線性代數(shù)：第一章 行列式第四、五節(jié)

§4

行列式的性質(zhì)n階行列式的定義

n

階行列式共有

n!項(xiàng)．每一項(xiàng)都是位于不同行不同列的

n

個(gè)元素的乘積．每一項(xiàng)可以寫(xiě)成（正負(fù)號(hào)除外），其中是1,2,…,n的某個(gè)排列.當(dāng)是偶排列時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取正號(hào)；當(dāng)是奇排列時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取負(fù)號(hào).因?yàn)閿?shù)的乘法是可以交換的，所以n個(gè)元素相乘的次序是可以任意的，即每作一次交換，元素的行標(biāo)與列標(biāo)所成的排列與都同時(shí)作一次對(duì)換，即與同時(shí)改變奇偶性，但是這兩個(gè)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變.于是與同時(shí)為奇數(shù)或同時(shí)為偶數(shù).即是偶數(shù).因?yàn)閷?duì)換改變排列的奇偶性，是奇數(shù)，也是奇數(shù).設(shè)對(duì)換前行標(biāo)排列的逆序數(shù)為

，列標(biāo)排列的逆序數(shù)為

.所以是偶數(shù)，因此，交換中任意兩個(gè)元素的位置后，其行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變.設(shè)經(jīng)過(guò)一次對(duì)換后行標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為經(jīng)過(guò)一次對(duì)換是如此，經(jīng)過(guò)多次對(duì)換還是如此.所以，在一系列對(duì)換之后有定理2

n階行列式也可定義為定理3

n階行列式也可定義為一、行列式的性質(zhì)行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.若記，則.記性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等,即.性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.證明根據(jù)行列式的定義，有若記，則行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立.性質(zhì)2

互換行列式的兩行（列）,行列式變號(hào).驗(yàn)證于是推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明互換相同的兩行，有，所以.

備注：交換第行（列）和第行（列），記作.性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個(gè)倍數(shù)，等于用數(shù)乘以此行列式.驗(yàn)證我們以三階行列式為例.記根據(jù)三階行列式的對(duì)角線法則，有備注：第行（列）乘以，記作.推論行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面．備注：第行（列）提出公因子，記作.驗(yàn)證我們以4階行列式為例.性質(zhì)4

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．性質(zhì)5

若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和,例如：則驗(yàn)證我們以三階行列式為例.性質(zhì)6

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個(gè)倍數(shù)然后加到另一列(行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變．則驗(yàn)證我們以三階行列式為例.記備注：以數(shù)乘第行（列）加到第行（列）上，記作.例１二、應(yīng)用舉例計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．解例2

計(jì)算階行列式解將第列都加到第一列得例3設(shè)

證明證明對(duì)作運(yùn)算，把化為下三角形行列式設(shè)為對(duì)作運(yùn)算，把化為下三角形行列式設(shè)為對(duì)D

的前k行作運(yùn)算，再對(duì)后n

列作運(yùn)算，把D

化為下三角形行列式故

(行列式中行與列具有同等的地位,凡是對(duì)行成立的性質(zhì)對(duì)列也同樣成立).

計(jì)算行列式常用方法：(1)利用定義;(2)利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．三、小結(jié)行列式的6個(gè)性質(zhì)計(jì)算4階行列式思考題思考題解答解例3設(shè)

證明證明對(duì)作運(yùn)算，把化為下三角形行列式設(shè)為對(duì)作運(yùn)算，把化為下三角形行列式設(shè)為對(duì)D

的前k行作運(yùn)算，再對(duì)后n

列作運(yùn)算，把D

化為下三角形行列式故§5

行列式按行(列)展開(kāi)對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式.本節(jié)主要考慮如何用低階行列式來(lái)表示高階行列式.一、引言結(jié)論三階行列式可以用二階行列式表示.思考題任意一個(gè)行列式是否都可以用較低階的行列式表示？例如把稱為元素的代數(shù)余子式．在n階行列式中，把元素所在的第行和第列劃后，留下來(lái)的n－1階行列式叫做元素的余子式，記作.結(jié)論因?yàn)樾袠?biāo)和列標(biāo)可唯一標(biāo)識(shí)行列式的元素，所以行列式中每一個(gè)元素都分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式和一個(gè)代數(shù)余子式.引理

一個(gè)n階行列式，如果其中第行所有元素除外都為零，那么這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即．例如即有又從而下面再討論一般情形.分析當(dāng)位于第1行第1列時(shí),我們以4階行列式為例.思考題：能否以代替上述兩次行變換？思考題：能否以代替上述兩次行變換？答：不能.

被調(diào)換到第1行，第1列二、行列式按行（列）展開(kāi)法則定理3

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即同理可得例

證明用數(shù)學(xué)歸納法例證明范德蒙德(Vandermonde)行列式所以n=2時(shí)(1)式成立.假設(shè)(1)對(duì)于n－1階范德蒙行列式成立，從第n行開(kāi)始，后行減去前行的倍：按照第1列展開(kāi)，并提出每列的公因子，就有

n?1階范德蒙德行列式推論行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即分析我們以3階行列式為例.把第1行的元素?fù)Q成第2行的對(duì)應(yīng)元素，則定理3

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之