3.2二維離散型隨機(jī)變量的分布律和性質(zhì)市公開(kāi)課金獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第1頁(yè)§2二維離散型隨機(jī)變量分布律及性質(zhì)一、二維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合概率分布定義

若二維隨機(jī)變量可能取值全體為有限或可數(shù)多個(gè)數(shù)組，則稱為二維離散型隨機(jī)變量．第2頁(yè)象一維離散型分布那樣，能夠用一個(gè)概率分布來(lái)表示二維離散型分布．設(shè)二維離散型隨機(jī)變量可能取值為,記則聯(lián)合概率分布律（簡(jiǎn)稱分布律）也可用以下表3-1表示：其中：第3頁(yè)對(duì)二維離散型隨機(jī)變量，由圖3-1知離散型隨機(jī)變量和聯(lián)合分布函數(shù)為：

(2.1)第4頁(yè)例1

一口袋中有三個(gè)球，它們依次標(biāo)有數(shù)字1、2、2.從這袋中任取一球后，不放回袋中，再?gòu)拇腥稳∫磺?設(shè)每次取球時(shí)，袋中各個(gè)球被取到可能性相同．以

、分別記第一次、第二次取得球上標(biāo)有數(shù)字，求

概率分布．解：第5頁(yè)二、二維離散型隨機(jī)變量邊緣概率分布二維隨機(jī)變量作為一個(gè)整體，含有分布函數(shù),而和都是隨機(jī)變量，也分別含有分布函數(shù)，記之為，．依次稱為二維隨機(jī)變量關(guān)于和邊緣分布函數(shù)．邊緣分布函數(shù)能夠由分布函數(shù)所確定，實(shí)際上 即（2.2） 同理 （2.3）

對(duì)離散型隨機(jī)變量，由（2.1）和（2.2）

可得：第6頁(yè)設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量，它概率分布如表3-1所表示，那么同理可得關(guān)于邊緣概率分布也是離散，它概率分布如表3-4.其中：以后把記作。所以關(guān)于邊緣概率分布也是離散，它概率分布如表3-3.第7頁(yè)例2設(shè)二維離散型隨機(jī)變量概率分布如表3-5,求關(guān)于及關(guān)于邊緣概率分布.解：第8頁(yè)解：可能取值為數(shù)組（1，2）、（2，1）、(2，2).下面先算出取每組值概率．第一次取得1概率為，第一次取得1后，第二次取得2概率為1.所以，按乘法定理，得第一次取得2概率為，第一次取得2后，第二次取得1、2概率都為．

同理可得

于是，所要求概率密度

如表3-2.第9頁(yè)解：求得邊緣概率分布如表3-6所表示,我們常將邊緣分布律寫在聯(lián)合分布律表格邊緣上，如上表所表示，這便是“邊緣分布律”這個(gè)詞由來(lái)．第10頁(yè)三、二維離散型隨機(jī)變量條件概率分布前面第一章討論過(guò)事件條件概率．在事件發(fā)生條件下事件發(fā)生條件概率為

這里

對(duì)二維隨機(jī)變量，我們考慮在其中一個(gè)變量取固定值條件下，另一個(gè)變量概率分布．這么得到或概率分布叫條件分布．對(duì)二維離散型隨機(jī)變量,設(shè),考慮在隨機(jī)變量

取得可能值條件下，隨機(jī)變量取它任一可能值條件概率第11頁(yè)由上述隨機(jī)事件條件概率公式可得：(2.4)第12頁(yè)易知，上述條件概率滿足概率分布性質(zhì)同理，設(shè)，則可得到在時(shí)隨機(jī)變量條件概率分布為：

(1)(2)且(1)(2)第13頁(yè)例3設(shè)二維離散形隨機(jī)變量概率分布如表3-7,求時(shí)關(guān)于條件概率分布及時(shí)關(guān)于條件概率分布。解：第14頁(yè)解由 得條件概率分布為：由 得 時(shí)關(guān)于條件概率分布為：求得邊緣概率分布為:第15頁(yè)四、

獨(dú)立性下面借助于隨機(jī)事件相互獨(dú)立性，引入隨機(jī)變量相互獨(dú)立性概念，已知任二事件相互獨(dú)立充分必要條件是:,從而有以下定義定義

設(shè)及，分別是二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)．若對(duì)全部有即=（2.6）則稱隨機(jī)變量是相互獨(dú)立．第16頁(yè)當(dāng)為離散型隨機(jī)變量時(shí)，是相互獨(dú)立條件（2.6）式等價(jià)于：對(duì)于全部可能取值有反之，若存在使得，則稱不獨(dú)立．即(2.7)第17頁(yè)例4相互獨(dú)立，填以下表3-8空白處值解：第18頁(yè)解故又相互獨(dú)立，所以所以從而從而 所以同理第19頁(yè)例5設(shè)表示把硬幣擲三次時(shí)頭兩次擲出正面次數(shù)，表示這三次投擲中出現(xiàn)正面總次數(shù)那么，二維隨機(jī)變量概率分布如表3-9所表示.問(wèn)隨機(jī)變量是不是相互獨(dú)立？解：第20頁(yè)解

仔細(xì)觀察概率分布表及由它算出邊緣概率分布，發(fā)覺(jué)

于是有所以不是相互獨(dú)立隨機(jī)變量．其實(shí)，我們從實(shí)際背景輕易得出，頭兩次擲出正面次數(shù)必定要影響三次擲出正面次數(shù)，故不可能相互獨(dú)立。第21頁(yè)例6證實(shí)離散型隨機(jī)變量獨(dú)立充分必要條件是：對(duì)實(shí)數(shù)軸上任意兩個(gè)點(diǎn)集

有 （2.8）

成立．解：第22頁(yè)證實(shí)若對(duì)任意兩個(gè)點(diǎn)集有（2.8）成立，則當(dāng)依次為單點(diǎn)集時(shí)，仍有：成立，所以獨(dú)立．反之，若獨(dú)立，則