極化恒等式及其拓展（向量中的范圍、模長問題）專題講義-高三數(shù)學二輪復習

平面向量專題——極化恒等式及其拓展（向量中的范圍、模長問題）一、知識點1.極化恒等式的證明（1）（2）（1）（2）兩式相減，可以得到：＝2.幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的.3.兩個模型平行四邊形模式：向量的數(shù)量積表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的.即：ABCM三角形模式：在三角形ABD中為的中點,ABCM4.注意點：兩個向量要同起點二、要點分析1.求數(shù)量積的值【典例精析】（浙2012理15）在中，是的中點，,則=________.變式訓練1：若的外接圓是半徑為1的圓，且，則=_______________.ABDCP變式訓練2：在平行四邊形中，已知,,則______________.ABDCP變式訓練3：如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點，,，則的值是________．變式訓練4：（2020七彩陽光高一期中聯(lián)考15）如圖，,是半徑為的圓的兩條直徑，為的中點,則等于__________.2.求數(shù)量積的取值范圍【典例精析】在中，，，，若是所在平面內(nèi)一點，且，則的最大值為.變式訓練1：（2019全國2理12）已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點，則的最小值是（）A． B． C． D．變式訓練2：已知是圓的直徑,長為2,是圓上異于的一點,是圓所在平面上任意一點,則的最小值為_.變式訓練3：已知點為坐標原點，為圓的內(nèi)接正三角形，則最小值為______________.變式訓練4：在中，若，，在線段上運動，的最小值為變式訓練5：（2019江蘇金陵中學高考模擬）已知菱形中，對角線,,是邊上的動點（包括端點），則的取值范圍為_______．3.解決與不等式相結(jié)合的數(shù)量積問題【典例精析】（2013浙江理7）在中,是邊上一定點，滿足，且對于邊上任一點，恒有。則()A.B.C.D.變式訓練1：在面積為2的平行四邊形中，點為直線上的動點,則的最小值為______________.4.其他綜合類型的數(shù)量積問題【典例精析】已知是單位圓上的兩點，為圓心，且是圓的一條直徑，點在圓內(nèi)，且滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．變式訓練1：如圖，已知在中，,,是的中點，若向量，且的終點在的內(nèi)部(不含邊界)，則的取值范圍是________．變式訓練2：如圖，在直角梯形中，,,,，,點為線段(含端點)上的一個動點，若有且只有個不同的位置，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是________．課后習題1．在中，，，，若是所在平面內(nèi)一點，且，則的最大值為2.若點和點分別是雙曲線的中心和左焦點，點為雙曲線右支上任意一點則的取值范圍是.3.在，，已知點是內(nèi)一點，則的最小值是.4.正邊長等于，點在其外接圓上運動，則的取值范圍是（）A.B.C.D.5.在銳角中，已知，，則的取值范圍是