姜曉千2017考研數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)沖刺講義

2017考研數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)沖刺講第一部分重要題型及方法第一章事件與概率題題型一事件關(guān)系運(yùn)算與概率公【事件運(yùn)算律

ABBA，ABBA(AB)CA(BC)，(AB)CA(BC)A2分配律(AB)CACBCABCAB)(ACA2 A2A1A2，A1A2【三大概率公式 P(A|B)P(

P(AB)P(B)P(A|P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|n P(A)P(A|Bi)P(Bii

Bi（Bayes）公

|A)P(A|Bj)P(BjnP(A|Bi)P(Bini【例1】設(shè)A,B是任意兩個(gè)事件，則P(AB)(AB)(AB)(AB) 【例2】設(shè)P(A)P(B)1， B)1，則 2

B

AB （C）P( B) （D）P(AB)【例3】設(shè)P(A)2，P(B)2，則P(AB)P(BA)最大值 題題型二三大概【例4】獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，若每次試驗(yàn)成功的概率為p，則在成功n次之前已經(jīng)失敗了m次的概率 第二章一維隨量及其分題題型 分布函數(shù)、概率分布與概率密【分布函數(shù)性質(zhì)（1）（負(fù)性）0F(x1x（3）（不減）x1x2F(x1F(x2（5）PaXbF(b)F(a)（6）PXx0F(x0)F(x00)（2（3（4（5（6）【概率分布性質(zhì) （2）pi1【概率密度性質(zhì)（1（非負(fù)性）f(x0x（2（ f(x)dxb（3）PaXbaf(x)dxb（1（2）【例5（2002，1）設(shè)X1和X2是任意兩個(gè)相互獨(dú)立的連續(xù)型隨量，它們的概率密度分別為與f2(x)，分布函數(shù)分別為F1(x)與F2(x)，則 f1(x)f2(x)必為某一 量的概率密度f(wàn)1(x)f2(x)必為某一 量的概率密度F1(x)F2(x)必為某一 量的分布函數(shù)F1(x)F2(x)必為某一隨量的分布函數(shù)【例6（2011，1，3）設(shè)F1(x)，F(xiàn)2(x)為兩個(gè)分布函數(shù)，其相應(yīng)的概率密度f(wàn)1(x)，f2(x)是連續(xù)函 （A）f1(x)f2 （B）2f2 （C）f1(x)F2(x)（D）f1(x)F2(x)f2【例7】設(shè)X的分布函數(shù)為F(x)，對(duì)任意的a,b，下列一定不是分布函數(shù)的是 （A）F(ax （B）F(ax2 （C）F(ax3 （D）1【例8】設(shè)X的概率密度為f(x)，則下列一定是概率密度的是 （A）f(x （B）f(2x （C）f(2x （D）f1x 題題型二八大分（1）0－1分

B(1,B(n,

P1 PXk )pnk,k P1

PXk

k

n,k0,1,n

,

G(

PXkp(1p)k1,k1,CkCnCn H(N,M,nPXk NM,0kminCnN ,ax X~U X~

f(x)ex,x0, x1ex,xF(x) N(,2

f(x) 1

1e(x 1e2 ，F(xiàn)(u)2 1

N(0,

(x)

e(0) ，(x)1(x)，P2

x(x)(x)2(x)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化若 N(,2)，

X

N(0,1)，則 ，k1, ，則k【10Xf(x

x2 ，EXDX，求A ，B 2 【例11】設(shè)X,Y相互獨(dú)立， B2,1， ，則2 2 2 【例12】設(shè)X,Y相互獨(dú)立， P1， P1，則PXY2 2 2【例13（2013，1）設(shè) 量 E(1)，a0，則PYa1|Ya 【例14】設(shè) 量 G(p)，m,n為正整數(shù)，則PXmn|Xm 與m無(wú)關(guān)，與n有關(guān)，且隨n的增大而減與m無(wú)關(guān)，與nn的增大而增與n無(wú)關(guān)，與mm的增大而減與n無(wú)關(guān)，與m有關(guān)，且隨m的增大而增題型三題型三求一維隨量函數(shù)的分【公式法】已知連續(xù)型隨量X的概率密度為fX(x)，求Yg(X)的概率密度yg(xX的正概率密度區(qū)間ab嚴(yán)格單調(diào)，值域?yàn)閤h則Y的概率密度f(wàn)(y)fX(h(y))h(y),y 0 yg(xX的正概率密度區(qū)間ab分段嚴(yán)格單調(diào)，則分段運(yùn)用公式法求概率密度，然后將概率【分布函數(shù)法FY(y)PYyPg(X)確定Yg(XX的正概率密度區(qū)間ab的值域，當(dāng)y<FYy)0；yFYy當(dāng)y時(shí)，F(xiàn)Y(y)

fX(x)dxfYyFYy，得Y的概率密度【例15（求一維連續(xù)型 量函數(shù)的分布）設(shè) N(0,1)，YmaxX,0，Y的分布函數(shù)FY(y)， EY，DYCov(X,Y)0,1X【例16（求一維連續(xù)型 量函數(shù)的分布）設(shè) 量 U1,1，記Y 1,0.5XZX0.5YZfz(z

1 0.25 Fz(zPZzPX0.5z0Fz(z0當(dāng)0z0.5Fz(zP0.5zX0.5zz；當(dāng)0.5z1.5Fz(z)P0.5zX10.250.5z；z1.5Fz(z)1.

1,0z(z) ((z) (z) 0,UYZ 1XX0.5,0.5X當(dāng)0u0.5時(shí)，F(xiàn)U(u)PUuP1X0.5P0u1XP0.5X1PX0.5u0.5X0.7510.252u0.75當(dāng)u0.5FU(u1

u0.750.5u,0u u第三章二維隨量及其分題題型一二維離散型隨【邊緣概率分布設(shè)X,YX

P(X,Y)(xi,yj)pij(i,j1, Y

piPXxij

pij(i1, 【條件概率分布

pjPYyjpij(j1, iiPYyj|Xxi在YyjXPXx|Yyp pj1311311 4 2

XY 333PY1X1X1,0X2，X1,1X 0,1X 0,1X求X1,X2)DX1X2DX1X2【詳解（1）X1X2的取值范圍為PX10,X20P1X0,1X2PX10,X

1P1X0,1X1P1X03PX11,X

0P0X2,1X2P1X23PX1,

1P0X2,1X1P0X1 故X1,X2)的聯(lián)合概率分布YX01001311313（2【方法一】由（1）X1X

1 3E(XX)1，E(XX)21，D(XX)11 2

1

1 1 由X1X 3E(

X

)224，E(11 11

X

)2242，D(

X

)216 【方法二】由X B1,1，得D(XX)12211 31

3 由XX B1,1，得D(XX)D(XX1)2 1 X1 PX PX1,XX1 X1 PXX PXX1 2 1 所以在X1X21的條件下，X1的概率分布為 1 2題題型二二維連續(xù)型隨【聯(lián)合概率密度性質(zhì) f(x,y)dxdy（3）P(X,Y)Df(x,y)dxdyD（1（2）【邊緣概率密度X的邊緣概率密度 fX(x) f(x,y)Y【條件概率密度

fY(y) f(x,y)在YyX (xy)f(x,X

fY( (yx)f(x,fYfX

【例19】設(shè)(X,Y N(0,0,1,4,0)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 （A）X,Y相互獨(dú) （B）aXbY服從正態(tài)分1（C）Pmax(X,Y)0 （D）Pmin(X,Y)01 1(x22xy2y2e【例20】設(shè)(X,Y)概率密度為f(x,y) 2 ，x,yR，efX(x)，fY(y)fYX(yx)，fXY

題型三題型三求二維隨量函數(shù)的分【分布函數(shù)法】已知二維連續(xù)型隨量(X,Y)的概率密度f(wàn)(x,y)，求Zg(X,Y)的概率密度Z的分布函數(shù)為FZ(zFZ(z)PZzPg(X,Y)Zg(X,Y在X,Y正概率密度區(qū)域的值域，當(dāng)z<時(shí)，F(xiàn)Z(z)0；zFZ(z1當(dāng)zFZ(zg(x,

f(x,y)dxdyZfZ(zF(zZ的概率密度Z【卷積公式】二維連續(xù)型隨量和、差的概率密度公 若ZXY，則fZ(z)f y,y)dyf(x,(zx))dx(z) f(zby,y)dy f(x,zax)dxab推廣ZaXbYab

【最值函數(shù)的分布 設(shè)X1,X2 Xn相互獨(dú)立，分布函數(shù)分別為FX(x),FX

F(x，XnXmaxX1, ,Xn的分布函數(shù)Fmax(x)PmaxX1,X2 ,XnPX1x,X2 ,XnPX1xPX2 PXnminX1, ,Xn的分布函數(shù)

nFmin(x)PminX1,X2 ,Xn1PminX1,X2 ,Xn1PX1x,X2 ,Xn1PX1xPX2 PXn 1PXn 特別地，若X1,X2 Xn相互獨(dú)立同分布，分布函數(shù)為F(x)， (x) ， (x)11n【例21（2005，1，3）設(shè)二維隨量(X,Y)的概率密度f(wàn)(x,y)1,0x1,0y求（1）X,YfX(xfYyZ2XY的概率密fZPY

X1122122

2xdy2x,0xf(x)

f(x,y)dyX

1dx1y,0yf(y)f(x,y)dx FZ(z)PZzP2XYz f(x,y)dxdy f(x,2x y2當(dāng)0z2時(shí)，F(xiàn)Z(z)1

2x2f(x,y)dxdy1z 2

2

z(2z)z2

14 z2FZ(zZ2XY的概率密度2f(z)F(z)11z,0z2 【方法二（卷積公式）由二維連續(xù)型隨量差的概率密度公式fZ(z)

f(x,2x1,0x1,02xz2xf(x2xz)0,其他1,0x1,0zz0z2fZ(z0當(dāng)0z2

(z)

11dx1z2 22Z2XY的概率密度 f(z)12z,0z

1

P 2

x 2 2 1

2 P ,Y 2dy21dx2 PX1,Y1 1 12PY X 1612 2 2 PX1 24 【例22（求一離散與一連續(xù)隨量函數(shù)的分布）設(shè)隨量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，Y服B1,1X與YZXY 2 ZfZ(z

X

，DXY

FZ(z)PZzPXYZXY的值域?yàn)?1,，z1FZ(z)0；當(dāng)1z0時(shí)FZ(z)PY0PXYzY0PY1PXYzY z0時(shí)F(z)

1PXzPXz1

11ez1e(z1)Z

2

2 f(z)F(z)

1e(z1)

z1z

,z EXYEZzfZ10ze(z1)dz1zeze(z1)2 2 10zde(z1)1zezdz1zde( 2 2 21111 DXYEXY2EXY2E(XY)2EXYD(XY)E(XY)2EXYDXDYEXEY2EXY2 1 1 e 第四章隨量的數(shù)字特題題型一期望與方差計(jì)【期望計(jì)算公式設(shè)X為離散型 量，則EXxipi推廣若Yg(X)EYg(xi)pi設(shè)(X,Y)為二維離散型 量，Zg(X,Y)，則EZg(xi,yj)pij 量，則EXxf(x)dx推廣若Yg(X)EYg(x)f(x)dx設(shè)(X,Y)為二維連續(xù)型 量，Zg(X,Y)，則EZg(x,y)f(x,y)dxdy【期望性質(zhì)E(aXbYc)aEXbEYE(XY)