北師大版高中數學必修一課件：第二章 本章整合

本章整合本章整合北師大版高中數學必修一課件：第二章本章整合專題一專題二專題一

求函數最值的方法一、觀察法當函數的解析式中僅含有x2或|x|或

時,通常利用常見的結論x2≥0,|x|≥0,≥0等,直接觀察并寫出函數的最值.應用1求函數y=|x|+1的最小值.提示:利用絕對值的性質|x|≥0,結合不等式的性質求得最小值.解:函數的定義域是R.∵|x|≥0,∴|x|+1≥1.∴函數y=|x|+1的最小值是1.專題一專題二專題一求函數最值的方法專題一專題二二、配方法有關二次函數的值域或最值問題可用配方的方法.若函數定義域為R,則自變量取

時函數值最大或最小.若函數定義域為某個區(qū)間[a,b],當對稱軸方程x=t在這個區(qū)間內時,則在f(a),f(b),f(t)中,最大者即為最大值,最小者即為最小值;當對稱軸方程x=t不在這個區(qū)間內時,則只需比較f(a)與f(b),它們中較大者為最大值,較小者為最小值.專題一專題二二、配方法專題一專題二應用2求函數y=x2-2x-3,x∈[-2,5]的最值.提示:這是二次函數在給定區(qū)間內求最值的問題,可用配方法,結合二次函數的圖像來求.解:y=x2-2x-3=(x-1)2-4,畫函數圖像的草圖如圖,當x∈[-2,5]時,函數圖像的最高點為(5,12),最低點為(1,-4).故所求函數的最大值為12,最小值為-4.專題一專題二應用2求函數y=x2-2x-3,x∈[-2,5]專題一專題二應用3已知函數f(x)=x2+ax+3在區(qū)間[-1,1]上的最小值為-3,求實數a.提示:所給二次函數圖像的對稱軸為直線x=,它是變化的,而區(qū)間[-1,1]是固定的,因而只需確定二次函數對稱軸與區(qū)間[-1,1]的關系,即可求得a.專題一專題二應用3已知函數f(x)=x2+ax+3在區(qū)間[-專題一專題二f(x)在區(qū)間[-1,1]上是增加的,所以f(-1)=-3,即1-a+3=-3,所以a=7.f(x)在區(qū)間[-1,1]上是減少的,f(1)=1+a+3=-3,所以a=-7.專題一專題二f(x)在區(qū)間[-1,1]上是增加的,所以f(-專題一專題二

專題一專題二

專題一專題二三、圖像法畫出函數圖像,最高點的縱坐標是函數的最大值,最低點的縱坐標是函數的最小值.應用4函數y=|x+1|-|x-1|的最大值是

.

提示:化為分段函數,并畫出其圖像,利用圖像求解.由圖可知,函數圖像最高點的縱坐標為2,則該函數的最大值為2.答案:2專題一專題二三、圖像法由圖可知,函數圖像最高點的縱坐標為2,專題一專題二四、單調性法先判斷函數的單調性,再利用其單調性求最值.常用到下面的結論:已知y=f(x)是定義在區(qū)間(a,c)上的函數,①如果函數y=f(x)在區(qū)間(a,b]上是增加的,在區(qū)間[b,c)上是減少的,那么函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b);②如果函數y=f(x)在區(qū)間(a,b]上是減少的,在區(qū)間[b,c)上是增加的,那么函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b).應用5求函數y=x2+的最值.提示:該函數在定義域上是增加的,利用單調性求解.解:函數y=x2+的定義域是[0,+∞),可以證明函數y=x2+在定義域內是增函數,則有f(x)≥f(0)=0+0=0,即函數y=x2+有最小值0,無最大值.專題一專題二四、單調性法應用5求函數y=x2+的專題一專題二五、換元法求形如

利用換元法轉化為求二次函數等常見函數的最值問題,這種求最值的方法稱為換元法.此時要注意換元后函數的定義域.應用6求函數

的最大值.專題一專題二五、換元法應用6求函數專題一專題二專題二

抽象函數問題抽象函數是指沒有明確給出具體的函數表達式,只是給出一些特殊關系式的函數,它是高中數學中的一個難點,高考中經常出現關于抽象函數的試題.因為抽象,解題時思維常常受阻,思路難以展開.抽象函數問題一般是由所給的性質,討論函數的單調性、奇偶性、圖像的對稱性,或是求函數值、解析式等.主要處理方法是“賦值法”,通常是抓住函數特性,特別是定義域上的恒等式,利用變量代換解題.應用函數f(x)對一切實數x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且當x>0時,f(x)>0,試判斷函數f(x)的單調性,并說明理由.提示:可利用單調性的定義去求函數f(x)的單調性,設x2=(x2-x1)+x1,則有f(x2)=f(x2-x1)+f(x1),再根據x>0時,f(x)>0,即可判斷其單調性.專題一專題二專題二抽象函數問題專題一專題二解:(方法一)設任意的x1,x2∈R,且x1<x2,則x2-x1>0.∵x>0時,f(x)>0,∴f(x2-x1)>0.又f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[(x2-x1)+x1]=f(x1)-f(x2-x1)-f(x1)=-f(x2-x1)<0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴函數f(x)為R上的增函數.專題一專題二解:(方法一)設任意的x1,x2∈R,且x1<x專題一專題二(方法二)設x1∈R,令x2=x1+a(a>0),則x1<x2,那么f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x1+a)=f(x1)-f(x1)-f(a)=-f(a).又當a>0時,f(a)>0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴函數f(x)為R上的增函數.專題一專題二(方法二)設x1∈R,令x2=x1+a(a>0)123456A.b<a<c B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b答案:A123456A.b<a<c B.a<b<c答案:A1234562(2016山東高考)已知函數f(x)的定義域為R.當x<0時,f(x)=x3-1;當

A.-2 B.-1 C.0 D.2解析:由題意可知,當-1≤x≤1時,f(x)為奇函數;所以f(6)=f(5×1+1)=f(1).而f(1)=-f(-1)=-[(-1)3-1]=2.所以f(6)=2.故選D.答案:D1234562(2016山東高考)已知函數f(x)的定義域為1234563(2017全國Ⅰ高考)已知函數f(x)在(-∞,+∞)上是減函數,且為奇函數.若f(1)=-1,則滿足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范圍是(

)A.[-2,2] B.[-1,1]C.[0,4] D.[1,3]解析:因為f(x)為奇函數,所以f(-1)=-f(1)=1,于是-1≤f(x-2)≤1等價于f(1)≤f(x-2)≤f(-1).又f(x)在(-∞,+∞)上是減函數,所以-1≤x-2≤1,即1≤x≤3.所以x的取值范圍是[1,3].答案:D1234563(2017全國Ⅰ高考)已知函數f(x)在(-∞123456∴f(x)的最大值為2.答案:2123456∴f(x)的最大值為2.123456123456123456綜上可得,m的取值范圍是(0,1]∪[3,+∞).故選B.答案:B123456綜上可得,m的取值范圍是(0,1]∪[3,+∞)1234566(2017浙江高考)若函數f(x)=x2+ax+b在區(qū)間[0,1]上的最大值是M,最小值是m,則M-m(

)A.與a有關,且與b有關B.與a有關,但與b無關C.與a無關,且與b無關D.與a無關,但與b有關之差一定與a有關,與b無關,故選B.答案:B1234566(2017浙江高考)若函數f(x)=x2+ax本章整合本章整合北師大版高中數學必修一課件：第二章本章整合專題一專題二專題一

求函數最值的方法一、觀察法當函數的解析式中僅含有x2或|x|或

時,通常利用常見的結論x2≥0,|x|≥0,≥0等,直接觀察并寫出函數的最值.應用1求函數y=|x|+1的最小值.提示:利用絕對值的性質|x|≥0,結合不等式的性質求得最小值.解:函數的定義域是R.∵|x|≥0,∴|x|+1≥1.∴函數y=|x|+1的最小值是1.專題一專題二專題一求函數最值的方法專題一專題二二、配方法有關二次函數的值域或最值問題可用配方的方法.若函數定義域為R,則自變量取

時函數值最大或最小.若函數定義域為某個區(qū)間[a,b],當對稱軸方程x=t在這個區(qū)間內時,則在f(a),f(b),f(t)中,最大者即為最大值,最小者即為最小值;當對稱軸方程x=t不在這個區(qū)間內時,則只需比較f(a)與f(b),它們中較大者為最大值,較小者為最小值.專題一專題二二、配方法專題一專題二應用2求函數y=x2-2x-3,x∈[-2,5]的最值.提示:這是二次函數在給定區(qū)間內求最值的問題,可用配方法,結合二次函數的圖像來求.解:y=x2-2x-3=(x-1)2-4,畫函數圖像的草圖如圖,當x∈[-2,5]時,函數圖像的最高點為(5,12),最低點為(1,-4).故所求函數的最大值為12,最小值為-4.專題一專題二應用2求函數y=x2-2x-3,x∈[-2,5]專題一專題二應用3已知函數f(x)=x2+ax+3在區(qū)間[-1,1]上的最小值為-3,求實數a.提示:所給二次函數圖像的對稱軸為直線x=,它是變化的,而區(qū)間[-1,1]是固定的,因而只需確定二次函數對稱軸與區(qū)間[-1,1]的關系,即可求得a.專題一專題二應用3已知函數f(x)=x2+ax+3在區(qū)間[-專題一專題二f(x)在區(qū)間[-1,1]上是增加的,所以f(-1)=-3,即1-a+3=-3,所以a=7.f(x)在區(qū)間[-1,1]上是減少的,f(1)=1+a+3=-3,所以a=-7.專題一專題二f(x)在區(qū)間[-1,1]上是增加的,所以f(-專題一專題二

專題一專題二

專題一專題二三、圖像法畫出函數圖像,最高點的縱坐標是函數的最大值,最低點的縱坐標是函數的最小值.應用4函數y=|x+1|-|x-1|的最大值是

.

提示:化為分段函數,并畫出其圖像,利用圖像求解.由圖可知,函數圖像最高點的縱坐標為2,則該函數的最大值為2.答案:2專題一專題二三、圖像法由圖可知,函數圖像最高點的縱坐標為2,專題一專題二四、單調性法先判斷函數的單調性,再利用其單調性求最值.常用到下面的結論:已知y=f(x)是定義在區(qū)間(a,c)上的函數,①如果函數y=f(x)在區(qū)間(a,b]上是增加的,在區(qū)間[b,c)上是減少的,那么函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b);②如果函數y=f(x)在區(qū)間(a,b]上是減少的,在區(qū)間[b,c)上是增加的,那么函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b).應用5求函數y=x2+的最值.提示:該函數在定義域上是增加的,利用單調性求解.解:函數y=x2+的定義域是[0,+∞),可以證明函數y=x2+在定義域內是增函數,則有f(x)≥f(0)=0+0=0,即函數y=x2+有最小值0,無最大值.專題一專題二四、單調性法應用5求函數y=x2+的專題一專題二五、換元法求形如

利用換元法轉化為求二次函數等常見函數的最值問題,這種求最值的方法稱為換元法.此時要注意換元后函數的定義域.應用6求函數

的最大值.專題一專題二五、換元法應用6求函數專題一專題二專題二

抽象函數問題抽象函數是指沒有明確給出具體的函數表達式,只是給出一些特殊關系式的函數,它是高中數學中的一個難點,高考中經常出現關于抽象函數的試題.因為抽象,解題時思維常常受阻,思路難以展開.抽象函數問題一般是由所給的性質,討論函數的單調性、奇偶性、圖像的對稱性,或是求函數值、解析式等.主要處理方法是“賦值法”,通常是抓住函數特性,特別是定義域上的恒等式,利用變量代換解題.應用函數f(x)對一切實數x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且當x>0時,f(x)>0,試判斷函數f(x)的單調性,并說明理由.提示:可利用單調性的定義去求函數f(x)的單調性,設x2=(x2-x1)+x1,則有f(x2)=f(x2-x1)+f(x1),再根據x>0時,f(x)>0,即可判斷其單調性.專題一專題二專題二抽象函數問題專題一專題二解:(方法一)設任意的x1,x2∈R,且x1<x2,則x2-x1>0.∵x>0時,f(x)>0,∴f(x2-x1)>0.又f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[(x2-x1)+x1]=f(x1)-f(x2-x1)-f(x1)=-f(x2-x1)<0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴函數f(x)為R上的增函數.專題一專題二解:(方法一)設任意的x1,x2∈R,且x1<x專題一專題二(方法二)設x1∈R,令x2=x1+a(a>0),則x1<x2,那么f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x1+a)=f(x1)-f(x1)-f(a)=-f(a).又當a>0時,f(a)>0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴函數f(x)為R上的增函數.專題一專題二(方法二)設x1∈R,令x2=x1+a(a>0)123456A.b<a<c B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b答案:A123456A.b<a<c B.a<b<c答案:A1234562(2016山東高考)已知函數f(x)的定義域為R.當x<0時,f(x)=x3-1;當

A.-2 B.-1 C.0 D.2解析:由題意可知,當-1≤x≤1時,f(x)為奇函數;所以f(6)=f(5×1+1)=f(1).而f(1)=-f(-1)=-