經(jīng)綜基礎(chǔ)班高數(shù)講義一

第一 函數(shù)、極限與連模塊 函一．函數(shù)【定義1.1D為一個非空實數(shù)集合，設(shè)有一個對應(yīng)法f，使得對xD都有一個唯一確定的實y與之對應(yīng)，則稱這個對應(yīng)法則f為定義D上的一個函數(shù)，或稱變y是變x的函數(shù)，記yf(xxD.x稱為自變量y稱為因變量D稱為函數(shù)的定義域，也可以記Df.對x0D所對應(yīng)y的值，記y0f(x0，稱為xx0時yf(x的值.全體函數(shù)值組成的集合yyf(xxD，稱為yf(x的值域，記f二．函數(shù)1、四則2yf(uuD1與ug(xxD2為g(x的值gD2f(u的定義D1，則可以定yf(g(xxD2為函數(shù)f(ug(x)的復(fù)合函數(shù)，記yf(g(x))或fg

2x,x【例1】設(shè)f(xx2x0，試求ff(x與fff4x,x 8x,x 答案：f(f(x)) ,f(f(f(x))) x4,x x8,x3反函數(shù)的定yf(x為定義D上的一個函數(shù)，其值域為fD.若對yfD，均有唯x使得fxy與之對應(yīng)，則將該對應(yīng)法則記作f1，并這個定義在fD上的函數(shù)xf1y稱為yf(x)的反函數(shù)，或稱它們互為反函數(shù).yf(x存在反函數(shù)的充要條件是，對于定義D中任意兩個不同的自變x1x2，有fx1fx2.反函數(shù)的性yf(xyf1(x的圖像關(guān)于直yx對稱設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域為a,b，值域為α,β，若y f(x)在a,b上單調(diào)遞增（或遞），則yf(x)在ab上存在反函數(shù)，且xf1y)在α,β上單調(diào)遞增（或遞減三．基本性1、單調(diào)定對yf(xxD，若在某區(qū)Ix1x2，均滿f(x1f(x2（f(x1f(x2)），則稱函數(shù)f(xI上單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減）I為f(x的一個單調(diào)增區(qū)間（或單調(diào)減區(qū)間）.若對區(qū)Ix1x2f(x1f(x2)（或f(x1f(x2），則稱函數(shù)f(x)I上單調(diào)不減（或單調(diào)不增）.性①若f1x),f2x均為增函數(shù)（或減函數(shù)），則f1xf2x亦為增函數(shù)（或減函數(shù)②設(shè)f(x為增函數(shù)，若常數(shù)C0，則Cf(x為增函數(shù)；若常數(shù)C0，則Cf(x為減函數(shù)③yf(u與ugx增減性相同，yf(g(x為yf(uuf(x增減性相反，yf(g(x為減函數(shù)2定對yf(xxD，若存在正數(shù)T，使得Dx都有f(xTf(x則稱f(x為一個周期函數(shù)，而T為f(x的一個周期.易知若T為f(x的一個周期，則對任意的整數(shù)n，nT亦為f(x)的周期.在f(x)的所有周期中，把其中最小的正數(shù)稱為最小正周性①若f(x以T為最小正周期，則對任意的非零常數(shù)CCf(x仍然以T為最小正周期，fC以T為最小正周期C②f1xf2x都以T為周期，則k1f1xk2f2x仍以T為周期（k1k2R）.注意此時最小正周期有可能縮小，如f1(x)cos2xsinx,f2(x)sinx都以2π為最小正周期，但f1xf2xcos2x以π為最小正周期3定對yf(xxD，若Dx，均有f(xf(x（或f(x)f(x，則f(x為一個偶函數(shù)（或奇函數(shù)常見1①常見的奇函數(shù)：yxk,k為奇數(shù),ysinx,ytanx,ycotx,ylnx1②常見yxkk為偶數(shù)ycosxy性①偶函數(shù)的圖y軸對稱，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對②f1xf2x均為奇函數(shù)（或偶函數(shù)），則對任意的常數(shù)k1k2Rk1f1xk2f2x仍為奇函③f1x),f2x奇偶性相同，則f1xf2x為偶函數(shù)；若f1x),f2x奇偶性相反，則f1xf2f(x)f④對于任意定義在對稱區(qū)間上的函數(shù)f(x)， x 與f(x)f(x)均為偶函數(shù)2而f(xf(x為2⑤任何定義在對稱區(qū)間上的函數(shù)f(x均可寫成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和f(x)f(x)f(x)f(x)f(x) 4（1）定義yf(xxD為一個函數(shù)，若存在一個實數(shù)M，使得Dxf(xM，則稱函數(shù)f(xD內(nèi)有上界，并稱M為函數(shù)f(xD內(nèi)的一個上界；若存在一個實數(shù)m，使得Dxf(xm，則稱函數(shù)f(xD內(nèi)有下界，并稱m為函數(shù)f(x)D內(nèi)的一個下界.若函數(shù)f(xD內(nèi)既有上界又有下界，則稱f(xD內(nèi)有界（2）常見f(x)sinf(x)sgn(x)0,xf(x)arcsinx,x

f(x)f(x)f(x)2【例2】下列函數(shù)在其定義域內(nèi)的有界 ex （1）1x2，（2）sinx1，（3）xsin 答案：（1）有界；（2）有界四．函數(shù)分1、基本初等函數(shù)：冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)與反三角函數(shù)稱為基本初等函數(shù)以下為幾個常見的基本初等函數(shù)的圖像及性質(zhì)2、初等函數(shù)：由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算以及復(fù)合后并可用一個式子表達函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)3、分段函數(shù)：f(x符號函數(shù)sgnx

xxxxf絕對值函數(shù)：|f(x|f

f(x)f(x)取整函數(shù)f(x)：不超過f(x最大值函數(shù)maxf(xg(x)ff最小值函數(shù)：minf(x),g(x)f

f(x)f(x)f(x)f(x)4、隱函數(shù)：Fxy0yy(x，一般沒有明顯x5、參數(shù)方y(tǒng)ψ(t)t6、極限函數(shù)：如f(x) nnx1x7、積分上限函F(xafx

模塊二極限1【定義1.2】設(shè)函數(shù)f(xx0的某去心鄰域內(nèi)有定義，若存在實A，使得ε0δ0xx0δx0x0x0δ時，有|f(xA|ε，則稱f(xx0點處的極限值為A記作limf(xA設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某左鄰域內(nèi)有定義，若存在實數(shù)A，使得ε0， δ0，xx0δx0時，有|f(xA|ε，則稱f(xx0點處的左極限為A，記

f(x)A類似地，可以定義右極限【定義1.3】設(shè)函數(shù)f(x在XX上有定義（X為某正數(shù)），若存在實Aε0M0，當(dāng)xM時，有|f(xA|ε，則x時f(x的極限值A(chǔ)，記limf(x)A類似地，可以分別定xx時f(x的極限limf(x和limf(x 2【定義1.4】對于數(shù)列xn，若存在實數(shù)a，使得ε0N0，當(dāng)nN時，有|xna|ε，則稱數(shù)列xn收斂于a，記作limxna3、無窮小量和無窮無窮【定義1.5若在某極限過x中（x可以表示上述七種極限過程中的任何一種，下同），f的極限值為0，也即limf(x0，則稱f(x為x時的無窮小量無窮【定義1.6若在某極限過x中，函數(shù)f(x的函數(shù)值無限增大，則稱函數(shù)f(x為該極限過程中的無窮小量和無窮x時，f(x為無窮大量，

f(x)在同一極限過程中為無窮若x時，f(x)為無窮小量，且f(x)0， f

無窮小的比【定義1.7】設(shè)在某極限過程x中，函數(shù)α(x),β(x)都為無窮小量，并且都不為0若limα(x)0，則x時，α(x為β(x的高階無窮小量，或β(x為α(x的低階無窮x若limα(x)C0，則稱當(dāng)x時，α(x與β(x)同階無窮小量x則lim 1，則稱當(dāng)x時，α(x)與β(x)為等價無窮小量，記作α(x)~β(xxk階無窮設(shè)在某極限過程x中，函數(shù)α(x),β(x)都為無窮小量，并且都不為0.lim C0，則x時，α(x是β(x的k階無窮小x二．極限的基本性1、數(shù)列極限的基本性唯一性：若數(shù)列xn的極限存在，則其極限值有界性：若數(shù)列xn的極限存在，則數(shù)列xn 保號性：若limx0，則N0，使得當(dāng)nN時x0 推論：N0，使得當(dāng)nN時xn0，且limxn存在，則limxn0 2、函數(shù)極限的基本性唯一性：若函數(shù)極限limfx存在，則其極限值x有界性：若函數(shù)極限limfx存在，則存在正數(shù)δ0，使得函數(shù)f(xx0的去心鄰xx0δ,x0x0x0δ內(nèi)有保號性：若limfx，則正數(shù)δ0xx0δx0x0x0δ時，有f(x)0x推論：若正數(shù)δ0xx0δx0x0x0δ時，有f(x0limfx)存在，xlimf(x)0x三．極限的計算方1、極限的四則運算：以函數(shù)極限的四則運算法則為設(shè)limf(xAlimg(x)B，則 lim[f(x)g(x)]AB，limf(x)g(x)AB，limf(x)A(B注

x 四則運算只適用于有限次計算的情形，對無限次運算未必適用無窮小的常見性②無窮小量與有界量的乘積仍為無窮小量,(),(),(),C0C0,C(C0),C0,C(C0),a

,a 0,0a【例1】x2x x2lim3x24x3xx2x

x24xx答案：（1）1；（2）0；（3）注：本題的結(jié)論可以作如下總結(jié)和推an,maxn xn1...ax

bnxm

00,m

其中a

0 ...bx 【例2】x422x2x

,m（1）

xx2x2x138x3x答案：（1）82、等價無窮小替【定理】設(shè)x時，α(x)~β(x，則limf(x)α(x)limf(x)β(x),limg(x)limg(x) x等價無窮小替換在極限計算過程中一般起輔助與簡化的作用，它與法則連用可以簡ax (1x)ax~sinx~arcsinx~tanx~arctanx~ln(1x)~ex11cosx~12【例3】計

ln

2ln12x32（2）（2005—3）limx

1答案4

；（2）【例4】計（1）（2009—3）lnlncos11x2

eecos331x2,答案：（1）3e；（2） 3、法則（第二章內(nèi)容xa設(shè)f(xg(x滿limf(xlimg(x)0或limf(xlimg(x) f(xg(x在a的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)g'(xlimf(x)存在或為或xag'則有l(wèi)imf(x)limfxax

xag'設(shè)f(xg(x滿limf(xlimg(x)0或limf(xlimg(x) X,當(dāng)|x|X時有f(xg(x可導(dǎo)gxlimf(x)存在或為或xg'則有l(wèi)imf(x)limfx xg'【例5】計limxtanx0arctan（2）（2008—3）lim1lnsinx0 、答案：（1）1；（2）1 【例6】計

xx2xx3lnlim x5xx43ln

4xlnx 2

2 4x2x3x2 exlim(1x)tan

0 0 ；（0 0 ；（5）答案：（1）；（2） 【例7】計 （1）lim1 xtanx x x xx

4sin （1）lim 1，（2）lim1xx

1【例8 計算極限（2003—1）lim(cosx)ln(1x2答案e【例9】計 （2）limexxx答案：（1）1；（2）5、單側(cè)limlimf(x存在當(dāng)且僅limf(xlimf(x存在且相等 limf(x存在當(dāng)且僅當(dāng)limf(x與limf(x存在且相等 2 【例10】（2003—1）：

exsinxx0

11

|x|答案： 【例11】lim1exarctan x1π答案：2一．連續(xù)1函數(shù)在一點處連

模塊 連【定義1.8】設(shè)函數(shù)f(xx0的某鄰域內(nèi)有定義limf(x)

fx0，則稱函數(shù)f(xx0點連續(xù)設(shè)f(xx0的某右鄰域內(nèi)有定義x

f(x)fx0，則稱函數(shù)f(xx0點處右連續(xù)類似地，還可以定義左連續(xù)注：f(xx0點處連續(xù)的充要條件是它在該點左連續(xù)且右連續(xù)區(qū)若f(x在ab上每一點均連續(xù)，則稱函數(shù)f(x在開區(qū)間ab上連續(xù)若f(x在開區(qū)間ab上連續(xù)，且f(xxa處右連續(xù)xb處左連續(xù)，則稱函數(shù)f(x閉區(qū)間a,b上連續(xù)類似地 可以得到函數(shù)在區(qū)間a,b或a,b上連續(xù)的定義 【例1】設(shè)f(x)22

,x1cos，f(x)在x01cos,x答案：右連續(xù)、非左

1etan x,x【例2】（2002—2）：設(shè)函數(shù)f(x

x0處連續(xù)，則a答案a2、基本性連續(xù)函數(shù)的四則運算性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)反函數(shù)的連續(xù)初等函數(shù)的連續(xù)【定理】一切初等函數(shù)均在其定義域內(nèi)連續(xù)sin2xe2ax【例3】若f(x

x0在(上連續(xù)，則a x答案a

bex x【例4】若f(x) 2 在其定義域內(nèi)連續(xù)，則a b1e x答案a0,b二．間1、間斷點的定義：設(shè)f(xx0的某鄰域內(nèi)有定義f(xx0處不連續(xù)，則x0f(x的間斷點2、間斷點的分【定義1.9x0為函數(shù)f(x的間斷點，若x

f(x與00

f(x均存在，則x0為函數(shù)f(x的第一類間點；若limf(x與

f(x至少有一個不存在，則x0為函數(shù)f(x的第二類間斷點 limf(xlimf(x，則x0為f(x的跳躍間斷點

在第二類間斷點中，若

f(x與

f(x至少有一個為，則x0為函數(shù)f(x的無間斷點；若

f(x與

f(x均不為，則x0為函數(shù)f(x的振蕩間斷點 axsinx,x【例5 函數(shù)f(x)1cos bex,x

x0處間斷點的類答案a1時，無窮間a1且b0時，跳躍間a1且b0時，【例6】（2009—3）：函數(shù)f(x

x

的可去間斷點的個數(shù)為 (A) (B) (C) (D)無窮多三．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性設(shè)fx為閉區(qū)間ab的連續(xù)函數(shù)，則有如下性質(zhì)1、最值定理：fx)在ab一定能取得最大值，最小值．也即存在ξ,ηabfξm fxMfη對xab均成立推論（有界性定理）：fx)在閉區(qū)間ab上有界2、介值fx在ab一定能取得其最大值和最小值之間的一切值．也即對任意滿mAM（mM分別為fx在ab上的最大值與最小值），均存在ξabfξ.3、零點定理：f(afb0，則存在ξab，使得fξ0【例7】ab0，證明方xasinxb在(0,ab]上至少有一個正第二章一元函數(shù)微模塊一可導(dǎo)與可一．導(dǎo)數(shù)的定1、一點處導(dǎo)數(shù)的定【定義2.1設(shè)f(xx0的某鄰域內(nèi)有定義，給自變xx0處加上增量x，相應(yīng)的得到因變y的增量yf(x0xf(x0.若極限limylimf(x0x)f(x0x0 存在，則稱函數(shù)在x處可導(dǎo)，該極限值稱為函數(shù)在x處的導(dǎo)數(shù)，記作f'(x),y'(x)或dy 0導(dǎo)數(shù)的定義式還可以寫成f'(x

f(x)f(x0)

dxx0 x0【定義2.2】設(shè)函數(shù)f(xx0的某左鄰域內(nèi)有定義

f(x0x)f(x0)

00

f(x)f(x0x存在，則稱f(xx處的左導(dǎo)數(shù)存在，該極限值稱為函數(shù)f(xx處的左導(dǎo)數(shù)，記作fx 類似地，可以定義f(xx處的右導(dǎo)數(shù)fx 注：函數(shù)f(xx0的導(dǎo)數(shù)存在的充要條件是該點的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等【例1】利用定義計算下列函數(shù)的導(dǎo)f(x)f(x)lnx,(xf(x)f(x)sinf(x)cos 【例2】求下列函數(shù)f(x的f(0)、f 及f(0)（1）f(x)|x|（2）f(x) x1

x x答案：（1）f(0)1,f(0)1，f'(0)（2）f(0)1,f(0)0，f'(02、導(dǎo)開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)：f(x在開區(qū)間(ab上每一點都可導(dǎo)，則稱f(x在開區(qū)間(ab導(dǎo)閉區(qū)間上可導(dǎo)f(x在開區(qū)間(ab上可導(dǎo)xa處存在右導(dǎo)xb處存在左導(dǎo)數(shù)，則稱f(x)在閉區(qū)間[ab上可導(dǎo).3、高階導(dǎo)若可導(dǎo)f(x的導(dǎo)fx仍然可導(dǎo)，則將它的導(dǎo)數(shù)稱為f(x的二階導(dǎo)數(shù)記作f(x

f(xx)f.類似地，可以遞歸地定義函數(shù)f(x的n階導(dǎo)數(shù)f(nx二．微分的定【定義2.3設(shè)f(xx0的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變xx0處有增量x時，若因變yyf(x0xf(x0可以表示為yAxo(xx0A為x0有關(guān)而與x無關(guān)o(x表示x的高階無窮小量，則f(xx0處可微Ax為f(xx0處的線性主要部分，也稱為微分，記作dy或df(x)，即dydf(x)Ax.三．可導(dǎo)、可微、連續(xù)【定理2.1設(shè)f(xx0的某鄰域內(nèi)有定義，若f(xx0處可導(dǎo)，則f(xx0處必然連續(xù)【定理2.2設(shè)f(xx0的某鄰域內(nèi)有定義，則函數(shù)f(xx0處可微與函數(shù)f(xx0處可導(dǎo)的，即可微必可導(dǎo)，可導(dǎo)必可微.進一步地，還可以得到f(x)在x0處的微 x

f'x0xex,x【例3】設(shè)f(xaxb,x

x0處可導(dǎo)，試求aba1,b1cos xx【例4】設(shè)f(xx x

，其中g(shù)(x)是有界函數(shù)，則f(x)在x0處 （A）極限不存 （B）極限存在，但不連 （D）可模塊 導(dǎo)數(shù)的計一．求導(dǎo)xaaxa1,exex,lnx1,sinxcosx,cosxsinx二．求導(dǎo)法1、導(dǎo)數(shù)的四則運算法設(shè)函數(shù)f(xg(x均可導(dǎo)，f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)f(x)g(x)f g(x)

g2【例1】推導(dǎo)下列函數(shù)的導(dǎo)tanxcotxsecxcsc2、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法【定理2.3yf(uug(xg(xx處可導(dǎo)f(u在對應(yīng)的ug(x處可導(dǎo)，則yf(g(x))在x處可導(dǎo)，且有：f(g(x))'f'(u)g'(x)

dy du【例2】推導(dǎo)ax的導(dǎo)【例3】計算下列函數(shù)的導(dǎo)（1）f(x)lnx1x2（2）f(x)secx2tanln1答案：（1）f'(x1x（2）f'(x)2xsecx2tanx2tanlnxsecx2sec2lnx3、反函數(shù)求導(dǎo)法【定理2.4】設(shè)函數(shù)可導(dǎo)f'(x0，并令其反函數(shù)xf1yf1(y)'dx1 dy

f'

f'(f1(【例4推導(dǎo)下列函數(shù)的導(dǎo)arctanxarcsinxarccos【例5】計算下列函數(shù)的導(dǎo)yln(ex1e2x)11sin2答案11sin2dy

excosxexsin114、特殊函數(shù)的導(dǎo)冪指函數(shù)求導(dǎo)的導(dǎo)【例6】計算下列函數(shù)的導(dǎo)f(x)yxx(x>0)答案：（1）dyxxlnx （2）dy

隱函數(shù)求導(dǎo)的導(dǎo)【例7】設(shè)函數(shù)yyx由方程exycosxy0確定，則dy

ysinxyexexyxsinxy【例8】設(shè)yy(x由方程ln(x2yx3ysinx確定，

x0d2d2【例9】（2009--2）：設(shè)函數(shù)yy(x)由方程yxey1所確定， 的x答案：參數(shù)方程求導(dǎo)的導(dǎo)①參數(shù)方程的一階導(dǎo)xxt 設(shè) ，

dy

dx

yyt dt 【例10】設(shè)函數(shù)yy(x)由參數(shù)方程

所確定，試計 答案：sintcossintcosxf(t) 【例11】設(shè)yf

可導(dǎo)，且f(0)0，

t答案：②參數(shù)方程的二階導(dǎo) d2yddyd dxdx dtdx

xtln(1

d2【例12】設(shè)yy(x由參數(shù)方程yt3t

所確定，則dx2答案6t5tt抽象函數(shù)的導(dǎo)【例13】（1997--3）：設(shè)yf(lnx)ef(xf可微，則dy1flnxefxf(lnx)ef(xf 【例14】設(shè)函數(shù)g(x)可微，h(x)e1g(x)，h'(1)1,g'(1)2，則g(1)等 答案：1ln模塊三導(dǎo)數(shù)的應(yīng)一．切線和法yf(xxx0可導(dǎo)時,曲線在點(x0f(x0處切線的斜率為f(x0，則曲yf過(x0f(x0點的切線方程為yf(x0f(x0xx00 法線方程為：yf(x) (xx)，其中f(x)0 f(x0當(dāng)f(x00時，法線方程x【例1】（2004—2）：設(shè)函數(shù)yf(x)由方程xy2lnxy4所確定，則曲線yf(x)在點(1,1)處的切線方程為 答案yt【例2】曲線tyecos

，在點t0處的法線方程答案y2x二．單調(diào)設(shè)函數(shù)f(x在[ab上連續(xù)，在(ab上可導(dǎo)①若在(abfx0，且fx不在任一子區(qū)間上恒為零，則函數(shù)f(x在[a,b]上增②若在(abfx0，且fx不在任一子區(qū)間上恒為零，則函數(shù)f(x在[a,b]上減1、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)【例3】yxex的單調(diào)區(qū)答案：單調(diào)增區(qū)間(,1]；單調(diào)減區(qū)間1,2、確定方程根的【例4】證xcosx在0,π上有且僅有一根三．極1、定設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某鄰域(x0δx0δ內(nèi)有定義，若對任意x(x0δ,x0)(x0,x0δ)，有f(x) f(x0)（或f(x)f(x0)），則稱xx0為函數(shù)f(x)的一個極大值點（或極小值點），并稱f(x0)為函數(shù)f(x)的一個極大值（或極小值）.2 設(shè)函數(shù)f(xx處可導(dǎo)x處取得極值，則f'(x 3、第一充分設(shè)函數(shù)f(xx0處連續(xù)，并在x0的某去心鄰域(x0δx0x0x0δ內(nèi)可導(dǎo) ①x(xδx時fx0,而xxxδ時fx0,則f(x