確；在D中，當(dāng)點(diǎn)P與線(xiàn)段的端點(diǎn)重合時(shí)，異面直線(xiàn)與所成角取得最小值為，故異面直線(xiàn)與所成角的取值范圍是，故D錯(cuò)誤，故選AC．11．已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】，．對(duì)于A：，，，，即，故A正確；對(duì)于B：，，不一定成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，故D正確，故選AD．12．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，過(guò)點(diǎn)F且斜率大于0的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)C于A，B兩點(diǎn)（其中A在B的上方），過(guò)線(xiàn)段的中點(diǎn)M且與x軸平行的直線(xiàn)依次交直線(xiàn)，，l于點(diǎn)P，Q，N．則（）A．B．若P，Q是線(xiàn)段的三等分點(diǎn)，則直線(xiàn)的斜率為C．若P，Q不是線(xiàn)段的三等分點(diǎn)，則一定有D．若P，Q不是線(xiàn)段的三等分點(diǎn)，則一定有【答案】AB【解析】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，設(shè)直線(xiàn)方程為，，，，由，得，，，∴，，直線(xiàn)方程為，∵共線(xiàn)，∴，，同理，，，∴，即，A正確；若P，Q不是線(xiàn)段的三等分點(diǎn)，則，，，又，，∴，∴，解得，（∵），B正確；由，得，，∴，，又，∴，，∴，當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)；由圖可知，而，只要，就有，D錯(cuò)，故選AB．第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和為64，則該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是______．【答案】1215【解析】∵二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和為64，∴令，得，．的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，可得，的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為，故答案為1215．14．如圖，某湖有一半徑為的半圓形岸邊，現(xiàn)決定在圓心O處設(shè)立一個(gè)水文監(jiān)測(cè)中心(大小忽略不計(jì))，在其正東方向相距的點(diǎn)A處安裝一套監(jiān)測(cè)設(shè)備．為了監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)更加準(zhǔn)確，在半圓弧上的點(diǎn)B以及湖中的點(diǎn)C處，再分別安裝一套監(jiān)測(cè)設(shè)備，且滿(mǎn)足，．定義：四邊形及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)椤爸苯颖O(jiān)測(cè)覆蓋區(qū)域”；設(shè)．則“直接監(jiān)測(cè)覆蓋區(qū)域”面積的最大值為_(kāi)__________．【答案】【解析】在中，，，，，即，，，令，則，“直接監(jiān)測(cè)覆蓋區(qū)域”面積的最大值為，故答案為．15．已知直線(xiàn)是曲線(xiàn)的切線(xiàn)，也是曲線(xiàn)的切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)________，實(shí)數(shù)________．【答案】，2【解析】對(duì)于，設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，故切線(xiàn)斜率，故切線(xiàn)方程為，由已知得切線(xiàn)過(guò)，所以，故，所以．對(duì)于，設(shè)切點(diǎn)為，所以，因?yàn)榍芯€(xiàn)為，得，所以，所以切點(diǎn)為，代入，得，所以．故答案為，2．16．已知函數(shù)，，若使關(guān)于的不等式成立，則實(shí)數(shù)的范圍為_(kāi)__________．【答案】【解析】顯然函數(shù)定義域是，，∴的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，原不等式可化為，即，(*)設(shè)，則，∵，，∴，∴，∴，即，，由，得，∴，∴是增函數(shù)，不等式(*)化為，(**)令，∵，∴，不等式(**)化為，，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在，使不等式成立，當(dāng)時(shí)，的最小值為2，∴，故答案為．四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（1）若為等差數(shù)列，，，求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿(mǎn)足，求．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，，，，，，，．（2），①，②①②，得，，當(dāng)時(shí)，，綜上：．18．（12分）在平面四邊形中，，，對(duì)角線(xiàn)與交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，且．（1）若，求的長(zhǎng)；（2）若，求．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）在中，，，，由正弦定理得，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，，所以．因?yàn)椋裕捎嘞叶ɡ淼?，所以．?）因?yàn)椋?，所以．設(shè)，在中，由余弦定理得；在中，由余弦定理得，所以，解得，所以，在中，由余弦定理得．19．（12分）近年來(lái)，我國(guó)的電子商務(wù)行業(yè)發(fā)展迅速，與此同時(shí)，相關(guān)管理部門(mén)建立了針對(duì)電商的商品和服務(wù)評(píng)價(jià)系統(tǒng)．現(xiàn)從評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出200次成功的交易，并對(duì)其評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，對(duì)商品的好評(píng)率為，對(duì)服務(wù)的好評(píng)率為；其中對(duì)商品和服務(wù)均為好評(píng)的有80次．（1）是否可以在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)的前提下，認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān)？（2）若將頻率視為概率，某人在該購(gòu)物平臺(tái)上進(jìn)行的次購(gòu)物中，設(shè)對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù)為隨機(jī)變量，求對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù)的分布列及其期望．（其中）．【答案】（1）不可以在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)的前提下，認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān)；（2）分布列見(jiàn)解析，．【解析】（1）由題意可得關(guān)于商品和服務(wù)評(píng)價(jià)的列聯(lián)表如下：對(duì)服務(wù)好評(píng)對(duì)服務(wù)不滿(mǎn)意總計(jì)對(duì)商品好評(píng)對(duì)商品不滿(mǎn)意總計(jì)，所以，不可以在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)的前提下，認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān)．（2）每次購(gòu)物時(shí)，對(duì)商品和服務(wù)都好評(píng)的概率為，且的取值可以是．其中；；；；，的分布列為：由于，∴．20．（12分）如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，，，且．（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】（1）如圖：取的中點(diǎn)，連接?和，∵，且，又，則為正三角形，故，，又∵，∴為直角三角形，∴，在中，，則，又，、平面，∴平面，又∵平面，∴平面平面．（2）∵，則點(diǎn)在以為直徑的圓上，且，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，∴，而，∴當(dāng)取最大值時(shí)四棱錐的體積最大，此時(shí)平面，又由（1）可知，如圖建系，則，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，，得；設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，，得，則，設(shè)二面角的平面角為，經(jīng)觀察為鈍角，則，故二面角的余弦值為．21．（12分）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，，，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，且不與頂點(diǎn)重合，若直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)．求證：為等腰三角形．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】（1）由題意得，解得橢圓C的方程是．（2）易得，，，，，設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立，得，，得，，，直線(xiàn)，聯(lián)立，得；聯(lián)立，得，軸且PQ