概率統(tǒng)計(jì)第一章課件

第一章隨機(jī)事件的概率第三節(jié)條件概率與乘法公式一、條件概率的概念需要研究事件A發(fā)生的概率PA)是在一般的樣本空間的條件下考查事件A發(fā)生的概率PA)進(jìn)一步獲取一定信息的基礎(chǔ)上再考查事件A發(fā)生的需要考查B下，事件A發(fā)生的概率。一般地說，這兩種概率未必相同。為了區(qū)別起記為PA|B)B下事件A的概率。條件概率是概率論中一個(gè)既重例1有兩個(gè)小孩的家庭其樣本空間為

其中b代表男孩g代表表示大的是男孩、小的是。其S4個(gè)樣本點(diǎn)等可能情況下，來如下一些事件的概；4顯然PA)；4若已知事件B“家中至少A發(fā)生的概率，；P(A|B)；3（3）P(B)

P(AB)，， ，，2434P(A|B)224343

P(P(B) 為了合理地給出條件概率的定15030是一級(jí)品，10件是二級(jí)50件產(chǎn)品中任意1（設(shè)B由于50件產(chǎn)品中有30一;P(A)30; P(A|B)30 可見P(A|B)P( 定義呢？從分析上面的例1著手，先計(jì)算P(BPAB。由于5040;P(B)40; AB表示“取得的產(chǎn)品是合50中只有30件既是合格品又是一級(jí),P(AB)30, P(A|B)34

P(3545,3545,由上式的啟發(fā)，定義條件定義7AB為試驗(yàn)E的兩個(gè)事件，且P(B)0,則稱P(A|B)

P(

BA發(fā)條件概率也具有一般概率的性質(zhì)。當(dāng)P(B)0時(shí)有：A； P(A|B)P(AB)；P(S|B)

P(SB)；；nn則P(

nn|B)P(

|B) P(Ai|B)P(Ai|B) AP(A|B)1P(A|B)事實(shí)上PA|B)

P(AB)

P(BP(B)P(AB)1P( 1P(A| 記PB(A)P(A|B（AF

也是定義在(SF

上的一個(gè)概率測(cè)度函數(shù)（B有關(guān)(SFPB2106設(shè)A2B1

P(A|B)

P(P(B)C4CC4而P(B)P(B0)1P(B0)1 6 C4 事件AB表示所取4ABB1B2,且

,故由概率的有限可加性及概率的古 2C , ,C4C1

C4C10P(A|B)

P(AB)

.若P(B)0,由PA|B)

P(P(B)P(AB)P(B)P(A|B),(P(B)0)若PA)0,由P(B|A)

P(PA)P(AB)P(A)P(B

A),(P(A)0)上述式(1.7)和式(1.8)均稱為乘法公式。它在概率的計(jì)算中有重要作乘法公式可推廣到任意有限多個(gè)事件的情P(A1A2An1)0P(An|A1A2An1),P(An|A1A2P(A)P(A1A2)P(A1A2A3)

P(A P(AA

P(AA

P(A1A2An（證畢3袋中有5白球和4球。從中作不放回抽取兩次，每次A“取到兩個(gè)白球”,B“取到兩種顏Ai“第i因?yàn)锳A1A254 (或直接求PA)5459 由于B

且A1A2與A1A2互不相容，5445 C(或直接做P(B) 4 C 或P(B)

5445)9 )4已知PA)0.6P(B)0.8PA|B0.35,求P(BA和PA|解：由PA|B)0.35P(A|B)1P(A|B)0.65P(AB)P(B)P(A|B)0.80.650.52P(BA)P(BA)P(BA)1P(A1[P(A)P(B)P(1P(A)P(B)[1P(A|1P(A)P(B)P(A|10.60.80.350.40.280.12(或P(BAP(BAP(ABPAP(A)P(1P(A)P(B)P(A|10.60.80.350.40.280.12P(A|B)

P(AB)

P(A)P(AB)0.6

0.41

例設(shè)PA)aP(B)b,(b0)試證PA|B)

ab.b.1P(AB)P(A)P(B)P(AB)abP(AB)得P(AB)ab1 P(A|B)

P(AB)

ab1 第四節(jié)全概率公式與公定理一設(shè)事件組B1B2,

滿足：nn（1）BiS（3）P(Bi)0,i1,2,nA，恒有nnP(A)P(Bi)P(A|Bi),A

AS

nnA

nn(ABi)

互不相容知AB1AB2,ABn亦互不相容，故由概率 P(A)P(ABi)P(Bi)P(A|Bi 問題復(fù)雜化了，其實(shí)不然。在實(shí)際中事件A比較復(fù)雜不容易計(jì)算其概率PAP(BiPA|Bi都比較容易計(jì)算，那么，應(yīng)用全概率公式就容易把PA概率公式的關(guān)鍵往往在于找到滿足定理中條件的事件B1B2,,Bn。一般地說，事件B1B2,,Bn是可能導(dǎo)Ann（定理一中的條件Binn可減弱為BiA B1B2,Bn,（1）

SB1B2,Bn,，P(Bi)0,i1,2,,，P(A)P(Bi)P(A|Bi),(1.10)（1.10例1某廠用三臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)了同樣規(guī)格的一批產(chǎn)品,各臺(tái)機(jī)床的產(chǎn)60%,30%,10%,次品率依次為4%,3%,7%.現(xiàn)從這批產(chǎn)品中隨機(jī)ABi“取到第ii B1B2B3是可能導(dǎo)致事A發(fā)生的全部“原因.

S,且B1B2B3P(B1)

,P(B2)

,P(B3)

10又已知PA|B)4PA|B)3PA|B)7

33P(A)P(Bi)P(A|Bi

例2設(shè)某昆蟲產(chǎn)k個(gè)卵的概率e為

0

p(0p1),且各個(gè)卵能否孵化成幼蟲是相互獨(dú)立的,求該昆蟲有后代的解設(shè)ABk

該昆蟲產(chǎn)k易知,事件組B0B1B2,Bn,滿足P(Bk)

ek

A每個(gè)卵都沒孵化成幼P(A|Bk)(1

p)k,

P(A) P(Bk)P(A|Bkkk

e

p)k

k

[(1p)]ke

e(1

ep從而P

1

P(

1ep xx

xxk0 (有人這樣作PA|Bk

pk,

P(A)k

)P(A|Bk

k

ekpke(ep 兩種結(jié)果不一樣，誰對(duì)誰錯(cuò),P(A|Bk)

pkk個(gè)卵都孵化幼蟲了,其實(shí)該昆蟲k個(gè)卵中至少有一個(gè)孵化幼蟲

P(A|Bk)

pkP(A|

))Cp(1k

p)k

p)kP(A)k

)P(A|Bk

k

[1(1p e1

二、(Bayes)公A已經(jīng)發(fā)生了,問這件次i臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的概率多大？即求

|

,i 由上例知

P(A)

件概率定義、乘法公式及全概

|A)

P(ABi)P(

P(Bi)P(A|Bi P(Bj)P(A|Bjj因此概率P(Bi|A定理二設(shè)事件組B1B2,

滿足：nn（1）BiSA(PA)0)

|A)

P(ABi)P(

P(Bi)P(A|Bi P(Bj)P(A|Bj 例3根據(jù)以往的臨床記錄,某 的試驗(yàn)具有如下的效果:以A表“試驗(yàn)反應(yīng)為陽性”,C表示“被者患有”,則PA|C0.95,PA|C0.95.現(xiàn)對(duì)一大批人進(jìn)行普查,設(shè)被試驗(yàn)的