第五章 偏微分方程與特殊函數課件

2022/11/515.1引言5.1.1偏微分方程的定義描述物理量在時、空域中變化規(guī)律的方程，若含有未知函數的偏導數，則稱之為偏微分方程。第五章偏微分方程與特殊函數2022/11/215.1引言5.1.1偏微分方程的定義2022/11/525.1.2偏微分方程的規(guī)定（1）方程中出現的偏導數的最高階數稱為方程的階數。（2）若方程中沒有未知函數及其偏導數的乘積或冪等非線性項稱方程為線性的，反之統(tǒng)稱成為非線性的。在非線性方程中若僅對未知函數的所有最高階偏導不是非線性的——擬線性的。（3）不含未知函數及其偏導數的項稱之為自由項。自由項為零的方程稱為齊次方程，否則稱為非齊次方程。第五章偏微分方程與特殊函數2022/11/225.1.2偏微分方程的規(guī)定第五章偏2022/11/53例5.1.2偏微分方程的規(guī)定2022/11/23例5.1.2偏微分方程的規(guī)定2022/11/54一般來說，求解n階線性常微分方程的通解，必定包含有n個獨立的任意函數，若存在n個邊界條件，則可確定這n個常數，從而獲得該方程滿足邊界條件的一個特定解。在偏微分方程中，通解具有特定形式的任意函數，且看以下例題。(1)

偏微分方程的定解問題5.1.2偏微分方程的規(guī)定2022/11/24一般來說，求解n階線性常微分方程的通解，2022/11/55

(2)偏微分方程

是方程的通解，其中f是任意函數。如等都是該方程的特解。

這些不同的函數，都滿足二維拉普拉斯方程

都可作為一維熱傳導方程而函數的通解。2022/11/25(2)偏微分方程2022/11/56

由此可以得出兩點結論：①偏微分方程的通解包含有任意函數，因此解偏微分方程，一般都不是先求通解，后由定解條件確定特解，而是直接求特解。②一個特定形式的偏微分方程可以描述許多物理現象的共性規(guī)律，可以有很多不同形式的特解。所以可稱為“泛定方程”。5.1.2偏微分方程的規(guī)定2022/11/265.1.2偏微分方程的規(guī)定2022/11/57

確定地描述某個系統(tǒng)的運動過程，除了反映運動一般規(guī)律的偏微分方程（泛定方程）外，還必須根據實際問題的模型提出定解條件。定解條件包括初始條件（當方程含有時間變量時）和邊界條件（關于空間變量的約束條件）。

泛定方程加定解條件構成一個確定的物理過程的“定解問題”，此時問題才可能有確定的特解。5.1.2偏微分方程的規(guī)定2022/11/27確定地描述某個系統(tǒng)的運動過程，2022/11/58(3)偏微分方程的求解方法1、方程的建立建模。2、求解（1）解析解：①分離變量法；②拉普拉斯變換法等。（2）數值解：尤拉法、龍格－庫塔法等。5.1.2偏微分方程的規(guī)定2022/11/28(3)偏微分方程的求解方法5.1.22022/11/595.2

二階偏微分方程分類限兩個自變量的二階線性方程，未知函數u（x，y）一般形式：

F（x，y，u，ux，uy，uxx，uyy，uxy）=0(5-4)線性形式：

Auxx+2Buxy+Cuyy+Dux+Euy+Gu+f=0(5-5）A，B，C，D，E，f，G是x，y的函數當A，B，C，D，E，G是常數時，式（5－5）是二階常系數線性偏微分方程，f＝f（x，y）為已知函數是自由項。2022/11/295.2二階偏微分方程分類限兩個自變量的2022/11/510由參數A，B，C判斷二階線性方程的分類設M=M（x，y）為自變量域內的某一點，若在該點處有：(1)B2－AC＞0，則方程在該點處為雙曲線型的，如：

uxx－uyy＝0

（5－6）(2)B2－AC＝0，則方程在該點處為拋物線型，如：

uy－uxx＝0

（5－7）(3)B2－AC＜0，則方程在該點處為橢圓型的，如：

uxx＋uyy＝0

（5－8）2022/11/210由參數A，B，C判斷二階線性方程的分類2022/11/511方程的類型在域內不一定是唯一的。如：

xuxx＋yuyy＋2yux－xuy＝0B2-AC＝0－xy，①xy＜0，M在二，四象限雙曲型②xy＞0，M在一，三象限橢圓型③xy＝0(x或y＝0)，M在y或者x軸上拋物型三類方程：（最典型的物理含義）雙曲線型：utt＝a2（uxx＋uyy＋uzz）波動方程拋物線型：ut＝a2（uxx＋uyy＋uzz）熱傳導方程橢圓型：uxx＋uyy＋uzz＝0

拉普拉斯方程2022/11/211方程的類型在域內不一定是唯一的。如：2022/11/5125.3典型方程的建立

5.3.1.拉格朗日方法（一階）（將偏微分方程轉化為常微分方程）2022/11/2125.3典型方程的建立

5.3.1.2022/11/513例15.3典型方程的建立

解：采用拉格朗日法聯(lián)立任意兩個方程2022/11/213例15.3典型方程的建立

解：采2022/11/5145.3典型方程的建立

2022/11/2145.3典型方程的建立

2022/11/5155.3典型方程的建立

其解為即方程的解為：例22022/11/2155.3典型方程的建立

其解為即方程的2022/11/5165.3.2非線性（一階）5.3典型方程的建立

2022/11/2165.3.2非線性（一階）5.32022/11/5175.3.2非線性（一階）解：2022/11/2175.3.2非線性（一階）解：2022/11/5185.3.2非線性（一階）2022/11/2185.3.2非線性（一階）2022/11/5195.3.3拉普拉斯變換法(1)將常微分方程轉化為代數方程(2)將偏微分方程轉化為常微分方程5.3典型方程的建立

通過拉斯變換，可將兩個自變量的偏微分方程轉化為常微分方程。由于拉氏變換包括變量從零多無窮的積分，所以僅對從零到無窮有意義的自變量才有可能進行拉氏變換，一般來說只適用解初值問題。2022/11/2195.3.3拉普拉斯變換法(1)2022/11/5205.3.3拉普拉斯變換法例

定解問題

用拉氏變化求解，需要首先確定對哪一個自變量施行拉氏變換，就本例而言，對x與t都可以。但對x偏導是二階的，且沒給出，所以選擇對t作拉氏變換。用u(x,p)表示函數u(x,t)關于t的拉氏變換，即首先對兩端作拉氏變換，另利用條件?？傻眯路匠?，過程如下：2022/11/2205.3.3拉普拉斯變換法例定2022/11/5215.3.3拉普拉斯變換法同時對另一邊界條件作拉氏變換二階常微分方程，其解為

由于時。u(x,t)應該有界，所以u(x,p)也應該有界，故B=0，再有條件得：2022/11/2215.3.3拉普拉斯變換法同時對另一2022/11/522

用拉氏變換解偏微分方程的要點是：

（1）首先確定對哪個自變量作拉氏變換。要求該自變量變化范圍（0，∞），而且根據拉氏變換的微分性質該變量必需具備上式有關的初值條件。如若有兩個自變量都滿足要求，那應取決于對哪個自變量求解過程最簡單為準。（2）除對方程作拉氏變換外，還要對凡在方程變化中沒有用到的定解條件都要作拉氏變換，使其作為變換后新方程的定解條件。5.3.3拉普拉斯變換法2022/11/222用拉氏變換解偏微分方程的要點是：

（3）最后得到定解問題的解的關鍵是對新方程之解作拉氏逆變換。當象函數較復雜時，運用查表和拉氏變換一章介紹的幾種求逆變換方法也不得其解時，就只能運用拉氏變換的反演公式，通常用復變函數的圍道積分法求解。5.3.3拉普拉斯變換法（3）最后得到定解問題的解的關鍵是對新方程之解2022/11/5245.4定解條件和定解問題

引言中指出數學物理方程是具有某類共性的物理現象的泛定方程。在引言中我們也看到了，同一個泛定方程可以有多個不同函數的解。因此對實際的物理現象特性的討論還需對其特定的“環(huán)境”和起始狀態(tài)加以描述和限定——定解條件，結合泛定方程，便可確定定解問題的特解。2022/11/2245.4定解條件和定解問題2022/11/525

5.4.1初始條件（初值條件）對于隨著時間而發(fā)生變化的問題，必須考慮研究對象的初始時刻的狀態(tài)，即初始條件。凡泛定方程中只含t的一階偏導數的只需要一個初始條件，u的初始分布。

泛定方程中含有t的二階偏導數的則需要兩個初始條件，初始分布和初始速度。

初始條件給出了整個系統(tǒng)的狀態(tài)（t=0）。穩(wěn)態(tài)過程因與t無關，則不存在初始條件2022/11/2255.4.1初始條件（初值2022/11/5265.4.2邊界條件(1)第一邊界條件——已知函數直接給出在邊界上的值（s—Γ上的動點）

如弦振動，長為的弦兩端固定，則邊界條件為：

（2）第二類邊界條件——已知導數一維熱傳導（桿的導熱），設桿的一端x＝a絕熱，則由外到內經過桿端的熱量流速為零2022/11/2265.4.2邊界條件(1)第一邊界2022/11/527因K，S是常數，故對于二維、三維應以邊界的外法向導數表述

5.4.2邊界條件（2）第二類邊界條件——已知導數（3）第三類邊界條件——混合邊界條件給出邊界上函數值與其法向導數構成的線性關系。如一維導熱，桿端x=a處自由冷卻，環(huán)境介質溫度為u0

，則2022/11/2275.4.2邊界條件（2）第二類邊界2022/11/528（3）第三類邊界條件——混合邊界條件

桿端散發(fā)出的熱流效率與端點溫度與介質溫度之差成正比,可改寫

5.4.2邊界條件對于長為的桿兩端自由冷卻第三類邊界條件的一般形式2022/11/228（3）第三類邊界條件——混合邊界條件52022/11/5295.5線性迭加原理

在講如何用分離變量法求解偏微分方程的定解問題前，先介紹一下線性偏微分方程解的迭加原理。

定義線性偏微分算子L為

線性偏微分方程的一般形式

齊次線性偏微分方程

2022/11/2295.5線性迭加原理在2022/11/530

設函數是齊次線性偏微分方程的特解，若級數可逐項求偏微分，則該級數也是齊次線性偏微分方程的解。5.5線性迭加原理線性迭加原理2022/11/230設函數2022/11/5315.6分離變量法

對于多個自變量的偏微分方程定解問題的求解，在可能的情況下，我們總設法使自變量的個數減少。分離變量法就是基于這種想法產生的。分離變量法也叫傅立葉方法，它利用變量分離形式的解法，將求解偏微分方程的定解問題化為求解常微分方程的固有值問題，步驟是先找出一些滿足邊界條件的特解，然后利用迭加原理，作出這些解的線性組合，從而得到定解問題的解答。分離變量法對定解條件尤其是邊界條件的要求比較苛刻，一般只涉及較為規(guī)則的邊界問題。下面通過各種例題來介紹分離變量法的具體應用。2022/11/2315.6分離變量法對2022/11/5325.6分離變量法例這是齊次方程，齊次邊界條件的定解問題。

解:u(x,t)是其一個解函數。假設函數可以表示為各個自變量單元函數的乘積，代入方程后可分離為各自變量的常微分方程。設u(x,t)=X(x)T(t)，X(x)-x的函數，T(t)-t的函數

2022/11/2325.6分離變量法例這是齊次方程，齊2022/11/5335.6分離變量法代入原方程中：將邊界條件代入：2022/11/2335.6分離變量法代入原方程中：將邊2022/11/534運用迭加原理積分。運用正交函數：兩邊同乘以，并從運用正交函數：兩邊同乘以，并從運用正交函數：兩邊同乘以，并從運用正交函數：兩邊同乘以，并從運用正交函數：兩邊同乘以，并從5.6分離變量法2022/11/234運用迭加原理積分。運用正交函數：兩邊同2022/11/535總結：①通過假設，將變量分離②確定待定系數（通過已知條件）③利用疊加原理得到解函數∴5.6分離變量法2022/11/235總結：①通過假設，將變量分離∴5.62022/11/536[例]有界弦的自由振動解：弦長為兩端張緊固定且無外力作用的弦振動問題，可用下述定解問題表述

這是齊次方程，齊次邊界條件的定解問題。5.6分離變量法2022/11/236[例]有界弦的自由振動5.6分離變2022/11/537(1)分離變量設其解函數可以表示為兩個單自變量函數的乘積。

令u(x,t)=X(x)T(t)，X(x)——x的函數，T(t)——t的函數代入原方程得：分離變量改寫為：5.6分離變量法2022/11/237(1)分離變量5.6分離變量法2022/11/538不妨令其等于常數λ得到兩個常微分方程由邊界條件

5.6分離變量法2022/11/2385.6分離變量法2022/11/539(2)求本征值（固有值）λ(i)設λ>0，則兩個微分方程的通解為代入條件

解得A=-B=0，即X(x)≡0

，不合題意舍去。（u≡0）(ii)設λ＝0得，由條件可得A=B=0，X(x)≡0

，不合題意舍去。5.6分離變量法2022/11/239(2)求本征值（固有值）λ5.62022/11/540（iii）設λ<0，不妨令λ=-β2

，兩個常微分方程的通解為 由條件因為β≠0

，所以

5.6分離變量法2022/11/240（iii）設λ<0，不妨令λ=-β2022/11/541λn——固有值或本征值.Xn(x)——固有函數，常寫成不帶系數的形式：

5.6分離變量法(3)求兩個常微分方程的通解Tn(t)及定解問題的一組特解un(x,t)

有通解由以上兩通解相乘可得一組特解2022/11/241λn——固有值或本征值.5.6分2022/11/542(4)由傅立葉級數確定系數Cn,Dn，求u(x,t)由解的迭加原理

代入初始條件

5.6分離變量法2022/11/2425.6分離變量法2022/11/543

上兩式分別是φ(x),ψ(x)

的傅立葉正弦級數的展開式，而φ(x),ψ(x)是由初始條件給出的定義在[0，l]上的連續(xù)函數（或只有有限個第一類間斷點，且至多有有限個極值點），所以只要選取

即

即得定解問題的完整特解。5.6分離變量法2022/11/243上兩式分別是φ(x),2022/11/5445.1引言5.1.1偏微分方程的定義描述物理量在時、空域中變化規(guī)律的方程，若含有未知函數的偏導數，則稱之為偏微分方程。第五章偏微分方程與特殊函數2022/11/215.1引言5.1.1偏微分方程的定義2022/11/5455.1.2偏微分方程的規(guī)定（1）方程中出現的偏導數的最高階數稱為方程的階數。（2）若方程中沒有未知函數及其偏導數的乘積或冪等非線性項稱方程為線性的，反之統(tǒng)稱成為非線性的。在非線性方程中若僅對未知函數的所有最高階偏導不是非線性的——擬線性的。（3）不含未知函數及其偏導數的項稱之為自由項。自由項為零的方程稱為齊次方程，否則稱為非齊次方程。第五章偏微分方程與特殊函數2022/11/225.1.2偏微分方程的規(guī)定第五章偏2022/11/546例5.1.2偏微分方程的規(guī)定2022/11/23例5.1.2偏微分方程的規(guī)定2022/11/547一般來說，求解n階線性常微分方程的通解，必定包含有n個獨立的任意函數，若存在n個邊界條件，則可確定這n個常數，從而獲得該方程滿足邊界條件的一個特定解。在偏微分方程中，通解具有特定形式的任意函數，且看以下例題。(1)

偏微分方程的定解問題5.1.2偏微分方程的規(guī)定2022/11/24一般來說，求解n階線性常微分方程的通解，2022/11/548

(2)偏微分方程

是方程的通解，其中f是任意函數。如等都是該方程的特解。

這些不同的函數，都滿足二維拉普拉斯方程

都可作為一維熱傳導方程而函數的通解。2022/11/25(2)偏微分方程2022/11/549

由此可以得出兩點結論：①偏微分方程的通解包含有任意函數，因此解偏微分方程，一般都不是先求通解，后由定解條件確定特解，而是直接求特解。②一個特定形式的偏微分方程可以描述許多物理現象的共性規(guī)律，可以有很多不同形式的特解。所以可稱為“泛定方程”。5.1.2偏微分方程的規(guī)定2022/11/265.1.2偏微分方程的規(guī)定2022/11/550

確定地描述某個系統(tǒng)的運動過程，除了反映運動一般規(guī)律的偏微分方程（泛定方程）外，還必須根據實際問題的模型提出定解條件。定解條件包括初始條件（當方程含有時間變量時）和邊界條件（關于空間變量的約束條件）。

泛定方程加定解條件構成一個確定的物理過程的“定解問題”，此時問題才可能有確定的特解。5.1.2偏微分方程的規(guī)定2022/11/27確定地描述某個系統(tǒng)的運動過程，2022/11/551(3)偏微分方程的求解方法1、方程的建立建模。2、求解（1）解析解：①分離變量法；②拉普拉斯變換法等。（2）數值解：尤拉法、龍格－庫塔法等。5.1.2偏微分方程的規(guī)定2022/11/28(3)偏微分方程的求解方法5.1.22022/11/5525.2

二階偏微分方程分類限兩個自變量的二階線性方程，未知函數u（x，y）一般形式：

F（x，y，u，ux，uy，uxx，uyy，uxy）=0(5-4)線性形式：

Auxx+2Buxy+Cuyy+Dux+Euy+Gu+f=0(5-5）A，B，C，D，E，f，G是x，y的函數當A，B，C，D，E，G是常數時，式（5－5）是二階常系數線性偏微分方程，f＝f（x，y）為已知函數是自由項。2022/11/295.2二階偏微分方程分類限兩個自變量的2022/11/553由參數A，B，C判斷二階線性方程的分類設M=M（x，y）為自變量域內的某一點，若在該點處有：(1)B2－AC＞0，則方程在該點處為雙曲線型的，如：

uxx－uyy＝0

（5－6）(2)B2－AC＝0，則方程在該點處為拋物線型，如：

uy－uxx＝0

（5－7）(3)B2－AC＜0，則方程在該點處為橢圓型的，如：

uxx＋uyy＝0

（5－8）2022/11/210由參數A，B，C判斷二階線性方程的分類2022/11/554方程的類型在域內不一定是唯一的。如：

xuxx＋yuyy＋2yux－xuy＝0B2-AC＝0－xy，①xy＜0，M在二，四象限雙曲型②xy＞0，M在一，三象限橢圓型③xy＝0(x或y＝0)，M在y或者x軸上拋物型三類方程：（最典型的物理含義）雙曲線型：utt＝a2（uxx＋uyy＋uzz）波動方程拋物線型：ut＝a2（uxx＋uyy＋uzz）熱傳導方程橢圓型：uxx＋uyy＋uzz＝0

拉普拉斯方程2022/11/211方程的類型在域內不一定是唯一的。如：2022/11/5555.3典型方程的建立

5.3.1.拉格朗日方法（一階）（將偏微分方程轉化為常微分方程）2022/11/2125.3典型方程的建立

5.3.1.2022/11/556例15.3典型方程的建立

解：采用拉格朗日法聯(lián)立任意兩個方程2022/11/213例15.3典型方程的建立

解：采2022/11/5575.3典型方程的建立

2022/11/2145.3典型方程的建立

2022/11/5585.3典型方程的建立

其解為即方程的解為：例22022/11/2155.3典型方程的建立

其解為即方程的2022/11/5595.3.2非線性（一階）5.3典型方程的建立

2022/11/2165.3.2非線性（一階）5.32022/11/5605.3.2非線性（一階）解：2022/11/2175.3.2非線性（一階）解：2022/11/5615.3.2非線性（一階）2022/11/2185.3.2非線性（一階）2022/11/5625.3.3拉普拉斯變換法(1)將常微分方程轉化為代數方程(2)將偏微分方程轉化為常微分方程5.3典型方程的建立

通過拉斯變換，可將兩個自變量的偏微分方程轉化為常微分方程。由于拉氏變換包括變量從零多無窮的積分，所以僅對從零到無窮有意義的自變量才有可能進行拉氏變換，一般來說只適用解初值問題。2022/11/2195.3.3拉普拉斯變換法(1)2022/11/5635.3.3拉普拉斯變換法例

定解問題

用拉氏變化求解，需要首先確定對哪一個自變量施行拉氏變換，就本例而言，對x與t都可以。但對x偏導是二階的，且沒給出，所以選擇對t作拉氏變換。用u(x,p)表示函數u(x,t)關于t的拉氏變換，即首先對兩端作拉氏變換，另利用條件。可得新方程，過程如下：2022/11/2205.3.3拉普拉斯變換法例定2022/11/5645.3.3拉普拉斯變換法同時對另一邊界條件作拉氏變換二階常微分方程，其解為

由于時。u(x,t)應該有界，所以u(x,p)也應該有界，故B=0，再有條件得：2022/11/2215.3.3拉普拉斯變換法同時對另一2022/11/565

用拉氏變換解偏微分方程的要點是：

（1）首先確定對哪個自變量作拉氏變換。要求該自變量變化范圍（0，∞），而且根據拉氏變換的微分性質該變量必需具備上式有關的初值條件。如若有兩個自變量都滿足要求，那應取決于對哪個自變量求解過程最簡單為準。（2）除對方程作拉氏變換外，還要對凡在方程變化中沒有用到的定解條件都要作拉氏變換，使其作為變換后新方程的定解條件。5.3.3拉普拉斯變換法2022/11/222用拉氏變換解偏微分方程的要點是：

（3）最后得到定解問題的解的關鍵是對新方程之解作拉氏逆變換。當象函數較復雜時，運用查表和拉氏變換一章介紹的幾種求逆變換方法也不得其解時，就只能運用拉氏變換的反演公式，通常用復變函數的圍道積分法求解。5.3.3拉普拉斯變換法（3）最后得到定解問題的解的關鍵是對新方程之解2022/11/5675.4定解條件和定解問題

引言中指出數學物理方程是具有某類共性的物理現象的泛定方程。在引言中我們也看到了，同一個泛定方程可以有多個不同函數的解。因此對實際的物理現象特性的討論還需對其特定的“環(huán)境”和起始狀態(tài)加以描述和限定——定解條件，結合泛定方程，便可確定定解問題的特解。2022/11/2245.4定解條件和定解問題2022/11/568

5.4.1初始條件（初值條件）對于隨著時間而發(fā)生變化的問題，必須考慮研究對象的初始時刻的狀態(tài)，即初始條件。凡泛定方程中只含t的一階偏導數的只需要一個初始條件，u的初始分布。

泛定方程中含有t的二階偏導數的則需要兩個初始條件，初始分布和初始速度。

初始條件給出了整個系統(tǒng)的狀態(tài)（t=0）。穩(wěn)態(tài)過程因與t無關，則不存在初始條件2022/11/2255.4.1初始條件（初值2022/11/5695.4.2邊界條件(1)第一邊界條件——已知函數直接給出在邊界上的值（s—Γ上的動點）

如弦振動，長為的弦兩端固定，則邊界條件為：

（2）第二類邊界條件——已知導數一維熱傳導（桿的導熱），設桿的一端x＝a絕熱，則由外到內經過桿端的熱量流速為零2022/11/2265.4.2邊界條件(1)第一邊界2022/11/570因K，S是常數，故對于二維、三維應以邊界的外法向導數表述

5.4.2邊界條件（2）第二類邊界條件——已知導數（3）第三類邊界條件——混合邊界條件給出邊界上函數值與其法向導數構成的線性關系。如一維導熱，桿端x=a處自由冷卻，環(huán)境介質溫度為u0

，則2022/11/2275.4.2邊界條件（2）第二類邊界2022/11/571（3）第三類邊界條件——混合邊界條件

桿端散發(fā)出的熱流效率與端點溫度與介質溫度之差成正比,可改寫

5.4.2邊界條件對于長為的桿兩端自由冷卻第三類邊界條件的一般形式2022/11/228（3）第三類邊界條件——混合邊界條件52022/11/5725.5線性迭加原理

在講如何用分離變量法求解偏微分方程的定解問題前，先介紹一下線性偏微分方程解的迭加原理。

定義線性偏微分算子L為

線性偏微分方程的一般形式

齊次線性偏微分方程

2022/11/2295.5線性迭加原理在2022/11/573

設函數是齊次線性偏微分方程的特解，若級數可逐項求偏微分，則該級數也是齊次線性偏微分方程的解。5.5線性迭加原理線性迭加原理2022/11/230設函數2022/11/5745.6分離變量法

對于多個自變量的偏微分方程定解問題的求解，在可能的情況下，我們總設法使自變量的個數減少。分離變量法就是基于這種想法產生的。分離變量法也叫傅立葉方法，它利用變量分離形式的解法，將求解偏微分方程的定解問題化為求解常微分方程的固有值問題，步驟是先找出一些滿足邊界條件的特解，然后利用迭加原理，作出這些解的線性組合，從而得到定解問題的解答。分離變量法對定解條件尤其是邊界條件的要求比較苛刻，一般只涉及較為規(guī)則的邊界問題。下面通過各種例題來介紹分離變量法的具體應用。2022/11/2315.6分離變量法對2022/11/5755.6分離變量法例這是齊次方程，齊次邊界條件的定解問題。

解:u(x,t)是其一個解函數。假設函數可以表示為各個自變量單元函數的乘積，代入方程后可分離為各自變量的常微分方程。設u(x,t)=X(x)T(t)，X(x)-x的函數，T(t)-t的函數

2022/11/2325.6分離變量法例這是齊次方程，齊2022/11/5765.6分離變量法代入原方程中：將邊界條件代入：2022/11/2335.6分離變量