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文檔簡介
2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B.3 C. D.42.若雙曲線的一條漸近線與圓至多有一個交點,則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.3.若實數(shù)滿足不等式組,則的最大值為()A. B. C.3 D.24.若集合,,則()A. B. C. D.5.設(shè)雙曲線的右頂點為,右焦點為,過點作平行的一條漸近線的直線與交于點,則的面積為()A. B. C.5 D.66.已知集合,,則A. B. C. D.7.已知甲、乙兩人獨立出行,各租用共享單車一次(假定費用只可能為、、元).甲、乙租車費用為元的概率分別是、,甲、乙租車費用為元的概率分別是、,則甲、乙兩人所扣租車費用相同的概率為()A. B. C. D.8.世紀(jì)產(chǎn)生了著名的“”猜想:任給一個正整數(shù),如果是偶數(shù),就將它減半;如果是奇數(shù),則將它乘加,不斷重復(fù)這樣的運算,經(jīng)過有限步后,一定可以得到.如圖是驗證“”猜想的一個程序框圖,若輸入正整數(shù)的值為,則輸出的的值是()A. B. C. D.9.已知角的終邊經(jīng)過點,則的值是A.1或 B.或 C.1或 D.或10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的值為8,則框圖中①處可以填().A. B. C. D.11.若函數(shù)有且僅有一個零點,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.12.已知底面是等腰直角三角形的三棱錐P-ABC的三視圖如圖所示,俯視圖中的兩個小三角形全等,則()A.PA,PB,PC兩兩垂直 B.三棱錐P-ABC的體積為C. D.三棱錐P-ABC的側(cè)面積為二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某中學(xué)高一年級有學(xué)生1200人,高二年級有學(xué)生900人,高三年級有學(xué)生1500人,現(xiàn)按年級用分層抽樣的方法從這三個年級的學(xué)生中抽取一個容量為720的樣本進行某項研究,則應(yīng)從高三年級學(xué)生中抽取_____人.14.記為數(shù)列的前項和,若,則__________.15.公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為,若,,則的值為__________.16.若函數(shù),則使得不等式成立的的取值范圍為_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,函數(shù).(1)若,求的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若,求的值.18.(12分)如圖,四棱錐中,四邊形是矩形,,為正三角形,且平面平面,、分別為、的中點.(1)證明:平面平面;(2)求二面角的余弦值.19.(12分)已知函數(shù),.(Ⅰ)當(dāng)時,求曲線在處的切線方程;(Ⅱ)求函數(shù)在上的最小值;(Ⅲ)若函數(shù),當(dāng)時,的最大值為,求證:.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程及直線的直角坐標(biāo)方程;(2)求曲線上的點到直線的距離的最大值與最小值.21.(12分)某公園準(zhǔn)備在一圓形水池里設(shè)置兩個觀景噴泉,觀景噴泉的示意圖如圖所示,兩點為噴泉,圓心為的中點,其中米,半徑米,市民可位于水池邊緣任意一點處觀賞.(1)若當(dāng)時,,求此時的值;(2)設(shè),且.(i)試將表示為的函數(shù),并求出的取值范圍;(ii)若同時要求市民在水池邊緣任意一點處觀賞噴泉時,觀賞角度的最大值不小于,試求兩處噴泉間距離的最小值.22.(10分)已知數(shù)列滿足,且,,成等比數(shù)列.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式;(2)記數(shù)列的前n項和為,,求數(shù)列的前n項和.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】
首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體,該幾何體為由一個三棱柱體,切去一個三棱錐體,由柱體、椎體的體積公式進一步求出幾何體的體積.【詳解】解:根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為:該幾何體為由一個三棱柱體,切去一個三棱錐體,如圖所示:故:.故選:C.【點睛】本題考查了由三視圖求幾何體的體積、需熟記柱體、椎體的體積公式,考查了空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.2.C【解析】
求得雙曲線的漸近線方程,可得圓心到漸近線的距離,由點到直線的距離公式可得的范圍,再由離心率公式計算即可得到所求范圍.【詳解】雙曲線的一條漸近線為,即,由題意知,直線與圓相切或相離,則,解得,因此,雙曲線的離心率.故選:C.【點睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍,注意運用圓心到漸近線的距離不小于半徑,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.3.C【解析】
作出可行域,直線目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線,平移該直線可得最優(yōu)解.【詳解】作出可行域,如圖由射線,線段,射線圍成的陰影部分(含邊界),作直線,平移直線,當(dāng)過點時,取得最大值1.故選:C.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題,解題關(guān)鍵是作出可行域,本題要注意可行域不是一個封閉圖形.4.B【解析】
根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得集合A,由集合性質(zhì)表示形式即可求得,進而可知滿足.【詳解】依題意,;而,故,則.故選:B.【點睛】本題考查了集合關(guān)系的判斷與應(yīng)用,集合的包含關(guān)系與補集關(guān)系的應(yīng)用,屬于中檔題.5.A【解析】
根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出右頂點、右焦點的坐標(biāo),再求出過點與的一條漸近線的平行的直線方程,通過解方程組求出點的坐標(biāo),最后利用三角形的面積公式進行求解即可.【詳解】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知中:,因此右頂點的坐標(biāo)為,右焦點的坐標(biāo)為,雙曲線的漸近線方程為:,根據(jù)雙曲線和漸近線的對稱性不妨設(shè)點作平行的一條漸近線的直線與交于點,所以直線的斜率為,因此直線方程為:,因此點的坐標(biāo)是方程組:的解,解得方程組的解為:,即,所以的面積為:.故選:A【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程的應(yīng)用,考查了兩直線平行的性質(zhì),考查了數(shù)學(xué)運算能力.6.C【解析】分析:根據(jù)集合可直接求解.詳解:,,故選C點睛:集合題也是每年高考的必考內(nèi)容,一般以客觀題形式出現(xiàn),一般解決此類問題時要先將參與運算的集合化為最簡形式,如果是“離散型”集合可采用Venn圖法解決,若是“連續(xù)型”集合則可借助不等式進行運算.7.B【解析】
甲、乙兩人所扣租車費用相同即同為1元,或同為2元,或同為3元,由獨立事件的概率公式計算即得.【詳解】由題意甲、乙租車費用為3元的概率分別是,∴甲、乙兩人所扣租車費用相同的概率為.故選:B.【點睛】本題考查獨立性事件的概率.掌握獨立事件的概率乘法公式是解題基礎(chǔ).8.C【解析】
列出循環(huán)的每一步,可得出輸出的的值.【詳解】,輸入,,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)不成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,成立,跳出循環(huán),輸出的值為.故選:C.【點睛】本題考查利用程序框圖計算輸出結(jié)果,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.9.B【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的定義求得后可得結(jié)論.【詳解】由題意得點與原點間的距離.①當(dāng)時,,∴,∴.②當(dāng)時,,∴,∴.綜上可得的值是或.故選B.【點睛】利用三角函數(shù)的定義求一個角的三角函數(shù)值時需確定三個量:角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y,該點到原點的距離r,然后再根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可.10.C【解析】
根據(jù)程序框圖寫出幾次循環(huán)的結(jié)果,直到輸出結(jié)果是8時.【詳解】第一次循環(huán):第二次循環(huán):第三次循環(huán):第四次循環(huán):第五次循環(huán):第六次循環(huán):第七次循環(huán):第八次循環(huán):所以框圖中①處填時,滿足輸出的值為8.故選:C【點睛】此題考查算法程序框圖,根據(jù)循環(huán)條件依次寫出每次循環(huán)結(jié)果即可解決,屬于簡單題目.11.D【解析】
推導(dǎo)出函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,由題意得出,進而可求得實數(shù)的值,并對的值進行檢驗,即可得出結(jié)果.【詳解】,則,,,所以,函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.若函數(shù)的零點不為,則該函數(shù)的零點必成對出現(xiàn),不合題意.所以,,即,解得或.①當(dāng)時,令,得,作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示:此時,函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個交點,不合乎題意;②當(dāng)時,,,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,則函數(shù)有且只有一個零點.綜上所述,.故選:D.【點睛】本題考查利用函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù),考查函數(shù)圖象對稱性的應(yīng)用,解答的關(guān)鍵就是推導(dǎo)出,在求出參數(shù)后要對參數(shù)的值進行檢驗,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.12.C【解析】
根據(jù)三視圖,可得三棱錐P-ABC的直觀圖,然后再計算可得.【詳解】解:根據(jù)三視圖,可得三棱錐P-ABC的直觀圖如圖所示,其中D為AB的中點,底面ABC.所以三棱錐P-ABC的體積為,,,,,、不可能垂直,即不可能兩兩垂直,,.三棱錐P-ABC的側(cè)面積為.故正確的為C.故選:C.【點睛】本題考查三視圖還原直觀圖,以及三棱錐的表面積、體積的計算問題,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.1.【解析】
先求得高三學(xué)生占的比例,再利用分層抽樣的定義和方法,即可求解.【詳解】由題意,高三學(xué)生占的比例為,所以應(yīng)從高三年級學(xué)生中抽取的人數(shù)為.【點睛】本題主要考查了分層抽樣的定義和方法,其中解答中熟記分層抽樣的定義和抽取的方法是解答的關(guān)鍵,著重考查了運算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.14.-254【解析】
利用代入即可得到,即是等比數(shù)列,再利用等比數(shù)列的通項公式計算即可.【詳解】由已知,得,即,所以又,即,,所以是以-4為首項,2為公比的等比數(shù)列,所以,即,所以。故答案為:【點睛】本題考查已知與的關(guān)系求,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算求解能力,是一道中檔題.15.56【解析】
根據(jù)已知條件求等比數(shù)列的首項和公比,再代入等比數(shù)列的通項公式,即可得到答案.【詳解】,,.故答案為:.【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式和前項和公式,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力.16.【解析】
分,兩種情況代入討論即可求解.【詳解】,當(dāng)時,,符合;當(dāng)時,,不滿足.故答案為:【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的計算,考查了分類討論的思想.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2).【解析】
(1)利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)的解析式為,然后解不等式,可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)由得出,并求出的值,利用兩角差的正弦公式可求出的值.【詳解】(1)當(dāng)時,,由,得,因此,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2),,,,,,.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵,屬中等題.18.(1)見解析;(2)【解析】
(1)取中點,中點,連接,,.設(shè)交于,則為的中點,連接.通過證明,證得平面,由此證得平面平面.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用平面和平面的法向量,計算出二面角的余弦值.【詳解】(1)取中點,中點,連接,,.設(shè)交于,則為的中點,連接.設(shè),則,,∴.由已知,,∴平面,∴.∵,∴,∵,∴平面,∵平面,∴平面平面.(2)由(1)及已知可得平面,建立如圖所示的空間坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,,,,,設(shè)平面的法向量為,∴,令得.設(shè)平面的法向量為,∴,令得,∴,∴二面角的余弦值為.【點睛】本小題主要考查面面垂直的證明,考查二面角的求法,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.19.(Ⅰ)(Ⅱ)見解析;(Ⅲ)見解析.【解析】試題分析:(Ⅰ)由題,所以故,,代入點斜式可得曲線在處的切線方程;(Ⅱ)由題(1)當(dāng)時,在上單調(diào)遞增.則函數(shù)在上的最小值是(2)當(dāng)時,令,即,令,即(i)當(dāng),即時,在上單調(diào)遞增,所以在上的最小值是(ii)當(dāng),即時,由的單調(diào)性可得在上的最小值是(iii)當(dāng),即時,在上單調(diào)遞減,在上的最小值是(Ⅲ)當(dāng)時,令,則是單調(diào)遞減函數(shù).因為,,所以在上存在,使得,即討論可得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時,取得最大值是因為,所以由此可證試題解析:(Ⅰ)因為函數(shù),且,所以,所以所以,所以曲線在處的切線方程是,即(Ⅱ)因為函數(shù),所以(1)當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞增.所以函數(shù)在上的最小值是(2)當(dāng)時,令,即,所以令,即,所以(i)當(dāng),即時,在上單調(diào)遞增,所以在上的最小值是(ii)當(dāng),即時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以在上的最小值是(iii)當(dāng),即時,在上單調(diào)遞減,所以在上的最小值是綜上所述,當(dāng)時,在上的最小值是當(dāng)時,在上的最小值是當(dāng)時,在上的最小值是(Ⅲ)因為函數(shù),所以所以當(dāng)時,令,所以是單調(diào)遞減函數(shù).因為,,所以在上存在,使得,即所以當(dāng)時,;當(dāng)時,即當(dāng)時,;當(dāng)時,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時,取得最大值是因為,所以因為,所以所以20.(1),(2)最大值,最小值【解析】
(1)由曲線的參數(shù)方程,得兩式平方相加求解,根據(jù)直線的極坐標(biāo)方程,展開有,再根據(jù)求解.(2)因為曲線C是一個半圓,利用數(shù)形結(jié)合,圓心到直線的距離減半徑即為最小值,最大值點由圖可知.【詳解】(1)因為曲線的參數(shù)方程為/r
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