概率論-概率第一章

首先引入的計算概率的數(shù)學模型，是在概率論的發(fā)展過程中最早出現(xiàn)的研究

對象，通常稱為古典概型一、古典概型假定某個試驗有有限個可能的結(jié)果e1,

e2,…，eN

,假定從該試驗的條件及實施方法上去分析，找不到任何理由認為其中某一結(jié)果例如

ei，比任一其它結(jié)果，例如

ej,

更有優(yōu)勢，則

只好認為所有結(jié)果在試驗中有同等可能的出現(xiàn)機會，即1/N的出現(xiàn)機會.常常把這樣的試驗結(jié)果稱為“等可能的”.試驗結(jié)果e1,

e2,

…，eN你認為哪個結(jié)果出現(xiàn)的可能性大？8

51

9

4

672 310例如，一個袋子中裝有10個大小、形狀完全相同的球

.將球

為1－10.把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取一球.因為抽取時這些球是完全

的，

沒有理由認為10個球中的某一個會比另一個更容易取得.

也就是說，10個球中的任一個被取出的機會是相等的，均為1/10.10個球中的任一個被取出的機會都是1/108

51

9

4

672 310用

i

表示取到

i號球，i

=1,2,…,10.7

93101

8

4

65則該試驗的樣本空間S={1,2,…,10}

,且每個樣本點(或者說基本事件)出現(xiàn)的可能性相同.稱這樣一類隨機試驗為古典概型.如i

=22定義1若隨機試驗滿足下述兩個條件：它的樣本空間只有有限多個樣本點；每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同.稱這種試驗為等可能隨機試驗或古典概型.二、古典概型中事件概率的計算記A={摸到2號球}P(A)=?P(A)=1/10記B={摸到紅球}P(B)=?P(B)=6/1028

51

9

4

672 3101

2

3

4

5

6轉(zhuǎn)化為“概率”記B={摸到紅球},

P(B)=6/10靜態(tài)這里實際上是從“比例”動態(tài)當要求“摸到紅球”的概率時，只要找出它在靜態(tài)時相應的比例.8

51

9

4

672 310設(shè)古典概率E

的樣本空間為S

e1

,e2

,

,en

.由于在試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同,即Pe1

Pe2

Pen

又由于基本事件是兩兩互不相容的.于是1

PS

Pe1

e2

en

Pe1

Pe2

Pen

nPei

所以niPe

1

,

i

1,2,,n

.若事件A

包含k個基本事件,即A

e

e

e

i1

i2

ik則有PA

Pe

Pe

Pe

i1

i2

iknS

中的基本事件總數(shù)A

包含的基本事件數(shù)

k

例1

將一枚硬幣拋擲三次.i

設(shè)事件A1

為"恰有一次出現(xiàn)正面",求PA1

.ii

設(shè)事件A2

為"至少有一次出現(xiàn)正面",求PA2

.解

此試驗的樣本空間為:S

HHH

,

HHT,

HTH,

HTT,THH,THT,TTH

,TTT.而

A1

HTT

,THT

,TTH,

所以18PA

3

.28PA

7

.A2

HHH

,

HHT

,

HTH

,

HTT

,THH

,THT

,TTH.例2

從有9

件正品、3

件次品的箱子中任取兩次

,每次取一件,試分別以:1

有放回抽樣法:即每次抽取的產(chǎn)品觀察后放回;2不放回抽樣法:即每次抽取產(chǎn)品觀察后不放回;兩種抽樣方式求事件A

取得兩件正品,B

第一次取得正品,第二次取得次品,C

取得一件正品一件次品,的概率.解1

采取有放回抽樣.從箱子中任取兩件產(chǎn)品,每次取一件,取法總數(shù)為122.即樣本空間中所含的基本事件數(shù)為122

.事件A中所含有的基本事件數(shù)為9

9C1C1

92

.所以92事件B

中所含有的基本事件數(shù)為9

3C1C1

9

3

.所以9PA

.122

16122

16PB

9

3

3

.事件C

中所含有的基本事件數(shù)為3

9C1C19

3

C1C1

9

3

3

9

54

.所以122

8PC

54

3

.2

采取不放回抽樣.從箱子中任取兩件產(chǎn)品,每次取一件,取法總數(shù)為12

11.即樣本空間中所含有的基本事件總數(shù)為12

11.事件A中所含有的基本事件數(shù)為9

8C1C1

9

8

.所以12

11PA9

3事件

B

中所含有的基本事件數(shù)為

C1C1

9

3

.所以PB119

8

6

.9

3

9

.12

11

44事件C

中所含有的基本事件數(shù)為3

9C1C19

3

C1C1

9

3

3

9

.所以PC

9

3

3

9

9

.12

11

22例3

從有9

件正品、3件次品的箱子中任取兩件產(chǎn)品即一次抽取兩件產(chǎn)品

,求事件A

取得兩件正品,C

取得一件正品一件次品,的概率..12解從箱子中任取兩件產(chǎn)品,取法總數(shù)為C

2.12即試驗的樣本空間中所含有的基本事件總數(shù)為C

29事件A中所含有的基本事件數(shù)為C

2

.所以9C

2C

2PA

12

2

112

112

19

8.11

69

3事件C

中所含有的基本事件數(shù)為C1

C1

.所以12C

2C1C1

2

112

119

3PA

9 3

.229事件A

所含的基本事件數(shù)為n!事件B

所含的基本事件數(shù)為Cn

n!N,Nn!

故PA

NnNCn

n!n

PBNNnCn

n!.P(B)

1

P(B)

1例4

設(shè)有n

個小球,每個都等可能地落入N

個格子中n

N

,且格子能容納球數(shù)不限，試求下列事件的概率:1

A

某指定的n

個格子中各有一球;B

至少有一個格子中含有兩個以上的球;B

任意的n

個格子中各有一球.解n

個球都等可能地落入到N

個格子中,應有N

n

種可能的方法,所以基本事件總數(shù)為N

n

.當一個事件所含的基本事件數(shù)計算很復雜時，應考慮計算它的對立事件所含的基本事件數(shù)1取出的4

只鞋恰好為兩雙;例5

有

5

雙不同型號的鞋子,從中任取4

只,求下列各事件的概率:2取出的4

只鞋都是不同型號的;3取出的4

只鞋恰好有兩只配成一雙.解設(shè)A

取出的4

只鞋恰好為兩雙,B

取出的4

只鞋都是不同型號的,C

取出的4

只鞋恰好有兩只配成一雙.

只中任取4

只,取法總數(shù)為從5

雙鞋子10410C

.5A中所含有的基本事件數(shù)為C

2

.5

2

2

2

2B

中所含有的基本事件數(shù)為C

4C1C1C1C1

.5

2

4

2

2C

中所含有的基本事件數(shù)為C1C

2C

2C1C1

.于是可得10C

4C

21

PA

5

4

3

2

110

9

8

72

15

4.211104

1

1

1

1C

4C C

C

C

C80

5

2

2

2 2

210

218

.2

PB3

PC

101

2

2

1

1C

4C

C

C C

C210

5

2

4

2 2

.7120

4例6

在1

~

2000

的整數(shù)中隨機地取一個數(shù)

,問取到的整數(shù)既不能被

6

整除,

也不能被

8

整除的概率是多少?解設(shè)A

取到的數(shù)能被6

整除,B

取到的數(shù)能被8

整除.所求概率為PAB

PA

B

1

PA

B

1

PA

PB

PAB,200083又

PA

333

,

PB

250

,

PAB

2000

2000故所求概率為

p

1

333

250

832000

2000

2000

4

3

.去,這iii

解5

名新1

5

5

1

!5!

5!5!

10

5

.5!5!5!15!

10!

15!i

每一

4

4

4

3!12

8

4

.4!4!4!12!

3!

于是所求概率為5!5!5!15!12!3!

1p

974!4!4!

25

.ii

三名優(yōu)秀生分到同一個班級的分法為

2

5

5

.2!5!5!12!3

1210

5

3

于是所求概率為5!5!5!15!12!3

p2

.9162!5!5!

712例8

某接待站在某一周曾接待過12

次來訪,已知所有這12

次接待都是在周二和周四進行的.問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的.解假設(shè)接待站的接待時間沒有規(guī)定,而各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的.則12

次接待來訪者都在周二周四的概率為p

212

0.0000003

.這是小概率事件.所以認為接待時間是有規(guī)定的.三、古典概率計算舉例例1 把C、C、E、E、I、N、S七個字母分別寫在七張同樣的卡片上，并且將卡片放入同一盒中，現(xiàn)從盒中任意一張一張地將卡片取出，并將其按取到的順序排成一列，假設(shè)排列結(jié)果恰好拼成一個英文單詞：S

C

I

E

N

C

E問：在多大程度上認為這樣的結(jié)果是奇怪的，甚至懷疑是一種魔術(shù)？故該結(jié)果出現(xiàn)的概率為：這個概率很小，這里算出的概率有如下的實際意義：如果多次重復這一抽卡試驗，則所關(guān)心的事件在1260次試驗中大約出現(xiàn)1次.2

2

417!

1260

0.00079p

4

解

七個字母的排列總數(shù)為7！拼成英文單詞SCIENCE

的情況數(shù)為這樣小概率的事件在一次抽卡的試驗中就發(fā)生了，人們有比較大的把握懷疑這是魔術(shù).具體地說，可以99.9%的把握懷疑這是魔術(shù).解=0.3024允許重復的排列問錯在何處？例2

某城市的

由5個數(shù)字組成，每個數(shù)字可由五計算樣本空間樣本點總數(shù)和所求事件所含樣本點數(shù)計數(shù)方法不同.能是從0-9這十個數(shù)字中的任一個，求個不同數(shù)字組成的概率.從10個不同數(shù)字中取5個的排列105P

5p

10105C

5p

10例3設(shè)有N件產(chǎn)品,其中有M件次品,現(xiàn)從這N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.這是一種無放回抽樣.解

令B={恰有k件次品}P(B)=？

n

N

M

N

M

P(B)

k

n

k

次品正品……M件次品N-M件正品而出現(xiàn)事件A的分法數(shù)為n!,故2n(2n)!

(2n)!2!2!2!n!

n!2nP(

A)

(2n)!/

2n

(2n)!例4

n雙相異的鞋共2n只，隨機地分成n堆，每堆2只.問:“各堆都自成一雙鞋”(事件A)的概率是多少？解把2n只鞋分成n堆,每堆2只的分法總數(shù)為分球入箱問題請看下面的演示以球、箱模型為例給出一類常見的古典概型中的概率計算1、在應用古典概型時必須注意“等可能性”的條件.“等可能性”是一種假設(shè)，在實際應用中，我們需要根據(jù)實際情況去判斷是否可以認為各基本事件或樣本點是等可能的.請注意：在許多場合，由對稱性和均衡性，就可以認為基本事件是等可能的并在此基礎(chǔ)上計算事件的概率.2、在用排列組合公式計算古典概率時，必須注意不要重復計數(shù)，也不要遺漏.例如：從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中

“至少有兩只配成一雙”（事件A）的概率是多少？下面的算法錯在哪里？

4105

8

P(

A)

1

2

31

5

7

92

4

6

8

10從5雙中取1雙，從剩下的8只