2020版九年級數(shù)學下冊第三章圓33垂徑定理課件新版北師大版

*3垂徑定理*3垂徑定理【知識再現(xiàn)】1.圓是軸對稱圖形，對稱軸是_______________________.

2.軸對稱的性質(zhì)：軸對稱圖形中對應(yīng)點的連線_____________________.

過圓心的任意一條直線被對稱軸垂直平分【知識再現(xiàn)】過圓心的任意一條直線被對稱軸垂直平分【新知預習】問題一：(動手操作)在白紙上畫一個圓，沿著圓的任意一條直徑所在的直線對折幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？結(jié)論：圓是___________圖形，它的對稱軸有_________條，任何一條_________所在的直線都是它的對稱軸.

軸對稱無數(shù)直徑【新知預習】軸對稱無數(shù)直徑問題二：(再動手操作)利用自己手中的圓，任意畫出☉O的一條弦AB，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為M，請沿著CD折疊☉O，仔細觀察，你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和弧？問題二：(再動手操作)利用自己手中的圓，任意畫出☉O的一條弦2020版九年級數(shù)學下冊第三章圓33垂徑定理課件新版北師大版相等的線段(半徑相等除外)：__________；

相等的弧(半圓除外)：=_____，=_____.

結(jié)論(垂徑定理)：(1)文字描述：垂直于弦的直徑_________弦，并且_________弦所對的弧.

AM=BM

平分平分相等的線段(半徑相等除外)：__________；

AM=(2)幾何語言：∵CD是☉O的直徑，CD⊥AB，∴AM=_______，=_____，=_____.

問題四：(1)若任意畫出☉O的一條弦AB，取AB的中點M，作過M的直徑CD，沿著CD折疊☉O，CD與AB的位置關(guān)系是：_________；問題三中相等的弧還成立嗎？_________.

BM

垂直成立(2)幾何語言：∵CD是☉O的直徑，CD⊥AB，BM垂(2)當AB是☉O的直徑時，你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論一定成立嗎？___________.

結(jié)論(垂徑定理的推論)：平分弦(不是直徑)的直徑_________于弦，并且_________弦所對的弧.

不一定垂直平分(2)當AB是☉O的直徑時，你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論一定成立嗎？不一定【基礎(chǔ)小練】請自我檢測一下預習的效果吧！1.下列說法正確的是 (

)A.平分弦的直徑垂直于弦B.垂直于弦的直線必過圓心C.垂直于弦的直徑平分弦D.平分弦的直徑平分弦所對的弧C【基礎(chǔ)小練】C2.如圖，在圓O中，直徑MN⊥AB，垂足為C，則下列結(jié)論中錯誤的是 (

)

A.AC=BC B.C. D.OC=CND2.如圖，在圓O中，直徑MN⊥AB，垂足為C，則下列D3.如圖，AB為☉O的弦，半徑OC⊥AB于點D，且AB=6，OD=4，則DC的長為 (

)A.1 B.2 C.2.5 D.5A3.如圖，AB為☉O的弦，半徑OC⊥AB于點D，A4.☉O的半徑是4，AB是☉O的弦，∠AOB=120°，則AB的長是_____.

4.☉O的半徑是4，AB是☉O的弦，∠AOB=120°，知識點一垂徑定理的應(yīng)用(P74“定理”拓展)【典例1】(2019·楊浦區(qū)三模)如圖，已知AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB，垂足H在半徑OB上，AH=5，CD=4，點E在上，射線AE與CD的延長線交于點F.知識點一垂徑定理的應(yīng)用(1)求圓O的半徑.(2)如果AE=6，求EF的長.(1)求圓O的半徑.【規(guī)范解答】(1)連接OD，∵直徑AB⊥弦CD，CD=4，∴DH=CH=CD=2， …垂徑定理在Rt△ODH中，AH=5，設(shè)圓O的半徑為r，OD2=(AH-OA)2+DH2，即r2=(5-r)2+20，【規(guī)范解答】(1)連接OD，解得：r=4.5，…………勾股定理則圓的半徑為4.5.解得：r=4.5，…………勾股定理(2)過O作OG⊥AE于G，∴AG=AE=×6=3，∵∠A=∠A，∠AGO=∠AHF，∴△AGO∽△AHF，………兩角相等的兩三角形相似∴ ………………相似的性質(zhì)∴AF=，∴EF=AF-AE=-6=.…………計算(2)過O作OG⊥AE于G，【學霸提醒】垂徑定理常作的兩條輔助線及解題思想1.兩條輔助線：一是過圓心作弦的垂線；二是連接圓心和弦的一端(即半徑)，這樣把半徑、圓心到弦的距離、弦的一半構(gòu)建在一個直角三角形中，運用勾股定理求解.【學霸提醒】2.方程的思想：在直接運用垂徑定理求線段的長度時，常常將未知的一條線段設(shè)為x，利用勾股定理構(gòu)造關(guān)于x的方程解決問題，這是一種用代數(shù)方法解決幾何問題的解題思路.2.方程的思想：在直接運用垂徑定理求線段的長度時，常常將未知【題組訓練】1.如圖，AB是☉O的直徑，弦CD⊥AB于點E，OC=5cm，CD=8cm，則AE= (

)世紀金榜導學號A.8cm B.5cm C.3cm D.2cmA【題組訓練】A★2.如圖，AB是☉O的直徑，弦CD交AB于點P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，則CD的長為 (

)世紀金榜導學號A. B.2 C.2 D.8C★2.如圖，AB是☉O的直徑，弦CD交AB于點P，AP=2，★3.如圖，已知☉O的半徑為5，弦AB，CD所對的圓心角分別是∠AOB，∠COD，若∠AOB與∠COD互補，弦CD=6，則弦AB的長為(

)A.6 B.8 C.5 D.5B★3.如圖，已知☉O的半徑為5，弦AB，CD所對的B★4.(2019·德州中考)如圖，CD為☉O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，，CE=1，AB=6，則弦AF的長度為_______. 世紀金榜導學號

★4.(2019·德州中考)如圖，CD為☉O的直徑，★★5.如圖，在△OAB中，OA=OB，☉O交AB于點C，D，求證：AC=BD.★★5.如圖，在△OAB中，OA=OB，☉O交AB于點C，D證明：過點O作OE⊥AB于點E，證明：過點O作OE⊥AB于點E，∵在☉O中，OE⊥CD，∴CE=DE，∵OA=OB，OE⊥AB，∴AE=BE，∴AE-CE=BE-DE，∴AC=BD.∵在☉O中，OE⊥CD，∴CE=DE，知識點二垂徑定理在實際問題中的應(yīng)用(P75“例”補充)【典例2】(2019·朝陽區(qū)期末)一些不便于直接測量的圓形孔道的直徑可以用如下方法測量.如圖，把一個直徑為10mm的小鋼球緊貼在孔道邊緣，測得鋼球頂端離孔道外端的距離為8mm，求這個孔道的直徑AB.知識點二垂徑定理在實際問題中的應(yīng)用(P75“例”補充)2020版九年級數(shù)學下冊第三章圓33垂徑定理課件新版北師大版【嘗試解答】連接OA，過點O作OD⊥AB于點D，【嘗試解答】連接OA，過點O作OD⊥AB于點D，則AB=

2AD

，…………垂徑定理

∵鋼球的直徑是10mm，∴鋼球的半徑是

5

mm，

∵鋼球頂端離零件表面的距離為8mm，∴OD=

3

mm，

則AB=2AD，…………垂徑定理

在Rt△AOD中，∵AD=__________==

4(mm)

………………勾股定理

∴AB=2

AD

=

2×4

=

8(mm)

.

在Rt△AOD中，∵AD=__________=【學霸提醒】垂徑定理基本圖形的四變量、兩關(guān)系1.四變量：如圖，弦長a，圓心到弦的距離d，半徑r，弧的中點到弦的距離(弓形高)h，這四個變量知任意兩個可求其他兩個.2.兩關(guān)系：(1)+d2=r2.(2)h+d=r.【學霸提醒】【題組訓練】1.(2019·婺城區(qū)期末)一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的截面圓的半徑OB=10dm，水面寬AB是16dm，則截面水深CD是(

)

A.3dm B.4dm C.5dm D.6dmB【題組訓練】B★2.(2019·長興縣期末)烏鎮(zhèn)是著名的水鄉(xiāng)，如圖，圓拱橋的拱頂?shù)剿娴木嚯xCD為8m，水面寬AB為8m，則橋拱半徑OC為 (

)B★2.(2019·長興縣期末)烏鎮(zhèn)是著名的水鄉(xiāng)，如圖，BA.4m B.5m C.6m D.8mA.4m B.5m C.6m D.8m★3.(2019·衢州中考)一塊圓形宣傳標志牌如圖所示，點A，B，C在☉O上，CD垂直平分AB于點D.現(xiàn)測得AB=8dm，DC=2dm，則圓形標志牌的半徑為(

)B★3.(2019·衢州中考)一塊圓形宣傳標志牌如圖所BA.6dm B.5dm C.4dm D.3dmA.6dm B.5dm C.4dm D.3dm★★4.(2019·寧都縣期末)如圖是一個圓環(huán)形黃花梨木擺件的殘片，為求其外圓半徑，小林在外圓上任取一點A，然后過點A作AB與殘片的內(nèi)圓相切于點D，作CD⊥AB交外圓于點C，測得CD=15cm，AB=60cm，則這個擺件的外圓半徑是_________cm.世紀金榜導學號

37.5

★★4.(2019·寧都縣期末)如圖是一個圓環(huán)形黃花梨木32020版九年級數(shù)學下冊第三章圓33垂徑定理課件新版北師大版★★5.如圖，隧道的截面由半圓和長方形構(gòu)成，長方形的長BC為8m，寬AB為1m，該隧道內(nèi)設(shè)雙向行駛的車道(共有2條車道)，若現(xiàn)有一輛貨運卡車高4m，寬2.3m.則這輛貨運卡車能否通過該隧道？說明理由.世紀金榜導學號★★5.如圖，隧道的截面由半圓和長方形構(gòu)成，長方形的長BC為2020版九年級數(shù)學下冊第三章圓33垂徑定理課件新版北師大版解：這輛貨運卡車可以通過該隧道.理由如下：根據(jù)題意可知，如圖，在AD上取G，使OG=2.3m，解：這輛貨運卡車可以通過該隧道.理由如下：過G作EG⊥BC于F，反向延長交半圓于點E，則GF=AB=1m，圓的半徑OE=AD=×8=4(m)，在Rt△OEG中，由勾股定理，得EG=

所以點E到BC的距離為EF=+1>3+1=4，故貨運卡車可以通過該隧道.過G作EG⊥BC于F，反向延長交半圓于點E，則GF=AB【火眼金睛】有一個半徑為5m的排水管，水面寬度為8m，求此時水的深度.【火眼金睛】2020版九年級數(shù)學下冊第三章圓33垂徑定理課件新版北師大版正解：情形1：當AB在圓心O下方時，連接OA，過點O作OE⊥AB，交AB于點M，正解：情形1：當AB在圓心O下方時，連接OA，過點O作OE⊥∵半徑為5m，AB=8m，∴OA=OE=5m，AM=4m，∴OM=3m，∴ME=OE-OM=5-3=2(m).情形2：當AB在圓心O上方時，同法可得EM′=5+3=8(m).綜上所述，水的深度為2m或8m.∵半徑為5m，AB=8m，【一題多變】如圖，已知AB是☉O的直徑，CD是☉O的弦，AB⊥CD，垂足為點E，BE=CD=16，試求☉O的半徑.【一題多變】如圖，已知AB是☉O的直徑，CD是☉O的弦，AB解：連接OD，設(shè)OB=OD=R，則OE=16-R，解：連接OD，設(shè)OB=OD=R，則OE=16-R，∵直徑AB⊥CD，CD=16，∴∠OED=90°，DE=CD=8，由勾股定理得：OD2=OE2+DE2則R2=(16-R)2+82解得：R=10，∴☉O的半徑為10.∵直徑AB⊥CD，CD=16，【母題變式】【變式一】(變換條件)如圖，AB是☉O的直徑，弦CD⊥AB于P，CD=10cm，AP∶PB=1∶5，求☉O的半徑.【母題變式】解：連接CO，如圖：設(shè)AP=x，則PB=5x，AO=(x+5x)=×6x=3x，PO=3x-x=2x，解：連接CO，如圖：設(shè)AP=x，則PB=5x，∵AB⊥CD，∴CP=×10=5，在△CPO中，52+(2x)2=(3x)2，解得x1=，x2=-(舍去).∴AO=3cm.∵AB⊥CD，【變式二】(變換問法)如圖，☉O的直徑CD垂直弦AB于點E，且CD=10cm，AB=8cm，求OE的長.略【變式二】(變換問法)如圖，☉O的直徑CD垂直弦AB于點E，*3垂徑定理*3垂徑定理【知識再現(xiàn)】1.圓是軸對稱圖形，對稱軸是_______________________.

2.軸對稱的性質(zhì)：軸對稱圖形中對應(yīng)點的連線_____________________.

過圓心的任意一條直線被對稱軸垂直平分【知識再現(xiàn)】過圓心的任意一條直線被對稱軸垂直平分【新知預習】問題一：(動手操作)在白紙上畫一個圓，沿著圓的任意一條直徑所在的直線對折幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？結(jié)論：圓是___________圖形，它的對稱軸有_________條，任何一條_________所在的直線都是它的對稱軸.

軸對稱無數(shù)直徑【新知預習】軸對稱無數(shù)直徑問題二：(再動手操作)利用自己手中的圓，任意畫出☉O的一條弦AB，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為M，請沿著CD折疊☉O，仔細觀察，你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和弧？問題二：(再動手操作)利用自己手中的圓，任意畫出☉O的一條弦2020版九年級數(shù)學下冊第三章圓33垂徑定理課件新版北師大版相等的線段(半徑相等除外)：__________；

相等的弧(半圓除外)：=_____，=_____.

結(jié)論(垂徑定理)：(1)文字描述：垂直于弦的直徑_________弦，并且_________弦所對的弧.

AM=BM

平分平分相等的線段(半徑相等除外)：__________；

AM=(2)幾何語言：∵CD是☉O的直徑，CD⊥AB，∴AM=_______，=_____，=_____.

問題四：(1)若任意畫出☉O的一條弦AB，取AB的中點M，作過M的直徑CD，沿著CD折疊☉O，CD與AB的位置關(guān)系是：_________；問題三中相等的弧還成立嗎？_________.

BM

垂直成立(2)幾何語言：∵CD是☉O的直徑，CD⊥AB，BM垂(2)當AB是☉O的直徑時，你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論一定成立嗎？___________.

結(jié)論(垂徑定理的推論)：平分弦(不是直徑)的直徑_________于弦，并且_________弦所對的弧.

不一定垂直平分(2)當AB是☉O的直徑時，你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論一定成立嗎？不一定【基礎(chǔ)小練】請自我檢測一下預習的效果吧！1.下列說法正確的是 (

)A.平分弦的直徑垂直于弦B.垂直于弦的直線必過圓心C.垂直于弦的直徑平分弦D.平分弦的直徑平分弦所對的弧C【基礎(chǔ)小練】C2.如圖，在圓O中，直徑MN⊥AB，垂足為C，則下列結(jié)論中錯誤的是 (

)

A.AC=BC B.C. D.OC=CND2.如圖，在圓O中，直徑MN⊥AB，垂足為C，則下列D3.如圖，AB為☉O的弦，半徑OC⊥AB于點D，且AB=6，OD=4，則DC的長為 (

)A.1 B.2 C.2.5 D.5A3.如圖，AB為☉O的弦，半徑OC⊥AB于點D，A4.☉O的半徑是4，AB是☉O的弦，∠AOB=120°，則AB的長是_____.

4.☉O的半徑是4，AB是☉O的弦，∠AOB=120°，知識點一垂徑定理的應(yīng)用(P74“定理”拓展)【典例1】(2019·楊浦區(qū)三模)如圖，已知AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB，垂足H在半徑OB上，AH=5，CD=4，點E在上，射線AE與CD的延長線交于點F.知識點一垂徑定理的應(yīng)用(1)求圓O的半徑.(2)如果AE=6，求EF的長.(1)求圓O的半徑.【規(guī)范解答】(1)連接OD，∵直徑AB⊥弦CD，CD=4，∴DH=CH=CD=2， …垂徑定理在Rt△ODH中，AH=5，設(shè)圓O的半徑為r，OD2=(AH-OA)2+DH2，即r2=(5-r)2+20，【規(guī)范解答】(1)連接OD，解得：r=4.5，…………勾股定理則圓的半徑為4.5.解得：r=4.5，…………勾股定理(2)過O作OG⊥AE于G，∴AG=AE=×6=3，∵∠A=∠A，∠AGO=∠AHF，∴△AGO∽△AHF，………兩角相等的兩三角形相似∴ ………………相似的性質(zhì)∴AF=，∴EF=AF-AE=-6=.…………計算(2)過O作OG⊥AE于G，【學霸提醒】垂徑定理常作的兩條輔助線及解題思想1.兩條輔助線：一是過圓心作弦的垂線；二是連接圓心和弦的一端(即半徑)，這樣把半徑、圓心到弦的距離、弦的一半構(gòu)建在一個直角三角形中，運用勾股定理求解.【學霸提醒】2.方程的思想：在直接運用垂徑定理求線段的長度時，常常將未知的一條線段設(shè)為x，利用勾股定理構(gòu)造關(guān)于x的方程解決問題，這是一種用代數(shù)方法解決幾何問題的解題思路.2.方程的思想：在直接運用垂徑定理求線段的長度時，常常將未知【題組訓練】1.如圖，AB是☉O的直徑，弦CD⊥AB于點E，OC=5cm，CD=8cm，則AE= (

)世紀金榜導學號A.8cm B.5cm C.3cm D.2cmA【題組訓練】A★2.如圖，AB是☉O的直徑，弦CD交AB于點P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，則CD的長為 (

)世紀金榜導學號A. B.2 C.2 D.8C★2.如圖，AB是☉O的直徑，弦CD交AB于點P，AP=2，★3.如圖，已知☉O的半徑為5，弦AB，CD所對的圓心角分別是∠AOB，∠COD，若∠AOB與∠COD互補，弦CD=6，則弦AB的長為(

)A.6 B.8 C.5 D.5B★3.如圖，已知☉O的半徑為5，弦AB，CD所對的B★4.(2019·德州中考)如圖，CD為☉O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，，CE=1，AB=6，則弦AF的長度為_______. 世紀金榜導學號

★4.(2019·德州中考)如圖，CD為☉O的直徑，★★5.如圖，在△OAB中，OA=OB，☉O交AB于點C，D，求證：AC=BD.★★5.如圖，在△OAB中，OA=OB，☉O交AB于點C，D證明：過點O作OE⊥AB于點E，證明：過點O作OE⊥AB于點E，∵在☉O中，OE⊥CD，∴CE=DE，∵OA=OB，OE⊥AB，∴AE=BE，∴AE-CE=BE-DE，∴AC=BD.∵在☉O中，OE⊥CD，∴CE=DE，知識點二垂徑定理在實際問題中的應(yīng)用(P75“例”補充)【典例2】(2019·朝陽區(qū)期末)一些不便于直接測量的圓形孔道的直徑可以用如下方法測量.如圖，把一個直徑為10mm的小鋼球緊貼在孔道邊緣，測得鋼球頂端離孔道外端的距離為8mm，求這個孔道的直徑AB.知識點二垂徑定理在實際問題中的應(yīng)用(P75“例”補充)2020版九年級數(shù)學下冊第三章圓33垂徑定理課件新版北師大版【嘗試解答】連接OA，過點O作OD⊥AB于點D，【嘗試解答】連接OA，過點O作OD⊥AB于點D，則AB=

2AD

，…………垂徑定理

∵鋼球的直徑是10mm，∴鋼球的半徑是

5

mm，

∵鋼球頂端離零件表面的距離為8mm，∴OD=

3

mm，

則AB=2AD，…………垂徑定理

在Rt△AOD中，∵AD=__________==

4(mm)

………………勾股定理

∴AB=2

AD

=

2×4

=

8(mm)

.

在Rt△AOD中，∵AD=__________=【學霸提醒】垂徑定理基本圖形的四變量、兩關(guān)系1.四變量：如圖，弦長a，圓心到弦的距離d，半徑r，弧的中點到弦的距離(弓形高)h，這四個變量知任意兩個可求其他兩個.2.兩關(guān)系：(1)+d2=r2.(2)h+d=r.【學霸提醒】【題組訓練】1.(2019·婺城區(qū)期末)一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的截面圓的半徑OB=10dm，水面寬AB是16dm，則截面水深CD是(

)

A.3dm B.4dm C.5dm D.6dmB【題組訓練】B★2.(2019·長興縣期末)烏鎮(zhèn)是著名的水鄉(xiāng)，如圖，圓拱橋的拱頂?shù)剿娴木嚯xCD為8m，水面寬AB為8m，則橋拱半徑OC為 (

)B★2.(2019·長興縣期末)烏鎮(zhèn)是著名的水鄉(xiāng)，如圖，BA.4m B.5m C.6m D.8mA.4m B.5m C.6m D.8m★3.(2019·衢州中考)一塊圓形宣傳標志牌如圖所示，點A，B，C在☉O上，CD垂直平分AB于點D.現(xiàn)測得AB=8dm，DC=2dm，則圓形標志牌的半徑為(

)B★3.(2019·衢州中考)一塊圓形宣傳標志牌如圖所BA.6dm B.5dm C.4dm D.3dmA.6dm B.5dm C.4dm D.3dm★★4.(2019·寧都縣期末)如圖是一個圓環(huán)形黃花梨木擺件的殘片，為求其外圓半徑，小林在外圓上任取一點A，然后過點A作AB與殘片的內(nèi)圓相切于點D，作CD⊥AB交外圓于點C，測得CD=15cm，AB=60cm，則這個擺件的外圓半徑是_________cm.世紀金榜導學號

37.5

★★4.(2019·寧都縣期末)如圖是一個圓環(huán)形黃花梨木32020版九年級數(shù)學下冊第三章圓33垂徑定理課件新版北師大版★★5.如圖，隧道的截面由半圓和長方形構(gòu)成，長方形的長BC為8m，寬AB為1m，該隧道內(nèi)設(shè)雙向行駛的車道(共有2條車道)，若現(xiàn)有一輛貨運卡車高4m，寬2.3m.則這輛貨運卡車能否通過該隧道？說明理由.世紀金榜導學號★★5.如圖，隧道的截面由半圓和長方形構(gòu)成，長方形的長BC為2020版九年級數(shù)學下冊第三章圓33垂徑定理課件新版北師大版解：這輛貨運卡車可以通過該隧道.理由如下：根據(jù)題意可知，如圖，在AD上取G，使OG=2.3m，解：這輛貨運卡車可以通過該隧