第五章 偏微分方程與特殊函數(shù)課件

2022/11/515.1引言5.1.1偏微分方程的定義描述物理量在時(shí)、空域中變化規(guī)律的方程，若含有未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，則稱之為偏微分方程。第五章偏微分方程與特殊函數(shù)2022/11/215.1引言5.1.1偏微分方程的定義2022/11/525.1.2偏微分方程的規(guī)定（1）方程中出現(xiàn)的偏導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為方程的階數(shù)。（2）若方程中沒(méi)有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的乘積或冪等非線性項(xiàng)稱方程為線性的，反之統(tǒng)稱成為非線性的。在非線性方程中若僅對(duì)未知函數(shù)的所有最高階偏導(dǎo)不是非線性的——擬線性的。（3）不含未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)稱之為自由項(xiàng)。自由項(xiàng)為零的方程稱為齊次方程，否則稱為非齊次方程。第五章偏微分方程與特殊函數(shù)2022/11/225.1.2偏微分方程的規(guī)定第五章偏2022/11/53例5.1.2偏微分方程的規(guī)定2022/11/23例5.1.2偏微分方程的規(guī)定2022/11/54一般來(lái)說(shuō)，求解n階線性常微分方程的通解，必定包含有n個(gè)獨(dú)立的任意函數(shù)，若存在n個(gè)邊界條件，則可確定這n個(gè)常數(shù)，從而獲得該方程滿足邊界條件的一個(gè)特定解。在偏微分方程中，通解具有特定形式的任意函數(shù)，且看以下例題。(1)

偏微分方程的定解問(wèn)題5.1.2偏微分方程的規(guī)定2022/11/24一般來(lái)說(shuō)，求解n階線性常微分方程的通解，2022/11/55

(2)偏微分方程

是方程的通解，其中f是任意函數(shù)。如等都是該方程的特解。

這些不同的函數(shù)，都滿足二維拉普拉斯方程

都可作為一維熱傳導(dǎo)方程而函數(shù)的通解。2022/11/25(2)偏微分方程2022/11/56

由此可以得出兩點(diǎn)結(jié)論：①偏微分方程的通解包含有任意函數(shù)，因此解偏微分方程，一般都不是先求通解，后由定解條件確定特解，而是直接求特解。②一個(gè)特定形式的偏微分方程可以描述許多物理現(xiàn)象的共性規(guī)律，可以有很多不同形式的特解。所以可稱為“泛定方程”。5.1.2偏微分方程的規(guī)定2022/11/265.1.2偏微分方程的規(guī)定2022/11/57

確定地描述某個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，除了反映運(yùn)動(dòng)一般規(guī)律的偏微分方程（泛定方程）外，還必須根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的模型提出定解條件。定解條件包括初始條件（當(dāng)方程含有時(shí)間變量時(shí)）和邊界條件（關(guān)于空間變量的約束條件）。

泛定方程加定解條件構(gòu)成一個(gè)確定的物理過(guò)程的“定解問(wèn)題”，此時(shí)問(wèn)題才可能有確定的特解。5.1.2偏微分方程的規(guī)定2022/11/27確定地描述某個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，2022/11/58(3)偏微分方程的求解方法1、方程的建立建模。2、求解（1）解析解：①分離變量法；②拉普拉斯變換法等。（2）數(shù)值解：尤拉法、龍格－庫(kù)塔法等。5.1.2偏微分方程的規(guī)定2022/11/28(3)偏微分方程的求解方法5.1.22022/11/595.2

二階偏微分方程分類(lèi)限兩個(gè)自變量的二階線性方程，未知函數(shù)u（x，y）一般形式：

F（x，y，u，ux，uy，uxx，uyy，uxy）=0(5-4)線性形式：

Auxx+2Buxy+Cuyy+Dux+Euy+Gu+f=0(5-5）A，B，C，D，E，f，G是x，y的函數(shù)當(dāng)A，B，C，D，E，G是常數(shù)時(shí)，式（5－5）是二階常系數(shù)線性偏微分方程，f＝f（x，y）為已知函數(shù)是自由項(xiàng)。2022/11/295.2二階偏微分方程分類(lèi)限兩個(gè)自變量的2022/11/510由參數(shù)A，B，C判斷二階線性方程的分類(lèi)設(shè)M=M（x，y）為自變量域內(nèi)的某一點(diǎn)，若在該點(diǎn)處有：(1)B2－AC＞0，則方程在該點(diǎn)處為雙曲線型的，如：

uxx－uyy＝0

（5－6）(2)B2－AC＝0，則方程在該點(diǎn)處為拋物線型，如：

uy－uxx＝0

（5－7）(3)B2－AC＜0，則方程在該點(diǎn)處為橢圓型的，如：

uxx＋uyy＝0

（5－8）2022/11/210由參數(shù)A，B，C判斷二階線性方程的分類(lèi)2022/11/511方程的類(lèi)型在域內(nèi)不一定是唯一的。如：

xuxx＋yuyy＋2yux－xuy＝0B2-AC＝0－xy，①xy＜0，M在二，四象限雙曲型②xy＞0，M在一，三象限橢圓型③xy＝0(x或y＝0)，M在y或者x軸上拋物型三類(lèi)方程：（最典型的物理含義）雙曲線型：utt＝a2（uxx＋uyy＋uzz）波動(dòng)方程拋物線型：ut＝a2（uxx＋uyy＋uzz）熱傳導(dǎo)方程橢圓型：uxx＋uyy＋uzz＝0

拉普拉斯方程2022/11/211方程的類(lèi)型在域內(nèi)不一定是唯一的。如：2022/11/5125.3典型方程的建立

5.3.1.拉格朗日方法（一階）（將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程）2022/11/2125.3典型方程的建立

5.3.1.2022/11/513例15.3典型方程的建立

解：采用拉格朗日法聯(lián)立任意兩個(gè)方程2022/11/213例15.3典型方程的建立

解：采2022/11/5145.3典型方程的建立

2022/11/2145.3典型方程的建立

2022/11/5155.3典型方程的建立

其解為即方程的解為：例22022/11/2155.3典型方程的建立

其解為即方程的2022/11/5165.3.2非線性（一階）5.3典型方程的建立

2022/11/2165.3.2非線性（一階）5.32022/11/5175.3.2非線性（一階）解：2022/11/2175.3.2非線性（一階）解：2022/11/5185.3.2非線性（一階）2022/11/2185.3.2非線性（一階）2022/11/5195.3.3拉普拉斯變換法(1)將常微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程(2)將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程5.3典型方程的建立

通過(guò)拉斯變換，可將兩個(gè)自變量的偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程。由于拉氏變換包括變量從零多無(wú)窮的積分，所以僅對(duì)從零到無(wú)窮有意義的自變量才有可能進(jìn)行拉氏變換，一般來(lái)說(shuō)只適用解初值問(wèn)題。2022/11/2195.3.3拉普拉斯變換法(1)2022/11/5205.3.3拉普拉斯變換法例

定解問(wèn)題

用拉氏變化求解，需要首先確定對(duì)哪一個(gè)自變量施行拉氏變換，就本例而言，對(duì)x與t都可以。但對(duì)x偏導(dǎo)是二階的，且沒(méi)給出，所以選擇對(duì)t作拉氏變換。用u(x,p)表示函數(shù)u(x,t)關(guān)于t的拉氏變換，即首先對(duì)兩端作拉氏變換，另利用條件?？傻眯路匠?，過(guò)程如下：2022/11/2205.3.3拉普拉斯變換法例定2022/11/5215.3.3拉普拉斯變換法同時(shí)對(duì)另一邊界條件作拉氏變換二階常微分方程，其解為

由于時(shí)。u(x,t)應(yīng)該有界，所以u(píng)(x,p)也應(yīng)該有界，故B=0，再有條件得：2022/11/2215.3.3拉普拉斯變換法同時(shí)對(duì)另一2022/11/522

用拉氏變換解偏微分方程的要點(diǎn)是：

（1）首先確定對(duì)哪個(gè)自變量作拉氏變換。要求該自變量變化范圍（0，∞），而且根據(jù)拉氏變換的微分性質(zhì)該變量必需具備上式有關(guān)的初值條件。如若有兩個(gè)自變量都滿足要求，那應(yīng)取決于對(duì)哪個(gè)自變量求解過(guò)程最簡(jiǎn)單為準(zhǔn)。（2）除對(duì)方程作拉氏變換外，還要對(duì)凡在方程變化中沒(méi)有用到的定解條件都要作拉氏變換，使其作為變換后新方程的定解條件。5.3.3拉普拉斯變換法2022/11/222用拉氏變換解偏微分方程的要點(diǎn)是：

（3）最后得到定解問(wèn)題的解的關(guān)鍵是對(duì)新方程之解作拉氏逆變換。當(dāng)象函數(shù)較復(fù)雜時(shí)，運(yùn)用查表和拉氏變換一章介紹的幾種求逆變換方法也不得其解時(shí)，就只能運(yùn)用拉氏變換的反演公式，通常用復(fù)變函數(shù)的圍道積分法求解。5.3.3拉普拉斯變換法（3）最后得到定解問(wèn)題的解的關(guān)鍵是對(duì)新方程之解2022/11/5245.4定解條件和定解問(wèn)題

引言中指出數(shù)學(xué)物理方程是具有某類(lèi)共性的物理現(xiàn)象的泛定方程。在引言中我們也看到了，同一個(gè)泛定方程可以有多個(gè)不同函數(shù)的解。因此對(duì)實(shí)際的物理現(xiàn)象特性的討論還需對(duì)其特定的“環(huán)境”和起始狀態(tài)加以描述和限定——定解條件，結(jié)合泛定方程，便可確定定解問(wèn)題的特解。2022/11/2245.4定解條件和定解問(wèn)題2022/11/525

5.4.1初始條件（初值條件）對(duì)于隨著時(shí)間而發(fā)生變化的問(wèn)題，必須考慮研究對(duì)象的初始時(shí)刻的狀態(tài)，即初始條件。凡泛定方程中只含t的一階偏導(dǎo)數(shù)的只需要一個(gè)初始條件，u的初始分布。

泛定方程中含有t的二階偏導(dǎo)數(shù)的則需要兩個(gè)初始條件，初始分布和初始速度。

初始條件給出了整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)（t=0）。穩(wěn)態(tài)過(guò)程因與t無(wú)關(guān)，則不存在初始條件2022/11/2255.4.1初始條件（初值2022/11/5265.4.2邊界條件(1)第一邊界條件——已知函數(shù)直接給出在邊界上的值（s—Γ上的動(dòng)點(diǎn)）

如弦振動(dòng)，長(zhǎng)為的弦兩端固定，則邊界條件為：

（2）第二類(lèi)邊界條件——已知導(dǎo)數(shù)一維熱傳導(dǎo)（桿的導(dǎo)熱），設(shè)桿的一端x＝a絕熱，則由外到內(nèi)經(jīng)過(guò)桿端的熱量流速為零2022/11/2265.4.2邊界條件(1)第一邊界2022/11/527因K，S是常數(shù)，故對(duì)于二維、三維應(yīng)以邊界的外法向?qū)?shù)表述

5.4.2邊界條件（2）第二類(lèi)邊界條件——已知導(dǎo)數(shù)（3）第三類(lèi)邊界條件——混合邊界條件給出邊界上函數(shù)值與其法向?qū)?shù)構(gòu)成的線性關(guān)系。如一維導(dǎo)熱，桿端x=a處自由冷卻，環(huán)境介質(zhì)溫度為u0

，則2022/11/2275.4.2邊界條件（2）第二類(lèi)邊界2022/11/528（3）第三類(lèi)邊界條件——混合邊界條件

桿端散發(fā)出的熱流效率與端點(diǎn)溫度與介質(zhì)溫度之差成正比,可改寫(xiě)

5.4.2邊界條件對(duì)于長(zhǎng)為的桿兩端自由冷卻第三類(lèi)邊界條件的一般形式2022/11/228（3）第三類(lèi)邊界條件——混合邊界條件52022/11/5295.5線性迭加原理

在講如何用分離變量法求解偏微分方程的定解問(wèn)題前，先介紹一下線性偏微分方程解的迭加原理。

定義線性偏微分算子L為

線性偏微分方程的一般形式

齊次線性偏微分方程

2022/11/2295.5線性迭加原理在2022/11/530

設(shè)函數(shù)是齊次線性偏微分方程的特解，若級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)求偏微分，則該級(jí)數(shù)也是齊次線性偏微分方程的解。5.5線性迭加原理線性迭加原理2022/11/230設(shè)函數(shù)2022/11/5315.6分離變量法

對(duì)于多個(gè)自變量的偏微分方程定解問(wèn)題的求解，在可能的情況下，我們總設(shè)法使自變量的個(gè)數(shù)減少。分離變量法就是基于這種想法產(chǎn)生的。分離變量法也叫傅立葉方法，它利用變量分離形式的解法，將求解偏微分方程的定解問(wèn)題化為求解常微分方程的固有值問(wèn)題，步驟是先找出一些滿足邊界條件的特解，然后利用迭加原理，作出這些解的線性組合，從而得到定解問(wèn)題的解答。分離變量法對(duì)定解條件尤其是邊界條件的要求比較苛刻，一般只涉及較為規(guī)則的邊界問(wèn)題。下面通過(guò)各種例題來(lái)介紹分離變量法的具體應(yīng)用。2022/11/2315.6分離變量法對(duì)2022/11/5325.6分離變量法例這是齊次方程，齊次邊界條件的定解問(wèn)題。

解:u(x,t)是其一個(gè)解函數(shù)。假設(shè)函數(shù)可以表示為各個(gè)自變量單元函數(shù)的乘積，代入方程后可分離為各自變量的常微分方程。設(shè)u(x,t)=X(x)T(t)，X(x)-x的函數(shù)，T(t)-t的函數(shù)

2022/11/2325.6分離變量法例這是齊次方程，齊2022/11/5335.6分離變量法代入原方程中：將邊界條件代入：2022/11/2335.6分離變量法代入原方程中：將邊2022/11/534運(yùn)用迭加原理積分。運(yùn)用正交函數(shù)：兩邊同乘以，并從運(yùn)用正交函數(shù)：兩邊同乘以，并從運(yùn)用正交函數(shù)：兩邊同乘以，并從運(yùn)用正交函數(shù)：兩邊同乘以，并從運(yùn)用正交函數(shù)：兩邊同乘以，并從5.6分離變量法2022/11/234運(yùn)用迭加原理積分。運(yùn)用正交函數(shù)：兩邊同2022/11/535總結(jié)：①通過(guò)假設(shè)，將變量分離②確定待定系數(shù)（通過(guò)已知條件）③利用疊加原理得到解函數(shù)∴5.6分離變量法2022/11/235總結(jié)：①通過(guò)假設(shè)，將變量分離∴5.62022/11/536[例]有界弦的自由振動(dòng)解：弦長(zhǎng)為兩端張緊固定且無(wú)外力作用的弦振動(dòng)問(wèn)題，可用下述定解問(wèn)題表述

這是齊次方程，齊次邊界條件的定解問(wèn)題。5.6分離變量法2022/11/236[例]有界弦的自由振動(dòng)5.6分離變2022/11/537(1)分離變量設(shè)其解函數(shù)可以表示為兩個(gè)單自變量函數(shù)的乘積。

令u(x,t)=X(x)T(t)，X(x)——x的函數(shù)，T(t)——t的函數(shù)代入原方程得：分離變量改寫(xiě)為：5.6分離變量法2022/11/237(1)分離變量5.6分離變量法2022/11/538不妨令其等于常數(shù)λ得到兩個(gè)常微分方程由邊界條件

5.6分離變量法2022/11/2385.6分離變量法2022/11/539(2)求本征值（固有值）λ(i)設(shè)λ>0，則兩個(gè)微分方程的通解為代入條件

解得A=-B=0，即X(x)≡0

，不合題意舍去。（u≡0）(ii)設(shè)λ＝0得，由條件可得A=B=0，X(x)≡0

，不合題意舍去。5.6分離變量法2022/11/239(2)求本征值（固有值）λ5.62022/11/540（iii）設(shè)λ<0，不妨令λ=-β2

，兩個(gè)常微分方程的通解為 由條件因?yàn)棣隆?

，所以

5.6分離變量法2022/11/240（iii）設(shè)λ<0，不妨令λ=-β2022/11/541λn——固有值或本征值.Xn(x)——固有函數(shù)，常寫(xiě)成不帶系數(shù)的形式：

5.6分離變量法(3)求兩個(gè)常微分方程的通解Tn(t)及定解問(wèn)題的一組特解un(x,t)

有通解由以上兩通解相乘可得一組特解2022/11/241λn——固有值或本征值.5.6分2022/11/542(4)由傅立葉級(jí)數(shù)確定系數(shù)Cn,Dn，求u(x,t)由解的迭加原理

代入初始條件

5.6分離變量法2022/11/2425.6分離變量法2022/11/543

上兩式分別是φ(x),ψ(x)

的傅立葉正弦級(jí)數(shù)的展開(kāi)式，而φ(x),ψ(x)是由初始條件給出的定義在[0，l]上的連續(xù)函數(shù)（或只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)，且至多有有限個(gè)極值點(diǎn)），所以只要選取

即

即得定解問(wèn)題的完整特解。5.6分離變量法2022/11/243上兩式分別是φ(x),2022/11/5445.1引言5.1.1偏微分方程的定義描述物理量在時(shí)、空域中變化規(guī)律的方程，若含有未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，則稱之為偏微分方程。第五章偏微分方程與特殊函數(shù)2022/11/215.1引言5.1.1偏微分方程的定義2022/11/5455.1.2偏微分方程的規(guī)定（1）方程中出現(xiàn)的偏導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為方程的階數(shù)。（2）若方程中沒(méi)有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的乘積或冪等非線性項(xiàng)稱方程為線性的，反之統(tǒng)稱成為非線性的。在非線性方程中若僅對(duì)未知函數(shù)的所有最高階偏導(dǎo)不是非線性的——擬線性的。（3）不含未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)稱之為自由項(xiàng)。自由項(xiàng)為零的方程稱為齊次方程，否則稱為非齊次方程。第五章偏微分方程與特殊函數(shù)2022/11/225.1.2偏微分方程的規(guī)定第五章偏2022/11/546例5.1.2偏微分方程的規(guī)定2022/11/23例5.1.2偏微分方程的規(guī)定2022/11/547一般來(lái)說(shuō)，求解n階線性常微分方程的通解，必定包含有n個(gè)獨(dú)立的任意函數(shù)，若存在n個(gè)邊界條件，則可確定這n個(gè)常數(shù)，從而獲得該方程滿足邊界條件的一個(gè)特定解。在偏微分方程中，通解具有特定形式的任意函數(shù)，且看以下例題。(1)

偏微分方程的定解問(wèn)題5.1.2偏微分方程的規(guī)定2022/11/24一般來(lái)說(shuō)，求解n階線性常微分方程的通解，2022/11/548

(2)偏微分方程

是方程的通解，其中f是任意函數(shù)。如等都是該方程的特解。

這些不同的函數(shù)，都滿足二維拉普拉斯方程

都可作為一維熱傳導(dǎo)方程而函數(shù)的通解。2022/11/25(2)偏微分方程2022/11/549

由此可以得出兩點(diǎn)結(jié)論：①偏微分方程的通解包含有任意函數(shù)，因此解偏微分方程，一般都不是先求通解，后由定解條件確定特解，而是直接求特解。②一個(gè)特定形式的偏微分方程可以描述許多物理現(xiàn)象的共性規(guī)律，可以有很多不同形式的特解。所以可稱為“泛定方程”。5.1.2偏微分方程的規(guī)定2022/11/265.1.2偏微分方程的規(guī)定2022/11/550

確定地描述某個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，除了反映運(yùn)動(dòng)一般規(guī)律的偏微分方程（泛定方程）外，還必須根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的模型提出定解條件。定解條件包括初始條件（當(dāng)方程含有時(shí)間變量時(shí)）和邊界條件（關(guān)于空間變量的約束條件）。

泛定方程加定解條件構(gòu)成一個(gè)確定的物理過(guò)程的“定解問(wèn)題”，此時(shí)問(wèn)題才可能有確定的特解。5.1.2偏微分方程的規(guī)定2022/11/27確定地描述某個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，2022/11/551(3)偏微分方程的求解方法1、方程的建立建模。2、求解（1）解析解：①分離變量法；②拉普拉斯變換法等。（2）數(shù)值解：尤拉法、龍格－庫(kù)塔法等。5.1.2偏微分方程的規(guī)定2022/11/28(3)偏微分方程的求解方法5.1.22022/11/5525.2

二階偏微分方程分類(lèi)限兩個(gè)自變量的二階線性方程，未知函數(shù)u（x，y）一般形式：

F（x，y，u，ux，uy，uxx，uyy，uxy）=0(5-4)線性形式：

Auxx+2Buxy+Cuyy+Dux+Euy+Gu+f=0(5-5）A，B，C，D，E，f，G是x，y的函數(shù)當(dāng)A，B，C，D，E，G是常數(shù)時(shí)，式（5－5）是二階常系數(shù)線性偏微分方程，f＝f（x，y）為已知函數(shù)是自由項(xiàng)。2022/11/295.2二階偏微分方程分類(lèi)限兩個(gè)自變量的2022/11/553由參數(shù)A，B，C判斷二階線性方程的分類(lèi)設(shè)M=M（x，y）為自變量域內(nèi)的某一點(diǎn)，若在該點(diǎn)處有：(1)B2－AC＞0，則方程在該點(diǎn)處為雙曲線型的，如：

uxx－uyy＝0

（5－6）(2)B2－AC＝0，則方程在該點(diǎn)處為拋物線型，如：

uy－uxx＝0

（5－7）(3)B2－AC＜0，則方程在該點(diǎn)處為橢圓型的，如：

uxx＋uyy＝0

（5－8）2022/11/210由參數(shù)A，B，C判斷二階線性方程的分類(lèi)2022/11/554方程的類(lèi)型在域內(nèi)不一定是唯一的。如：

xuxx＋yuyy＋2yux－xuy＝0B2-AC＝0－xy，①xy＜0，M在二，四象限雙曲型②xy＞0，M在一，三象限橢圓型③xy＝0(x或y＝0)，M在y或者x軸上拋物型三類(lèi)方程：（最典型的物理含義）雙曲線型：utt＝a2（uxx＋uyy＋uzz）波動(dòng)方程拋物線型：ut＝a2（uxx＋uyy＋uzz）熱傳導(dǎo)方程橢圓型：uxx＋uyy＋uzz＝0

拉普拉斯方程2022/11/211方程的類(lèi)型在域內(nèi)不一定是唯一的。如：2022/11/5555.3典型方程的建立

5.3.1.拉格朗日方法（一階）（將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程）2022/11/2125.3典型方程的建立

5.3.1.2022/11/556例15.3典型方程的建立

解：采用拉格朗日法聯(lián)立任意兩個(gè)方程2022/11/213例15.3典型方程的建立

解：采2022/11/5575.3典型方程的建立

2022/11/2145.3典型方程的建立

2022/11/5585.3典型方程的建立

其解為即方程的解為：例22022/11/2155.3典型方程的建立

其解為即方程的2022/11/5595.3.2非線性（一階）5.3典型方程的建立

2022/11/2165.3.2非線性（一階）5.32022/11/5605.3.2非線性（一階）解：2022/11/2175.3.2非線性（一階）解：2022/11/5615.3.2非線性（一階）2022/11/2185.3.2非線性（一階）2022/11/5625.3.3拉普拉斯變換法(1)將常微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程(2)將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程5.3典型方程的建立

通過(guò)拉斯變換，可將兩個(gè)自變量的偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程。由于拉氏變換包括變量從零多無(wú)窮的積分，所以僅對(duì)從零到無(wú)窮有意義的自變量才有可能進(jìn)行拉氏變換，一般來(lái)說(shuō)只適用解初值問(wèn)題。2022/11/2195.3.3拉普拉斯變換法(1)2022/11/5635.3.3拉普拉斯變換法例

定解問(wèn)題

用拉氏變化求解，需要首先確定對(duì)哪一個(gè)自變量施行拉氏變換，就本例而言，對(duì)x與t都可以。但對(duì)x偏導(dǎo)是二階的，且沒(méi)給出，所以選擇對(duì)t作拉氏變換。用u(x,p)表示函數(shù)u(x,t)關(guān)于t的拉氏變換，即首先對(duì)兩端作拉氏變換，另利用條件?？傻眯路匠?，過(guò)程如下：2022/11/2205.3.3拉普拉斯變換法例定2022/11/5645.3.3拉普拉斯變換法同時(shí)對(duì)另一邊界條件作拉氏變換二階常微分方程，其解為

由于時(shí)。u(x,t)應(yīng)該有界，所以u(píng)(x,p)也應(yīng)該有界，故B=0，再有條件得：2022/11/2215.3.3拉普拉斯變換法同時(shí)對(duì)另一2022/11/565

用拉氏變換解偏微分方程的要點(diǎn)是：

（1）首先確定對(duì)哪個(gè)自變量作拉氏變換。要求該自變量變化范圍（0，∞），而且根據(jù)拉氏變換的微分性質(zhì)該變量必需具備上式有關(guān)的初值條件。如若有兩個(gè)自變量都滿足要求，那應(yīng)取決于對(duì)哪個(gè)自變量求解過(guò)程最簡(jiǎn)單為準(zhǔn)。（2）除對(duì)方程作拉氏變換外，還要對(duì)凡在方程變化中沒(méi)有用到的定解條件都要作拉氏變換，使其作為變換后新方程的定解條件。5.3.3拉普拉斯變換法2022/11/222用拉氏變換解偏微分方程的要點(diǎn)是：

（3）最后得到定解問(wèn)題的解的關(guān)鍵是對(duì)新方程之解作拉氏逆變換。當(dāng)象函數(shù)較復(fù)雜時(shí)，運(yùn)用查表和拉氏變換一章介紹的幾種求逆變換方法也不得其解時(shí)，就只能運(yùn)用拉氏變換的反演公式，通常用復(fù)變函數(shù)的圍道積分法求解。5.3.3拉普拉斯變換法（3）最后得到定解問(wèn)題的解的關(guān)鍵是對(duì)新方程之解2022/11/5675.4定解條件和定解問(wèn)題

引言中指出數(shù)學(xué)物理方程是具有某類(lèi)共性的物理現(xiàn)象的泛定方程。在引言中我們也看到了，同一個(gè)泛定方程可以有多個(gè)不同函數(shù)的解。因此對(duì)實(shí)際的物理現(xiàn)象特性的討論還需對(duì)其特定的“環(huán)境”和起始狀態(tài)加以描述和限定——定解條件，結(jié)合泛定方程，便可確定定解問(wèn)題的特解。2022/11/2245.4定解條件和定解問(wèn)題2022/11/568

5.4.1初始條件（初值條件）對(duì)于隨著時(shí)間而發(fā)生變化的問(wèn)題，必須考慮研究對(duì)象的初始時(shí)刻的狀態(tài)，即初始條件。凡泛定方程中只含t的一階偏導(dǎo)數(shù)的只需要一個(gè)初始條件，u的初始分布。

泛定方程中含有t的二階偏導(dǎo)數(shù)的則需要兩個(gè)初始條件，初始分布和初始速度。

初始條件給出了整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)（t=0）。穩(wěn)態(tài)過(guò)程因與t無(wú)關(guān)，則不存在初始條件2022/11/2255.4.1初始條件（初值2022/11/5695.4.2邊界條件(1)第一邊界條件——已知函數(shù)直接給出在邊界上的值（s—Γ上的動(dòng)點(diǎn)）

如弦振動(dòng)，長(zhǎng)為的弦兩端固定，則邊界條件為：

（2）第二類(lèi)邊界條件——已知導(dǎo)數(shù)一維熱傳導(dǎo)（桿的導(dǎo)熱），設(shè)桿的一端x＝a絕熱，則由外到內(nèi)經(jīng)過(guò)桿端的熱量流速為零2022/11/2265.4.2邊界條件(1)第一邊界2022/11/570因K，S是常數(shù)，故對(duì)于二維、三維應(yīng)以邊界的外法向?qū)?shù)表述

5.4.2邊界條件（2）第二類(lèi)邊界條件——已知導(dǎo)數(shù)（3）第三類(lèi)邊界條件——混合邊界條件給出邊界上函數(shù)值與其法向?qū)?shù)構(gòu)成的線性關(guān)系。如一維導(dǎo)熱，桿端x=a處自由冷卻，環(huán)境介質(zhì)溫度為u0

，則2022/11/2275.4.2邊界條件（2）第二類(lèi)邊界2022/11/571（3）第三類(lèi)邊界條件——混合邊界條件

桿端散發(fā)出的熱流效率與端點(diǎn)溫度與介質(zhì)溫度之差成正比,可改寫(xiě)

5.4.2邊界條件對(duì)于長(zhǎng)為的桿兩端自由冷卻第三類(lèi)邊界條件的一般形式2022/11/228（3）第三類(lèi)邊界條件——混合邊界條件52022/11/5725.5線性迭加原理

在講如何用分離變量法求解偏微分方程的定解問(wèn)題前，先介紹一下線性偏微分方程解的迭加原理。

定義線性偏微分算子L為

線性偏微分方程的一般形式

齊次線性偏微分方程

2022/11/2295.5線性迭加原理在2022/11/573

設(shè)函數(shù)是齊次線性偏微分方程的特解，若級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)求偏微分，則該級(jí)數(shù)也是齊次線性偏微分方程的解。5.5線性迭加原理線性迭加原理2022/11/230設(shè)函數(shù)2022/11/5745.6分離變量法

對(duì)于多個(gè)自變量的偏微分方程定解問(wèn)題的求解，在可能的情況下，我們總設(shè)法使自變量的個(gè)數(shù)減少。分離變量法就是基于這種想法產(chǎn)生的。分離變量法也叫傅立葉方法，它利用變量分離形式的解法，將求解偏微分方程的定解問(wèn)題化為求解常微分方程的固有值問(wèn)題，步驟是先找出一些滿足邊界條件的特解，然后利用迭加原理，作出這些解的線性組合，從而得到定解問(wèn)題的解答。分離變量法對(duì)定解條件尤其是邊界條件的要求比較苛刻，一般只涉及較為規(guī)則的邊界問(wèn)題。下面通過(guò)各種例題來(lái)介紹分離變量法的具體應(yīng)用。2022/11/2315.6分離變量法對(duì)2022/11/5755.6分離變量法例這是齊次方程，齊次邊界條件的定解問(wèn)題。

解:u(x,t)是其一個(gè)解函數(shù)。假設(shè)函數(shù)可以表示為各個(gè)自變量單元函數(shù)的乘積，代入方程后可分離為各自變量的常微分方程。設(shè)u(x,t)=X(x)T(t)，X(x)-x的函數(shù)，T(t)-t的函數(shù)

2022/11/2325.6分離變量法例這是齊次方程，齊2022/11/5765.6分離變量法代入原方程中：將邊界條件代入：2022/11/2335.6分離變量