重要高中數(shù)學(xué)數(shù)列十種求通項(xiàng)和七種求和方法練習(xí)

完好word版重要高中數(shù)學(xué)數(shù)列十種求通項(xiàng)和七種乞降方法練習(xí)及答案完好word版重要高中數(shù)學(xué)數(shù)列十種求通項(xiàng)和七種乞降方法練習(xí)及答案17/17完好word版重要高中數(shù)學(xué)數(shù)列十種求通項(xiàng)和七種乞降方法練習(xí)及答案高中數(shù)列知識點(diǎn)總結(jié)(一)等差數(shù)列的公式及性質(zhì)等差數(shù)列的定：anan1d（d常數(shù)）（n2）；2．等差數(shù)列通公式：ana1(n1)ddna1d(nN*)，首:a1，公差:d，末:an推行：anam(nm)d．進(jìn)而danam；nm3．等差數(shù)列的判斷方法（1）定法：若anan1d或an1and(常數(shù)nN)an是等差數(shù)列．（2）等差中法：數(shù)列an是等差數(shù)列2anan-1an1(n2)2an1anan2．（3）數(shù)列an是等差數(shù)列anknb（此中k,b是常數(shù)）。（4）數(shù)列an是等差數(shù)列SAn2Bn,（此中、是常數(shù)）。nAB等差數(shù)列的性：（1）當(dāng)公差d0，等差數(shù)列的通公式ana1(n1)ddna1d是對于n的一次函數(shù)，且斜率公差d；前n和Snna1n(n1)ddn2(a1d)n是對于n的二次函數(shù)且常數(shù)0.222（2）若公差d0，增等差數(shù)列，若公差d0，減等差數(shù)列，若公差d0，常數(shù)列。（3）當(dāng)mnpq,有amanapaq，專門，當(dāng)mn2p，有aman2ap.注：a1ana2an1a3an2。（4）若an、bn等差數(shù)列，anb，1an2bn都等差數(shù)列。（5）在等差數(shù)列中，等距離拿出若干也組成一個(gè)等差數(shù)列，即an,an+m,an+2m,?,等差數(shù)列，公差md。（6）{an}是公差d的等差數(shù)列，Sn是前n和，那么數(shù)列Sk,S2kSk,S3kS2k,?成公差k2d的等差數(shù)列。（7）數(shù)列an是等差數(shù)列，d公差，S奇是奇數(shù)的和，S偶是偶數(shù)的和，Sn是前n的和1）當(dāng)數(shù)偶數(shù)2n，S2nn(anan1)，S偶S奇S奇annd,anS偶1S奇a1a3a5a2n1na1a2n1nan2S偶a2a4a6a2nna2a2nnan122）當(dāng)數(shù)奇數(shù)2n-1，S2n-1S奇S偶(2n1)anS奇nanS奇nS奇S偶anS偶（n-1)anS偶n1(9)若1n有最大，可由不等式an0來確立n。a>0，d<0，San01若a<0，d>0，San0來確立n。1n有最小，可由不等式an10-1-（10）等差數(shù)列an{bn}前n項(xiàng)和為A,Bnn，二)等比數(shù)列的公式及性質(zhì)anqq0n2,且nN*1.等比數(shù)列的定義：an1，q稱為公比ana1qn1a1qnABna1q0,AB02.通項(xiàng)公式：qqnmanqananamqnmamnm推行：，進(jìn)而得或am3.等比中項(xiàng):數(shù)列an是等比數(shù)列an2an1an1等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn公式：等比數(shù)列的判斷方法aqa或an1q(q為常數(shù)，a0)n1nann{an}為等比數(shù)列（1）定義：對隨意的n,都有（2）等比中項(xiàng)：an2an1an1（an1an10）{an}為等比數(shù)列（3）通項(xiàng)公式：anABnAB0{an}為等比數(shù)列（4）前n項(xiàng)和公式：SnAABn或SnA'BnA'A,B,A',B'為常數(shù){an}為等比數(shù)列等比數(shù)列的性質(zhì)(1)若m+n=s+t(m,n,s,tN*),則anamasat.特其余,當(dāng)n+m=2k時(shí),得anamak2注：a1ana2an1a3an2kan(2)數(shù)列{an},{bn}{an}{kan},{ank},{kanbn}{bn}為非零常數(shù))均為等為等比數(shù)列,則數(shù)列,，(k比數(shù)列.且公比分別為1/q，q，q，q·q，q/q2.k121(3)數(shù)列{an}為等比數(shù)列,每隔k(kN*)項(xiàng)拿出一項(xiàng)(am,amk,am2k,am3k,)仍為等比數(shù)列,公比為qk假如{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,則數(shù)列{logaan}是等差數(shù)列(5)若{an}為等比數(shù)列,則數(shù)列Sn，S2nSn，S3nS2n,，成等比數(shù)列（當(dāng)q=－1且k為偶數(shù)時(shí)不建立）。(6)若{an}為等比數(shù)列,則數(shù)列a1a2an,an1an2a2n,a2n1a2n2a3n成等比數(shù)列a0，則{a}為遞加數(shù)列①當(dāng)q1時(shí)，{a10，則{an}為遞減數(shù)列n1a，則{a}為遞減數(shù)列②當(dāng)0<q1時(shí)，{a10，則{an}為遞加數(shù)列1n③當(dāng)q=1時(shí),該數(shù)列為常數(shù)列（此時(shí)數(shù)列也為等差數(shù)列）;④當(dāng)q<0時(shí),該數(shù)列為搖動數(shù)列.-2-(8)在等比數(shù)列{an}中,當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n(nN*)時(shí),S奇1.S偶q(9)若{an}是公比為q的等比數(shù)列,則SnmSnqnSm3．求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法一、公式法例1已知數(shù)列{an}知足an12an32n，a12，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。解：an12an32n兩邊除以2n1，得an1an3，則an1an3，故數(shù)列{an}是以a121為首2n12n22n12n22n212項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得an1(n1)3，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為22n2an(3n1)2n。22二、累加法anan1f(n)例2已知數(shù)列{an}知足an1an2n1，a11，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。解：由an1an2n1得an1an2n1則an(anan1)(an1an2)L(a3a2)(a2a1)a1[2(n1)1][2(n2)1]L(221)(211)12[(n1)(n2)L21](n1)12(n1)n(n1)12(n1)(n1)1n2所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an2。n例3已知數(shù)列{an}知足an13an23n1，a13，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。解：an13an23n1兩邊除以3n1，得an1an21，3n13n33n1則an1an213n13n33n1三、累乘法anf(n)an1-3-例4已知數(shù)列{an}知足an12(n1)5na，a3，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。n1解：因?yàn)閍n12(n1)5nan，a13，所以an0，則an12(n1)5n，故anaanan1La3a2ananana2a1112[2(n11)5n1][2(n21)5n2]L[2(21)52][2(11)51]32n1[n(n1)L32]5(n1)(n2)L2132n1n(n1)352n!2n1n(n1)所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an352n!.例5（2004年全國I第15題，原題是填空題）已知數(shù)列{an}知足a11，ana12a23a3L(n1)an1(n2)，求{an}的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)閍na12a23a3L(n1)an1(n2)①所以an1a12a23a3L(n1)an1nan②用②式－①式得an1annan.則an1(n1)an(n2)故an1n1(n2)an四、待定系數(shù)法（要點(diǎn)）例6已知數(shù)列{an}知足an12an35n，a16，求數(shù)列a的通項(xiàng)公式。n解：設(shè)an1x5n12(anx5n)④將an12an35n代入④式，得2an35nx5n12an2x5n，等式兩邊消去2an，得35nx5n12x5n，兩邊除以5n，得35x2x,則x1,代入④式得an15n12(an5n)例7已知數(shù)列{an}知足an13an52n4，a1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。1-4-解：設(shè)an1x2n1y3(anx2ny)⑥將an13an52n4代入⑥式，得3an52n4x2n1y3(anx2ny)整理得(52x)2n4y3x2n3y。令52x3x，則x5，代入⑥式得an152n123(an52n2)⑦4y3yy2例8已知數(shù)列{an}知足an12an3n24n5，a1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。1解：設(shè)an1x(n1)2y(n1)z2(anxn2ynz)⑧an12an3n24n5代入⑧式，得2an3n24n5x(n1)2y(n1)z2(anxn2ynz)，則2an(3x)n2(2xy4)n(xyz5)2an2xn22yn2z等式兩邊消去2an，得(3x)n2(2xy4)n(xyz5)2xn22yn2z，3x2xx3解方程組2xy42y，則y10，代入⑧式，得xyz52zz18an13(n1)210(n1)182(an3n210n18)⑨五、對數(shù)變換法例9已知數(shù)列{an}知足an123nan5，a17，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)閍n123nan5，a17，所以an0，an10。在an123nan5式兩邊取常用對數(shù)得lgan15lgannlg3lg2⑩設(shè)lgan1x(n1)y5(lganxny)11○六、迭代法-5-例10已知數(shù)列{an}知足an1an3(n1)2n，a15，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)閍n1an3(n1)2n，所以anan3n12n1[an3(n21)2n2]3n2n1七、數(shù)學(xué)概括法例11已知an1an8(n1)，a18，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。（其余方法呢？）(2n1)2(2n3)298(n1)及a8解：由an1an，得(2n1)2(2n3)219a2a18(11)88224(211)2(213)2992525a3a28(21)248348(221)2(223)225254949a4a38(31)488480(231)2(233)249498181由此可猜想an(2n1)21，往下用數(shù)學(xué)概括法證明這個(gè)結(jié)論。(2n1)2（1）當(dāng)n1時(shí)，a1(211)218，所以等式建立。(211)29（2）假定當(dāng)nk時(shí)等式建立，即ak(2k1)21，則當(dāng)nk1時(shí)，(2k1)28(k1)ak1ak(2k1)2(2k3)2-6-(2k1)218(k1)(2k1)2(2k1)2(2k3)2[(2k1)21](2k3)28(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k3)2(2k3)28(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k1)2(2k3)2(2k3)21(2k3)2[2(k1)1]21[2(k1)1]2由此可知，當(dāng)nk1時(shí)等式也建立。依據(jù)（1），（2）可知，等式對任何nN*都建立。八、換元法例12已知數(shù)列{an}知足an11(14an124an)，a11，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。16解：令bn124an，則an1(bn21)24故an11(bn211)，代入an11(14an124an)得24161(bn211)1[141(bn21)bn]2416244bn21(bn3)2因?yàn)閎n124an0，故bn1124an10則2bn1bn3，即bn11bn3，可化為bn131(bn3)，222九、不動點(diǎn)法例13已知數(shù)列{an}知足an121an24，a14，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。4an1解：令x21x24，得4x220x240，則x12，x23是函數(shù)f(x)21x24的兩個(gè)不動點(diǎn)。因?yàn)?x14x1-7-21an242an124an121an242(4an1)13an2613an2an1321an24321an243(4an1)9an279an34an1十、倒數(shù)法a11，an12an，求anan2求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法一、公式法利用以下常用乞降公式乞降是數(shù)列乞降的最基本最重要的方法.1、等差數(shù)列乞降公式：Snn(a1an)na1n(n1)d22na1qn)(q1)2、等比數(shù)列乞降公式：Sna1(1a1anq1)1q1q(qn1n(n1)n1n(n1)(2n1)3、Snk4、Snk2k12k16nk3[1n(n1)]25、Snk12[例1]求xx2x3xn的前n和.[例2]S＝1+2+3+?*,求f(n)Sn的最大.n(n32)Sn1二、位相減法（等差乘等比）[例3]乞降：Sn13x5x27x3(2n1)xn12462n[例4]求數(shù)列,2,23,,n,前n的和.222n21解：由可知，{}的通是等差數(shù)列{2n}的通與等比數(shù)列{2n2n}的通之Sn2462n2223n?????????????①2212462n（設(shè)制錯(cuò)位）Sn2223242n1????????????②2①－②得(11)Sn222222n（錯(cuò)位相減）222223242n2n1212n2n12n1-8-2Sn42n1三、倒序相加法是推等差數(shù)列的前n和公式所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒來擺列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就能夠獲得n個(gè)(a1an).[例5]求：Cn03Cn15Cn2(2n1)Cnn(n1)2n明：SnCn03Cn15Cn2(2n1)Cnn??????????..①把①式右倒來得S(2n1)Cn(2n1)Cn13C1C0（反序）nnnnn又由CnmCnnm可得S(2n1)C0(2n1)C13Cn1Cn????..??..②nnnnn①+②得2Sn(2n2)(Cn0Cn1Cnn1Cnn)2(n1)2n（反序相加）∴Sn(n1)2n[例6]求sin21sin22sin23sin288sin289的解：Ssin21sin22sin23sin288sin289????.①將①式右反序得Ssin289sin288sin23sin22sin21????..②（反序）又因sinxcos(90x),sin2xcos2x1①+②得（反序相加）2S(sin21cos21)(sin22cos22)(sin289cos289)＝89S＝四、分法乞降有一數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列適合打開，可分幾個(gè)等差、等比或常的數(shù)列，此后分乞降，再將其歸并即可.[例7]求數(shù)列的前n和：114,17,,11,a2n13n2，?aa[例8]求數(shù)列{n(n+1)(2n+1)}的前n和.解：akk(k1)(2k1)2k33k2k-9-nn∴Snk(k1)(2k1)＝(2k33k2k)k1k1將其每一項(xiàng)打開再從頭組合得nk3nk2nSn＝23k（分組）k1k1k1五、裂項(xiàng)法乞降這是分解與組合思想在數(shù)列乞降中的詳細(xì)應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，此后從頭組合，使之能消去一些項(xiàng)，最后達(dá)到乞降的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：（1）anf(n1)f(n)（2）sin1tan(n1)tanncosncos(n1)（3）an111（4）an(2n)21111)n(n1)nn1(2n1)(2n1)(2n212n1（5）ann(n12)1[1(n1]1)(n2n(n1)1)(n2)(6)ann212(n1)n111,則Sn111)2nn(n1)2nn2n1(n1)2n1)2nn(n(n[例9]求數(shù)列1,1,1,的前n項(xiàng)和.12,n23n1[例10]在數(shù)列{an}中，an12n，又bnan2，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和.n1n1n1an1[例11]求證：111cos1cos1cos2cos88cos89sin21cos0cos1解：設(shè)S111cos0cos1cos1cos2cos88cos89∵sin1tan(n1)tann（裂項(xiàng)）1)cosncos(n∴S111（裂項(xiàng)乞降）cos0cos1cos1cos2cos88cos89＝1{(tan1tan0)(tan2tan1)(tan3tan2)[tan89tan88]}sin1＝1(tan89tan0)＝1cos1sin1cot1＝sin1sin21∴原等式建立-10-六、歸并法乞降一些特其余數(shù)列，將某些歸并在一同就擁有某種特其余性，所以，在求數(shù)列的和，可將些放在一同先乞降，此后再求Sn.[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的.解：Sn＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°∵cosncos(180n)（找特別性質(zhì)項(xiàng)）Sn＝（cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）+···+（cos89°+cos91°）+cos90°（歸并乞降）＝0[例13]數(shù)列{a}：a11,a23,a32,an2an1an，求S.n2002解：S2002＝a1a2a3a2002由a11,a23,a32,an2an1an可得a41,a53,a62,a71,a83,a92,a101,a113,a122,??a6k11,a6k23,a6k32,a6k41,a6k53,a6k62∵a6k1a6k2a6k3a6k4a6k5a6k60（找特別性質(zhì)項(xiàng)）∴S2002＝a1a2a3a2002（歸并乞降）＝(a1a2a3a6)(a7a8a12)(a6k1a6k2a6k6)(a1993a1994a1998)a1999a2000a2001a2002＝a1999a2000a2001a2002＝a6k1a6k2a6k3a6k4＝5[例14]在各均正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5a69,求log3a1log3a2log3a10的.解：Snlog3a1log3a2log3a10由等比數(shù)列的性mnpqamanapaq（找特別性質(zhì)項(xiàng)）和數(shù)的運(yùn)算性logaMlogaNlogaMN得Sn(log3a1log3a10)(log3a2log3a9)(log3a5log3a6)（歸并乞降）-11-＝(log3a1a10)(log3a2a9)(log3a5a6)＝log39log39log39＝10七、利用數(shù)列的通項(xiàng)乞降先依據(jù)數(shù)列的構(gòu)造及特點(diǎn)進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特點(diǎn)，此后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法.[例15]求1111111111之和.n個(gè)1解：因?yàn)?111199991(10k1)（找通項(xiàng)及特點(diǎn)）k個(gè)19k個(gè)19∴1111111111n個(gè)1＝1(1011)1(1021)1(1031)1(10n1)（分組乞降）9999＝1(10110210310n)1(1111)99n個(gè)1＝110(10n1)n91019＝1(10n1109)81n[例16]已知數(shù)列{an}：an8,求(n1)(anan1)的值.(n1)(n3)n1-12-數(shù)列練習(xí)一、選擇題1.已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a3·a9=2a2，a2=1，則a1=5A.1B.2C.2222.已知為等差數(shù)列，，則等于A.-1B.1C.33.公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a4是a3與a7的等比中項(xiàng),S832,則S10等于A.18B.24C.60D.90.4設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a23，a611，則S7等于A．13B．35C．49D．63已知an為等差數(shù)列，且a7－2a4＝－1,a3＝0,則公差d＝（A）－2（B）－1（C）1（D）2226.等差數(shù)列｛an｝的公差不為零，首項(xiàng)a1＝1，a2是a1和a5的等比中項(xiàng)，則數(shù)列的前10項(xiàng)之和A.90B.100C.145D.1907.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知am1am1am20，S2m138,則m（A）38（B）20（C）10（D）9.8.設(shè)an是公差不為0的等差數(shù)列，a12且a1,a3,a6成等比數(shù)列，則an的前n項(xiàng)和Sn=A．n27nB．n25nC．n23nD．n2n4433249.等差數(shù)列｛an｝的公差不為零，首項(xiàng)a1＝1，a2是a1和a5的等比中項(xiàng)，則數(shù)列的前10項(xiàng)之和是A.90B.100C.145D.190.二、填空題1設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q1，前n項(xiàng)和為Sn，則S4．2a42.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn，則T4，，，T16成等比數(shù)列．T12-13-3.在等差數(shù)列{an}中,a37,a5a26,則a6____________.4.等比數(shù)列{an}的公比q0,已知a2=1，an2an16an，則{an}的前4項(xiàng)和S4=.數(shù)列練習(xí)參照答案一、選擇題1.【答案】B【分析】設(shè)公比為q,由已知得a1q2a1q82a1q42,即q22,又因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的公比為正數(shù)，所以q2,故a1a212q2,選B22.【分析】∵a1a3a5105即3a3105∴a335同理可得a433∴公差da4a32∴a20a4(204)d1.選B。