2021年高考數(shù)學(xué)真題和模擬題分類匯編專題12圓錐曲線【含答案】

專題12圓錐曲線一、選擇題部分1.(2021?新高考全國(guó)Ⅰ卷?T5)已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（）A.13 B.12 C.9 D.C．由題，，則，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．2.(2021?高考全國(guó)甲卷?理T5)已知是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則C的離心率為（）A. B. C. D.A．根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出，結(jié)合余弦定理可得答案.因?yàn)椋呻p曲線的定義可得，所以，；因?yàn)?由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選A．3.(2021?高考全國(guó)乙卷?文T11)設(shè)B是橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，則的最大值為（）A. B. C. D.2A．設(shè)點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以，而，所以?dāng)時(shí)，的最大值為．故選A．4.(2021?浙江卷?T9)已知，函數(shù).若成等比數(shù)列，則平面上點(diǎn)的軌跡是（）A.直線和圓 B.直線和橢圓 C.直線和雙曲線D.直線和拋物線C．由題意得，即，對(duì)其進(jìn)行整理變形：，，，，所以或，其中為雙曲線，為直線.故選C.5.(2021?江蘇鹽城三模?T7)設(shè)雙曲線C：eq\f(x\s\up6(2),a\s\up6(2）－\f(y\s\up6(2),b\s\up6(2）＝1(a，b＞0)的焦距為2，若以點(diǎn)P(m，n)(m＜a)為圓心的圓P過(guò)C的右頂點(diǎn)且與C的兩條漸近線相切，則OP長(zhǎng)的取值范圍是A．(0，eq\f(1,2))B．(0，1)C．(eq\f(1,2)，1)D．(eq\f(1,4)，eq\f(1,2))B．【考點(diǎn)】圓錐曲線中雙曲線的幾何性質(zhì)應(yīng)用由題意可知，c＝1，漸近線方程為：bx±ay＝0，由圓P與漸近線相切可得，r＝EQ\F(|bm＋an|,c)＝EQ\F(|bm－an|,c)，解得n＝0，所以圓的半徑r＝a－m＝bm，所以m＝EQ\F(a,b＋1)，則m2＝(EQ\F(a,b＋1))2＝EQ\F(1－b\S(2),(b＋1)\s\up3(2）＝EQ\F(1－b,b＋1)＝－1＋EQ\F(2,b＋1)，因?yàn)閎∈(0，1)，所以－1＋EQ\F(2,b＋1)∈(0，1)，則m∈(0，1)，所以O(shè)P∈(0，1)，故答案選B．6.(2021?河南鄭州三模?理T10)已知A，B是橢圓＝1（a＞b＞0）長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，P、Q是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線AP，BQ的斜率分別為k1，k2（k1k2≠0）．若橢圓的離心率為，則|k1|+|k2|的最小值為（）A．1 B． C． D．B．設(shè)P（t，s），Q（t，﹣s），t∈[0，a]，s∈[0，b]，A（﹣a，0），B（a，0），k1＝，k2＝﹣，|k1|+|k2|＝||+|﹣|≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)，即t＝0時(shí)等號(hào)成立．∵A，B是橢圓＝1（a＞b＞0）長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，P，Q是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，P（t，s），Q（t，﹣s），即s＝b，∴|k1|+|k2|的最小值為，∵橢圓的離心率為，∴，即，得a＝b，∴|k1|+|k2|的最小值為．7.(2021?河南開(kāi)封三模?文理T12)已知橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）．若橢圓C上存在一點(diǎn)P，使得，則橢圓C的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．C．在△PF1F2中，由正弦定理知＝，∵，∴＝e，即|PF1|＝e|PF2|，①又∵P在橢圓上，∴|PF1|+|PF2|＝2a，②聯(lián)立①②得|PF2|＝∈（a﹣c，a+c），即a﹣c＜＜a+c，同除以a得，1﹣e＜＜1+e，得﹣1＜e＜1．∴橢圓C的離心率的取值范圍為．8.(2021?河南開(kāi)封三模?文理T3)“方程表示雙曲線”的一個(gè)必要不充分條件為（）A．m∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．m∈（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．m∈（﹣∞，﹣2） D．m∈（1，+∞）A．方程為雙曲線時(shí)，（m+2）（m﹣1）＞0∴m∈（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），∵（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）?（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），“方程表示雙曲線”的一個(gè)必要不充分條件為m∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．9.(2021?河南焦作三模?理T12)已知雙曲線﹣＝1（a＞0，b＞0）過(guò)第一、三象限的漸近線為l，過(guò)右焦點(diǎn)F作l的垂線，垂足為A，線段AF交雙曲線于B，若|BF|＝2|AB|，則此雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．C．由題意可得漸近線l的方程為bx﹣ay＝0，由，可得A，又BF＝2AB，即＝2，又F（c，0），即有B，將B的坐標(biāo)代入雙曲線的方程，可得（）2﹣（）2＝1，由e＝，可得（+）2﹣（）2＝1，解得e＝．10.(2021?河北張家口三模?T9)已知方程表示的曲線是雙曲線，其離心率為e，則（）A． B．點(diǎn)（2，0）是該雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn) C． D．該雙曲線的漸近線方程可能為x±2y＝0AC．因?yàn)榉匠瘫硎镜那€是雙曲線，所以（m2﹣2）（m2+2）＜3，解得；將化為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)?≤m3+2＜4，所以；因?yàn)殡p曲線的漸近線斜率的平方，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤．11.(2021?山東聊城三模?T8.)已知A，B，C是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上的三點(diǎn)，直線AB經(jīng)過(guò)原點(diǎn)OA.B.C.D.17217332D．【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為E，連接AE,CE,BE由題意知|BF|=|AE|,|BE|=|AF|,BF∴四邊形AEBF為矩形，令|BF|=|AE|=m,|BE|=|AF|=n∵|CE|-|CF|=|AE|∴在Rt△EAC將2a=m-n∴n=∴在Rt△EAF即(12可得e=c故D．【分析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為E，連接AE,CE,BE，根據(jù)矩形判定可得四邊形AEBF為矩形令|BF|=|AE|=m,|BE|=|AF|=n，根據(jù)雙曲線定義和勾股定理結(jié)合已知可求得n=25a,m=125a，再在Rt12.(2021?四川內(nèi)江三模?理T11．)已知橢圓C：的右焦點(diǎn)F，點(diǎn)P在橢圓C上（x+3）2+（y﹣4）2＝4上，且圓E上的所有點(diǎn)均在橢圓C外，若|PQ|﹣|PF|的最小值為2，且橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)恰與圓E的直徑長(zhǎng)相等，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．C．由題意可得2a＝2×4，所以a＝2，4），設(shè)左焦點(diǎn)F6，則|PF1|＝2a﹣|PF|，所以|PQ|﹣|PF|＝|PQ|﹣（7a﹣|PF1|）＝|PQ|+|PF1|﹣6≥|EF1|﹣r﹣4，而|EF7|取最小時(shí)為E，Q，P，F(xiàn)1三點(diǎn)共線時(shí)，且為：|EF1|﹣r﹣5＝﹣6＝3，解得c＝1，所以b2＝a2﹣c2＝4﹣1＝3，所以橢圓的方程為：+＝1．13.(2021?四川內(nèi)江三模?理T7．)已知點(diǎn)A為拋物線C：x2＝4y上的動(dòng)點(diǎn)（不含原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)A的切線交x軸于點(diǎn)B，設(shè)拋物線C的焦點(diǎn)為F（）A．一定是直角 B．一定是銳角 C．一定是鈍角 D．上述三種情況都可能A．由x2＝4y可得y＝x2，∴y′＝x，設(shè)A（x0，），則過(guò)A的切線方程為y﹣＝x0（x﹣x7），令y＝0，可得x＝x0，∴B（x0，0），∵F（5，1），∴＝（x0，），＝（﹣x0，1），∴?＝6，∴∠ABF＝90°．14.(2021?重慶名校聯(lián)盟三模?T7．)已知雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，虛軸長(zhǎng)為2，若其漸近線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)P恰好滿足?＝0，則雙曲線的離心率為（）A．2 B． C．4 D．A．由已知可得2b＝2，則b＝，不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y＝，取x＝1可得P（1，），即P（1，），＝，，由?＝0，得，又c2＝a2+3，解得a＝1，c＝2，則e＝．15.(2021?安徽蚌埠三模?文T12．)已知圓C：（x+）2+y2＝（p＞0），若拋物線E：y2＝2px與圓C的交點(diǎn)為A，B，且sin∠ABC＝，則p＝（）A．6 B．4 C．3 D．2D．設(shè)A（，y0），則B（，﹣y0），由圓C：（x+）2+y2＝（p＞0），得圓心C（﹣，0），半徑r＝，所以CD＝+，因?yàn)椤螦BC＝∠BAC，所以sin∠ABC＝sin∠BAC＝＝＝，所以cos∠BAC＝＝＝，即，解得y0＝3，p＝2．16.(2021?上海嘉定三模?T14．)設(shè)拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離為3，則弦AB的長(zhǎng)為（）A．等于10 B．大于10 C．小于10 D．與l的斜率有關(guān)A．拋物線方程可知p＝4，由線段AB的中點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離為3得，，∴|AB|＝x1+x2+4＝10．17.(2021?貴州畢節(jié)三模?文T11．)已知點(diǎn)F為雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l與曲線C的一條漸近線垂直，垂足為N，與C的另一條漸近線的交點(diǎn)為M，若，則雙曲線C的離心率e的值為（）A． B． C．2 D．A．設(shè)F（c，0），雙曲線的漸近線方程為y＝±x，設(shè)直線l與漸近線y＝﹣x垂直，可得直線l的方程為y＝（x﹣c），聯(lián)立，可得yN＝﹣，聯(lián)立，可得yM＝﹣，由＝3，可得yN﹣yM＝3yN，即yM＝﹣2yN，可得＝，可得2a2﹣2b2＝c2＝a2+b2，即有a2＝3b2，所以e＝＝＝＝．18.(2021?遼寧朝陽(yáng)三模?T5．)明朝的一個(gè)葡萄紋橢圓盤(pán)如圖（1）所示，清朝的一個(gè)青花山水樓閣紋飾橢圓盤(pán)如圖（2）所示，北宋的一個(gè)汝窯橢圓盤(pán)如圖（3）所示，這三個(gè)橢圓盤(pán)的外輪廓均為橢圓．已知圖（1），（2），（3）中橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比值分別為，設(shè)圖（1），（2），（3）中橢圓的離心率分別為e1，e2，e3，則（）A．e1＞e3＞e2 B．e2＞e3＞e1 C．e1＞e2＞e3 D．e2＞e1＞e3A．圖（1），（2），（3）中橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比值分別為，圖（1），（2），（3）中橢圓的離心率分別為e1，e2，e3，所以e1＝＝＝＝e2＝＝＝＝，e3＝＝＝＝，因?yàn)?，所以e1＞e3＞e2．19.(2021?河南濟(jì)源平頂山許昌三模?文T10．)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)F1的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，且滿足，，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．2C．由，，可得△BOF1為等腰三角形，且A為底邊BF1的中點(diǎn)，由F1（c，0）到漸近線y＝±x的距離為d＝＝b，由OA⊥BF1，可得|OA|＝＝a，由∠AOF1＝∠AOB＝∠BOF2＝60°，可得cos60°＝＝，可得e＝＝2．20.(2021?河南濟(jì)源平頂山許昌三模?文T8．)設(shè)P，Q分別為圓（x﹣1）2+y2＝2和橢圓上的點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)間的最短距離是（）A． B． C． D．B．如圖，圓（x﹣1）2+y2＝2的圓心C（1，0），半徑為，設(shè)Q（x，y）是橢圓上的點(diǎn)，則|QC|＝＝＝．∵﹣5≤x≤5，∴當(dāng)x＝時(shí)，，∴P，Q兩點(diǎn)間的最短距離是．21.(2021?安徽馬鞍山三模?理T9．)已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線C的漸近線上，?，且PF1與x軸垂直，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．C．雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線C的漸近線上，?，不妨設(shè)P在第二象限，則P（﹣c，），F(xiàn)1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），因?yàn)?，所以（0，﹣）?（2c，﹣）＝＝3c2，b2＝3a2，所以c2＝4a2，可得離心率為：e＝2．22.(2021?安徽馬鞍山三模?文T11．)已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，1），當(dāng)該橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的周長(zhǎng)最小時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．D．由題意橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，1），可得：（a＞b＞0），該橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的周長(zhǎng)l＝4．∴a2+b2＝（a2+b2）（）＝10+≥10+2＝16，當(dāng)且僅當(dāng)a2＝9b2時(shí)，即b＝，a＝3取等號(hào)．∴周長(zhǎng)l的最小值：4×4＝16．∴橢圓方程：．23.(2021?四川瀘州三模?理T7．)“m＝5”是“雙曲線C：＝1的虛軸長(zhǎng)為2”的（）A．充分但不必要條件 B．必要但不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件A．①當(dāng)m＝5時(shí)，雙曲線為﹣＝1，∴b＝1，∴虛軸長(zhǎng)為2b＝2，∴充分性成立，②若雙曲線為+＝1虛軸長(zhǎng)為2，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，則，∴m＝5，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，則，∴m＝﹣1，∴m＝5或m＝﹣1，∴必要性不成立，∴m＝5是雙曲線+＝1虛軸長(zhǎng)為2的充分不必要條件．24.(2021?上海浦東新區(qū)三模?T15．)已知兩定點(diǎn)A（﹣1，0）、B（1，0），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足tan∠PAB?tan∠PBA＝2，則點(diǎn)P的軌跡方程是（）A．x2﹣＝1 B．x2﹣＝1（y≠0） C．x2+＝1 D．x2+＝1（y≠0）D．兩定點(diǎn)A（﹣1，0）、B（1，0），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足tan∠PAB?tan∠PBA＝2，則：＝2，其中y≠0，化簡(jiǎn)可得，x2+＝1（y≠0）．25.(2021?湖南三模?T4．)已知拋物線C：y＝mx2（m＞0）上的點(diǎn)A（a，2）到其準(zhǔn)線的距離為4，則m＝（）A． B．8 C． D．4C．拋物線C：y＝mx2（m＞0）開(kāi)口向上，直線方程為y＝﹣，拋物線C：y＝mx2（m＞0）上的點(diǎn)A（a，2）到其準(zhǔn)線的距離為4，可得：+2＝4，解得m＝．26.(2021?湖南三模?T7．)P為雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為其左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|OP|＝b，且sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，則C的離心率為（）A． B． C．2 D．B．由sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，以及正弦定理可得|PF1|＝3|PF2|，因?yàn)閨PF1|﹣|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，因?yàn)閨OF2|＝c，|OP|＝b，所以∠OPF2＝，所以cos∠OF2P＝，在△F1F2P中，cos∠F1F2P＝＝cos∠OF2P＝．化簡(jiǎn)可得c＝a，所以C的離心率e＝＝．27.(2021?福建寧德三模?T4)如圖，拋物線型太陽(yáng)灶是利用太陽(yáng)能輻射，通過(guò)聚光獲取熱量進(jìn)行炊事烹飪食物的一種裝置.由于太陽(yáng)光基本上屬于平行光線，所以當(dāng)太陽(yáng)灶(旋轉(zhuǎn)拋物面)的主光軸指向太陽(yáng)的時(shí)候，平行的太陽(yáng)光線入射到旋轉(zhuǎn)拋物面表面，經(jīng)過(guò)反光材料的反射，這些反射光線都從它的焦點(diǎn)處通過(guò)，在這里形成太陽(yáng)光線的高密集區(qū)，拋物面的焦點(diǎn)就在它的主光軸上.現(xiàn)有一拋物線型太陽(yáng)灶，灶口直徑AB為23m，灶深CD為0.5m，則焦點(diǎn)到灶底(拋物線的頂點(diǎn))的距離為(?)A.3m B.1.5m C.1m D.0.75mB．由題意建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系：O與C重合，設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0)，

由題意可得A(0.5,3)，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的方程可得：3=2p×0.5，

解得p=3，所以拋物線的方程為：y2=6x，

焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(p2,0)，即(32,0)，

所以焦點(diǎn)到灶底(拋物線的頂點(diǎn))的距離為32.

故選：B.

建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)拋物線的方程，由題意可得A的坐標(biāo)，將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出參數(shù)的值，進(jìn)而求出所求的結(jié)果．

本題考查拋物線的性質(zhì)及建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

28.(2021?江西南昌三模?理T10．)如圖所示，“嫦娥五號(hào)”月球探測(cè)器飛行到月球附近時(shí)，首先在以月球球心F①軌道Ⅱ的焦距為R﹣r；②若R不變，r越大，軌道Ⅱ的短軸長(zhǎng)越小；③軌道Ⅱ的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為R+r；④若r不變，R越大，軌道Ⅱ的離心率越大．A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④C．由題意可得知，圓形軌道Ⅰ的半徑為R，設(shè)軌道Ⅱ的方程為+＝1，則a+c＝R，因?yàn)閳A心軌道Ⅲ的半徑為r，則a﹣c＝r，聯(lián)立，解得2c＝R﹣r，所以軌道Ⅱ的焦距為2c＝R﹣r，故①正確；由于a＝，c＝，故焦距為2c＝R+r，2b＝2＝2，所以R不變，r增大，b增大，軌道Ⅱ的短軸長(zhǎng)增大，故②不正確；長(zhǎng)軸2a＝R+r，故③正確；所以離心率e＝＝1﹣，r不變，R越大，e越大，即軌道Ⅱ的離心率越大，故④正確．所以①③④正確，29.(2021?江西上饒三模?理T7．)已知雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）的離心率為，則點(diǎn)M（3，0）到雙曲線C的漸近線距離為（）A．2 B． C． D．2C．雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）的離心率為，可得a＝b，所以雙曲線的漸近線方程為：x±y＝0，點(diǎn)M（3，0）到雙曲線C的漸近線距離為：＝．30.(2021?安徽宿州三模?理T10．)已知雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，圓x2+y2＝a2+b2與雙曲線在第一象限和第三象限的交點(diǎn)分別為A，B，四邊形AF1BF2的周長(zhǎng)p與面積S滿足＝，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．A．由題知，|AF1|﹣|AF2|＝2a，四邊形AF1BF2的是平行四邊形，|AF1|+|AF2|＝，聯(lián)立解得，|AF1|＝a+，|AF2|＝﹣a，又線段F1F2為圓的直徑，∴由雙曲線的對(duì)稱性可知四邊形AF1BF2為矩形，∴S＝|AF1||AF2|＝，∵＝，∴p2＝S，即p2＝（﹣a2），解得p2＝64a2，由|AF1|2+|AF2|2＝|F1F2|2，得2a2+＝4c2，即5a2＝2c2，可得e＝．31.(2021?安徽宿州三模?文T11．)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，焦距為2c，以原點(diǎn)O為圓心，|OF2|為半徑的圓與雙曲線的左支交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝c，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．D．如圖：設(shè)AB與x軸交于點(diǎn)D，由對(duì)稱性的AD⊥OF1，且AD＝BD＝，∴OD＝，∴DF1＝，∴AF1＝c，AF2＝，∴AF2﹣AF1＝＝2a，∴＝．32.(2021?安徽宿州三模?文T9．)拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)K，點(diǎn)M在拋物線C上，當(dāng)|MK|＝|MF|時(shí)，△MFK的面積為（）A．4 B．4 C．8 D．8C．作MM1⊥l，垂足為M1，則MM1＝MF，∴由|MK|＝|MF|得△MM1K為等腰直角三角形，∴Rt△MM1K≌Rt△MFK，∴MF⊥FK且MF＝FK＝p＝4，∴△MFK的面積S＝．33.(2021?河北邯鄲二模?理T8．)設(shè)雙曲線C：的焦距為2c（c＞0），左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在C的右支上，且c|PF2|＝a|PF1|，則C的離心率的取值范圍是（）A．（1，） B．（，+∞） C．（1，1+] D．[1+，+∞）C．∵c|PF2|＝a|PF1|，∴，∵P在雙曲線的右支上，∴可設(shè)P的橫坐標(biāo)為x0（x0≥a），由雙曲線焦半徑公式，可得|PF1|＝a+ex0，|PF2|＝ex0﹣a，則，∴≥a，即，解得≤e≤．又e＞1，∴C的離心率的取值范圍是（1，1+]．34.(2021?江西鷹潭二模?理T11．)已知A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，PA，PB與直線x＝3交于M，N兩點(diǎn)，△PMN與△PAB的外接圓的周長(zhǎng)分別為L(zhǎng)1，L2，則的最小值為（）A． B． C． D．A．根據(jù)題意可得A（﹣2，0），B（2，0），設(shè)P（x0，y0），則+y02＝1，所以kPA?kPB＝?＝＝＝﹣，設(shè)直線PA的方程為y＝k（x+2），直線PB的方程為y＝﹣（x﹣2），令x＝3得yM＝5k，yN＝﹣，不妨設(shè)k＞0，則MN＝5k+，設(shè)△PMN和△PAB外接圓的半徑分別為r1，r2，由正弦定理得2r1＝，2r2＝，又∠MPN+∠APB＝180°，所以＝＝＝＝≥＝．35.(2021?江西上饒二模?理T11．)雙曲線E：的右焦點(diǎn)為F2，A和B為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且A在第一象限．連結(jié)AF2并延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn)P，連結(jié)BF2、BP，若△BF2P是等邊三角形，則雙曲線E的離心率為（）A． B． C． D．D．因?yàn)椤鰾F2P是等邊三角形，不妨設(shè)|BF2|＝|PF2|＝n，由雙曲線的定義知，|BF2|﹣|BF1|＝2a，|PF1|﹣|PF2|＝2a，所以|BF1|＝n﹣2a，|PF1|＝n+2a，由雙曲線的對(duì)稱性知，四邊形AF1BF2為平行四邊形，所以|AF2|＝|BF1|＝n﹣2a，|AF1|＝|BF2|＝n，∠F1AF2＝∠PF2B＝60°，所以|AP|＝|AF2|+|PF2|＝n﹣2a+n＝2（n﹣a），在△PAF1中，由余弦定理知，＝+|AP|2﹣2|AF1|?|AP|?cos∠F1AF2，所以（n+2a）2＝n2+4（n﹣a）2﹣2n?2（n﹣a）?，即n＝5a，在△AF1F2中，由余弦定理知，＝+﹣2|AF1|?|AF2|?cos∠F1AF2，所以4c2＝n2+（n﹣2a）2﹣2n（n﹣2a）?，即4c2＝n2﹣2na+4a2＝25a2﹣10a2+4a2＝19a2，所以c＝a，所以離心率e＝＝．36.(2021?河北秦皇島二模?理T11．)已知方程C：＝1，n∈N*，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．當(dāng)n＝1時(shí)，|x|+|y|的最小值為 B．當(dāng)n＝1時(shí)，方程C所表示的曲線圍成封閉圖形的面積為S，則S＜2 C．當(dāng)n＝3時(shí)，|x|?|y|的最小值為 D．當(dāng)n＝3時(shí)，方程C所表示的曲線圍成封閉圖形的面積為S，則2＜S＜πABD．當(dāng)n＝1時(shí)，由原方程可得，，則|x|+|y|，當(dāng)且僅當(dāng)|x|＝|y|＝時(shí)等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于B，由方程C所表示的曲線關(guān)于原點(diǎn)與坐標(biāo)軸對(duì)稱，因此只需考慮0≤x≤1且0≤y≤1的部分即可，此時(shí)原方程為，而y＝，∴曲線位于直線y＝1﹣x的下方，∴它與坐標(biāo)軸圍成的封閉曲線的面積小于，則方程C表示的曲線的面積S＜，故B正確；當(dāng)n＝3時(shí)，，∴|x||y|＝，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由方程C所表示的曲線關(guān)于原點(diǎn)與坐標(biāo)軸對(duì)稱，因此只需考慮0≤x≤1且0≤y≤1的部分即可，此時(shí)，即，，而≥1﹣x，，∴曲線（0≤x≤1，0≤y≤1）位于直線y＝1﹣x的上方，圓x2+y2＝1（0≤x≤1，0≤y≤1）的下方，它與坐標(biāo)軸圍成的封閉曲線的面積大于小于，∴當(dāng)n＝3時(shí)，方程C所表示的曲線圍成封閉圖形的面積為S，則2＜S＜π，故D正確．37.(2021?河北秦皇島二模?理T8．)橢圓C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F1的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，已知，，則橢圓C的離心率為（）A． B． C． D．A．設(shè)|F1F2|＝2c，因?yàn)椋ǎ剑ǎ剑?，所以|AF2|＝|F1F2|＝2c，所以|AF1|＝2a﹣2c，因?yàn)椋詜BF（a﹣c），所以|BF2|＝，設(shè)AF1的中點(diǎn)為H，則F2H⊥AB，|AH|＝a﹣c，|BH|＝，|F2A|，即4c，整理可得7c2﹣12ac+5a2＝0，即7e2﹣12e+5＝0，解得e＝或1（舍去），所以離心率為．38.(2021?浙江杭州二模?理T7．)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線C的離心率為（）A．4+2 B．﹣1 C． D．D．依題意可知雙曲線的焦點(diǎn)為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）．∴F1F2＝2c，∴三角形高是c．M（0，c）所以中點(diǎn)N（﹣，c），代入雙曲線方程得：＝1，整理得：b2c2﹣3a2c2＝4a2b2．∵b2＝c2﹣a2．所以c4﹣a2c2﹣3a2c2＝4a2c2﹣4a4整理得e4﹣8e2+4＝0．求得e2＝4±2．∵e＞1，∴e＝+1．39.(2021?北京門(mén)頭溝二模?理T9)已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為3的直線與拋物線C上相交于P，Q兩點(diǎn)，且P，Q兩點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影分別為M，N兩點(diǎn)，則A.83p2 B.833pD．拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(p2,0)，由題意可得直線PQ：y=3(x-p2)，

聯(lián)立y2=2pxy=3(x-p2)，得：12x2-20px+3p2=0，

解得：P(p6,-33p)，Q(3p2,3p)，

則MN=3p+33p=433p，

在△MNF中，MN邊上的高h(yuǎn)=p，

則S△MFN=12×433p×p=233p2.A． B． C．2 D．2A．過(guò)F2作F2N⊥AB于點(diǎn)N，設(shè)|AF2|＝|BF2|＝m，因?yàn)橹本€l的傾斜角為，所以在直角三角形F1F2N中，|NF2|＝c，|NF1|＝c，由雙曲線的定義可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a+m，同理可得|AF1|＝m﹣2a，所以|AB|＝|BF1|﹣|AF1|＝4a，即|AN|＝2a，所以|AF1|＝c﹣2a，因此m＝c，在直角三角形ANF2中，|AF2|2＝|NF2|2+|AN|2，所以（c）2＝4a2+c2，所以c＝a，則e＝＝．41.(2021?江西九江二模?理T8．)已知拋物線E：y2＝2px（p＞0），斜率為1的直線l過(guò)拋物線E的焦點(diǎn)，若拋物線E上有且只有三點(diǎn)到直線l的距離為，則p＝（）A．4 B．2 C．1 D．B．設(shè)l：y＝x﹣，設(shè)l1：y＝x+m與拋物線E相切，由，可得x2+2（m﹣p）x+m2＝0，△＝4（m﹣p）2﹣4m2＝0，解得p＝2m，且m＞0，平行線l1與l的距離為：d＝＝＝，所以p＝2．42.(2021?山東濰坊二模?T11．)已知雙曲線C：x2﹣＝1，其左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F2作一直線與雙曲線C的右支交于點(diǎn)P，Q，且＝0，則下列結(jié)論正確的是（）A．△PF1Q的周長(zhǎng)為4 B．△PF1F2的面積為3 C．|PF1|＝+1 D．△PF1Q的內(nèi)切圓半徑為﹣1BCD．如圖，由雙曲線方程x2﹣＝1，得a2＝1，b2＝3，可得，則|F1F2|＝4，由雙曲線定義可得：|PF1|﹣|PF2|＝|QF1|﹣|QF2|＝2，∵＝0，∴∠F1PQ＝90°，則＝16，∴|PF1|+|PF2|＝＝．從而Rt△F1PQ的內(nèi)切圓半徑：r＝＝＝．故△PF1Q的內(nèi)切圓半徑為，故D正確；聯(lián)立，解得|PF1|＝+1，|PF2|＝﹣1，故C正確；＝，故B正確；由|PF1|﹣|PF2|＝|QF1|﹣|QF2|＝2，，且|PF1|＝+1，|PF2|＝﹣1，解得：，．∴△PF1Q的周長(zhǎng)為，故A錯(cuò)誤．43.(2021?遼寧朝陽(yáng)二模?T8．)已知雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B是C的一條漸近線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓過(guò)F且交C的左支于M，N兩點(diǎn)，若|MN|＝2，△ABF的面積為8，則C的漸近線方程為（）A．y＝ B．y＝ C．y＝±2x D．y＝B．設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為F'，由雙曲線的對(duì)稱性，可得四邊形AFBF'是矩形，∴S△ABF＝S△ABF'，即bc＝8，由，可得y＝±，則|MN|＝＝2，即b2＝c，∴b＝2，c＝4，∴a＝＝2，∴C的漸近線方程為y＝±x．44.(2021?遼寧朝陽(yáng)二模?T3．)過(guò)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線C于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn)，且x1+x2＝，則弦AB的長(zhǎng)為（）A． B．4 C． D．C．由題意知，p＝2，由拋物線的定義知，|AB|＝x1+x2+p＝+2＝．45.(2021?廣東潮州二模?T5．)已知雙曲線﹣＝1（a＞0，b＞0）的一條漸近線平行于直線l：x+2y+5＝0，則雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．D．雙曲線﹣＝1（a＞0，b＞0）的一條漸近線平行于直線l：x+2y+5＝0，可得＝，所以e＝＝＝＝．46.(2021?天津南開(kāi)二模?T7．)已知雙曲線C：的離心率為2，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2點(diǎn)A在雙曲線C上，若△AF1F2的周長(zhǎng)為10，則△AF1F2的面積為（）A． B． C．15 D．30A．雙曲線C：的離心率為2，解得a＝1，因?yàn)辄c(diǎn)A在雙曲線C上，不妨設(shè)A在第一象限5F2的周長(zhǎng)為10，|F1F3|+|AF1|+|AF2|＝10，|AF7|﹣|AF2|＝2，所以三角形的邊長(zhǎng)為|F7F2|＝4，|AF8|＝4，|AF2|＝4，所以三角形的面積為：＝．47.(2021?吉林長(zhǎng)春一模?文T10.)已知拋物線，過(guò)其焦點(diǎn)的直線與拋物線分別交于、兩點(diǎn)(點(diǎn)在第一象限)，且則直線的傾斜角為A.B.C.D.C．如圖,過(guò)A,B作AA’,BB’垂直準(zhǔn)線,垂足為A’,B’，過(guò)B作AA’垂線,垂足為C,由拋物線定義知所以,,所以直線傾斜角為,故選C.48.(2021?吉林長(zhǎng)春一模?文T4.)已知雙曲線的漸近線方程為則其離心率為A.B.C.D.B．由漸近線方程可知故選B.49.(2021?烏魯木齊二模?文T11．)已知雙曲線＝1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在雙曲線上且在第一象限，若線段MF的中點(diǎn)在以原點(diǎn)O為圓心，|OF|為半徑的圓上，則直線MF的斜率是（）A． B． C． D．A．如圖所示，設(shè)線段MF的中點(diǎn)為H，連接OH，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F，連接MF．雙曲線的左焦點(diǎn)為F′，連接MF′，則OH∥MF′．又|OH|＝|OF|＝c＝3，|FH|＝|MF|＝（2a﹣2c）＝a﹣c＝1．設(shè)∠HFO＝α，在△OHF中，tanα＝＝，∴直線MF的斜率是﹣．50.(2021?烏魯木齊二模?文T7．)已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，B1，B2是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若四邊形F1B1F2B2的面積是8，則橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為（）A．2 B．4 C．4 D．8C．不妨設(shè)橢圓方程，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)（±c，0），B1，B2是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若四邊形F1B1F2B2的面積是8，因?yàn)閍2＝b2+c2≥2bc，所以8＝＝2bc≤a2，所以a≥2，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)取等號(hào)，所以橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為4．51.(2021?安徽淮北二模?文T10．)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，A，B為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且滿足|AB|＝2|OF1|，∠ABF1＝，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．A．F1、F2是雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，在Rt△ABF1中，|OF1|＝c，∴|AB|＝2c，在直角三角形ABF1中，∠ABF1＝α，可得|AF1|＝2csinα，|BF1|＝2ccosα，連接AF2，BF2，可得四邊形AF2BF1為矩形，∴||BF2|﹣|AF2||＝|AF1|﹣|AF2|＝2c|cosα﹣sinα|＝2a，∴e＝＝＝，∵α＝，∴cos（α+）＝cos＝，∴e＝．52.(2021?寧夏銀川二模?文T9．)已知拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，1）的直線l與該曲線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P恰為AB的中點(diǎn)，則|AF|+|BF|＝（）A．4 B．6 C．8 D．12B．拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F（2，0），準(zhǔn)線方程為x＝﹣2，過(guò)A、B、P作準(zhǔn)線的垂線段，垂足分別為M、N、R，點(diǎn)P恰為AB的中點(diǎn)，故|PR|是直角梯形AMNB的中位線，故|AM|+|BN|＝2|PR|．由拋物線的定義可得|AF|+|BF|＝|AM|+|BN|＝2|PR|＝2|1﹣（﹣2）|＝6．53.(2021?山西調(diào)研二模?文T11)已知F為雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)，以點(diǎn)F為圓心，A.52 B.32 C.2A．由題意，F(xiàn)(c,0)，不妨設(shè)雙曲線的漸近線方程為y=bax，

則F到y(tǒng)=bax的距離為bca1+b2a2=b=1，

直線FP所在直線方程為y=-ab(x-c)，

聯(lián)立y=baxy=-ab(x-c)，解得x=a2c，

54.(2021?山西調(diào)研二模?文T5.)若橢圓x29+y2mA.3 B.6 C.12 D.15C．解：雙曲線y22-x2=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)(0,±3)，

橢圓x29+y2m=1與雙曲線y22-x2=1有相同的焦點(diǎn)，

所以m-9=3，m=12.

故選：C.

求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解m即可．

本題考查橢圓與雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．

55.(2021?河南鄭州二模?文T9．)已知雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，A． B． C． D．A．由＝﹣3可知，F(xiàn)1A∥F2B，所以△AF1P∽△BF2P，且，即，化簡(jiǎn)可得，即e2＝2，所以e＝（負(fù)值舍去）．二、填空題部分56.(2021?新高考全國(guó)Ⅰ卷?T14)已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線：()的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，與軸垂直，為軸上一點(diǎn)，且，若，則的準(zhǔn)線方程為_(kāi)_____.．拋物線：()的焦點(diǎn),∵P為上一點(diǎn)，與軸垂直，所以P的橫坐標(biāo)為，代入拋物線方程求得P的縱坐標(biāo)為,不妨設(shè),因?yàn)镼為軸上一點(diǎn)，且，所以Q在F的右側(cè)，又，因?yàn)?，所?，所以的準(zhǔn)線方程為，故答案為.57.(2021?高考全國(guó)甲卷?理T15)已知為橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為_(kāi)_______．．根據(jù)已知可得，設(shè)，利用勾股定理結(jié)合，求出，四邊形面積等于，即可求解.因?yàn)闉樯详P(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，所以四邊形為矩形，設(shè)，則，所以，，即四邊形面積等于.故答案為.58.(2021?高考全國(guó)乙卷?文T14)雙曲線的右焦點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)_______．．由已知，，所以雙曲線的右焦點(diǎn)為，所以右焦點(diǎn)到直線距離為.故答案為．59.(2021?浙江卷?T16)已知橢圓，焦點(diǎn)，，若過(guò)的直線和圓相切，與橢圓在第一象限交于點(diǎn)P，且軸，則該直線的斜率是___________，橢圓的離心率是___________.(1).(2).．如圖所示：不妨假設(shè)，設(shè)切點(diǎn)為，，所以,由，所以，，于是，即，所以．故；．60.(2021?江西上饒三模?理T16．)某中學(xué)張燕同學(xué)不僅學(xué)習(xí)認(rèn)真，而且酷愛(ài)體育運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)艱苦的訓(xùn)練，終于在校運(yùn)會(huì)的投鉛球比賽中創(chuàng)造佳績(jī)．已知張燕所投鉛球的軌跡是一段拋物線（人的身高不計(jì)，鉛球看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)），如圖所示，設(shè)初速度為定值v0，且與水平方向所成角為變量θ，已知張燕投鉛球的最遠(yuǎn)距離為10m．當(dāng)她投得最遠(yuǎn)距離時(shí)，鉛球軌跡拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5m．（空氣阻力不計(jì)，重力加速度為10m/s2）5．設(shè)鉛球運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t0，t時(shí)刻的水平方向位移為x，則x＝v0tcosθ，由知，，∴，故當(dāng)時(shí)，，∴v0＝10m/s，∴，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，P（﹣5，﹣2.5），設(shè)拋物線方程為x2＝﹣2py，則拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為．61.(2021?河南鄭州三模?理T15)已知雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)為A、F，過(guò)點(diǎn)A的直線l與C的一條漸近線交于點(diǎn)Q，直線QF與C的一個(gè)交點(diǎn)為B，?＝?，且＝4，則雙曲線離心率e為．．易知A（a，0），F(xiàn)（c，0），一條漸近線為，∵，∴，則，不妨設(shè)Q在第一象限，則，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，b），設(shè)B（x，y），則，由得，，解得，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4c﹣3a，﹣3b），又點(diǎn)B在橢圓上，故，化簡(jiǎn)可得（4e﹣3）2＝10，解得，又e＞1，于是．62.(2021?河北張家口三模?T16)已知為橢圓的右焦點(diǎn)，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且△OFP外接圓的面積為，則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為．2．因?yàn)椤鱋FP外接圓的面積為，所以其外接圓半徑為．又△OFP是以O(shè)F為底邊的等腰三角形，設(shè)∠OFP＝α，則∠OPF＝π﹣2α，所以，所以，所以或．不妨設(shè)點(diǎn)P在x軸下方，所以或．又根據(jù)點(diǎn)差法可得，所以或此時(shí)焦點(diǎn)在y軸上．因?yàn)闉闄E圓，所以，故橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為．63.(2021?安徽宿州三模?理T16．)已知A，B分別為拋物線C1：y2＝8x與圓C2：x2+y2﹣6x﹣4y+16＝0上的動(dòng)點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為F，P、Q為平面內(nèi)兩點(diǎn)，且當(dāng)|AF|+|AB|取得最小值時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)P重合；當(dāng)|AF|﹣|AB|取得最大值時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)Q重合，則△FPQ的面積為．4．由題意可知C2是以（3，2）為圓心，1為半徑的圓，F(xiàn)（2，0），如圖：記C1的準(zhǔn)線為l，過(guò)點(diǎn)A作l的垂線，垂足為D，過(guò)點(diǎn)C2作l的垂線，垂足為D1，連接AC2，則|AF|+|AB|＝|AD|+|AB|≥|AD|+|AC2|﹣1≥|C2D1|﹣1，當(dāng)且僅當(dāng)A，C2，D三點(diǎn)共線且點(diǎn)B在線段AC2上時(shí)取等號(hào)，則點(diǎn)P（1，2），連接FC2，則|AF|﹣|AB|≤|AF|﹣（|AC2|﹣1）＝|AF﹣|AC2|+1≤|FC2|+1，當(dāng)且僅當(dāng)A為線段FC2的延長(zhǎng)線與拋物線C1的交點(diǎn)，且點(diǎn)B在線段AC2上時(shí)等號(hào)成立，易知點(diǎn)Q在第一象限，由得Q（4，4），∴|FQ|＝＝6，點(diǎn)P到直線QF的距離為d＝＝，∴．64.(2021?山東聊城三模?T15.)已知點(diǎn)A(0,5)，過(guò)拋物線x2=12y．上一點(diǎn)P作y=-3的垂線，垂足為B，若|PB|=|PA|7【考點(diǎn)】?jī)牲c(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式設(shè)P(x,y)，|PB|=|PA|，可得y+3=xx2由x2=12y，帶入可得：所以|PB|=y+3=7，故7.65.(2021?四川內(nèi)江三模?理T16．)數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，如圖：四葉草曲線C就是其中一種，其方程為（x2+y2）3＝x2y2．給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線C有四條對(duì)稱軸；②曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為；③在第一象限內(nèi)，過(guò)曲線C上一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積的最大值為；④四葉草面積小于．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是．①③④．對(duì)于①，將x換為﹣x方程不變；將y換為﹣y方程不變；將x換為y，所以曲線關(guān)于y＝x軸對(duì)稱，y換為﹣x方程不變；①正確；對(duì)于②，設(shè)距離為d，要求d的最大值4+y2的最大值，顯然d＞02+y2≠0，又＝，所以曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離最大值為；（3）設(shè)曲線C第一象限任意一點(diǎn)為（x，y），則（x2+y2）5＝x2y2≥4（xy）3，即，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取得最大值；（4）易得四葉草曲線在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓內(nèi)，④正確．66.(2021?重慶名校聯(lián)盟三模?T15．)已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M（x0，2）（）是拋物線C上一點(diǎn)，以點(diǎn)M為圓心的圓與直線x＝交于E，G兩點(diǎn)，若sin∠MFG＝，則拋物線C的方程是．y2＝4x．由題意可知直線x＝是過(guò)焦點(diǎn)F的垂直x軸的直線，因?yàn)閟in∠MFG＝，所以cos∠MFG＝，又cos∠MFG＝＝，所以x＝3，則x0＝3﹣，所以M（3﹣，2），代入拋物線方程可得：p2﹣6p+8＝0，解得：p＝2或4，當(dāng)p＝2時(shí)，x0＝2，當(dāng)p＝4時(shí)，x0＝1＝2，不滿足題意，所以p＝2，此時(shí)拋物線方程為y2＝4x．67.(2021?安徽蚌埠三模?文T14．)“天問(wèn)一號(hào)”推開(kāi)了我國(guó)行星探測(cè)的大門(mén)，通過(guò)一次發(fā)射，將實(shí)現(xiàn)火星環(huán)繞、著陸、巡視，是世界首創(chuàng)，也是我國(guó)真正意義上的首次深空探測(cè)．2021年2月10日，天問(wèn)一號(hào)探測(cè)器順利進(jìn)入火星的橢圓環(huán)火軌道（將火星近似看成一個(gè)球體，球心為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)）．2月15日17時(shí)，天問(wèn)一號(hào)探測(cè)器成功實(shí)施捕獲軌道“遠(yuǎn)火點(diǎn)（橢圓軌跡上距離火星表面最遠(yuǎn)的一點(diǎn)）平面機(jī)動(dòng)”，同時(shí)將近火點(diǎn)高度調(diào)整至約265公里．若此時(shí)遠(yuǎn)火點(diǎn)距離約為11945公里，火星半徑約為3400公里，則調(diào)整后“天問(wèn)一號(hào)”的運(yùn)行軌跡（環(huán)火軌道曲線）的離心率約為．（精確到0.1）0.6．設(shè)橢圓的方程為，由橢圓的性質(zhì)可得橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為a﹣c，最大值為a+c，根據(jù)題意可得近火點(diǎn)滿足a﹣c＝3400+265＝3665，a+c＝3400+11945＝15345，解得a＝9505，c＝5840，所以橢圓的離心率為e＝．68.(2021?上海嘉定三模?T9．)設(shè)橢圓Γ：＝1（a＞1），直線l過(guò)Γ的左頂點(diǎn)A交y軸于點(diǎn)P，交Γ于點(diǎn)Q，若△AOP為等腰三角形（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且Q是AP的中點(diǎn)，則Γ的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于．．如圖所示，設(shè)Q（x0，y0）．由題意可得：A（﹣a，0），P（0，a）．因?yàn)镼是AP的中點(diǎn)，所以，∴（x0，y0﹣a）＝（﹣a﹣x0，﹣y0），∴代入橢圓方程可得：，解得．∴橢圓Γ的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于．69.(2021?貴州畢節(jié)三模?文T16．)由集合P＝{（x，y）|（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝9，π≤θ≤2π}中所有點(diǎn)組成的圖形如圖陰影部分所示，其外廓形如“心臟”，中間白色部分形如倒立的“水滴”．則陰影部分與y軸相交的兩條線段長(zhǎng)度和為．2．∵（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝9，π≤θ≤2π，令x＝0，得cos2θ+y2﹣2ysinθ+sin2θ＝9，∴y2﹣2ysinθ＝8，2sinθ＝y(tǒng)﹣，θ∈[π，2π]，sinθ∈[﹣1，0]，2sinθ∈[﹣2，0]，由y﹣∈[﹣2，0]，解得y∈[﹣4，﹣2]∪[2，2]，陰影部分長(zhǎng)度為2﹣2，4﹣2，∴陰影部分與y軸相交的兩條線段長(zhǎng)度和為2＝2．70.(2021?遼寧朝陽(yáng)三模?T14．)已知雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M為C左支上一點(diǎn)，N為線段MF2上一點(diǎn)，且|MN|＝|MF1|，P為線段NF1的中點(diǎn)．若|F1F2|＝4|OP|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則C的漸近線方程為．y＝±x．由雙曲線的定義，可得|MF2|﹣|MF1|＝|MF2|﹣|MN|＝|NF2|＝2a，在△NF1F2中，OP為中位線，可得|OP|＝|NF2|＝a，又|F1F2|＝4|OP|，可得2c＝4a，即c＝2a，b＝＝＝a，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x．71.(2021?四川瀘州三模?理T16．)關(guān)于曲線C：3x2+2xy+3y2＝1有如下四個(gè)①曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②直線x＝1與曲線C有公共點(diǎn)；③曲線C上任一點(diǎn)的縱坐標(biāo)的范圍是[﹣，]；④曲線C上任一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的范圍是[，]．其中所有真命題的序號(hào)是（填上所有正確的序號(hào)）．①④．關(guān)于曲線C：3x2+2xy+3y2＝1有如下四個(gè)對(duì)于①：把點(diǎn)（﹣x，﹣y）代入曲線C：3x2+2xy+3y2＝1仍然成立，故①正確；對(duì)于②③：曲線C：3x2+2xy+3y2＝1可以看做關(guān)于x或y的一元二次方程，故△＝（2y）2﹣4×3×（3y2﹣1）≥0，解得，同理△＝（2x）2﹣4×3×（3x2﹣1）≥0，解得，故②③錯(cuò)誤，對(duì)于④：在第一象限內(nèi)：2xy＝1﹣3（x2+y2）≤x2+y2，故4（x2+y2）≥1，即，在第二象限內(nèi)：﹣2xy＝3（x2+y2）﹣1≤x2+y2，整理得，即，所以曲線C上任一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的范圍是[，]．故④正確．72.(2021?江蘇常數(shù)三模?T15．)如圖，一個(gè)酒杯的內(nèi)壁的軸截面是拋物線的一部分，杯口寬4cm，杯深8cm，稱為拋物線酒杯．①在杯口放一個(gè)表面積為36πcm2的玻璃球，則球面上的點(diǎn)到杯底的最小距離為cm；②在杯內(nèi)放入一個(gè)小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑的取值范圍為（單位：cm）．6，（0，]．①如圖以杯子的底部為原點(diǎn)O，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A（﹣2，8），B（2，8），設(shè)拋物線的方程為x2＝2py（p＞0），可得（2）2＝2p×8，解得p＝，所以拋物線的方程為x2＝y(tǒng)，設(shè)球的半徑為R，由4πR2＝36π，解得R＝3，由直角三角形DBC1中，C1B＝3，DB＝2，可得C1D＝＝1，所以球面上的點(diǎn)到杯底的最小距離為8+1﹣3＝6；②如圖球C2的橫截面的圓的方程為x2+（y﹣r）2＝r2，r＞0，聯(lián)立，可得y＝0或y＝2r﹣1，要使球觸及酒杯底部，則只需拋物線與圓相切于頂點(diǎn)（0，0），可得聯(lián)立拋物線和圓的方程只能有1解y＝0，另一個(gè)解為負(fù)數(shù)或零，所以y＝2r﹣1≤0，解得0＜r≤，所以玻璃球的半徑的范圍為（0，]．73.(2021?福建寧德三模?T16)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在圓(x+2)2+(y-4)2=4上，雙曲線C:x2a2-y2b[2,+∞)．設(shè)Q'(x,y)，P(x0,y0)，滿足OP+OF=2OQ'，所以(x0,y0)+(2,0)=(2x,2y)，

所以x0=2x-2，y0=2y，

又因?yàn)镻(x0,y0)在圓上滿足(x0+2)2+(y0-4)2=4，所以(2x-2+2)2+(2y-4)2=4，

整理得x2+(y-2)2=1，

所以點(diǎn)Q'的軌跡是以(0,2)為圓心，1為半徑的圓，如圖所示，

當(dāng)漸近線與圓有交點(diǎn)時(shí)，說(shuō)明漸近線上存在點(diǎn)Q，使得OP+OF=2OQ，

當(dāng)兩條漸近線與圓恰好相切時(shí)為臨界點(diǎn)，則：

圓心(0,2)到漸近線bx-ay=0的距離d=|-2a|b2+a2=1，

因?yàn)閏=2，即a2+b2=4，

所以a=1，此時(shí)b=3，ba=3，

當(dāng)①b＝1；②當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)坐標(biāo)為；③直線OP的斜率與切線l的斜率之積為定值；④∠F1PF2的角平分線PH（點(diǎn)H在F1F2上）長(zhǎng)為．①④．雙曲線的焦點(diǎn)為（±，0），則橢圓的焦點(diǎn)也為（±，0），∴b2＝3﹣2＝1，得b＝1（b＞0），故①正確；設(shè)P（x0，y0）（x0，y0＞0），則，橢圓在點(diǎn)P處的切線方程為，求得A（，0），B（0，），由三角形面積公式可得，，∵，∴，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)在第一象限的切點(diǎn)坐標(biāo)為P，故②錯(cuò)誤；由對(duì)稱性，只需考慮點(diǎn)P在第一象限的情況，由上可知，P，則kOP?kl＝，故③錯(cuò)誤；計(jì)算可得，在∠F1PF2＝90°，設(shè)∠F1PF2的角平分線PH的長(zhǎng)為m，根據(jù)等面積法可得：，解得m＝，故④正確．75.(2021?江西南昌三模?理T15．)設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），圓（x﹣c）2+y2＝4c2與雙曲線C在第一象限的交點(diǎn)為A，若AF1與雙曲線C的一條漸近線l垂直，則l的方程為．4x+3y＝0．設(shè)AF1的傾斜角為θ，∵AF1與雙曲線C的一條漸近線l垂直，且，∴tanθ＝，聯(lián)立，解得cosθ＝，在△AF1F2中|AF1|＝|AF2|+2a＝2c+2a，|F1F2|＝2c，由余弦定理可得：（2c）2＝（2c+2a）2+（2c）2﹣2?（2c+2a）?2c?cosθ＝4a2+8c2+8ac﹣8b（a+c），化簡(jiǎn)得：a+c＝2b，即c＝2b﹣a，又a2+b2＝c2，∴a2+b2＝（2b﹣a）2+4b2+a2﹣4ab，即，∴，則直線l的方程為y＝﹣，即4x+3y＝0．76.(2021?北京門(mén)頭溝二模?理T13)P(x,y)(x>0,y>0)是雙曲線C：x24-y2=1上的一點(diǎn)，A(-2,0)，B(2,0)，設(shè)∠PAB=α，∠PBA=β，△ABP的面積為S-8P(x,y)(x>0,y>0)是雙曲線C：x24-y2=1上的一點(diǎn)，

可得x2-4=4y2，

tanα+tanβ=yx+2-yx-2=-4yx2-4=-4y4y2=-1y，

tanαtanβ=yx+2?-yx-2=-y2x2-4=-y24y2=-14，

S=124．設(shè)過(guò)點(diǎn)F作斜率為k1的直線方程為：y＝k1（x﹣1），聯(lián)立方程，消去x可得：，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1y2＝﹣4，設(shè)C（x3，y3），D（x4，y4），則＝，同理，設(shè)AC所在的直線方程為y＝m（x﹣4），聯(lián)立方程，消去x得：my2﹣4y﹣16m＝0，∴y1y3＝﹣16，同理可得y2y4＝﹣16，則＝＝＝＝4．78.(2021?河北秦皇島二模?理T15．)已知雙曲線C：x2﹣＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，直線l過(guò)F2與雙曲線C的左、右兩支分別交于A、B兩點(diǎn)，已知∠F1AF2＝90°，且△ABF1內(nèi)切圓半徑為1，則|AB|＝．3．雙曲線C：x2﹣＝1的a＝1，設(shè)|AF1|＝m，|BF1|＝n，由雙曲線的定義可得|AF2|＝|AF1|+2a＝m+2，|BF2|＝|BF1|﹣2a＝n﹣2，|AB|＝AF2|﹣|BF2|＝m﹣n+4，由切線長(zhǎng)定理可得直角三角形的內(nèi)切圓的半徑為兩直角邊的和與斜邊的差的一半，所以，在直角三角形ABF1中，（|AB|+|AF1|﹣|BF1|）＝（m﹣n+4+m﹣n）＝1，可得m﹣n＝﹣1，所以|AB|＝﹣1+4＝3．79.(2021?江西上饒二模?理T15．)過(guò)拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)作兩條相互垂直的弦AB，CD，且|AB|+|CD|＝λ|AB|?|CD|，則實(shí)數(shù)λ的值為．．由拋物線的方程可得F（，0），由題意可知直線AB，CD的斜率存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為：y＝k（x﹣），A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立方程，消去y整理可得：k2x2﹣（2+k2）+＝0，所以x，所以|AB|＝x，直線CD的方程為：y＝﹣），同理可得|CD|＝2+，所以由|AB|+|CD|＝λ|AB|?|CD|可得：＝．80.(2021?江西鷹潭二模?理T14．)已知方程﹣＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是．（﹣1，3）．∵雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，∴c＝2，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，可得：4＝（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2＝1，∵方程﹣＝1表示雙曲線，∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范圍是：（﹣1，3）．當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，可得：﹣4＝（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2＝﹣1，無(wú)解．綜上可得m的取值范圍是（﹣1，3）．81.(2021?山東濰坊二模?T)15．已知一張紙上畫(huà)有半徑為2的圓O，在圓0內(nèi)有一個(gè)定點(diǎn)A，且OA＝1，折疊紙片，使圓上某一點(diǎn)A'剛好與A點(diǎn)重合，這樣的每一種折法，都留下一條直線折痕，當(dāng)A'取遍圓上所有點(diǎn)時(shí)，所有折痕與OA'的交點(diǎn)形成的曲線記為C，則曲線C上的點(diǎn)到圓O上的點(diǎn)的最大距離為．．以O(shè)A中點(diǎn)為G坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．∴可知O（），A（），設(shè)折痕與OA′和AA′分別交于M，N兩點(diǎn)，則MN垂直平分AA′，∴|MA′|＝|MA|，又∵|A′O|＝|MO|+|A′M|，∴|MO|+|MA|＝2，∴M的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)，2為長(zhǎng)軸的橢圓．∴M的軌跡方程C為，∴曲線C上的點(diǎn)到點(diǎn)O距離的最大值為d＝1+＝，∴曲線C上的點(diǎn)到圓O上的點(diǎn)的最大距離為d+r＝．82.(2021?河北邯鄲二模?理T16．)過(guò)拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F作不垂直于x軸的直線，交拋物線于M，N兩點(diǎn)，線段MN的中垂線交x軸于R，則＝．．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則根據(jù)拋物線的定義得：|AB|＝x1+x2+p，由y12＝2px1，y22＝2p2x，相減得，y12﹣y22＝2px1﹣2px2，∴k＝＝，則線段MN的中垂線的方程為：y﹣＝﹣（x﹣）．令y＝0，得R的橫坐標(biāo)為p+，又F（，0），∴|FR|＝，則＝．83.(2021?廣東潮州二模?T14．)若拋物線y2＝4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是．9．拋物線的準(zhǔn)線為x＝﹣1，∵點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10，∴點(diǎn)M到準(zhǔn)線x＝﹣1的距離為10，∴點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為9．84.(2021?遼寧朝陽(yáng)二模?T14．)已知|z+i|+|z﹣i|＝6，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程為．+＝1．∵復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)P（x，y），又|z+i|+|z﹣i|＝6，∴+＝6，即點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)A（0，﹣），和B（0，﹣）的距離之和為：6，且兩定點(diǎn)的距離為：2＜6，故點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)AB為焦點(diǎn)的橢圓，且2a＝6，2c＝2，故b＝＝2，∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程為：+＝1．85.(2021?浙江麗水湖州衢州二模?T17．)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2的直線交雙曲線的右支于A，B兩點(diǎn)，且|AF1|＝2|AF2|，∠AF1F2＝∠F1BF2，則下列結(jié)論正確的有．①雙曲線C的離心率e＝；②雙曲線C的一條漸近線斜率是；③線段|AB|＝6a；④△AF1F2的面積是a2．②④．如圖示：由于且|AF1|＝2|AF2|，∠AF1F2＝∠F1BF2，可得：且|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，由于∠AF1F2＝∠F1BF2，所以△AF2F1∽△ABF2，故，可得：|AB|＝2|AF2|＝8a，故|BF1|＝6a，|BF2|＝8a，所以|F1F2|＝2c＝4a，所以離心率e＝2，故，在△AF1F2中，|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，|F1F2|＝4a，所以．故②④正確．86.(2021?浙江麗水湖州衢州二模?T16．)已知平面向量，，，，若||＝||＝，＝0，||+||＝4，||＝1，則||的最大值是．．不妨令，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則O（0，0），，因?yàn)閨|+||＝4，所以|CA|+|CA'|＝4＞＝|AA'|，故點(diǎn)C在以4為長(zhǎng)軸，為焦點(diǎn)的橢圓上，則點(diǎn)C的軌跡方程為，又||＝1，即，故點(diǎn)D在以為圓心，1為半徑的圓上，又||＝，所以轉(zhuǎn)化為求解|BC|的最大值，由圖易得，當(dāng)以B為圓心，r為半徑的圓與橢圓內(nèi)切時(shí)有最大值，聯(lián)立方程組消去x可得，，則△＝12﹣12（r2﹣7）＝0，解得，所以．87.(2021?寧夏銀川二模?文T16．)已知雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)F作C的一條漸近線的垂線，垂足為M，若tan∠MAF＝，則雙曲線的離心率等于．．如圖：由題意可設(shè)直線OM方程為y＝，F(xiàn)M⊥OM，∴OM＝a，MF＝b，在△OAM中，OA＝a，OM＝a，∴∠MAO＝∠AMO，∴∠MOF＝2∠MAF，在△MOF中，tan∠MOF＝＝＝tan2∠MAF＝，∴，∴＝．88.(2021?安徽淮北二模?文T15．)已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線C于點(diǎn)A，B，若|FA|﹣|FB|＝，則△OAB的面積為．．拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線方程為x＝﹣1，由|FA|﹣|FB|＝，可得AB的斜率存在，設(shè)為k，k≠0，過(guò)F的直線AB的方程為y＝k（x﹣1），與拋物線的方程y2＝4x聯(lián)立，可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，設(shè)A，B的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，可得x1+x2＝2+，x1x2＝1，由拋物線的定義可得|AF|﹣|BF|＝x1+1﹣x2﹣1＝x1﹣x2＝＝＝，解得k＝±，即有直線AB的方程為y＝±（x﹣1），可得O到直線AB的距離為d＝＝，|AB|＝x1+x2+2＝2++2＝，所以△ABO的面積為S＝d?|AB|＝××＝．三、解答題部分89.(2021?新高考全國(guó)Ⅰ卷?T21)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過(guò)的兩條直線分別交于、兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.因?yàn)?，所以，軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)軌跡的方程為，則，可得，，所以，軌跡的方程為；（2）設(shè)點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)的直線的斜率不存在，此時(shí)該直線與曲線無(wú)公共點(diǎn)，不妨直線的方程為，即，聯(lián)立，消去并整理可得，設(shè)點(diǎn)、，則且.由韋達(dá)定理可得，，所以，，設(shè)直線的斜率為，同理可得，因?yàn)?，即，整理可得，即，顯然，故.因此，直線與直線的斜率之和為.90.(2021?高考全國(guó)甲卷?理T20)拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O．焦點(diǎn)在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點(diǎn)，且．已知點(diǎn)，且與l相切．（1）求C，的方程；（2）設(shè)是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線，均與相切．判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．（1）依題意設(shè)拋物線，，所以拋物線的方程為，與相切，所以半徑為，所以的方程為；（2）設(shè)若斜率不存在，則方程為或，若方程為，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)，則過(guò)與圓相切另一條直線方程為，此時(shí)該直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，即不存在，不合題意；若方程為，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)則過(guò)與圓相切的直線為，又，，此時(shí)直線關(guān)于軸對(duì)稱，所以直線與圓相切；若直線斜率均存在，則，所以直線方程為，整理得，同理直線的方程為，直線的方程為，與圓相切，整理得，與圓相切，同理所以為方程的兩根，，到直線的距離為：，所以直線與圓相切；綜上若直線與圓相切，則直線與圓相切.91.(2021?高考全國(guó)乙卷?文T20)已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足，求直線斜率的最大值.（1）拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，由題意，該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以該拋物線的方程為；（2）設(shè)，則，所以，由在拋物線上可得，即，所以直線斜率，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，；綜上，直線的斜率的最大值為.92.(2021?浙江卷?T21)如圖，已知F是拋物線的焦點(diǎn)，M是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，且，（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線與A?B兩點(diǎn)，斜率為2的直線l與直線，x軸依次交于點(diǎn)P，Q，R，N，且，求直線l在x軸上截距的范圍.（1）因?yàn)椋剩蕭佄锞€的方程為.（2）設(shè)，，，所以直線，由題設(shè)可得且.由可得，故，因?yàn)?，故，?又，由可得，同理，由可得，所以，整理得到，故，令，則且，故，故即，解得或或.故直線在軸上的截距的范圍為或或.93.(2021?江蘇鹽城三模?T20)(12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系eqxOy中，已知點(diǎn)P是拋物線eqC\s\do(1)：x\s\up6(2)＝2py(p＞0)上的一個(gè)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為x0，過(guò)點(diǎn)P作拋物線eqC\s\do(1)的切線l．(1)求直線l的斜率(用x0與p表示)；(2)若橢圓eqC\s\do(2)：\f(y\s\up6(2),2)＋x\s\up6(2)＝1過(guò)點(diǎn)P，l與eqC\s\do(2)的另一個(gè)交點(diǎn)為A，OP與eqC\s\do(2)的另一個(gè)交點(diǎn)為B，求證：AB⊥PB．OyxPBAOyxPBA【考點(diǎn)】圓錐曲線中拋物線與橢圓的綜合應(yīng)用：斜率表示、證明垂直問(wèn)題(1)由x2＝2py，得y＝EQ\F(1,2p)x2，所以y′＝EQ\F(1,p)x，所以直線l的斜率為EQ\F(1,p)x0．……3分(2)設(shè)P(x0，y0)，則B(－x0，－y0)，kPB＝EQ\F(y\S\DO(0),x\S\DO(0），由(1)知kPA＝EQ\F(1,p)x0＝EQ\F(y\S\DO(0),2x\S\DO(0），……5分設(shè)A(x1，y1)，所以EQ\F(y\S\DO(0)\s\up3(2),2)＋x02＝1，EQ\F(y\S\DO(1)\s\up3(2),2)＋x12＝1，作差得EQ\F(\b\bc\((\l(y\S\DO(0)＋y\S\DO(1）)\b\bc\((\l(y\S\DO(0)－y\S\DO(1）),2)＋(x0＋x1)(x0－x1)＝0，即EQ\F(y\S\DO(0)＋y\S\DO(1),x\S\DO(0)＋x\S\DO(1）EQ\F(y\S\DO(0)－y\S\DO(1),x\S\DO(0)－x\S\DO(1）＝－EQ\F(1,2)，所以kPAkAB＝－EQ\F(1,2)，……10分所以EQ\F(y\S\DO(0),2x\S\DO(0）kAB＝－EQ\F(1,2)，即kAB＝－EQ\F(x\S\DO(0),y\S\DO(0），所以kPBkAB＝－1，所以AB⊥PB．……12分注：其他解法參照評(píng)分．94.(2021?河南鄭州三模?理T20)已知拋物線C：x2＝4y和圓E：x2+（y+1）2＝1，過(guò)拋物線上一點(diǎn)P（x0，y0），作圓E的兩條切線，分別與x軸交于A、B兩點(diǎn)．（Ⅰ）若切線PB與拋物線C也相切，求直線PB的斜率；（Ⅱ）若y0≥2，求△PAB面積的最小值．（Ⅰ）設(shè)切線PB的方程為y＝kx+m，代入拋物線方程得，x2﹣4kx﹣4m＝0．由相切條件可得，△＝16k2+16m＝0，即k2+m＝0，由直線與圓相切，可得，即k2＝m2+2m，∴m2+3m＝0，解得m＝﹣3或m＝0（舍去），則k2＝3，即k＝；（Ⅱ）設(shè)切線方程為y﹣y0＝（kx﹣x0），即kx﹣y+y0﹣kx0＝0，圓心到直線的距離d＝，整理得．設(shè)PA、PB的斜率分別為k1，k2，則，．令y＝0，得，，∴|AB|＝||＝＝＝．∴＝．令f（y）＝，y≥2，則f′（y）＝＞0，則f（y）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，∴f（y）min＝f（2）＝4．即S△PAB的最小值為2．95.(2021?河南開(kāi)封三模?理T20)已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，P是拋物線C上一點(diǎn)，且滿足．（1）求拋物線C的方程；（2）已知直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝15，線段AB的中點(diǎn)M在直線x＝1上．（ⅰ）求直線l的方程；（ⅱ）證明：，，成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差．（1）解：由題可知，，設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），因?yàn)?，即，所以，y0＝﹣2，故，將點(diǎn)P代入y2＝2px，得4＝p2，又因?yàn)閜＞0，所以p＝2，所以拋物線C的方程為y2＝4x；（2）（i）解：若直線l斜率不存在，則直線l：x＝1，此時(shí)，故直線l斜率存在，設(shè)直線l：y＝kx+m，聯(lián)立方程組，消去y得，k2x2+（2km﹣4）x+m2＝0，滿足△＝（2km﹣4）2﹣4k2m2＝16（1﹣km）＞0，即km＜1，設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則，，所以①，又因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)M在直線x＝1上，所以②，由①式與②式聯(lián)立可得k＝±2，當(dāng)k＝2時(shí)，m＝﹣1，滿足km＜1；當(dāng)k＝﹣2時(shí)，m＝1，滿足km＜1，所以直線l的方程為y＝2x﹣1或y＝﹣2x+1；（ii）證明：由（i）可知，直線l與拋物線C聯(lián)立方程，消去y可得4x2﹣8x+1＝0，所以x1+x2＝2，，故，，則，所以，，成等差數(shù)列，又因?yàn)楣頳滿足，因?yàn)?，所以，故?shù)列的公差．96.(2021?河南開(kāi)封三模?文T20．)已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，P是拋物線C上一點(diǎn)，且滿足．（1）求拋物線C的方程；（2）已知斜率為2的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若，，成等差數(shù)列，求該數(shù)列的公差．（1）由題可知，設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），因?yàn)?，即，所以，y0＝﹣2，…………代入y2＝2px，得4＝p2，又因?yàn)閜＞0，所以p＝2，所以拋物線C的方程為y2＝4x．…………（2）設(shè)直線l：y＝2x+m，則消去y可得4x2+（4m﹣4）x+m2＝0，滿足△＝（4m﹣4）2﹣16m2＝﹣32m+16＞0，即設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2＝1﹣m，，…………若，，成等差數(shù)列，則，即x1+x2+2＝4，即3﹣m＝4，即m＝﹣1．…………此時(shí)直線l與拋物線C聯(lián)立方程為4x2﹣8x+1＝0，即x1+x2＝2，，又因?yàn)楣頳滿足，…………因?yàn)椋?，即．………?7.(2021?河南焦作三模?理T20)已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，△AOB（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為2．（Ⅰ）求拋物線C的方程；（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)E（0，a）（a＞0）的兩直線l1，l2的傾斜角互補(bǔ)，直線l1與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，直線l2與拋物線C交于P，Q兩點(diǎn)，△FMN與△FPQ的面積相等，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（Ⅰ）因?yàn)榻裹c(diǎn)F（，0），所以A，B的坐標(biāo)分別為（，p），（，﹣p），所以S△AOB＝?2P?＝2，解得p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x．（Ⅱ）由題意可知直線l1，l2的斜率存在，且不為0，設(shè)直線l1：x＝t（y﹣a），設(shè)點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立，得y2﹣4ty+4at＝0，所以△1＝16t2﹣16at＞0，所以y1+y2＝4t，y1y2＝4at，所以|MN|＝|y1﹣y2|＝＝4，焦點(diǎn)F到直線l1的距離d＝＝2|1+ta|，所以S△FMN＝×4×＝2|1+ta|，設(shè)直線l2的方程為x＝﹣t（y﹣a），聯(lián)立拋物線的方程，可得△2＝16t2+16at＞0，將t用﹣t代換，可得S△FPQ＝2|ta﹣1|，由S△FMN＝S△FPQ，可得2|1+ta|＝2|ta﹣1|，化簡(jiǎn)可得＝||，兩邊平方得，t2＝，所以2﹣a2＞0，解得0＜a＜，又由△1＞0且△2＞0，得t＜﹣a或t＞a，可知t2＞a2，所以＞a2，即（a2﹣1）2＞0，所以a≠1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，1）∪（1，）．98.(2021?河北張家口三模?T21)已知拋物線C：y2＝4px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，且點(diǎn)M（1，2）（1）求拋物線C的方程；（2）若直線l：x﹣m（y+2）﹣5＝0與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)？若存在，求出m的值，請(qǐng)說(shuō)明理由．（1）因?yàn)辄c(diǎn)M到點(diǎn)F的距離比到y(tǒng)軸的距離大p，所以點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離與到直線x＝﹣p的距離相等，由拋物線的定義可知，點(diǎn)M在拋物線C上，所以4＝4p，解得p＝5，故拋物線C的方程為y2＝4x；（2）存在m＝2或m＝﹣3．聯(lián)立方程組，可得y2﹣4my﹣7m﹣20＝0，因?yàn)椤鳎?6m2+3（8m+20）＞0恒成立，所以直線l與拋物線C恒有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)A（x6，y1），B（x2，y8），則有y1+y2＝6m，y1y2＝﹣7（2m+5），因?yàn)椋剑剑剑?，所以MA⊥MB，則△MAB為直角三角形，設(shè)d為點(diǎn)M到直線l的距離，則|MA|?|MB|＝|AB|?d＝＝＝＝64，所以（m+1）5+4（m+1）5﹣32＝0，解得（m+1）2＝4或（m+1）6＝﹣8（舍），所以m＝1或m＝﹣5，故當(dāng)實(shí)數(shù)m＝1或m＝﹣3時(shí)，|MA|?|MB|＝．99.(2021?山東聊城三模?T21.)已知圓F1:(x+1)2+y2=r2，圓F2:(x（1）求曲線C的方程；（2）已知點(diǎn)P(1,32)，過(guò)曲線C右焦點(diǎn)F2的直線交曲線C于A、B兩點(diǎn)，與直線x=m交于點(diǎn)D，是否存在實(shí)數(shù)m，λ，使得kPA（1）解：由題意可知|PF1|=r，|P所以|PF所以曲線C為以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓，且a2=2所