(精品)等差、等比數(shù)列知識點總結(jié)208

一、任意數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關(guān)系：anS1(n1)SnSn1(n2)二、等差數(shù)列1、等差數(shù)列及等差中項定義anan1d、anan1an1。22、等差數(shù)列的通項公式：ana1(n1)d、anak(nk)d當(dāng)d0時，an是關(guān)于n的一次式；當(dāng)d0時，an是一個常數(shù)。3、等差數(shù)列的前n項和公式：Snn(a1an)Snn(n1)2na1d24、等差數(shù)列{an}中，若mnpq，則amanapaq5、等差數(shù)列{an}的公差為d，則任意連續(xù)m項的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2mSm、S3mS2m、??仍為等差數(shù)列。6、Sn An2 Bn，d 2A，a1 A B7、在等差數(shù)列{an}中,有關(guān)Sn的最值問題利用Sn（d0時，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)）進行配方（注意三、等比數(shù)列1、等比數(shù)列及等比中項定義：anq、an2an1an1an12、等比數(shù)列的通項公式：ana1qn1anakqnk3、等比數(shù)列的前n項和公式：當(dāng)q1時，Snna1qn)當(dāng)q1時，Sna1(11Snq

應(yīng)取正整數(shù)）a1 anq1 q4、等比數(shù)列{an}中，若mnpq，則amanapaq5、等比數(shù)列{an}的公比為q，且Sn0,則任意連續(xù)m項的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2mSm、S3mS2m、??仍為等比數(shù)列6、SnAqnB，則AB0四、求數(shù)列{an}的最大的方法：anan1anan-1五、求數(shù)列{an}的最小項的方法：anan1anan-1例：已知數(shù)列{an}的通項公式為：an2n229n3，求數(shù)列{an}的最大項。例：已知數(shù)列{an}的通項公式為：an9n(n1)，求數(shù)列{an}的最大項。10n1數(shù)列求和方法總結(jié)1、公式法（1）等差數(shù)列Sna1annna1n(n1)d22（2）等比數(shù)列na1q1Sna1(1qn)a1anq)q11q1q(3)122232...n2n(n1)(2n1)63233...n3[n(n1)]2(4)1342、分組求和法類型：數(shù)列{an}的通項公式形如 an=bn±cn，而{bn}是等差數(shù)列，{cn}是等比數(shù)列。例4：計算1+31+51+L+(2n-1)1的值2482n(1)11，21，31，?，(n1n)，?；248212121212(2)2，34，56，?，2n12n，?；練習(xí)：求數(shù)列的前n項和Sn：33333333(3)1，1＋1，1＋11，?，1＋1112242＋4＋?＋2n1，?．3、裂項相消法常見裂項技巧：(1)111(2)1n1n;1)n;n1nn(nn1(3)11)1(11);(2n1)(2n22121nn(4)(2n)21)1(2n111(11);(2n1)(2n1)(2n1)22n122n11111.例5、化簡3243L21n1n111L1的值.練習(xí)求Sn35571)(2n1)13(2n4、倒序相加法特點：a1an1a2an2a3an3...2o2o2o2o2o。例5、sin2sin3Lsin88sin89sin1例6、1、已知f(x)2x，2x2設(shè)Snf(1)f(2)f(3)Lf(n)，求Snnnnn5、錯位相減法常應(yīng)用于形如{an·bn}的數(shù)列求和,其中{an}為等差數(shù)列,{bn}為等比數(shù)列.例7、Sn 2 5 2 8 22L（3n-1）2n1練習(xí)：Sn2518(1)2L（3n-1）(1)n122211L1(2)11212;1233Ln(3)4 7 4 10 42 L （3n 1）4n1練習(xí)：數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a11，an12Sn1（n1）（1）求數(shù)列{an}的通項公式an（2）等差數(shù)列{n}的各項為正數(shù)，且b25，又11，a22，3b3成等比數(shù)列，求bnbabba（3）求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn3數(shù)列通項公式方法總結(jié)1、公式法等差數(shù)列的通項公式：an a1 (n 1)dan am (n m)d等比數(shù)列的通項公式：ana1qn1aaqnmnm2、累加法類型：an1anf(n)(nN)例1、an1an2n1，a11,求an例2、an1an3n2，a11,求an例3、an1an3n，a11,求an3、累乘法類型：an1f(n)(nN)an例4、an12nan，a13,求an練習(xí)：a1,an1a,求an1n1nn4、利用Sn求ananS1,n=1SnSn1,n2例：4求S3n1,ann練習(xí)：Sn1(an1)(nN*)3、數(shù)列{an}的前項和為，且a1，1Sn,n1,2,3(4)nSn1an13求a2,a3,a4的值及數(shù)列{an}的通項公式.45、取倒數(shù)類型：an1panpqan例5、an12an，a1,求anan21例6、已知數(shù)列{an}中，a1=1,an+1+3an+1an-an=0,求數(shù)列{an}的通項公式.6、取對數(shù)類型：an1 Aanp例7、an1an3,a12,求an7、構(gòu)造法主要用于形如an+1=can+d的已知遞推關(guān)系式求通項公式。例8、a1=3,an+1=2an+3,求an練習(xí)：(1)an11an1，求1,an23a1(2)an16an，求1,an9a1練習(xí)：，求1an1an,ana132anan12an2n,a11,求anan12an3n1,a11,求an(5)、數(shù)列中是它的前和并且滿足,an,snnsn14an2(nN),a11(1)設(shè)求證是等比數(shù)列bn;bnan12an,(2)ancn.設(shè)求證數(shù)列是等差數(shù)列cn2n,、已知數(shù)列的首項通項與a13,an(6)an前項和之間滿足2ansnsn1(n2).nsn求數(shù)列的通項公式.an58、特征根法形如(其中p,q為常數(shù))型例、求an6an1,a11,a22,an9an1例10、求an14an4an1,a11,a22,an方法總結(jié)：若方程有兩個根，則,x2annBxnx1Ax12若方程只有一個根，則+annx1(ABn)x1練習(xí)、求2an8an1,a11,a22,anan1練習(xí)、求an16an9an1,a11,a22,an設(shè)p，q為實數(shù)，，是方程x2pxq0的兩個實根，數(shù)列{xn}滿足x1p，x2p2q，xpxqx2（n，，?）．nn1n34（1）證明：p，q；（2）求數(shù)列{xn}的通項公式；（3）若p1，q1，求{xn}的前n項和Sn．461.若 ，求例已知數(shù)列滿足a11,ana12a2[1]{an}3a3...(n1)an1(n2),則an_____.ana12a23a3...(n1)an1(n2)an1a12a23a3...(n2)an2(n3)anan1(n1)an1(n3)an

n(n 3)an11,n1an123Ln,n22【例2】∈∈∈∈{an}∈{bn}∈∈a11∈a23∈bn1*)∈bnan1an∈bn2(nN∈1∈∈∈∈{bn}∈∈∈∈∈∈∈2∈∈∈∈an∈∈∈∈∈∈∈3∈∈∈{cn}∈∈cnlog2(an1)(nN*)∈∈Sn11∈1∈c1c3c3c5c2n1c2n1∈∈∈∈1∈∈bn1*)∈bn2(nN∈b1a2a1312∈∈∈∈∈{bn}∈∈∈b12∈∈∈q2∈∈∈∈∈∈∈bnb1qn12n∈（2）an1an2n(nN*)an(anan1)(an1an2)...(a2a1)a12n12n2∈212nn1。12（3）cnlog2(an1)log2(2n111)2log22nn，111(11)c2n1c2n1(2n1)(2n1)22n12n1Sn11∈1c1c3c3c5c2n1c2n11(1111∈111)23352n2n171(11n)。22n12n1【例1】已知數(shù)列{a}中，13,n12n0,數(shù)列中，naaanbnn1n(nN*)．a(chǎn)（Ⅰ）求數(shù)列{an}通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列 {bn}通項公式以及前 n項的和．【解】（1）∵an12an0∴an12(n1)，又a13，anan是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，an32n1(nN*)（2）∵bnan1n(nN*)，∴bn(1)n1=(1)n31an2n1∴Snb1b2bn112(1)n13332n111(1)n=-21)n=21)n=3121((11929221且【例2】已知數(shù)列an的前n項和為S，若an12an2SnSn10(n2)．(Ⅰ)求證{1}是等差數(shù)列，并求出an的表達式；Sn(Ⅱ)若bn2(1n)an(n2)，求證b22b32∈bn21．（I）證明：∵Sna1a2an∴當(dāng)n≥2時，an=Sn–Sn–1又an2SnSn10∴Sn Sn1 2SnSn1 0(n 2)，若Sn=0，則an=0，∴a1=0與a1=1矛盾！2∴Sn≠0，Sn–1≠0．∴又

1120即112Sn1SnSnSn111．2S2S1∴{ 1}是首項為2，公差為2的等差數(shù)列Sn8由（I）知數(shù)列{1}是等差數(shù)列．Sn∴12(n1)22n即Sn1Sn2n∴當(dāng)n2時,anSnSn11112n2(n1)2n(n1)1(n1)1，∴2又當(dāng)n1時,S1a1an12(n2)（II）證明：2n(n1)由（II）知b2(1n)11(n2)n2n(1n)n∴b22b32∈bn211∈12232n211∈11223(n1)n(11)(11)∈11223(1)nn111n1x[例已知點是函數(shù)且的f(x)a(a0,a1)3圖象上一點等比數(shù)列的前項和為數(shù)f(n)c,.{an}n列的首項為且前項和滿足nSnSnSn1{bn}(bn0)c,SnSn1(n2).(1)求數(shù)列和的通項公式;{an}{bn}(2)1Tn,Tn若數(shù)列的前項和為問滿足{}nbnbn11000的最小正整數(shù)n是多少?20091,1x【解】（1）Qf1afx33af1c1c,a2f2cf1c2,1392.a3f3cf2c427a2221又數(shù)列an成等比數(shù)列，a181c，所以c1；a3233279QSnSn1SnSn1SnSn1SnSn1n2又b0,Sn0,SnSn11；n數(shù)列Sn構(gòu)成一個首相為1公差為1的等差數(shù)列，S1n11n，2nnnS當(dāng)n2，bnSnSn1n2n122n1；bn2n1(nN*)；（2）n111L1Tb2b3b3b4bnbn1b1b2111K1133557(2n1)2n1111111111K111112323525722n2n111n1；22n12n由Tnn11000得n1000，2n20099滿足Tn1000的最小正整數(shù)為112.2009【變式2】等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知對任意的nN，點(,)，均在函數(shù)ybxr(b0且b1,b,r均為常數(shù))的圖像上。nSn（1）求r的值；（2）當(dāng)b=2時，記n1，求數(shù)列的前項和T。n(nN)nb4annn因為對任意的nN,點(n,Sn)，均在函數(shù)ybxr的圖像上，所以Snbnr,當(dāng)n1時,a1S1br,當(dāng)n2時,anSnSn1bnr(bn1r)bnbn1(b1)bn1,又因為{an}為等比數(shù)列,所以r1,10公比為b,所以an(b1)bn1（2）當(dāng)b=2時，an(b1)bn12n1,bnn1n1n14an42n12n1則T234∈n1n2223242n11T234∈nn12n2324252n12n2相減,得1Tn2111∈1n12222324252n12n211=123(12n1)n131n12112n242n12n22所以31n13n3。Tnnn122n1222【變式訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}滿足：Sn＝1－an(n∈N＋)，其中Sn為數(shù)列{an}的前n項和．(1)試求{an}的通項公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足：bn＝n(n∈N＋)，試求{bn}的前n項和公式Tn.ann n(2)∈(1)∈bn∈ ∈n·2(n∈N∈)∈an∈Tn∈1×2∈2×22∈3×23∈?∈n×2n.∈∈2Tn∈1×22∈2×23∈3×24∈?∈n×2n∈1∈∈∈∈∈∈Tn∈2∈22∈23∈?∈2n∈n×2n∈121∈2n11∈1∈n.1∈2∈n×2∈解∈依題意得