中考數(shù)學一輪總復習20《圓綜合復習》知識講解+鞏固練習（提高版）（含答案）

PAGE中考總復習：圓綜合復習—知識講解（提高）【考綱要求】1.圓的基本性質和位置關系是中考考查的重點，但圓中復雜證明及兩圓位置關系中證明定會有下降趨勢，不會有太復雜的大題出現(xiàn)；2.今后的中考試題中將更側重于具體問題中考查圓的定義及點與圓的位置關系，對應用、創(chuàng)新、開放探究型題目，會根據當前的政治形勢、新聞背景和實際生活去命題，進一步體現(xiàn)數(shù)學來源于生活，又應用于生活．【知識網絡】【考點梳理】考點一、圓的有關概念1.圓的定義如圖所示，有兩種定義方式：①在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A隨之旋轉所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，以O為圓心的圓記作⊙O，線段OA叫做半徑；②圓是到定點的距離等于定長的點的集合．要點詮釋：圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小．2.與圓有關的概念①弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦；如上圖所示線段AB，BC，AC都是弦．②直徑：經過圓心的弦叫做直徑，如AC是⊙O的直徑，直徑是圓中最長的弦．③?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，如曲線BC、BAC都是⊙O中的弧，分別記作，．④半圓：圓中任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓，如是半圓．⑤劣?。合襁@樣小于半圓周的圓弧叫做劣?。迌?yōu)?。合襁@樣大于半圓周的圓弧叫做優(yōu)弧．⑦同心圓：圓心相同，半徑不相等的圓叫做同心圓．⑧弓形：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形．⑨等圓：能夠重合的兩個圓叫做等圓．⑩等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等?。畧A心角：頂點在圓心的角叫做圓心角，如上圖中∠AOB，∠BOC是圓心角．圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角，如上圖中∠BAC、∠ACB都是圓周角．要點詮釋：圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半.圓外角度數(shù)等于它所夾弧的度數(shù)的差的一半.圓內角度數(shù)等于它所夾弧的度數(shù)的和的一半.考點二、圓的有關性質1.圓的對稱性圓是軸對稱圖形，經過圓心的直線都是它的對稱軸，有無數(shù)條．圓是中心對稱圖形，圓心是對稱中心，又是旋轉對稱圖形，即旋轉任意角度和自身重合．2.垂徑定理①垂直于弦的直徑平分這條弦，且平分弦所對的兩條?。谄椒窒?不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．如圖所示．要點詮釋：在圖中(1)直徑CD，(2)CD⊥AB，(3)AM＝MB，(4)，(5)．若上述5個條件有2個成立，則另外3個也成立．因此，垂徑定理也稱“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作條件時，應限制AB不能為直徑．3.弧、弦、圓心角之間的關系①在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等；②在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，它們所對應的其余各組量也相等．4.圓周角定理及推論①圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．②圓周角定理的推論：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．要點詮釋：圓周角性質的前提是在同圓或等圓中．考點三、與圓有關的位置關系1.點與圓的位置關系如圖所示．d表示點到圓心的距離，r為圓的半徑．點和圓的位置關系如下表：點與圓的位置關系d與r的大小關系點在圓內d＜r點在圓上d＝r點在圓外d＞r要點詮釋：(1)圓的確定：①過一點的圓有無數(shù)個，如圖所示．②過兩點A、B的圓有無數(shù)個，如圖所示．③經過在同一直線上的三點不能作圓．④不在同一直線上的三點確定一個圓．如圖所示．(2)三角形的外接圓經過三角形三個頂點可以畫一個圓，并且只能畫一個．經過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓．三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心．這個三角形叫做這個圓的內接三角形．三角形的外心就是三角形三條邊的垂直平分線交點．它到三角形各頂點的距離相等，都等于三角形外接圓的半徑．如圖所示．2.直線與圓的位置關系①設r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離，直線與圓的位置關系如下表．②圓的切線．切線的定義：和圓有唯一公共點的直線叫做圓的切線．這個公共點叫切點．切線的判定定理：經過半徑的外端．且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．友情提示：直線l是⊙O的切線，必須符合兩個條件：①直線l經過⊙O上的一點A；②OA⊥l．切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑．切線長定義：我們把圓的切線上某一點與切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長．切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角．③三角形的內切圓：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，三角形內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形，三角形的內心就是三角形三個內角平分線的交點．要點詮釋：找三角形內心時，只需要畫出兩內角平分線的交點．三角形外心、內心有關知識比較3.圓與圓的位置關系在同一平面內兩圓作相對運動，可以得到下面5種位置關系，其中R、r為兩圓半徑(R≥r)．d為圓心距．要點詮釋：①相切包括內切和外切，相離包括外離和內舍．其中相切和相交是重點．②同心圓是內含的特殊情況．③圓與圓的位置關系可以從兩個圓的相對運動來理解．④“r1－r2”時，要特別注意，r1＞r2．考點四、正多邊形和圓1.正多邊形的有關概念正多邊形的外接圓(或內切圓)的圓心叫正多邊形的中心．外接圓的半徑叫正多邊形的半徑，內切圓的半徑叫正多邊形的邊心距，正多邊形各邊所對的外接圓的圓心角都相等，這個角叫正多邊形的中心角，正多邊形的每一個中心角都等于．要點詮釋：通過中心角的度數(shù)將圓等分，進而畫出內接正多邊形，正六邊形邊長等于半徑．2.正多邊形的性質任何一個正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩圓是同心圓．正多邊形都是軸對稱圖形，偶數(shù)條邊的正多邊形也是中心對稱圖形，同邊數(shù)的兩個正多邊形相似，其周長之比等于它們的邊長(半徑或邊心距)之比．3.正多邊形的有關計算定理：正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形．正n邊形的邊長a、邊心距r、周長P和面積S的計算歸結為直角三角形的計算．，，，，，．考點五、圓中的計算問題1.弧長公式：，其中為n°的圓心角所對弧的長，R為圓的半徑．2.扇形面積公式：，其中．圓心角所對的扇形的面積，另外．3.圓錐的側面積和全面積：圓錐的側面展開圖是扇形，這個扇形的半徑等于圓錐的母線長，弧長等于圓錐底面圓的周長．圓錐的全面積是它的側面積與它的底面積的和．要點詮釋：（1）在計算圓錐的側面積時要注意各元素之間的對應關系，千萬不要錯把圓錐底面圓半徑當成扇形半徑．（2）求陰影面積的幾種常用方法(1)公式法；(2)割補法；(3)拼湊法；(4)等積變形法；(5)構造方程法．考點六、四點共圓1.四點共圓的定義四點共圓的定義：如果同一平面內的四個點在同一個圓上，則稱這四個點共圓，一般簡稱為“四點共圓”.2.證明四點共圓一些基本方法：1.從被證共圓的四點中先選出三點作一圓，然后證另一點也在這個圓上，若能證明這一點，即可肯定這四點共圓．或利用圓的定義，證各點均與某一定點等距.2.如果各點都在某兩點所在直線同側，且各點對這兩點的張角相等，則這些點共圓．（若能證明其兩張角為直角，即可肯定這四個點共圓，且斜邊上兩點連線為該圓直徑.）3.把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內對角時，即可肯定這四點共圓．4.把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點共圓；或把被證共圓的四點兩兩連結并延長相交的兩線段，若能證明自交點至一線段兩個端點所成的兩線段之積等于自交點至另一線段兩端點所成的兩線段之積，即可肯定這四點也共圓．即利用相交弦、切割線、割線定理的逆定理證四點共圓.考點七、與圓有關的比例線段（補充知識）1.相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.2.切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.3.割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等.圓冪定理（相交弦定理、切割線定理及其推論(割線定理)統(tǒng)一歸納為圓冪定理）定理圖形已知 結論證法相交弦定理⊙O中，AB、CD為弦，交于P.PA·PB＝PC·PD.連結AC、BD，證：△APC∽△DPB.相交弦定理的推論⊙O中，AB為直徑，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB.用相交弦定理.切割線定理⊙O中，PT切⊙O于T，割線PB交⊙O于APT2＝PA·PB連結TA、TB，證：△PTB∽△PAT切割線定理推論PB、PD為⊙O的兩條割線，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD過P作PT切⊙O于T，用兩次切割線定理【典型例題】類型一、圓的有關概念及性質 1．BC為的弦，∠BOC=130°，△ABC為的內接三角形，求∠A的度數(shù).【思路點撥】依題意知為△ABC的外心，由外心O的位置可知應分兩種情況進行解答.【答案與解析】應分兩種情況，當O在△ABC內部時，當O在△ABC外部時，由∠BOC=130°，得劣弧BC的度數(shù)為130，則的度數(shù)為360－130＝230,故∠A=115°.綜合以上得∠A=65°或∠A=115°.【總結升華】轉化思想就是化未知為已知，化繁為簡，化難為易，從而將無法求解的問題轉化成可以求解的問題，使問題得以解決.舉一反三：【變式】如圖，∠AOB＝100°，點C在⊙O上，且點C不與A、B重合，則∠ACB的度數(shù)為（）ABABOA．B．或C．D．或【答案】解：當點C在優(yōu)弧上時，∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°，當點C在劣弧上時，∠ACB＝（360°－∠AOB）＝×（360°－100°）＝130°．故選D．類型二、與圓有關的位置關系2．如圖，已知正方形的邊長是4cm，求它的內切圓與外接圓組成的圓環(huán)的面積．（答案保留π）【思路點撥】設正方形外接圓，內切圓的半徑分別為R，r，根據圓環(huán)的面積等于大圓的面積減去小圓的面積即可．【答案與解析】解：設正方形外接圓，內切圓的半徑分別為R，r，如圖，連接OE、OA，則OA2-OE2=AE2，即R2-r2=（）2=（）2=4，S圓環(huán)=S大圓-S小圓=πR2-πr2，（2分）=π（R2-r2），（3分）∵R2-r2=（）2=4，∴S=4π（cm2）．【總結升華】此題比較簡單，解答此題的關鍵是作出輔助線，找出兩圓半徑之間的關系，根據圓的面積公式列出關系式即可．3．如圖，已知⊙O的半徑為6cm，射線PM經過點O，，射線PN與⊙O相切于點Q．A,B兩點同時從點P出發(fā)，點A以5cm/s的速度沿射線PM方向運動，點以4cm/s的速度沿射線方向運動．設運動時間為s．（1）求PQ的長；（2）當為何值時，直線與⊙O相切？【思路點撥】(1)連OQ,則OQ⊥PN,由勾股定理可以求得PQ的長；(2)由直線AB與⊙O相切,先找出結論成立的條件,當BQ等于⊙O的半徑時,直線AB與⊙O相切,再根據直線AB與⊙O相切時的不同位置,分類求出的值.【答案與解析】解（1）連接OQ．∵PN與⊙O相切于點Q，∴OQ⊥PN,即．，，∴（2）過點作，垂足為．點的運動速度為5cm/s，點的運動速度為4cm/s，運動時間為s，∴，．，，∴，∴△PAB∽△POQ,∴∠PBA=∠PQO=900，∴四邊形為矩形．∴BQ=OC∵⊙O的半徑為6，∴BQ=OC=6時，直線與⊙O相切．①當運動到如圖1所示的位置時．．由，得．解得．②當運動到如圖2所示的位置時．．由，得．解得．所以，當為0.5s或3.5s時,直線與⊙O相切．【總結升華】本例是一道雙動點幾何動態(tài)題.是近年來中考數(shù)學的熱點題型.這類試題信息量大，對學生獲取信息和處理信息的能力要求較高；解題時需要用運動和變化的眼光去觀察和研究問題，挖掘運動、變化的全過程，并特別關注運動與變化中的不變量、不變關系或特殊關系，動中取靜，靜中求動.舉一反三：【高清課堂：圓的綜合復習例4】【變式】已知：如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥BC于點D，過點C作⊙O的切線，交OD的延長線于點E，連接BE．

（1）求證：BE與⊙O相切；

（2）連接AD并延長交BE于點F，若OB=9，，求BF的長．【答案】（1）證明：連結.與⊙相切，為切點.直線是線段的垂直平分線.是⊙的直徑.與⊙相切.（2）解：過點作于點，則∥.在中，由勾股定理得在中，同理得是的中點，∥，∴△AMD∽△ABF類型三、與圓有關的計算4．如圖，有一個圓O和兩個正六邊形T1，T2．T1的6個頂點都在圓周上，T2的6條邊都和圓O相切（我們稱T1，T2分別為圓O的內接正六邊形和外切正六邊形）．（1）設T1，T2的邊長分別為a，b，圓O的半徑為r，求r：a及r：b的值；（2）求正六邊形T1，T2的面積比S1：S2的值．【思路點撥】（1）根據圓內接正六邊形的半徑等于它的邊長，則r：a=1：1；在由圓的半徑和正六邊形的半邊以及正六邊形的半徑組成的直角三角形中，根據銳角三角函數(shù)即可求得其比值；（2）根據相似多邊形的面積比是相似比的平方．由（1）可以求得其相似比，再進一步求得其面積比．【答案與解析】解：（1）連接圓心O和T1的6個頂點可得6個全等的正三角形．所以r：a=1：1；連接圓心O和T2相鄰的兩個頂點，得以圓O半徑為高的正三角形，所以r：b=AO：BO=sin60°=：2；

（2）T1：T2的邊長比是：2，所以S1：S2=（a：b）2=3：4．【總結升華】計算正多邊形中的有關量的時候，可以構造到由正多邊形的半徑、邊心距、半邊組成的直角三角形中，根據銳角三角函數(shù)進行計算．注意：相似多邊形的面積比即是其相似比的平方．舉一反三：【變式】有一個亭子，它的地基是半徑為8m的正六邊形，求地基的周長和面積．（結果保留根號）【答案】解：連接OB、OC；

∵六邊形ABCDEF是正六邊形，

∴∠BOC==60°，

∴△OBC是等邊三角形，

∴BC=OB=8m，

∴正六邊形ABCDEF的周長=6×8=48m．

過O作OG⊥BC于G，

∵△OBC是等邊三角形，OB=8m，

∴∠OBC=60°，

∴OG=OB?sin∠OBC=8×=4m，

∴S△OBC=BC?OG=×8×4=16，

∴S六邊形ABCDEF=6S△OBC=6×16=96m2．類型四、與圓有關的綜合應用5．（2014?孝感模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，∠BAC的平分線交⊙O于點D，過點D作EF∥BC，交AB、AC的延長線于點E、F．（1）求證：EF為⊙O的切線；（2）若sin∠ABC=，CF=1，求⊙O的半徑及EF的長．

【思路點撥】（1）連接OD，只要證明OD⊥EF即可．（2）連接BD，CD，根據相似三角形的判定可得到△CDF∽△ABD∽△ADF，根據相似比及勾股定理即可求得半徑及EF的值．【答案與解析】（1）證明：連接OD；∵AB是直徑，∴∠ACB=90°；∵EF∥BC，∴∠AFE=∠ACB=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA；又∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠DAC，∴∠ODA=∠DAC，∴OD∥AF，∴∠ODE=∠AFD=90°，即OD⊥EF；又∵EF過點D，∴EF是⊙O的切線．（2）解：連接BD，CD；∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，∴∠ADB=∠AFD；∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠DAC，∴BD=CD；設BD=CD=a；又∵EF是⊙O的切線，∴∠CDF=∠DAC，∴∠CDF=∠OAD=∠DAC，∴△CDF∽△ABD∽△ADF，∴=，=；∵sin∠ABC==，∴設AC=3x，AB=4x，∴=，則a2=4x，∴在Rt△CDF中，由勾股定理得DF2=CD2﹣CF2=4x﹣1；又∵=，∴4x﹣1=1×（1+3x），∴x=2，∴AB=4x=8，AC=3x=6；∵EF∥BC，∴△ABC∽△AEF，∴=，=，AE=，∴在Rt△AEF中，EF===．綜上所述，⊙O的半徑及EF的長分別是4和．【總結升華】本題考查切線的判定和性質，圓周角定理，相似三角形的判定和性質等知識點的綜合運用．舉一反三：【高清課堂：圓的綜合復習例3】【變式】（2015?寧波模擬）已知：如圖，△ABC中，∠BAC=90°，點D在BC邊上，且BD=BA，過點B畫AD的垂線交AC于點O，以O為圓心，AO為半徑畫圓．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為8，tan∠C=，求線段AB的長，sin∠ADB的值．【答案】解：（1）連接OD，∵BA=BD，BO⊥AD，∴∠ABO=∠DBO，在△ABO和△DBO中，∴△ABO≌△DBO（SAS），∴OD=OA．∠ODB=∠OAB=90°，∴BD⊥OD，∴BC是⊙O的切線；（2）∵在RT△ODC中，CD===6，∴OC=10，∴AC=18在RT△ABC中，AB=AC?tan∠C=18×=24，∵∠ADB=∠DAB=∠AOB，∴sin∠ADB=sin∠AOB==，6．（1）已知：如圖1，△ABC是⊙O的內接正三角形，點P為弧BC上一動點，求證：PA=PB+PC；（2）如圖2，四邊形ABCD是⊙O的內接正方形，點P為弧BC上一動點，求證：；（3）如圖3，六邊形ABCDEF是⊙O的內接正六邊形，點P為弧BC上一動點，請?zhí)骄縋A、PB、PC三者之間有何數(shù)量關系，并給予證明．【思路點撥】（1）延長BP至E，使PE=PC，連接CE，證明△PCE是等邊三角形．利用CE=PC，∠E=60°，∠EBC=∠PAC，得到△BEC≌△APC，所以PA=BE=PB+PC；

（2）過點B作BE⊥PB交PA于E，證明△ABE≌△CBP，所以PC=AE，可得PA=PC+PB．

（3）在AP上截取AQ=PC，連接BQ可證△ABQ≌△CBP，所以BQ=BP．又因為∠APB=30°．所以PQ=PB，PA=PQ+AQ=PB+PC．【答案與解析】證明：（1）延長BP至E，使PE=PC，

連接CE．∵∠BAC=∠CPE=60°，PE=PC，

∴△PCE是等邊三角形，

∴CE=PC，∠E=60°；

又∵∠BCE=60°+∠BCP，∠ACP=60°+∠BCP，

∴∠BCE=∠ACP，

∵△ABC、△ECP為等邊三角形，

∴CE=PC，AC=BC，

∴△BEC≌△APC（SAS），

∴PA=BE=PB+PC．（2）過點B作BE⊥PB交PA于E．∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°∴∠1=∠3，又∵∠APB=45°，∴BP=BE，∴；又∵AB=BC，∴△ABE≌△CBP，∴PC=AE．∴．

（3）答：；證明：過點B，作BM⊥AP，在AP上截取AQ=PC，連接BQ，∵∠BAP=∠BCP，AB=BC，∴△ABQ≌△CBP，∴BQ=BP．∴MP=QM，又∵∠APB=30°，∴cos30°=，∴PM=PB，∴∴【總結升華】本題考查三角形全等的性質和判定方法以及正多邊形和圓的有關知識．要熟悉這些基本性質才能靈活運用解決綜合性的習題．舉一反三：【變式】（1）如圖①，M、N分別是⊙O的內接正△ABC的邊AB、BC上的點且BM=CN，連接OM、ON，求∠MON的度數(shù)；（2）圖②、③、…④中，M、N分別是⊙O的內接正方形ABCD、正五邊ABCDE、…正n邊形ABCDEFG…的邊AB、BC上的點，且BM=CN，連接OM、ON，則圖②中∠MON的度數(shù)是，圖③中∠MON的度數(shù)是；…由此可猜測在n邊形圖中∠MON的度數(shù)是；（3）若3≤n≤8，各自有一個正多邊形，則從中任取2個圖形，恰好都是中心對稱圖形的概率是.【答案】解：（1）連接OB、OC；

∵△ABC是⊙O的內接正三角形，

∴OB=OC∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=∠OBA=30°；

又∵BM=CN，

∴△OBM≌△OCN，

∴∠MOB=∠NOC，

∴∠MON=∠BOC=120°；

（2）90°；72°；．（3）.中考總復習：圓綜合復習—鞏固練習（提高）【鞏固練習】一、選擇題

1．（2015?楊浦區(qū)三模）已知半徑分別是3和5的兩個圓沒有公共點，那么這兩個圓的圓心距d的取值范圍是（）A．d＞8 B．d＞2 C．0≤d＜2 D．d＞8或d＜22．如圖，等腰梯形ABCD內接于半圓D，且AB＝1，BC＝2，則OA＝()A．B．C．D．3．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以點C為圓心，以2cm的長為半徑作圓，則⊙C與AB的位置關系是()A．相離B．相切C．相交D．相切或相交第2題第3題第5題4．已知圓O1、圓O2的半徑不相等，圓O1的半徑長為3，若圓O2上的點A滿足AO1＝3，則圓O1與圓O2的位置關系是()A．相交或相切B．相切或相離C．相交或內含D．相切或內含5．如圖所示，在圓O內有折線OABC，其中OA＝8，AB＝2，∠A＝∠B＝60°，則BC的長為()A．19B．16C．18D．206．如圖，MN是半徑為0.5的⊙O的直徑，點A在⊙O上，∠AMN＝30°，B為AN弧的中點，P是直徑MN上一動點，則PA+PB的最小值為()A．B．C．1D．2二、填空題7．如圖，分別以A，B為圓心，線段AB的長為半徑的兩個圓相交于C，D兩點，則∠CAD的度數(shù)為_______．8．如圖，現(xiàn)有圓心角為90°的一個扇形紙片，該扇形的半徑是50cm．小紅同學為了在圣誕節(jié)聯(lián)歡晚會上表演節(jié)目，她打算剪去部分扇形紙片后，利用剩下的紙片制作成一個底面半徑為10cm的圓錐形紙帽(接縫處不重疊)，那么被剪去的扇形紙片的圓心角應該是________度．第7題第8題第9題9．如圖，AB⊥BC，AB＝BC＝2cm，與關于點O中心對稱，則AB、BC、、所圍成的面積是________cm2．10．如圖，以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB是小圓的切線，C為切點，若兩圓的半徑分別為3cm和5cm，則AB的長為________cm．11．將半徑為4cm的半圓圍成一個圓錐，在圓錐內接一個圓柱(如圖所示)，當圓柱的側面的面積最大時，圓柱的底面半徑是________cm．第10題第11題12．（2015?安徽模擬）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過點O作OD⊥AC于D．下列四個結論：①∠BOC=90°+∠A；②以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切；③設OD=m，AE+AF=n，則S△AEF=mn；④EF是△ABC的中位線．其中正確的結論是．三、解答題13．（2015?滕州市校級模擬）如圖，已知點E在△ABC的邊AB上，∠C=90°，∠BAC的平分線交BC于點D，且D在以AE為直徑的⊙O上．（1）證明：BC是⊙O的切線；（2）若DC=4，AC=6，求圓心O到AD的距離；（3）若，求的值．14．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，斜邊AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，連接BE．(1)若BE是△DEC外接圓的切線，求∠C的大??；(2)當AB＝1，BC＝2時，求△DEC外接圓的半徑．15．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，F(xiàn)H是⊙O的切線，切點為F，F(xiàn)H∥BC，連接AF交BC于E，∠ABC的平分線BD交AF于D，連接BF．(1)證明：AF平分∠BAC；(2)證明：BF＝FD；(3)若EF＝4，DE＝3，求AD的長．16.如圖，已知：AC是⊙O的直徑，PA⊥AC，連接OP，弦CB∥OP，直線PB交直線AC于D，BD＝2PA．(1)證明：直線PB是⊙O的切線；(2)探究線段PO與線段BC之間的數(shù)量關系，并加以證明；(3)求sin∠OPA的值．【答案與解析】一、選擇題

1.【答案】D；【解析】沒有公共點的兩個圓的位置關系，應該是內含和外離，當內含時，這兩個圓的圓心距d的取值范圍是d＜R﹣r，即d＜2；當外離時，這兩個圓的圓心距d的取值范圍是d＞R+r，即d＞8．故選D．2.【答案】A；【解析】作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別是E，F(xiàn)，連接BD，則AE＝DF，∠ABD＝90°，EF＝BC＝2，設AE＝x，則AD＝2+2x．由△ABE∽△ADB可得，即，解得．∴AD＝2+2x＝1+，則．3.【答案】B；【解析】如圖，過C作CD⊥AB于D，在Rt△CBD中，BC＝4cm，∠B＝30°，∴CD＝BC＝(cm)．又⊙C的半徑為2cm，∴d＝r．∴直線AB與⊙C相似．4.【答案】A；【解析】因為AO1＝3，所以點A在圓O1上，又因為點A在圓O2上，所以圓O1與圓O2的位置關系是相交或相切．5.【答案】D；【解析】延長AO交BC于D點，過O作OE⊥BD于E．∵∠A＝∠B＝60°，∴∠ADB＝60°．∴△DAB是等邊三角形，BD＝AB＝12．在Rt△ODE中，OD＝12-8＝4，∠ODE＝60°，∴DE＝OD·cos60°＝，∴BE＝10，故BC＝2BE＝2×10＝20．6.【答案】A；【解析】過B作BB′⊥MN交⊙O于B′，連接AB′交MN于P，此時PA+PB＝AB′最?。BAO并延長交⊙O于C，連接CB′，在Rt△ACB′中，AC＝1，∠C＝，∴．二、填空題7．【答案】120°；【解析】連接BC，BD，則△ABC與△ABD都是等邊三角形，故∠CAB＝∠DAB＝60°，所以∠CAD＝60°+60°＝120°．8．【答案】18；【解析】設被剪去的扇形紙片的圓心角為θ度，則由題意．∴θ＝18．9．【答案】2；【解析】連接AC，因為與關于點O中心對稱，所以A，O，C三點共線，，所以所求圓形的面積＝△ABC的面積(cm2)．10．【答案】8；【解析】連接OC，OA，則OC垂直平分AB，由勾股定理知，所以AB＝2AC＝8．11．【答案】1；【解析】如圖是幾何體的軸截面，由題意得OD＝OA＝4，2πCD＝4π，∴CD＝2．則．設EF＝x，EC＝y(tǒng)，由△OEF∽△OCD得，∴．∴．∴當x＝1時，S有最大值．12．【答案】①②；【解析】如圖∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，而∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∴2∠1+2∠2+∠A=180°，∴∠1+∠2=90°﹣∠A，又∵∠1+∠2+∠BOC=180°，∴180°﹣∠BOC=90°﹣∠A，∴∠BOC=90°∠A，所以①正確；∵EF∥BC，∴∠1=∠3，∠2=∠4，而∠1=∠EBO，∠2=∠FCO，∴∠EBO=∠3，∠4=∠FCO，∴EB=EO，F(xiàn)C=FO，∴BE+FC=EF，∴以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切，所以②正確；連OA，過O作OG⊥AE于G，如圖，∵點O為△ABC的內心，∴OA平分∠BAC，∴OG=OD